工程光学 章节2 球面系统

3. 光路计算是根据给定的光学系统，由物求像或由像 求物的过程。 4. 光路计算是根据几何光学的基本定律利用成像光路 图建立起的物象计算式。
光线经球面折射时的光路计算
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须 计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。
第一种情况
求光束经过两次成像后的会聚，图 已知系统 r1 R r2 R n1 1 n2 1.5 n3 1
•第一次成像
n1 1
n'1 1.5
r R
l1
1.5 1 1 .5 1 l '1 R
l1 '求得
A′ -Y′ B′
规则： 以球面的顶点为原点 2-1 沿轴量向右取正，向左取负 垂轴量向上取正，向下取负
单个球面的折射光路
B Y
A -U -L n E I
h I′ O C U′ r L′
n′
A′ -Y′ B′
2-1
角度的符号
• 角度量：U、U′、I、 I ′、φ
规则： 角度正切值为正时该角度为正，反 之为负
第二章 共轴球面光学系统
第一节 光路计算
• • • • 一、概述 二、符号规则 三、单个球面的成像计算 四、共轴球面的成像计算
一、概述
1. 绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如 果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系 统为共轴光学系统，该直线为光轴。
2. 非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的 像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨 论主要是由球面和平面组成的光学系统。
• 实际光线的光路计算
严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类 光线称为实际光线
• 近轴光线的光路计算
实际光线离光轴很近时采用的近似计算，这类 光线称为近轴光线
结束
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物点经单个球面的光路计算
• 已知r，已知L、U，求L ′ 、U ′
( L r ) sin I / sin( U ) r h sin I r
表明物体成放大像则像方光束变细
拉赫不变量


, ,

,
nuy n u y J
在近轴区域成像时像方和物方参数乘积的一个不 变式。像高的增大必然伴随着像方孔径角的减小。 增大视场牺牲孔径为代价。
例题
• 一折射球面，半径为r =20㎜，两边 的折射率 n=1 ， n′=1.5163 ，当物距 l= －60㎜时，求像距的位置l′。 • 解：利用式（2-14）得
l3 ' 5R / 2 2.5R
例题：有一个共轴球面系统为一胶合透镜组，已知物体 距透镜组240mm，物高20mm，求像的位置和大小。
本章作业
• P23 2-1, 2-3, 2-7
1 1 2 l2 ' R R
l2 R
R l2 ' 3
• 第三次成像，光线从右到左，为了与符 号规则一致，可将系统翻转180°来计算
l3 5R 3 n3 1.5 n3 ' 1
r3 R
1 1.5 1 1.5 l 3 ' 5R / 3 R
1.5163 1 1.5163 1 l' 60 20
• 解上式得l′=165.75㎜。
结束
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单个反射球面的成像
n, n
1 1 2 , l l r
y, l, y l
根据焦距的定义，反射 球面镜的焦距为
dl, l ,2 2 dl l
u, 1 u
l 2 l1 'd1 , l3 l2 'd 2 ,
球面系统的放大率
1 2 3
1 2 3
1 2 3

例题
有一个玻璃球，直径为2R，折射率为1.5。 一束近轴平行光入射，将会聚于何处？若后 半球镀银成反射面，光束又将会聚于何处？
B Y
A -U -L n
n′ h I′ O C U′ r L′
I E
A′ -Y′ B′
2-1
线量的符号
• 光线传播由左向右，以折（反）射面顶 B 点 为原点（起点）: n I E n′ h I′ Y • 沿轴线量：L、L′、r O C U′ -U A r L′ -L • 垂轴线量：Y、Y′、h
,
单个球面的近轴放大率
• 垂轴放大率（横向放大率） • 轴向放大率（纵向放大率） • 角放大率
垂轴放大率
• 定义：
y' y
B Y
A -U -L n I E h I′ O C U′ r L′
n′
• 计算：
nl ' n' l
A′ -Y′ B′
2-1
• 分析：物像同侧，成正像，大于0 物像异侧，成倒像，小于0 大于1 放大像，小于1缩小像
lr i u r
n i' i n'
u' u i i'
h i r
i' l ' r (1 ) u'
lu l u h
, ,
三个主要的近轴计算式
1 1 1 1 n' ( ) n( ) Q 阿贝不变量 r l' r l 物像方参数计算的不变形式
h n' u 'nu (n'n) r
轴向放大率
• 定义：
dl ' dl
nl'2 2 n' l
• 计算：
n' 2 n
• 分析：永远取正值，物像同向移动
立体物体将产生变形（体视显微镜）
角放大率
u' • 定义： u
l • 计算： l'
n 1 n'
• 分析：垂轴放大率与角放大率互为倒数，
n' n n' n l' l r
物、像孔径角之间的关系
物、像位置之间的关系
n, n n, n , l l r n, n －－ 光焦度 r
n n n n , l r
, ,
n, n n, n l r
f , n, f n
n n , f f
共轴球面系统（如何计算？）
计算方法
一个包含有k个面的球面系统 • 已知：r1、r2、…、rk， n1、n2、…nk+1， d1、d2、…、dk-1， • 已知：l1、u1、y1 • 求： l k′、u k′、yk′
计算步骤
• 对第一面作单个球面成像计算
l1、u1、y1 →l1′、u1′、y1′ • 过渡 l1′、u1′、y1′ → l2、u2、y2 l2、u2、y2 → l2′、u2′、y2′
结束
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符号规则的意义
为什么要规定正负号？ 如果r=100，则可能是 也可能是 所以应该规定正负号
• 描述物、像的位置、虚实 • 描述物与像的正倒关系
符号在图中的标注
• 保持几何量永远取正值
• 在取负值的参量前再增加一个负号，使 得负负得正
结束
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三、单个球面的成像计算
• 光路计算 已知光线从何处来，经光学系统后到何处去？ （成像规律）——折射定律、反射定律的应用。
r f f 2
,
例题：凹面镜曲率半径为160mm，一个高度为20mm的物体 放在反射镜前100mm处，求像距，像高和垂轴放大率。
解：由题意已知，r＝-160mm，l＝100mm，y＝20mm，
1 1 2 , l 100 160
l , 400mm
y, l, 400 4 y l 100
sin I ' n sin I n'
n n′
-U
-L
L’
2-2
I
E h r I′ C D
U' U I I'
sin I ' L' r(1 ) sinU '
U′
A′
O
近轴光线计算
• 当物体靠近光轴且成像的光束很细时，所有的 角度都可以近似 sin
• 此时实际成像的光路计算用近轴公式来计算
n2 n1 ' 1.5
n2 ' 1 l2 l '1 d 3R 2 R R
1 1.5 1 1.5 l2 ' R R
l2 ' R 2
虚物成实像
第二种情况
光束经三次成像后会聚 ，图 • 第一次成像同前，
l1 ' 3R
• 第二次被反射面成像，
r2 R
• 对第二面作单个球面成像计算
• 过渡 l2′、u2′、y2′ → l3、u3、y3 lk、uk、yk→ l k′、u k′、yk′
• 对第k面作单个球面成像计算
过渡公式
n2 n1 ' , n3 n2 ' ,
y2 y1 ' , y3 y2 ' ,
u 2 u1 ' , u3 u 2 ' ,
y y 4 20 80mm
,
因此，垂轴放大率为负值代表倒立成像，像距为负值，表示为反 射镜左侧，成放大实像。
四、共轴球面的成像计算
• 透镜是光学系统的基本元件，透镜 由球面构成。 • 若光学系统中的所有界面均由球面 构成，该光学系统称为球面系统。 • 若所有球面的球心都在同一条直线 上，称为共轴球面系统
计算的目的：光从何处来，经何处到哪里去（由此得出由 物点发出的光线经过系统后能否交到一点完善成像）？
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
我们用两个量来表示一条光线： （1）A到O的距离OA，记作L，称为截距。 （2）光轴到光线的夹角，记作U，称为孔径角。
B
n -U -L I E
光线经过单个折射球面的情况 如图所示。
Y
A
h I′ O C U′ r L′
4
n′
A′ -Y′ B′
二、符号规则
• • • • • 1. 光路的符号 2. 线量的符号 3. 角量的符号 4. 符号规则的意义 5. 符号在光路图中的标注
光路的符号
• 光路方向为光线行进的方向
• 从左到右规定为光路正向
• 其余符号均以光路正向为依据来规定 • 当光线从右到左行进时，所有按左右方 式规定的符号均取反。