机器人避障路径问题 数学建模

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员(打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期： 2012 年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

机器人避障问题

摘要

本文研究了机器人避障最短路径及最短时间的问题。主要解决在一个区域中存在12个不同形状障碍物，机器人由出发点到达目标点、由出发点经过途中的若干目标点到达原点以及到某目标点最短时间路径的三种情形。

首先，我们通过证明具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的自然最短路径（即直线段），另一部分是限定区域的部分边界。这两部分是相切的、互相连接的。我们依据这个结果，可以认为最短路径一定是由线和圆弧组成，因此我们建立了线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。

其次，我们对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了两种方案，一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式，另一种是适当扩大拐点处的转弯半径，使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后，建立了最优化模型对两种方案分别进行求解

接下来，我们利用解析几何、解三角形以及线圆结构，结合题目给出的限定因素进行最优求解，建立起具有可操作性的模型，利用穷列法与层次分析法对机器人避障最短路径和最短时间路径进行筛选。假设机器人从起点O 到到目标点0A ，一定是由圆弧和线段组成，设有m 条线段，n 条圆弧。那么目标函数可以表示为：

1

1

min m

n

i j

i j L d l ===+∑∑

10

10r k ≥⎧⎨≥⎩

使得

用此模型可对起点到目标点之间的路径进行优化求解得出目标函数。 最后，我们对得出的模型进行综合评价，在评价过程中，我们根据题目给出

的条件以及问题的分析，分别对最短路径和最短时间路径进行系统、合理的解答。使得出的结果与模型更加合理，达到全局最优。

问题一，我们将其分解成线圆结构来求解，然后把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，最终用层次分析法得出最短路径：

O A →：471.0312 O B →：853.8869 O C →：1082.3445

O A B C O →→→→：2989.3562

问题二，我们利用物理中时间、速度与路程的关系就可以得出O(0,0)到达某目标点的最短的时间路径：

O A →：471.0312

→

O A

起点坐标终点坐标圆心坐标

线段一0，0 70.52，213.13

弧一70.52,213.13 76.61,219.41 80,210 线段二76.61，219.41 300,300

总路径471.03 总时间96.02

→

O B

线段一0,0 50.18,301.91

弧一50.18,301.91 50.05,305.54 60,300 线段二50.05,305.54 141.68,440.55

弧二141.68,440.55 145.28,443.52 150,435 线段三145.28,443.82 222.09,460

弧三222.09,460 230,470 220,470 线段四230,470 230,530

弧四230,530 225.49,538.45 220,530 线段五225.49,538.45 146.35,590.69

弧五146.35,590.69 144.50,591.65 150,600 线段六144.50,591.65 100,700

总路径853.89 总时间177.71

→

O C

线段一0,0 412.22,90.25

弧一412.22,90.25 419.79,97.97 410,100 线段二412.79,97.97 725.94,511,95

弧二725.94,511.95 730,520 720,520 线段三730,520 730,600

弧三730,600 737.72,606.59 720,600 线段四737.72,606.59 700,640

总路径1082.24 总时间219.55

→→→→

O A B C O

线段一0,0 70.52,213.13

弧一70.52,213.13 76.61,219.41 80,210 线段二76.61,219.41 290.59,296.61

弧二290.59,296.61 309.41,296.63 290.41,296.58 线段三309.41,296.63 232.43,536.21

弧三232.43,536.21 225.50,538.36 220,530 线段四225.50,538.36 146.35,590.70

弧四146.35,590.70 144.50,591.65 150,600 线段五144.50,591.65 96.10,690.80

弧五96.10,690.80 109.07,703.91 102.51,696.51 线段六109.07,703.91 360.00,670.02

弧六360,670.02 370,670 370,680 线段七370,670 430,670

弧七430,670 435.52,670.03 430,680 线段八435.52,670.03 534.48,740.00