复变函数第四章(第八讲)

ρ
。
所以收敛半径为R=1; 在圆周 = 1上, 级数 在圆周|z| 所以收敛半径为 上
n=1 ∞
处收敛, 处收敛 则适合 |z|<|z0|的 的 一切z均为这一幂级数的 一切 均为这一幂级数的
cn z n 绝对收敛点;若 ∑ 绝对收敛点 若
n=1 ∞
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z1
y
z0
O x
处发散, 在z=z1处发散 则适合 |z| >|z1|的一切 均为这 的一切z均为这 的一切 一幂级数的发散点。 一幂级数的发散点。
∞ ∞ ∞
∑z
n=1
n
= s = a + bi ⇔
∑x
n=1
n
= a且 ∑ y n = b。
n=1
定理4.1.2表明由实级数的性质可以平行地得到 注：定理 表明由实级数的性质可以平行地得到 复级数的性质； 复级数的性质；复级数的审敛问题可以转化为实级 数的审敛问题。 数的审敛问题。 ∞ 1 1 例 4.1.1 研究级数 ∑ + i n 的敛散性 。 2 n =1 n ∞ 1 由实级数敛散性判别可知, 发散, 解 由实级数敛散性判别可知, 调和级数 ∑ n 发散,
( 3 ) 当0 < ρ < +∞时, 收敛半径R = 1
求下列幂级数的收敛半径, 例4.2.1 求下列幂级数的收敛半径 并讨论其收敛圆 边界上的敛散性。 边界上的敛散性。 ∞ ∞ ∞ zn ( z − 2)n n (1) ∑ 2 ; (2) ∑ ; (3) ∑ n! ( z − 1 + i ) 。 n n =1 n n =1 n= 0 1 根据比值法, 解 (1) 幂级数的系数cn = 2 , 根据比值法, n cn+1 n2 lim = lim = 1, 2 n→ ∞ c n → ∞ ( n + 1) n
也收敛且和不变。 也收敛且和不变。 注: 收敛级数可以任意添加括号 但不能任意去括号； 收敛级数可以任意添加括号 但不能任意去括号； 级数可以任意添加括号, 发散级数则不可随意添加括号。 发散级数则不可随意添加括号。 收敛级数的必要条件 收敛, 设级数 ∑ z n 收敛, 则 lim z n = 0。 n→ ∞
4. 复函数项级数及其收敛域
复函数项级数 复函数列: 是定义在D上的复变 复函数列: 设 f n(z) ( n=1,2, …)是定义在 上的复变 是定义在 为定义域是D 的复函数列。 函数, 函数 称{f n(z)}为定义域是 ⊂ C的复函数列。 为定义域是
部分和函数列: 的部分和函数列为{S 部分和函数列: {f n(z)}的部分和函数列为 n(z)},其 的部分和函数列为 其 。 中Sn(z)=f 1(z)+ f 2(z)+…+ f n(z)。 复变函数项无穷级数: 的定义域为D 复变函数项无穷级数: 设{f n(z)}的定义域为 ⊂ C; 的定义域为 为定义在D 为定义在 称无穷形式和 f 1(z)+ f 2(z)+…+ f n(z)+…为定义在 上的复变函数项无穷级数, 简称级数, 上的复变函数项无穷级数 简称级数 记为
∑
∞
n =1
f n ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + L + f n ( z ) + L。
收敛域与和函数 定义 4.1.4 若 z 0 ∈ D , 级数
∞
∑f
n =1
∞
n
( z 0 )收敛 , 则称 z 0
为∑ f n ( z ) 的一个 收敛点 ;
n =1
若 z 0 ∈ D , 级数 ∑ f n ( z 0 ) 发散 , 则称 z 0为∑ f n ( z ) 的
n−1
n→ ∞
所以级数的收敛域为E={z | |z|<1}; 和函数为 1 s( z) = , z ∈ E。 1− z
§4-2 幂级数 1.幂级数及其收敛半径、 1.幂级数及其收敛半径、收敛圆 幂级数及其收敛半径 2. 幂级数在收敛圆内的性质
1.幂级数及其收敛半径、 1.幂级数及其收敛半径、收敛圆 幂级数及其收敛半径
n=1
n
± µwn ) = λs ± µt = λ ∑ zn ± µ∑ wn。
余项的敛散性
增加、 级数 ∑ z n 增加、减少或改变有限 项不改变级数
n=1 ∞
的敛散性 ; 特别地
级数 ∑ z n 与其余项
n=1 ∞
∑z
k=n
∞
k
有相同的敛散性。 有相同的敛散性。
由此性质可知级数审敛时, 注：由此性质可知级数审敛时, 可以简记为
n =1 n =1
∞
∞
一个发散点 发散点。 发散点 收敛域 : 称级数 ∑ f n ( z )的全体收敛点组成的集合
n =1 ∞
为其收敛域。 为其收敛域。 收敛域 和函数: 和函数: 设
∑f
n
(z ) 的定义域为 E ⊂ D为级数的 的定义域为D, 为级数的
∞
收敛域, 则在E上定义了函数 上定义了函数： 收敛域 则在 上定义了函数：
n=1 ∞
绝对收敛与条件收敛 定理 4.1.3 若级数
∑|z
n
| 收敛 则级数 ∑ z n 收敛。 收敛, 收敛。
收敛, 定义 4.1.3 若级数 ∑| zn | 收敛 则称级数∑ zn 绝对 收敛。 发散, 收敛， 收敛。若级数∑ | z n | 发散 级数 ∑ z n 收敛，则称 级数 ∑ z n 条件收敛。 条件收敛。
s( z ) = ∑ f n ( z ), ∀z ∈ E ;
称s(z)为级数 为级数
∑f
n =1
∞
n =1
n
和函数。 ( z )的和函数。
例4.1.2 求级数 ∑
∞
zn = 1 + z + z2 + L + zn + L
n=0
的收敛域与和函数。 的收敛域与和函数。 解 级数的部分和函数为
1 − zn k 2 n−1 Sn ( z) = ∑ z = 1 + z + z + L+ z = , ( z ≠ 1) 1− z k =0 1 − zn 1 ; = 当|z|<1时，( z) = lim Sn ( z) = lim 时 s n→∞ n→∞ 1 − z 1− z 当|z|≥1时， lim S n ( z )不存在 ; 时
∞
是幂级数的一般形式, ∑c (z − z ) 是幂级数的一般形式 但只要作变 量代换w=z－z0, 即可化为特殊形式∑c w 。 量代换 注:
n n=0 n 0 ∞ n n=0 n
∞
n=0
收敛半径与收敛圆
cn z n 在z=z0(z0≠0) 定理4.2.1 (Abel定理 若幂级数 ∑ 定理) 定理 定理
lim z n = α , 或 z n → α , ( n → ∞ )。
n→ ∞
定理 4.1.1
{ z n } = { x n + iyn }收敛于α = a + bi的
充要条件是{ x n }收敛于a且{ yn }收敛于b。即
lim zn = α ⇔ lim xn = a且lim yn = b。
n→∞ n→∞ n→∞
∞ n =1
1 收敛, 由定理4.1.2可知题设级数发散。 可知题设级数发散。 等比级数 ∑ n 收敛, 由定理 可知题设级数发散 2 n=1
3. 收敛级数的性质 ∞
线性性质
∞
设 ∑ zn = s, ∑ w n = t , λ , µ ∈ C , 则
n =1 n =1
∞ ∞ n=1 n=1
∞
∑(λz
n (3) 若 ∑cn(z − z0) 既有 0的收敛点 又有发散点 则 既有z≠z 的收敛点, 又有发散点, ∞ n=1 ∞
n=1 ∞
存在R 使得一切适合|z 存在 > 0, 使得一切适合 －z0|< R的z为 cn(z − z0)n 的 的为 ∑ 的绝对收敛点, 一切适合|z 的绝对收敛点 一切适合 －z0|> R的z为 cn(z − z0)n 的 的为 ∑ 的发散点, 为此幂级数的收敛半径。 的发散点 称R为此幂级数的收敛半径。 为此幂级数的收敛半径
1) 只在z=z0收敛 2) 在复平面的每 一点都收敛 3)既有z≠z0的收敛 3)既有 点又有发散点
收敛的几种情形
既有z≠z 的收敛点又有发散点时, 既有 0的收敛点又有发散点时,将收敛部分涂 为绿色,发散部分涂为黄色, 逐渐变大, 为绿色,发散部分涂为黄色, α 逐渐变大,在Cα内 部都是绿色, β 逐渐变小, 在Cβ 外部都是黄色， 部都是绿色, 逐渐变小 外部都是黄色，
∑z 。
n
但是收敛级数增加、 但是收敛级数增加、减少或改变有限项后所得到 的级数的和一般会发生变化, 的级数的和一般会发生变化, 因此级数求和时不 能采用这种简记法。 能采用这种简记法。
收敛级数的次结合性 设级数
∑z
n =1
∞
n
收敛, 收敛, 则
( z1 + L+ zn1 ) + ( zn1 +1 + L+ zn2 ) + L+ ( znk +1 + L+ znk+1 ) + L
径R = 0;
R z0
O
x
( 3 ) 当0 < ρ < +∞ 时 , 收敛半径 R =
1
ρ
。
定理4.2.3 (根值法 若 lim n | c n | = ρ , 则 根值法) 定理 根值法 n→ ∞
(1) 当 ρ ＝0时 , 收敛半径 R = +∞ ;
( 2) 当ρ＝ + ∞时, 收敛半径R = 0;
∞
∞
lim S n = s , 则称级数∑ z n 收敛 称s为级数∑ z n 则称级数 收敛, 为级数 n→ ∞
n =1
∞
若 n → ∞ 不存在, 的和, 的和 记为∑ z n = s 。 lim S n不存在, 则称级数
∞
n =1
n=1
∑z
n=1
∞
n=1
n
发散。 发散
复级数与实级数的联系 定理 4.1.2 设z n= x n+i y n, n =1,2, …, 则
幂级数
定义 4.2.1 形如 ∞ cn(z − z0 )n = c0 + c1(z − z0 ) + c2(z − z0 )2 +L+ cn(z − z0 )n +L ∑
n=0
的函数项级数称为以z0为中心的幂级数。 为中心的幂级数。 特别地, =0时 特别地, 当z0=0时
c n z n = c 0 + c1 z + c 2 z 2 + L + c n z n + L。 ∑
z1 + z 2 + L + z n + L
Sn =
为无穷复数项级数, 简称为级数, 为无穷复数项级数, 简称为级数, 简记为 ∑ z n ; 称
∞
∑z
k =1
n
n=1
k
= z1 + z 2 + L + z n
为级数的部分和。 为级数的部分和。
收敛与发散 定义 4.1.2 的部分和数列, 设{Sn}为级数 ∑ z n的部分和数列 若 为级数
§4-1 复数项级数与复函数项级数 1. 复数项数列的极限 2. 复数项级数的概念 3. 收敛级数的性质 4. 复函数项级数及其收敛域
1. 复数项数列的极限
定义 4.1.1
是一复数列， 设{zn } = { xn + iyn }是一复数列， = a + bi, α
若∀ε > 0, ∃N ∈ N,当n > N时, | z n − α |< ε , 则称复数列 { z n }当n → ∞时以α为极限, 也称{ z n }收敛于α。记为
绿、黄色不会交错。故存 黄色不会交错。 在R>0,使得 CR z = R 使得 ： 成为 绿、黄两种颜色的分界线。 黄两种颜色的分界线。 z0
β
α
R z0 z0
cn(z − z0 )n 在复平面上处处 定义4.2.2 (1) 若幂级数 ∑ 定义
n=1
∞
收敛,则称收敛半径为 收敛 则称收敛半径为R=+∞; 则称收敛半径为 (2)若幂级数∑cn(z − z0 )n 除了中心 0收敛外 在复平面 若幂级数 除了中心z 收敛外, 上其余点处处发散,则称收敛半径为 上其余点处处发散 则称收敛半径为R=0; 则称收敛半径为
定理4.1.1给出了复极限与实极限的关系, 4.1.1给出了复极限与实极限的关系 注: 定理4.1.1给出了复极限与实极限的关系, 由 此可以将复极限问题转化为实极限问题来研究。 此可以将复极限问题转化为实极限问题来研究。
2. 复数项级数的概念
复数项级数 为一复数列， 设{ zn }为一复数列，称下列无穷形式和 为一复数列
n=1
n=1 ∞
cn(z − z0 )n 的收敛半径 则称集合 的收敛半径, 若R是幂级数 ∑ 是幂级数 cn(z − z0 )n 的收敛圆。 的收敛圆。 D={z | |z－z0|< R}为 ∑ 为
n=1 ∞
∞
收敛半径的求法
n=1
y
定理4.2.2 (比值法) 定理 cn+1 = ρ, 则 若 lim n→ ∞ c n (1) 当ρ＝0时, 收敛半径 R = +∞; ( 2) 当ρ＝ + ∞时, 收敛半