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托勒密定理

【定理内容】

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形 ABCD 内接于圆，

则有 AB CD AD BC AC BD.

A

D

B

C

[ 评 ] 等价叙述：四边形的两组对边之积的和等于两对角线之积的充要条件是四顶点共圆。

【证法欣赏】

证明：如图，过 C 作CP 交 BD 于P ，使

1 2,

∵ 34, ∴ ACD ∽ BCP, ∴

AC

AD

，即AC BP BC AD ①

BC BP

又 ACB DCP ， 5 6，∴ ACB ∽ DCP ,

∴

AC

AB

，即AC DP AB DC ②

DC

DP

∴①＋②得： AC ( BP DP) BC AD

AB DC

即AB CD AD BC AC BD

【定理推广】

托勒密定理的 推广：

在四边形 ABCD 中，有 AB CD AD BC 内接于圆时，等式成立。

[ 证 ] 在四边形 ABCD 内取点 E ，使 BAE

则 ABE ∽ ACD

∴

AB BE AE ， AC

CD AD ∴ AB CD AC BE ；

∵ AB

AE

，且 BACEAD

AC AD

AC BD ；当且仅当四边形 ABCD

CAD ， ABE

ACD

A

D

E

∴

ABC ∽ AED

∴ BC

ED

，即 AD BC

AC ED ；

AC AD

∴AB CD AD BC AC

(BE ED )

∴ AB CD AD BC AC BD

当且仅当 E 在 BD 上时“ =”成立，

即 当且仅当 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆时成立；

【定理推广】

托勒密定理的 推论：

等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积．

即：若四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AD // BC ，

则 AC 2 AB 2

AD BC .

分析：因为等腰梯形必内接于圆， 符合托勒密定理的条件， 其对角线相

等，两腰相等，结论显然成立。 【定理应用】

【例 1】 如图， P 是正

ABC 外接圆的劣弧 BC 上任一点 (不与 B 、 C 重合 )，

求证： PA PB

PC ．

A

证明：由托勒密定理得：

PA BC

PB AC PC AB

∵ AB BC CA

∴PA

PB PC.

B

C

P

[ 注 ] 此例证法甚多，如“截长”、“补短”等，详情参看《初中数学一题多解欣赏》 ．

【定理应用】

【例 2】 证明“勾股定理”：

已知：在 Rt ABC 中，

B 90 ，

求证： AC 2 AB 2 BC 2。

证明：如图，以 Rt ABC 的斜边 AC 为对角

线作矩形 ABCD ，则 ABCD 是圆内接四边形．

由托勒密定理，得

ACBD ABCD ADBC①

∵ ABCD 是矩形，

∴ AB CD，AD BC，AC BD②

把②代人①，得：AC 2AB 2BC 2．

【定理应用】

【例 3】如图，在ABC 中， A 的平分线交外接圆于 D ，连结 BD ，求证： AD BC BD (AB AC)．

证明：连结 CD ，由托勒密定理，得

AD BC AB CD AC BD．

∵BAD CAD ，∴ BD CD ．

故 AD BC BD(AB AC)．

【定理应用】

【例 4】若a、 b 、x、 y 是实数，且a2b21， x2y21．

求证： ax by 1．

证明：如图，作直径AB 1的圆，在 AB 两侧任作 Rt ACB 和 Rt ADB ，

使 AC a ， BC b ， BD x ，AD y ．

由勾股定理知 a 、b、 x 、y是满足题设条件的．

据托勒密定理，有AC BD AD BC AB CD ．

∵CD AB 1，

∴ AC BD AD BC AB CD 1 ，即ax by 1．【定理应用】

【例 5】已知a、 b 、c是ABC 的三边，且a2b(b c) ，

求证： A 2 B．

证明：∵ a 2b(b c) ，∴a a b b b c ，

由托勒密定理，构造圆内接四边形。

如图 ，作 ABC 的外接圆，以 A 为圆心， BC 为半径作弧交圆于 D ，

连结 BD 、 CD 、 AD ．

∵ AD BC ，∴ ABD

BAC ，则 1 2，

∴ BD AC b

由托勒密定理得： BC AD

AB CD

BD AC

即 a a c DC

b b ①

又∵ a 2 b(b c) ，∴ a a b b b c ， ②

比较①②得 CD BD

b ，则 3

1

2 ，

∴ BAC

2 ABC

【定理应用】

【例 6】 在 ABC 中，已知 A:

B :

C 1:2:4，求证：

1

1

1 .

AB AC BC

证明：如图，作 ABC 的外接圆，作弦 BD

BC ，连结 AD 、CD ．

∵ A: B: C 1:2:4，

∴ CAD

CBA CDA ， ABD ADB 3 CAB

∴ AB AD ，CD

AC ，

在圆内接四边形 ADBC 中，由托勒密定理，得：

AC BD BC AD AB CD ∴AC BC BC AB

AB AC ，

则

1

1 1 .

AB

AC

BC

【定理应用】

【例 7】 由 ABC 外接圆的弧 BC 上一点 P 分别向边 BC 、AC 与 AB 作垂线 PK 、 PL 和 PN ，求证：

BC

AC AB .

PK

PL

PM

证：连接 PA 、PB 、 PC ，

四边形 ABPC ，由托勒密定理得：

BC AP

AC BP AB CP

即 BC

AP PK

AC BP PL AB

CPPM ①

PK

PL

PM

∵ KBP

LAP ，

∴ Rt KBP ∽ Rt LAP