第九章-第3讲 带电粒子在复合场中的运动

2－1.在如图所示的竖直平面内，水平轨道 CD 和倾斜轨道 GH
与半径 r＝ 9 m 的光滑圆弧轨道分别相切于 D 点和 G 点，GH 44
与水平面的夹角θ＝37°。过 G 点、垂直于纸面的竖直平面左 侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度 B ＝ 1.25 T ；过 D 点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电 场方向水平向右，电场强度 E ＝1×104 N/C。小物体 P1 质量 m ＝2×10－3 kg、电荷量 q＝＋8×10－6 C ，受到水平向右的推力 F＝9.98×10－3 N 的作用，沿 CD 向右做匀速直线运动，到达 D 点后撤去推力。当 P1 到达倾斜轨道底端 G 点时，不带电的 小物体 P2 在 GH 顶端静止释放，经过时间 t＝0.1 s 与 P1 相遇。 P1 和 P2 与轨道 CD、GH 间的动摩擦因数均为μ＝0.5，取 g＝ 10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物体电荷量保持不变，不 计空气阻力。求：
高三物理第一轮总复习
第九章 磁 场
第3讲 带电粒子在复合场中的运动
微考点 1 带电粒子在组合场中的运动 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在 同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现． 2．运动特点：分阶段运动，带电粒子可能依次通过几个情况不 同的组合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几 种不同的运动阶段组成．
t2
r＝m v0，T ＝2πm
Bq
Bq
t＝vL0
t＝2θπT ＝θBmq
变化
不变
典例微探 【例 1】 (2017·福州质检)如图所示，在 x 轴上方存在匀 强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里。在 x 轴下方存 在匀强电场，方向竖直向上。一个质量为 m，电荷量为 q，重 力不计的带正电粒子从 y 轴上的 a(0，h)点沿 y 轴正方向以某 初速度开始运动，一段时间后，粒子速度方向与 x 轴正方向成 45°角进入电场，经过 y 轴的 b 点时速度方向恰好与 y 轴垂直。 求： (1)粒子在磁场中运动的轨道半径 r 和速度
微考场 提技能 2.(2017·杭州联考)(多选)质量为 m、电荷量为 q 的微粒以速度
v 与水平方向成θ角从 O 点进入方向如图所示的正交的匀强电
场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和 重力的共同作用下，恰好沿直线运动到 A，下列说法正确的是
( AC )
A．该微粒一定带负电荷 B．微粒从 O 到 A 的运动可能是匀变速运动
大小为 v 的匀速圆周运动，重力加速度为 g。
(1)求此区域内电场强度的大小和方向； (2)若某时刻微粒在场中运动到 P 点时，速度与水平方向的夹 角为 60°，且已知 P 点与水平地面间的距离等于微粒做圆周运 动的半径。求该微粒运动到最高点时与水平地面间的距离； (3)当带电微粒运动至最高点时，将电场强度的大小变为原来的 12(方向不变，且不计电场变化对原磁场的影响)，且带电微粒能 落至地面，求带电微粒落至地面时的速度大小。
qv1B＝mv21 ①解得 R＝mv1 ②
R
qB
设粒子从 N 点离开磁场，如图所示，由几何知识可知 ON＝ 2R ③
联立②③两式解得：ON＝ 2mv1。 ④
qB (2)粒子第二次离开磁场后在电场中做类平抛运动，若粒子第二次刚好从 O 点离
开电场，则：水平位移 x＝2R＝2mv＝vt
qB
⑤解得：t＝2qmB
(3)粒子在磁场中的周期为
T
＝2πr＝2πm
v1 qB
第一次经过
x
轴的时间
t1＝58T
＝5πm 4qB
在电场中运动的时间 t2＝2t＝2
2＋1m qB
在第二次经过
x
轴到第三次经过
x
轴的时间
t3＝34T
＝3πm 2qB
所以总时间
t0＝t1＋t2＋t3＝
11π＋2 4
Leabharlann Baidu2＋2 m qB
答案 (1) 2h
2qBh m
3．“电偏转”和“磁偏转”的比较
内容 项目
垂直进入电场(电偏转)
垂直进入磁场(磁偏转)
情景图
受力
运动 规律
运动 时间 动能
FE＝qE，FE 大小、方向 不变，为恒力
FB＝qv0B，大小不变，
方向总指向圆心，方向
变化，FB 为变力
类平抛运动，vx＝v0，vy 匀速圆周运动，
＝Eqt，x m
＝v0t，y＝2Emq
小结：带电微粒在电场力、洛伦兹力和重力的 共同作用下，恰好匀速圆周运动，则一定有 mg=Eq，Ｆ洛提供向心力。
解析 (1)由于带电微粒可以在电场、磁场和重力场共存的区域内沿竖直平 面做匀速圆周运动，表明带电微粒所受的电场力和重力大小相等、方向相反，
因此电场强度的方向竖直向上，设电场强度为 E，则有 mg＝qE，即 E＝mg。 q
v＝4 m/s。 ④
(2)设 P1 在 G 点的速度大小为 vG，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理
qErsinθ－mgr(1－cosθ)＝12mv2G－12mv2 ⑤
P1 在 GH 上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为 a1，根 据牛顿第二定律
qEcosθ－mgsinθ－μ(mgcosθ＋qEsinθ)＝ma1 ⑥ P1 与 P2 在 GH 上相遇时，设 P1 在 GH 上运动的距离为 s1，则
(2)粒子在电场中做类平抛运动，
M ′N ＝vt，A ′N＝1at2，a＝qE，由几何关系得
2
m
A′N＝A′N′＋N′N，A′N′＝coLs2θ，
N′N＝M′Ntanθ，联立得 E＝2qLt2(coms2θ＋qBttanθ)，
把θ＝30°代入得 E＝32qLt2(4m＋ 3qBt)。
答案
(1)5π＋2 3m 6qB
运动规律，有 vb＝v1cos 45°
得 vb＝qmBh
设粒子进入电场经过时间 t 运动到 b 点，b 点的纵坐标为－yb
结合类平抛运动规律得 r＋rsin 45°＝vbt
yb＝12(v1sin 45°＋0)t＝
2＋1h 2
由动能定理有：－qE yb＝12m v2b－12m v21
解得 E＝ 2－1qhB2。 m
(2)
2－1qhB2
(3)
11π＋2 4
2＋2
m
m
qB
规律总结
题组微练 1－1.如图所示的平面直角坐标系中，虚线 OM 与 x 轴成 45° 角，在 OM 与 x 轴之间(包括 x 轴)存在垂直纸面向里、磁感应 强度大小为 B 的匀强磁场，在 y 轴与 OM 之间存在竖直向下、 电场强度大小为 E 的匀强电场，有一个质量为 m，电荷量为 q 的带正电的粒子以某速度沿 x 轴正方向从 O 点射入磁场区域 并发生偏转，不计带电粒子的重力和空气阻力，在带电粒子进 入磁场到第二次离开电场的过程中，求：
(1)若带电粒子从 O 点以速度 v1 进入磁场区
域，求带电粒子第一次离开磁场的位置到 O 点的距离； (2)若带电粒子第二次离开电场时恰好经过
O 点，求粒子最初进入磁场时速度 v 的大
小。并讨论当 v 变化时，粒子第二次离开
电场时的速度大小与 v 大小的关系。
解析 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
大小 v1；
(2)匀强电场的电场强度大小 E； (3)粒子从开始运动到第三次经过 x 轴的时 间 t0。
解析 (1)根据题意可大体画出粒子在组合场中的运动轨迹如图所示，由几何关
系得 rcos 45°＝h
可得 r＝ 2h
又 qv1B＝mv21
r
可得 v1＝qmBr＝
2qBh。 m
(2)设粒子第一次经过 x 轴的位置为 x1，到达 b 点时速度大小为 vb，结合类平抛
(2)32qLt2(4m＋ 3qBt)
微考点 2 带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场：电场、_磁__场___、重力场共存，或其中某两场共存．
2．带电粒子在叠加场中的常见运动
静止或匀速 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将
直线运动 处于静止状态或__匀__速__直__线___运__动____状态
当带电粒子所受的重力与电场力大小 匀速圆周 ____相__等____，方向__相___反____时，带电粒子在
⑥
竖直位移 y＝2R＝2qmBv＝12at2 ⑦ 而 a＝Emq⑧联立⑥⑦⑧式并解得 v＝EB ⑨
a．若 v>E，则粒子从 y 轴离开电场，轨迹如图，水平位移
B
x＝2R＝2mv＝vt 得 t＝2m
qB
qB
vy＝at＝qmE
t＝2E B
则粒子离开电场时的速度 v2＝ v2y＋v2＝ 4BE22＋v2
b．若 v<E，则粒子从 OM 边界离开电场，粒子在 x、y 方向的
B 位移大小相等
x＝vt
y＝x＝vyt，解得 vy＝2v
2
则粒子离开电场时的速度 v3＝ v2y＋v2＝ 5v 答案 (1) 2mv1 (2)见解析
qB
1－2.如图所示，xOy 为空间直角坐标系，PQ 与 y 轴正方 向成θ＝30°角。在第四象限和第一象限的 xOQ 区域存在磁感 应强度为 B 的匀强磁场，在 POy 区域存在足够大的匀强电场， 电场方向与 PQ 平行，一个带电荷量为＋q，质量为 m 的带电 粒子从－y 轴上的 A(0，－L)点，平行于 x 轴方向射入匀强磁 场，离开磁场时速度方向恰与 PQ 垂直， 粒子在匀强电场中经时间 t 后再次经过 x 轴，粒子重力忽略不计。求： (1)从粒子开始进入磁场到刚进入电场的 时间 t′； (2)匀强电场的电场强度 E 的大小。
(1)对于微观粒子，如电子、质子、α粒子、离子等，因为其
重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于
一些实际物体，如带电液滴、油滴、尘埃、小球等一般应当考
虑其重力． (2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理． (3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分 析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力．
(1)小物体 P1 在水平轨道 CD
上运动速度 v 的大小；
(2)倾斜轨道 GH 的长度 s。
解析 (1)设小物体 P1 在匀强磁场中运动的速度为 v，受到向上的洛伦兹力
为 F1，受到的摩擦力为 f，则 F1＝qvB ①
f＝μ(mg－F1) ② 由题意，水平方向合力为零 F－f＝0 ③ 联立①②③式，代入数据解得
解析 (1)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，则由几何关系得 R＝L，
qvB＝m
v2，联立得
R
v＝qBL，又
m
T＝2πvR
，粒子在磁场中运动时间
t1＝152T
。
由
M
到
A′做匀速直线运动的时间
t2＝R
tan30°，
v
粒子从开始进入磁场到刚进入电场的时间 t′＝t1＋t2，
联立以上各式得 t′＝5π＋2 3m。 6qB
的1，即 2
F
电＝m2g。
带电微粒运动过程中，洛伦兹力不做功，所以在它从最
高点运动至地面的过程中，只有重力和电场力做功。设
带电微粒落地时的速度大小为 v1，根据动能定理有
m ghm －F
电
hm
＝1m 2
v21－12m
v2，
解得 v1＝
v2＋5mgv。
2qB
答案
(1)mqg，方向竖直向上
5mv
(2) 2qB
(3)
v2＋5mgv
2qB
规律总结 1.带电粒子在叠加场中运动的分析方法
2.两种常见运动情形 ①带电微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿 直线运动，则一定是匀速直线运动。 ②带电微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好匀 速圆周运动，则一定有 mg=Eq，Ｆ洛提供向心力。
题组微练
运动 洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平
面内做匀速圆周运动
当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，
较复杂的 曲线运动
且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做 _非___匀__变__速__曲线运动，这时粒子运动轨迹既 不是圆弧，也不是抛物线,一般应从功和能的
角度列方程求解。
3.关于粒子重力是否考虑的三种情况
C．该磁场的磁感应强度大小为qvmcogsθ
D．该电场的场强为 Bvcosθ
小结：带电微粒在电场力、洛伦兹力和重力的 共同作用下，恰好沿直线运动，则一定是匀速 直线运动。
典例微探
【例 2】 如图所示，在水平地面上方有一范围足够大的互相 正交的匀强电场和匀强磁场区域。磁场的磁感应强度为 B，方 向水平并垂直于纸面向里。一质量为 m、带电荷量为 q 的带正 电微粒在此区域内沿竖直平面(垂直于磁场方向的平面)做速度
(2)设带电微粒做匀速圆周运动的轨迹半径为 r，根据牛顿第二定律和洛伦兹力
公式有 qvB＝mv2，解得 r＝mv。
r
qB
依题意可画出带电微粒做匀速圆周运动的轨迹如图所示，由几何关系可知，该
微粒运动至最高点与水平地面间的距离 hm＝52r＝52mqBv。
(3)将电场强度的大小变为原来的1，则电场力变为原来 2