用数形结合思想方法解题时的常见错误分析
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一
像的延伸趋势不 同， 例 如 当 ａ＝ ２时 ，
原方程 无实 数解 ：
／
ｇ ｏ
而 当 ａ＝、 ／ ２时 ，
＝
２便是 原方程的
／ ｆ ｘ 、
图１
ｏ 。 时， ｇ （ ） 一一 ， 即直 线ｘ ＝ Ｏ 和ｙ ＝ ｌ 是 函数 ｇ （ ｘ ） 的两条 渐近
察却 看不 出什么规 律来 ，这 时就需要 给 图形赋值 ，如 边长 、 角度等等 ，特别是在做选择题 时，只有一个答案是 正确答案 ，
用此种方法就 可能起到意想不到 的效果 ．“ 以形 助数 ”是指把
０ ，ｏ ≠１ ）的图像 ，当 ａ 非常小时它们有 三个交点 ，此 时 ，方
程ａ ￣ ＝ ｌ ｏ ｇ 解 的有 ３ 个．
ｅ
错解 ：在 同一坐标系中 ，分 别画出函数 ’ ， ＝ （ ａ ＞ １ ）及 ｙ ＝ ｌ ｏ ｇ （ ａ ＞ １ ）的图像 ，如图 １ 所示 ，可见它们没有公共点 ，所
以方程确无实数解 ．
ｚ ：ｙ ＝ ｋ ｘ － １ 与曲线 ｙ ） 没有公共点 ，求 ｋ的最大值．
故命题正确．
解是因为没有充分注意到两 图像 的递增 “ 速度 ” ！要 比较两个 图像的递增 速度 ，确实很难 由图像直观而得 ． 本题 可以先猜想 ，
后用数学归纳法证 明． 本题的正确答案是 当 ｎ ＝ ２ ．４时 ２ ｎ ＝ ｎ ： ，
例１ ． 判断命题 “ 当ａ ＞ ｌ 时 ，关 于 的方程 ａ ￣ ＝ ｌ ｏ ｇ 。 无实
误差 ，或者 “ 无 中生有” 的不 准确 ．有 时可能会 出现一些错 误． 本文就运用数形结合 时容易出现 的失误做个 简单的归类分 析 ，希望 引起你的重视．
１ ． 潦草 作 图而 导 出的 错 误
所 以 ，当 ｎ ＝ ２时
２ ＝ ｎ ．而 且 当 ｎ 是 大 于 ２ 的 自 然
例 ２ ． 比较 ２ ｎ 与 ｎ （ ｎ大于 １的 自然数 ）的大小． 错 解 ：在 同一坐标 系 中分 别画 出 函数 ｙ ＝ ２ ｘ 及ｙ 的图
抽象 的数 学语言转化 为直观 的图形 。可避 免繁杂 的计算 ，获
得 出奇制胜的解法．“ 以形助数 ” 中的 “ 形” ．或 有形或无 形．
剖 析 ：实 际 上 对不同的实数 ａ ．
ｙ ＝ 及 ｙ － ｌ ｏ ｇ 。 的 图
解析：由题意， 方程ｋ ｘ 一 １ 一 １ ＋ 占无解 ， 显然ｘ ＝ Ｏ 不是方程
ｙ ● ‘ ， ／ ／ ／ ： ｘ
—
ｅ。
的解 ， 故分离参数后 的方程 ＝ １ ＋ — １无解． 令ｇ （ ） ＝ １ ＋ — １ （ ｘ ＃Ｏ ） ， 则 （ ） ＝ 二 ， 所 以ｇ （ ） 在（ 一 ∞， 一 １ ） 上单 调递增 ， 在（ 一 １ ， ０ ） 和 （ ０ ， ＋ ） 上单调 递减 ， 在 一１ 处取到极大值 （ 一 １ ） ＝ ｌ 一 ． ｅ ． 又 当扩＋ ｏ 时， ｇ （ ） 一＋ ； 当 一０ 一 时， ｇ （ ） 一一 。 。 ； 当 ＿ ÷ ＋ ∞时 ， ｇ （ ） ＿ ＋ １ ； 当
ｌ Ｚ － ５时 ．２ ｎ ） ｒ ｔ ２ ． 错
图２
的只是函数图像的一小部分 ．而不是全部． 常言到 “ 知人知面 不知心” ，同样 的，我们 从函数 图像 的部分而 知道它 的全部 ， 在没画 出来 的部 分图像是 怎么样 的呢？我们只有根 据函数 图
像 的延伸趋势 以及伸展 “ 速度”来判 断了．
包括两个方面 ：第一种情形是 “ 以数解形 ” ，而第二种情形是 “ 以形 助数 ”．“ 以数解形 ”就是有些图形太过 于简单 ，直接观
事 实上 ，我们 还可 以通 过几何画板 的演示 （ 参 数 ａ可 动 态 控制 ） ，在 同一坐标 系中作出 函数 ） ， ＝ 和 函数 ｙ ＝ ｌ ｏ ｇ （ ｎ ＞
数 学有 数
用数 形结合思想 方法解题 时的常见错误分析
■童 其 林
作为一种 数学思想方 法 ，数形 结合 的应 用大致又可分 为
解． 上面的错解就是潦 草作图 ，而 画出了个 有误 差的 图形 ，并 且 想当然地根据 图形而不 去注意 函数 图像 的延伸趋 势而造成
的．
两种情形 ：或者借助 于数 的精确性 来 阐明形 的某些属性 ，或 者借 助形 的几何直观性来 阐明数 之间某种关 系 ，即数形 结合
线 ，所 以 ） 的大致 图像如图 ３ ． 由题意知 ，直线 ｙ ＝ ｋ与函数 ｇ
（ ）的 图像 无交 点 ，
观察 图像 易知 ．ｋ∈
１ ｙ ＝ ｇ （ ｘ ）
、 ＝ ＝ 、 、 ． ：１
ｙ
＼ ‘ ＼
．
数时 ．２ ｎ ｚ ．
｜ ｝ Ｉ
０
剖 析 ： 事 实
上 ．当 ｎ ＝４时 ．
在 同一坐标 系中作几个 函数的 图像来 比较时 ，我们一定 要 注意函数图像的延伸趋势 以及 伸展 “ 速度 ”． 因为我们 画出
２ 与／ ７ ， ，也相 等 ：
像 ，如 图 ２所示 ，由图可 知 ，两个 图像 有一个公共 点． 当ｘ ＝ ２
时 ．２ ｘ ＝ ｘ ．当 ＞
２时 有 ２ Ｘ ＜ ｘ 成立 ．
若有形 ，则可 为图表与模型 ，若无 形 ，则可另行构造 或联 想． 因此 “ 以形辅数 ”的途径大体 有三种 ：一是运用 图形 ：二是 构造 图形 ：三是借助于代数式 的几 何意义． 但 由于构造图形 的
数 解 ”是 否 正 确 ？
当ｎ ＝ ３时 ，２ ｎ ＜ ｎ ，当 １ ７ ， 是大于 ４的 自然数时 ，２ ｎ ＞ ｎ ，证 明略．
例３ ．（ ２ ０ １ ３年高考 ・ 福 建卷 ，文 ２ ２题改编 ） 已知 函数 厂 （ ） ＝ ｌ ＋ ＿ ａ －（ ｏ ∈Ｒ，ｅ 为 自然对数 的底数 ）． 当ａ ＝ ｌ 时 ，若直线
像的延伸趋势不 同， 例 如 当 ａ＝ ２时 ，
原方程 无实 数解 ：
／
ｇ ｏ
而 当 ａ＝、 ／ ２时 ，
＝
２便是 原方程的
／ ｆ ｘ 、
图１
ｏ 。 时， ｇ （ ） 一一 ， 即直 线ｘ ＝ Ｏ 和ｙ ＝ ｌ 是 函数 ｇ （ ｘ ） 的两条 渐近
察却 看不 出什么规 律来 ，这 时就需要 给 图形赋值 ，如 边长 、 角度等等 ，特别是在做选择题 时，只有一个答案是 正确答案 ，
用此种方法就 可能起到意想不到 的效果 ．“ 以形 助数 ”是指把
０ ，ｏ ≠１ ）的图像 ，当 ａ 非常小时它们有 三个交点 ，此 时 ，方
程ａ ￣ ＝ ｌ ｏ ｇ 解 的有 ３ 个．
ｅ
错解 ：在 同一坐标系中 ，分 别画出函数 ’ ， ＝ （ ａ ＞ １ ）及 ｙ ＝ ｌ ｏ ｇ （ ａ ＞ １ ）的图像 ，如图 １ 所示 ，可见它们没有公共点 ，所
以方程确无实数解 ．
ｚ ：ｙ ＝ ｋ ｘ － １ 与曲线 ｙ ） 没有公共点 ，求 ｋ的最大值．
故命题正确．
解是因为没有充分注意到两 图像 的递增 “ 速度 ” ！要 比较两个 图像的递增 速度 ，确实很难 由图像直观而得 ． 本题 可以先猜想 ，
后用数学归纳法证 明． 本题的正确答案是 当 ｎ ＝ ２ ．４时 ２ ｎ ＝ ｎ ： ，
例１ ． 判断命题 “ 当ａ ＞ ｌ 时 ，关 于 的方程 ａ ￣ ＝ ｌ ｏ ｇ 。 无实
误差 ，或者 “ 无 中生有” 的不 准确 ．有 时可能会 出现一些错 误． 本文就运用数形结合 时容易出现 的失误做个 简单的归类分 析 ，希望 引起你的重视．
１ ． 潦草 作 图而 导 出的 错 误
所 以 ，当 ｎ ＝ ２时
２ ＝ ｎ ．而 且 当 ｎ 是 大 于 ２ 的 自 然
例 ２ ． 比较 ２ ｎ 与 ｎ （ ｎ大于 １的 自然数 ）的大小． 错 解 ：在 同一坐标 系 中分 别画 出 函数 ｙ ＝ ２ ｘ 及ｙ 的图
抽象 的数 学语言转化 为直观 的图形 。可避 免繁杂 的计算 ，获
得 出奇制胜的解法．“ 以形助数 ” 中的 “ 形” ．或 有形或无 形．
剖 析 ：实 际 上 对不同的实数 ａ ．
ｙ ＝ 及 ｙ － ｌ ｏ ｇ 。 的 图
解析：由题意， 方程ｋ ｘ 一 １ 一 １ ＋ 占无解 ， 显然ｘ ＝ Ｏ 不是方程
ｙ ● ‘ ， ／ ／ ／ ： ｘ
—
ｅ。
的解 ， 故分离参数后 的方程 ＝ １ ＋ — １无解． 令ｇ （ ） ＝ １ ＋ — １ （ ｘ ＃Ｏ ） ， 则 （ ） ＝ 二 ， 所 以ｇ （ ） 在（ 一 ∞， 一 １ ） 上单 调递增 ， 在（ 一 １ ， ０ ） 和 （ ０ ， ＋ ） 上单调 递减 ， 在 一１ 处取到极大值 （ 一 １ ） ＝ ｌ 一 ． ｅ ． 又 当扩＋ ｏ 时， ｇ （ ） 一＋ ； 当 一０ 一 时， ｇ （ ） 一一 。 。 ； 当 ＿ ÷ ＋ ∞时 ， ｇ （ ） ＿ ＋ １ ； 当
ｌ Ｚ － ５时 ．２ ｎ ） ｒ ｔ ２ ． 错
图２
的只是函数图像的一小部分 ．而不是全部． 常言到 “ 知人知面 不知心” ，同样 的，我们 从函数 图像 的部分而 知道它 的全部 ， 在没画 出来 的部 分图像是 怎么样 的呢？我们只有根 据函数 图
像 的延伸趋势 以及伸展 “ 速度”来判 断了．
包括两个方面 ：第一种情形是 “ 以数解形 ” ，而第二种情形是 “ 以形 助数 ”．“ 以数解形 ”就是有些图形太过 于简单 ，直接观
事 实上 ，我们 还可 以通 过几何画板 的演示 （ 参 数 ａ可 动 态 控制 ） ，在 同一坐标 系中作出 函数 ） ， ＝ 和 函数 ｙ ＝ ｌ ｏ ｇ （ ｎ ＞
数 学有 数
用数 形结合思想 方法解题 时的常见错误分析
■童 其 林
作为一种 数学思想方 法 ，数形 结合 的应 用大致又可分 为
解． 上面的错解就是潦 草作图 ，而 画出了个 有误 差的 图形 ，并 且 想当然地根据 图形而不 去注意 函数 图像 的延伸趋 势而造成
的．
两种情形 ：或者借助 于数 的精确性 来 阐明形 的某些属性 ，或 者借 助形 的几何直观性来 阐明数 之间某种关 系 ，即数形 结合
线 ，所 以 ） 的大致 图像如图 ３ ． 由题意知 ，直线 ｙ ＝ ｋ与函数 ｇ
（ ）的 图像 无交 点 ，
观察 图像 易知 ．ｋ∈
１ ｙ ＝ ｇ （ ｘ ）
、 ＝ ＝ 、 、 ． ：１
ｙ
＼ ‘ ＼
．
数时 ．２ ｎ ｚ ．
｜ ｝ Ｉ
０
剖 析 ： 事 实
上 ．当 ｎ ＝４时 ．
在 同一坐标 系中作几个 函数的 图像来 比较时 ，我们一定 要 注意函数图像的延伸趋势 以及 伸展 “ 速度 ”． 因为我们 画出
２ 与／ ７ ， ，也相 等 ：
像 ，如 图 ２所示 ，由图可 知 ，两个 图像 有一个公共 点． 当ｘ ＝ ２
时 ．２ ｘ ＝ ｘ ．当 ＞
２时 有 ２ Ｘ ＜ ｘ 成立 ．
若有形 ，则可 为图表与模型 ，若无 形 ，则可另行构造 或联 想． 因此 “ 以形辅数 ”的途径大体 有三种 ：一是运用 图形 ：二是 构造 图形 ：三是借助于代数式 的几 何意义． 但 由于构造图形 的
数 解 ”是 否 正 确 ？
当ｎ ＝ ３时 ，２ ｎ ＜ ｎ ，当 １ ７ ， 是大于 ４的 自然数时 ，２ ｎ ＞ ｎ ，证 明略．
例３ ．（ ２ ０ １ ３年高考 ・ 福 建卷 ，文 ２ ２题改编 ） 已知 函数 厂 （ ） ＝ ｌ ＋ ＿ ａ －（ ｏ ∈Ｒ，ｅ 为 自然对数 的底数 ）． 当ａ ＝ ｌ 时 ，若直线