三角函数的复数表示及在解决三角问题中的一些应用

三角函数的复数表示及在解决三角问题中的一些应用

摘要】复数表示成三角形式，其乘法与除法、乘方与开方运算相当方便，反之，三角函数也可用复数来解释、表示，三角函数运算问题就可转化为复数的代数运

算问题，因此用复数的方法来解决三角函数问题是一件自然的事情。本文给出常

用的三角函数、三角公式的复数形式，然后探讨其在解决三角问题中的应用。用

复数方法求解三角问题，不失为解决三角问题的一种有效方法、途径。

【关键词】三角函数；复数；复数表示；应用

一、常用三角函数或三角公式的复数表示

为了解决问题的需要，我们可导出下列三角函数的积化和差公式的复数形式。

还可根据需要导出三角函数的和差化积公式，这里不再叙述。

由此可知，三角函数或三角公式均可用复数表示，利用这些关系式可将三角

问题转化为代数问题，然后借助代数知识解决三角问题应是一件顺理成章的事情。事实上，这些关系式在三角函数的求值、化简、恒等变形、解三角方程及反三角

函数问题中都有广泛应用，下面举例说明。

二、复数在三角函数中的应用

（一）在证明三角恒等式中的应用

（二）在求三角函数值中的应用

（三）在解三角方程中的应用

（四）在反三角函数中的应用

三角函数的复数表示在解决三角问题中有极其广泛的应用，而且利用这些表

达式解决三角问题时目标明确，思路清晰，容易掌握；尤其是在证明三角恒等式

时更是如此，可将复杂的三角恒等变换化用较为简单的代数恒等变换代替。因此

在解决三角问题时，若能巧妙的引入复数，利用三角函数的复数表示，那么三角

问题就可化为复数问题，然后应用代数方法来处理，这种转化在许多情况下可起

到化难为易、化繁为简、事半功倍的作用，这为解决三角问题提供了又一新的思

想方法。

参考文献：

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