2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
广东省东莞市高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 18 页 2020-2021学年广东省东莞市高二上学期期末数学试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边c ＝（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．√62．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为c =糖的质量b 克糖水的质量a 克(a ＞b)，向糖水（不饱和）中再加入m 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（ ）A ．b a ＞b+m a+mB ．b a ＜b+m a+mC ．b a ＞b+m aD ．b a ＜b+m a 3．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（ ） A ．y =±12x B ．y =±√2x C ．y ＝±2x D ．y =±√3x4．已知数列{a n }是等差数列，且a 3+a 13＝50，a 6＝19，则a 2＝（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 5．已知a ，b 为实数，则“0＜ab ＜2”是“a ＜2b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（ ）A ．96里B ．48里C ．24里D ．12里 7．已知实数a ＞0，b ＞0，且1a +2b ＝2，则b a 的最大值为（ ）A ．49B ．12C ．23D ．√228．已知双曲线C ：x 216−y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 上一点，直线l分别与以F 1为圆心、F 1P 为半径的圆和以F 2为圆心、F 2P 为半径的圆相切于点A ，B ，则|AB |＝（ ）A ．2√7B ．6C ．8D ．10第 2 页 共 18 页二．多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9．四边形ABCD 内接于圆O ，AB ＝CD ＝5，AD ＝3，∠BCD ＝60°，下列结论正确的有（ ）A ．四边形ABCD 为梯形B ．圆O 的直径为7C ．四边形ABCD 的面积为55√34D ．△ABD 的三边长度可以构成一个等差数列10．我们通常称离心率为√5−12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，A 1，A 2，B 1，B 2为顶点，F 1，F 2为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．|A 1F 1|，|F 1F 2|，|F 2A 2|为等比数列B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 211．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（ ）A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则△ABC 为钝角三角形C ．若a ＝5，b ＝10，A =π4，则符合条件的三角形不存在D ．若b cos C +c cos B ＝a sin A ，则△ABC 为直角三角形12．已知数列{a n }的首项为4，且满足2（n +1）a n ﹣na n +1＝0（n ∈N *），则（ ）A ．{an n }为等差数列 B ．{a n }为递增数列C ．{a n }的前n 项和S n =(n −1)⋅2n+1+4。
2019-2020学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷
5．（ 5 分）已知 x， y 满足约束条件
，则 z＝ 2x+y 的最小值为（
）
A ．4
B．2
C． 1
D．
2
6．（ 5 分）设 x∈R，则“ |x﹣ 2|＜ 1”是“ x +x﹣ 6＜ 0”的（
）
A ．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．（ 5 分）若椭圆
内的动点， 且 AP⊥ BD 1，记 AP 与平面 BCC1B1 所成的角为 θ，则 tanθ的最大值为 （ ）
A．
B．
C． 2
D．
二、填空题（每题 5 分，满分 40 分，将答案填在答题纸上）
13．（ 5 分）在△ ABC 中，如果（ a+c）（ a﹣c）＝ b（b﹣ c），则角 A 等于
．
14．（ 5 分）已知 x＜ 0，则
）
A ．第 2 天
B ．第 3 天
C．第 4 天
D．第 5 天
9．（ 5 分）已知 P 为抛物线 y 2＝ 4x 上的任意一点， F 为抛物线的焦点，点 B 坐标为（ 3，2），
则 |PB|+|PF |的最小值为（
）
A ．4
B．3
C．
D．
10．（ 5 分）经过点 P（1， 1）作直线 l 交椭圆
于 M ， N 两点，且 P 为 MN 的中
2019-2020 学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 .
1．（ 5 分）命题“
?
x∈[2
广东省惠州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试数学试题含解析
一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1.若复数 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
分析〗
化简得到 ，再计算共轭复数得到答案.
10.若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
∵f（x）=ex（sinx+acosx）在 上单调递增，
∴f′（x）=ex〖（1-a）sinx+（1+a）cosx〗≥0在 上恒成立，
∵ex＞0在 上恒成立，
∴（1-a）sinx+（1+a）cosx≥0在 上恒成立，
其中恰有2只做过测试的取法有： ， ， ， ， ， ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为
故选：
〖点 睛〗本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.
6.在正方体 中，点E为上底面A1C1的中心，若 ，则x，y的
值是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
〖答 案〗A
〖解 析〗
试题分析：根据题意，结合正方体的性质，可知 ,所以有 ， ，故选A．
在直角 中， ， ，
即 ，所以 得 ，又 ，所以
故选：
〖点 睛〗本题考查了双曲线的离心率的取值范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定 是解题的关键.
8.已知直三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗C
〖解 析〗
广东省高二上学期期末数学试卷
第 1 页 共 10 页2019-2020学年广东省高二上期末数学试卷解析版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ）A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥0 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0．故选：C ．2．（5分）双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ） A ．10B ．20C ．2√7D ．4√7 【解答】解：双曲线x 264−y 236=1中a ＝8，b ＝6， ∴c =√a 2+b 2=10，∴2c ＝20．故选：B ．3．（5分）在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ）A ．2B ．6C ．8D ．14【解答】解：因为a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2，所以a 2＝3a 1+2＝2，则a 3＝3a 2+2＝8． 故选：C ．4．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ）A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√6 【解答】解：利用正弦定理：因为a sinA =b sinB ，所以b =asinB sinA =√6×√2212=2√3． 故选：A ．5．（5分）已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）。
2023-2024学年广东省部分名校高二上学期期末教学质量检测数学试题+答案解析
FY2023-2024学年广东省部分名校高二上学期期末教学质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为双曲线的一条渐近线，则()A. B.1 C. D.272.在等差数列中，若，则()A.4B.6C.8D.33.圆C：和圆D：的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.外离4.在数列中，若，则下列数不是中的项的是()A. B.C.3D.5.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则()A. B. C. D.或6.如图1，抛物面天线是指由抛物面抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面反射器和位于焦点上的照射器馈源，通常采用喇叭天线组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则F到该抛物线顶点的距离为()A.2B.3C.4D.67.在三棱锥SABC中，，，且，若M满足，则M到AB的距离为()A. B. C. D.8.已知双曲线的左､右焦点分别为过的直线交双曲线C右支于两点，且，则C的离心率为()A.2B.3C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列直线与直线平行，且与它的距离为的是()A. B. C. D.10.已知直线，双曲线，则()A.当时，l与C只有一个交点B.当时，l与C只有一个交点C.当时，l与C的左支有两个交点D.当时，l与C的左支有两个交点11.已知数列为等比数列，设的前n项和为，的前n项积为，若，则()A. B.为等比数列C. D.当时，取得最小值12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角其中M对应钟上数字对应钟上数字设MN的中点为，若长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的分针OB指向了钟上数字现在小王准备安装长度为3的秒针安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细，则下列说法正确的是()A.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则B.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则平面OBCC.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则BC与AM所成角的余弦值为D.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC的外接球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳市红岭中学2019-2020学年高二数学上学期第二学段期末考试数学试题含解析
12.设函数 .若存在唯一的整数 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
分析：函数 .若存在唯一的整数 ，使得 ，
A. B. 16C. 32D.
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
写出直线方程，联立抛物线方程消元，可根据弦长公式求出弦长.
〖详 解〗由题意知 ，AB所在直线方程为 ，联立 消元得 ，设 ，则 ，所以 ，故选C.
〖点 睛〗本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题.
10.已知定义在 上 函数 的导函数为 ，对任意 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
7.设点P是曲线y＝x3－ x＋9上的任意一点，曲线在P点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )
A. B. C. D.
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
对函数求导得到y′＝3x2－ ≥－ ，即tanα≥－ ，结合正切函数的性质得到α∈〖0， )∪〖 ，π).
〖详 解〗因为y′＝3x2－ ≥－ ，所以tanα≥－ ，又α∈ ，所以α∈〖0， )∪〖 ，π)．
且 ．利用此推论可直接证明一定共面．
〖详 解〗因为 = ，且 ，所以 四点共面.
〖点 睛〗四点共面问题，在空间向量中经常涉及，要熟练掌握共面向量定理．
5.如图，将边长为 的正方形 沿对角线 折起，使得 ，则三棱锥 的体积为( )
A. B. C. D.
〖答 案〗A
1中，连接 与 相交于点 ， ，可得 ．图2中， 是等边三角形， 平面 ，利用三棱锥 的体积 ，即可得出．
点睛：本题主要考查递推数列求通项进而求新构造数列前 项和得问题，由于题目是选择题，可以考虑用特殊值法来解决，令 ，前 项的和即 ，将 代入四个选项，仅有一个答案符合，由此判断出正确选项.在小题中，做题要小题小坐，用特殊值或者特例来解决，有时候可以节约大量事件.
2020年广东省东莞市大岭山中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2020年广东省东莞市大岭山中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 空间任意四个点A、B、C、D，则等于( ）A．B．C．D．参考答案：C略2. 已知点在直线上运动，则的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：A3. 设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且，,则的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：A4. 已知某双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（）参考答案：C略5. 过点P（4，－1）且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是（）A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0参考答案：A略6. 已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程必过点A．(2,2) B．(1,2) C．(1.5,0) D．(1.5,5)参考答案：D7. 已知，则函数的最小值为（）A. 4B. 5C. 2 D .3参考答案：B略8. 甲、乙、丙三位同学用计算机联网学习数学，甲及格率为，乙及格率为，丙及格率为，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为（）A、 B、 C、 D、参考答案：D9. 已知等比数列中，是方程的两个根，则等于A. 1或B.C. 1D. 2参考答案：C10. 设是可导函数，且（）A．B．－1 C．0 D．－2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，则；参考答案：12. 不等式4x＞的解集为．参考答案：{x|﹣1＜x＜3}．根据指数函数的性质得到一元二次不等式，解出即可．解：∵4x＞2，∴2x＞x2﹣3，即x2﹣2x﹣3＜0，解得：﹣1＜x＜3，故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．13. 在平面几何中，有射影定理：“在中,, 点在边上的射影为,有．”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面，点在底面上的射影为,则有___ 参考答案：14. 已知随机变量X服从正态分布N（2，），若P（x<3.5）=0.8,则P（x<0.5）= 。
2023-2024学年广东省广州市越秀区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列直线中，倾斜角小于45°的直线是（ ） A ．4x ﹣y +5＝0B ．x +4y ﹣5＝0C ．x ＝4D ．y ＝52．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)，则a 5＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=（ ）A ．13AB →−23AC →+12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→4．若椭圆x 2a 2+y 29=1(a ＞0)与双曲线x 215−y 2=1的焦点相同，则a 的值为（ ）A ．25B ．16C ．5D ．45．已知空间三点A （3，2，0），B （6，1，﹣2），C （5，﹣1，1），则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为（ ） A ．72B ．7C ．7√32D ．7√36．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数R 0＝2，平均感染周期为3天，那么感染人数由1个初始感染者增加到99人大约需要（初始感染者传染R 0个人为第一轮传染，这R 0个人每人再传染R 0个人为第二轮传染…）（参考数据：lg 2≈0.3010）（ ） A ．6天B ．15天C ．18天D ．21天7．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点E ．已知|AF |＝5，|BF |＝3，若△AEF 的面积是△BEF 面积的2倍，则抛物线C 的方程为（ ）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x8．高8m和4m的两根旗杆笔直地竖立在水平地面上，且相距6m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知双曲线C的方程为y216−x29=1，则（）A．双曲线C的焦点坐标为（0，5），（0，﹣5）B．双曲线C的渐近线方程为y=±34xC．双曲线C的离心率为5 4D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为110．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R），则（）A．直线l恒过定点（3，1）B．直线l被圆C截得的最长弦长为10C．当m＝2时，直线l被圆C截得的弦长最短D．当m＝0时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于411．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N∗，S n≥S3，则a6a5的取值可能是（）A．12B．32C．53D．9412．已知正四面体ABCD的棱长为2，点M，N分别为△ABC与△ABD的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（）A．直线MN与BD所成角的大小为60°B．点A到直线MN的距离为√11 3C．直线MN与平面ACD间的距离为2√2 3D．若BP⊥平面ACD，则三棱锥P﹣ACD外接球的表面积为27π2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a n+2＝3a n+1+4a n，则{a n}的公比为．14．已知直线x+3y+6＝0与2x+my﹣3＝0互相平行，则这两条直线间的距离是．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水面下降0.5米后，水面宽米．16．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1上的动点，且PC1∥平面AEF，则点P的轨迹长为，点P到直线AF的距离的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n}的前n项和公式为S n=2n−1(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝log2a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若经过点（1，4）的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．19．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且AC1=2√3，如图2．（1）求证：平面ABC1⊥平面AC1D；（2）求平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A，B两点，点P在直线l上且BP∥x轴，求证：直线AP经过原点O．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF＝DE，BF∥DE，M是AE的中点．（1）求证：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，点P为线段CE上一点，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为Q(1，−12)，若椭圆C 上存在点M ，满足2OA →+3OB →=4OM →，求椭圆C 的方程．2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列直线中，倾斜角小于45°的直线是（ ） A ．4x ﹣y +5＝0B ．x +4y ﹣5＝0C ．x ＝4D ．y ＝5解：当直线倾斜角小于45°时，它的斜率小于tan45°＝1，且大于等于0． 由此判断：A 项的直线4x ﹣y +5＝0，斜率k ＝4，不符合题意； B 项的直线x +4y ﹣5＝0，斜率为−14，不符合题意；C 项的直线x ＝4，倾斜角为90°，不符合题意；D 项的直线y ＝5，斜率k ＝0，符合题意． 故选：D ．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)，则a 5＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16解：数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)， ∴a n+1a n+2a n a n+1=2n+12n=2=a n+2a n， ∴数列{a n }的奇数项成等比数列，公比为2， 则a 5＝1×22＝4， 故选：B ．3．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=（ ）A ．13AB →−23AC →+12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→解：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=GE →+EC →+CF →=13AE →+12BC →+12AA 1→ =16AB →+16AC →+12AC →−12AB →+12AA 1→=−13AB →+23AC →+12AA 1→．故选：D ．4．若椭圆x 2a 2+y 29=1(a ＞0)与双曲线x 215−y 2=1的焦点相同，则a 的值为（ ） A ．25B ．16C ．5D ．4解：根据题意可得a 2﹣9＝15+1，又a ＞0，解得a ＝5． 故选：C ．5．已知空间三点A （3，2，0），B （6，1，﹣2），C （5，﹣1，1），则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为（ ） A ．72B ．7C ．7√32D ．7√3解：∵A （3，2，0），B （6，1，﹣2，），C （5，﹣1，1）， ∴AB →=（3，﹣1，﹣2），AC →=（2，﹣3，1）， ∴|AB →|=√(3)2+(−1)2+(−2)2=√14， |AC →|=√22+(−3)2+12=√14， 设AB →与AC →的夹角为θ，则cos θ=AB →⋅AC →|AB →||AC →|=−2+3+614×14=12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ=π3，即AB →与AC →的夹角为π3，即∠BAC =π3，∴△ABC 的面积S =12|AB →|⋅|AC →|⋅sin∠BAC =12×√14×√14×√32=7√32，故平行四边形的面积为7√3． 故选：D ．6．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数R0＝2，平均感染周期为3天，那么感染人数由1个初始感染者增加到99人大约需要（初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染…）（参考数据：lg2≈0.3010）（）A．6天B．15天C．18天D．21天解：设第n轮感染的人数为a n，则数列{a n}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，由1+S n=2×(1−2n)1−2+1=99，解得：2n＝50，两边取对数得：nlg2＝lg50，则nlg2=lg 1002，∴nlg2＝2﹣lg2，∴n=2−lg2lg2≈2−0.30100.3010≈5.64≈6，故需要的天数约为6×3＝18天．故选：C．7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|＝5，|BF|＝3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x解：如图，过A，B分别y轴的垂线，垂足分别为C，D，设△AEF，△BEF的面积分别为S1，S2，且S1＝2S2，所以|AE|：|BE|＝2：1，∴|AC||BD|=5−p23−p2=2，解得p＝2．则抛物线C的方程为y2＝4x．故选：B．8．高8m和4m的两根旗杆笔直地竖立在水平地面上，且相距6m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：这是空间背景下的平面动点轨迹问题，如图，AB ＝8，CD ＝4，BD ＝6，由∠APB ＝∠CPD ，得PB AB=PD CD，即PB ＝2PD ．设P （x ，y ），由PB ＝2PD 得√x 2+y 2=2√x 2+(y −6)2，方程化简后为：x 2+y 2﹣16y +48＝0，即x 2+（y ﹣8）2＝16， 即所求轨迹是以（0，8）为圆心，半径为4的圆． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知双曲线C 的方程为y 216−x 29=1，则（ ）A ．双曲线C 的焦点坐标为（0，5），（0，﹣5）B ．双曲线C 的渐近线方程为y =±34xC ．双曲线C 的离心率为54D ．双曲线C 上的点到焦点的距离的最小值为1 解：∵双曲线C 的方程为y 216−x 29=1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝5，且焦点在y 轴上，∴双曲线C 的焦点坐标为（0，±5），∴A 选项正确； ∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±43x ，∴B 选项错误；∴双曲线C 的离心率为c a =54，∴C 选项正确；∴双曲线C 上的点到焦点的距离的最小值为c ﹣a ＝1，∴D 选项正确． 故选：ACD ．10．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0（m ∈R ），则（ ）A．直线l恒过定点（3，1）B．直线l被圆C截得的最长弦长为10C．当m＝2时，直线l被圆C截得的弦长最短D．当m＝0时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于4解：直线l的方程（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，整理得（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）＝0．该方程对于任意实数m∈R成立，于是有{2x+y−7=0x+y−4=0，解得x＝3，y＝1，所以直线l恒过定点D（3，1）．所以A正确；圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，圆心C（1，2），半径为5，因为直线l恒经过圆C内的定点D，所以当直线经过圆心C时被截得的弦最长，它是圆的直径10；所以B正确．当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短．由C（1，2），D（3，1），可知k CD=−12，所以当直线l被圆C截得的弦最短时，直线l的斜率为2，于是有−2m+1m+1=2，解得m=−34．所以C不正确．当m＝0时，直线l：x+y﹣4＝0，圆心到直线的距离d=|1+2−4|√2=√22，圆的半径为5，所以圆C上恰有4个点到直线l的距离等于4．所以D不正确．故选：AB．11．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N∗，S n≥S3，则a6a5的取值可能是（）A．12B．32C．53D．94解：∵∀n∈N*，S n≥S3，∴{a1＜0d＜0，且{a3≤0a4≥0，即{a1+2d≤0a1+3d≥0，解得﹣3d≤a1≤﹣2d，若a6a5=12，则a1+5da1+4d=12，解得a1＝﹣6d，不满足条件，舍去，A错误；若a6a5=32，则a1+5da1+4d=32，解得a1＝﹣2d，满足条件，B正确；若a6a5=53，则a1+5da1+4d=53，解得a1=−52d，满足条件，C正确；若a6a5=94，则a1+5da1+4d=94，解得a1=−165d，不满足条件，D错误．故选：BC．12．已知正四面体ABCD 的棱长为2，点M ，N 分别为△ABC 与△ABD 的重心，P 为线段CN 上一点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线MN 与BD 所成角的大小为60°B ．点A 到直线MN 的距离为√113C ．直线MN 与平面ACD 间的距离为2√23D ．若BP ⊥平面ACD ，则三棱锥P ﹣ACD 外接球的表面积为27π2解：将正四面体A ﹣BCD 放入正方体DEBF ﹣GAHC 中，以点D 为原点，以DE ，DF ，DG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图所示：因为正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，所以正方体的棱长为√2，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D （0，0，0），A(√2，0，√2)，B(√2，√2，0)，C(0，√2，√2)， 因为点M ，N 分别为△ABC 和△ABD 的重心， 所以点M 的坐标为(2√23，2√23，2√23)，点N 的坐标为(2√23，√23，√23)， 对于A ，MN →=(0，−√23，−√23)，BD →=(−√2，−√2，0)，所以|cos ＜MN →，BD →＞|=2323×2=12，所以直线MN 与BD 所成角为60°，故A 正确； 对于B ，AM →=(−√23，2√23，−√23)，MN →的单位方向向量为e →=(0，−√22，−√22)，所以点A 到直线MN 的距离d =√AM →2−(AM →⋅e →)2=√113，故B 正确；对于C ，因为MN →=(0，−√23，−√23)， 设平面ACD 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，因为DA →=(√2，0，√2)，DC →=(0，√2，√2)， 所以{√2x +√2z =0√2y +√2z =0，取x ＝1，则n →=（1，1，﹣1），因为MN →⋅n →=0，且直线MN ⊄平面ACD ， 所以直线MN ∥平面ACD ，所以点N 到平面ACD 的距离就是直线MN 到平面ACD 的距离， 则点N 到平面ACD 的距离d =|DN →⋅n →||n →|=2√23√3=2√69， 即直线MN 到平面ACD 的距离为2√69，故C 错误； 对于D ，若BP ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以BP ⊥AC ， 设NP →=λNC →（0≤λ≤1），则NP →=(−2√23λ，2√23λ，2√23λ)， 则DP →=DN →+NP →=（2√23−2√23λ，√23+2√23λ，√23+2√23λ）， BP →=BN →+NP →=(−√23−2√23λ，−2√23+2√23λ，√23+2√23λ)， 所以BP →⋅AC →=(−√23−2√23λ，−2√23+2√23λ，√23+2√23λ)•(−√2，√2，0)=0， 即23+43λ−43+43λ=0，解得λ=14，则DP →=(√22，√22，√22)，设△ACD 的重心为Q ，则Q （√23，√23，2√23）， 所以PQ →=DQ →−DP →=（√23，√23，2√23）−(√22，√22，√22)=(−√26，−√26，√26)，又DA →=(√2，0，√2)，DC →=(0，√2，√2)， 则PQ →⋅DA →=0，PQ →⋅DC →=0， 所以PQ ⊥DA ，PQ ⊥DC ，又DA ∩DC ＝C ，DA ，DC ⊂平面ACD ， 所以PQ ⊥平面ACD ，则三棱锥P ﹣ACD 外接球的球心在直线PQ 上， 又因为点Q 为等边三角形ACD 的重心，所以点Q 为等边三角形ACD 的外心，△ACD 外接圆半径为|DQ →|=√23+23+89=2√33，设三棱锥P ﹣ACD 外接球的半径为R ，则R2＝（R﹣PQ）2+DQ2，即R2=(R−√66)2+43，解得R=3√64，所以三棱锥P﹣ACD外接球的表面积为4πR2=27π2，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a n+2＝3a n+1+4a n，则{a n}的公比为4．解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a n+2＝3a n+1+4a n，∴a n•q2＝3qa n+4a n，化为q2﹣3q﹣4＝0，q＞0，解得q＝4，故答案为：4．14．已知直线x+3y+6＝0与2x+my﹣3＝0互相平行，则这两条直线间的距离是3√104．解：由两条直线平行可得：21=m3=−36，解得m＝6．所以两条直线分别为：2x+6y+12＝0，可得两条直线的距离d=|−3−12|√2+6=3√104．故答案为：3√10 4．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水面下降0.5米后，水面宽22√5米．解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2，∴x2＝﹣2y，代入B（x0，﹣2.5）得x0=√5，故水面宽为2√5m ． 故答案为：2√5．16．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面ADD 1A 1上的动点，且PC 1∥平面AEF ，则点P 的轨迹长为√22 ，点P 到直线AF 的距离的最小值为 √23． 如图，连接BC 1，FD 1，AD 1．由正方体的性质易证四边形ABC 1D 1为矩形，因为点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，所以EF ∥BC 1∥AD 1，且EF =12BC 1=12AD 1，所以平面AEF 截正方体所得截面为梯形AEFD 1， 分别取AA 1，A 1D 1 的中点M ，N ，连接MN ，MB ，C 1N ，易证MB ∥D 1F ，因为MB ⊄平面AEFD 1，D 1F ⊂平面AEFD 1，所以MB ∥平面AEFD 1， 因为MN ∥AD 1，MN ⊄平面AEFD 1，AD 1⊂平面AEFD 1，所以MN ∥平面AEFD 1． 因为MB ∩MN ＝M ，MB ，MN ⊂平面MNC 1B ，所以平面MNC 1B ∥平面AEFD 1． 因为动点P 始终满足PC 1∥平面AEF ，所以PC 1⊂平面MNC 1B ，又点P 在侧面ADD 1A 1上，所以点P 的轨迹是线段MN ，轨迹长为√A 1N 2+A 1M 2=√22；如图，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则M(1，0，12)，N(12，0，1)，A （1，0，0），F(0，1，12)，则MN →=(−12，0，12)，AM →=(0，0，12)，AF →=(−1，1，12)，令MP →=tMN →(0≤t ≤1)，则MP →=(−12t ，0，12t)，因为AP →=AM →+MP →=(−12t ，0，1+t2)，所以AP →⋅AF →=1+3t4，AP →⋅AF→|AF →|=1+3t432=12t +16， 所以点P 到直线AF 的距离d =√|AP →|2−(AP →⋅AF →|AF →|)2=√14t 2+14(t +1)2−(12t +16)2=√14t 2+13t +29，因为函数f(t)=14t 2+13t +29=14(t +23)2+19，其图象的对称轴为直线t =−23，开口向上，在[−23，+∞)上单调递增，所以当t ∈[0，1]时，f(t)min =f(0)=29，所以点P 到直线AF 的距离的最小值为√29=√23．故答案为：√22；√23．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n}的前n项和公式为S n=2n−1(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝log2a2n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2n−1(n∈N∗)，∴当n＝1时，a1=S1=21−1=1，当n⩾2时，S n−1=2n−1−1，a n=S n−S n−1=2n−1，又由n＝1时，2n﹣1＝1，综上可得：a n=2n−1(n∈N∗)；（2）∵b n＝log2a2n＝log222n﹣1＝2n﹣1，∴{b n}是等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若经过点（1，4）的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．解：（1）函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点分别为（1，0），（3，0），（0，3），设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则{1+D+F=09+3D+F=09+3E+F=0，解得{D=−4E=−4F=3，故圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0；（2）由（1）可知，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，当直线l的斜率不存在，即x＝1时，y＝0或4，满足直线l被圆C截得的弦长为4，符合题意，当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），即kx﹣y+4﹣k＝0，由题意可知，√k2+1=√(√5)2−(42)2，解得k=−34，即直线l的方程为3x+4y﹣19＝0，综上所述，直线l的方程为x＝1或3x+4y﹣19＝0．19．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且AC1=2√3，如图2．（1）求证：平面ABC1⊥平面AC1D；（2）求平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值．（1）证明：∵△ADC1中，DC1＝AB＝4，AD＝2，AC1=2√3，∴AC12+AD2=DC12=16，可得∠DAC1＝90°，即DA⊥AC1，又∵DA⊥AB，AB、AC1是平面ABC1内的相交直线，∴DA⊥平面ABC1，∵DA⊂平面AC1D，∴平面ABC1⊥平面AC1D；（2）解：过点C1作C1E⊥BD于E，过E作EF⊥BD，交AB于点F，连接C1F，则∠C1EF是二面角C1﹣BD﹣A的平面角，Rt△BC1D中，C1E=C1B⋅C1DBD=2×4√4+2=4√55，BE=BC12BD=42√5=2√55．由Rt△ABD∽Rt△EBF，得EFAD=BEAB，所以EF=AD⋅BEAB=2×2√554=√55．因为C1E⊥BD、EF⊥BD，C1E∩EF＝E，所以BD⊥平面C1EF，可得BD⊥C1F，因为DA⊥平面ABC1，且C1F⊂平面ABC1，所以DA⊥C1F，结合BD、DA是平面ABD内的相交直线，可知C1F⊥平面ABD，所以C1F⊥EF，在Rt△C1EF中，cos∠C1EF=EFEC1=√554√55=14，即平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值等于14．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A，B两点，点P在直线l上且BP∥x轴，求证：直线AP经过原点O．（1）解：因为动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切，所以圆心C到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x＝﹣2的距离相等，所以动圆的圆心C的轨迹是以定点F（2，0）为焦点，以x＝﹣2为准线的抛物线，所以动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x．（2）证明：经过点F的直线l的方程斜率不为0，设AB方程为x＝my+2，代入抛物线方程得y2﹣8my﹣16＝0，若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝﹣16，因为BP∥x轴，且点P在准线x＝﹣2上，所以点P的坐标为（﹣2，y2），即P（﹣2，−16y1），k OA=y1x1=y1y128=8y1，k OP=−16y1−2=8y1，所以k OA＝k OP，所以直线AP经过原点O．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF＝DE，BF∥DE，M是AE的中点．（1）求证：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，点P为线段CE上一点，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大值．（1）证明：如图，连接AC ，交BD 于点N ，则N 为AC 的中点，连接MN ， 因为M 为棱AE 的中点，则MN ∥EC ，又MN ⊄面EFC ，EC ⊂面EFC ， 所以MN ∥平面EFC ， 又BF ∥DE ，BF ＝DE ，所以四边形BDEF 为平行四边形，所以BD ∥EF ，又BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，所以BD ∥平面EFC ，又MN ∩BD ＝N ，MN ，BD ⊂平面BMD ， 所以平面BMD ∥平面EFC ；（2）解：因为ED ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，则分别以DA 、DC 、DE 所在的直线为轴、y 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设ED ＝2a （a ＞0），则B （2，2，0），M （1，0，a ），C （0，2，0），F （2，2，2a ），E （0，0，2a ），A （2，0，0）， 所以BM →=(−1，−2，a)，CF →=(2，0，2a)，因为BM ⊥CF ，则﹣1×2+a ×2a ＝0，a ＝1或a ＝﹣1（舍）， 所以EA →=(2，0，−2)，AF →=(0，2，2)，设平面EAF 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m ⋅→EA →=0m →⋅AF →=0，即{2x −2z =02y +2z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，即m →=(1，−1，1)， 因为点P 为线段CE 上一点，设EP →=λEC →=λ（0，2，﹣2）（0≤λ≤1）， 所以P （0，2λ，2﹣2λ），PM →=(1，−2λ，2λ−1)， 设直线PM 与平面AEF 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜PM →，m →＞|=|PM →⋅m →||PM →|⋅|m →|=4λ√3×√1+4λ2+(2λ−1)2=6√(1λ−1)2+3≤63=2√23， 当且仅当λ＝1时等号成立，故（sin θ）max =2√23． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为Q(1，−12)，若椭圆C 上存在点M ，满足2OA →+3OB →=4OM →，求椭圆C 的方程． 解：（1）因为PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|， 设直线PF 2的方程为x ＝c ，代入椭圆的方程，可得y P2=b 2（1−c 2a 2）=b4a2，可得|y P |=b 2a ，即|PF 2|=b2a ，所以|PF 1|=7b2a，由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|＝2a ， 即b 2a+7b 2a=2a ，可得a 2＝4b 2，即b =12a ，所以c 2＝a 2﹣b 2＝3b 2， 所以离心率e =c a =√3b 2b =√32； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 由（1）得a 2＝4b 2，设C ：x 24b 2+y 2b 2=1，即x 2+4y 2＝4b 2，由于A ，B 在椭圆上，则x 12+4y 12=4b 2，x 22+4y 22=4b 2①，由2OA →+3OB →=4OM →，得{2x 1+3x 2=4x 02y 1+3y 2=4y 0，可得x 0=2x 1+3x 24，y 0=2y 1+3y 24，由M 在椭圆上，则x 02+4y 02=4b 2，即(2x 1+3x 24)2+4(2y 1+3y 24)2=4b 2， 即4(x 12+4y 12)+12(x 1x 2+4y 1y 2)+9(x 22+4y 22)=64b 2②，将①代入②得；x 1x 2+4y 1y 2=b 2③，线段AB 的中点为Q(1，−12)，设AB ：y =k(x −1)−12，可知{y =k(x −1)−12x 2+y 2=4b2， 消去y 整理得（1+4k 2）x 2﹣（8k 2+4k ）x +4k 2+4k ﹣4b 2+1＝0， x 1+x 2=8k 2+4k 1+4k2=2×1⇒k =12，所以x 2﹣2x +2﹣2b 2＝0，其中Δ＞0，解得b 2＞12，所以x 1⋅x 2=2−2b 2，AB 方程为y =12x −1，又y 1y 2=(12x 1−1)(12x 2−1)=14x 1x 2−12(x 1+x 2)+1=1−b22④，将④代入③得：2−2b 2+4⋅1−b 22=b 2⇒b 2=45，经检验满足b 2＞12，所以椭圆C 的方程为5x 216+5y 24=1．。
2023-2024学年广东省惠州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．已知抛物线C 的方程为y ＝4x 2，则其准线方程为（ ） A ．y =−116B ．y =116C ．y ＝﹣1D ．y ＝12．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．已知正项等比数列{a n }满足a 3为2a 2与a 6的等比中项，则a 3+a 5a 1+a 3=（ ） A ．√22B ．12C ．√2D ．24．已知平面α={P|n →⋅P 0P →=0}，其中P 0（1，1，1），法向量n →=(−1，1，2)，则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（2，0，1）B ．（2，0，2）C ．（﹣1，1，0）D ．（0，2，0）5．设A ，B 为两个互斥的事件，且P （A ）＞0，P （B ）＞0，则下列各式错误的是（ ） A ．P （AB ）＝0 B ．P(AB)=[1−P(A)]P(B) C ．p(A ∪B)=1D ．P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）6．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝a n +1﹣a n ，则a 2024＝（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．2D ．17．如图，四面体O ﹣ABC ，G 是底面△ABC 的重心，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．13a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．23a →+23b →+23c →D ．23a →+23b →+13c →8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A 、B 两点，且OB →⋅BF →=0，AB →=2BF →，则该双曲线的离心率为（ ）A．√2B．√3C．2D．√5二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。
2023年广东省深圳市重点中学高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列数列中成等差数列的是2023年广东省深圳市重点中学高二（上）期末数学试卷( )A. B.，，C.D. 2，3，52.已知椭圆，则它的短轴长为( )A. 2 B. 4C. 6D. 83.已知向量是两两垂直的单位向量，且，则( )A. 5B. 1C.D. 74.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的方程是( )A.B. C.D.5.若等比数列，前n 项和，且，为与的等差中项，则( )A. 29B. 30C. 31D. 336.如图，空间四边形OABC 中，，点M 在上，且，点N为BC 中点，则( )A. B. C.D. 7.双曲线C ：的左右焦点分别是，，直线l ：与双曲线C 在第一象限的交点为M ，M 在x 轴上的投影恰好是，则双曲线C 的离心率是( )A.B.C.D.8.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是( )A. 153B. 171C. 190D. 210二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.点P在圆：上，点Q在圆：上，则( )A. 两个圆心所在的直线斜率为B. 两个圆相交弦所在直线的方程为C. 两圆公切线有两条D. 的最小值为010.已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是( )A.直线与直线所成的角为B. 平面C. 点到平面的距离为D. 直线与平面所成角的余弦值为11.数列的前n项和为，，则有( )A. 为等比数列B.C. D. 的前n项和为12.已知曲线C的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线C为曲线．下列方程所表示的曲线中，是曲线的有( )A. B. C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，，则（ ） {}12A x x =-<<{}2log 2B x x =<A B = A ． B ． C ． D ．(,1)-∞(0,1)(0,2)(,2)-∞【答案】C【分析】首先求集合，再求.B A B ⋂【详解】由，解得，则.又∵， 2log 2x <04x <<{}04B x x =<<{}12A x x =-<<∴. (0,2)A B ⋂=故选：C.2．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ） R a ∈(1i)(i)a ++=a A ．0 B ． C ．1D1-【答案】B【分析】利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有，即可得答案. 10a +=【详解】∵复数在复平面内对应的点位于实轴上， (1i)(i)(1)(1)i a a a ++=-++∴，即． 10a +=1a =-故选：B3．若成等差数列；成等比数列，则等于 121,,,4a a 1231,,,,4b b b 122a ab -A ．B ．C ．D ．12-1212±14【答案】A【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可．【详解】若1，a 1，a 2，4成等差数列，4＝1+3d ，d ＝1， ∴a 1﹣a 2＝﹣1．又1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，b 22＝1×4，解得b 2＝2，b 2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）． ∴12212a ab -=-故答案为A ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．153103512【答案】B【分析】由古典概率模型的计算公式求解.【详解】样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为 . 310故选：B.5．已知，则（ ） ππcos 24αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 22cos 21αα+=+A ． B ． C ．D ．547477-【答案】B【分析】利用诱导公式化简已知等式可求得，结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求法可求tan α得结果.【详解】由得：，ππcos 24αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin cos sin sin cos 44ααααα-==-即，，2sin cos αα=1tan 2α∴=222222sin 222sin cos 2sin 2cos sin cos sin cos cos 212cos cos αααααααααααα+++++∴==+.2117tan tan 11244αα=++=++=故选：B.6．已知，为单位向量．若，则（ ）a b a b a b ⋅=+ cos 2,3a b <>=A ．B ．C D1111【答案】A【分析】利用向量的数量积的运算以及夹角公式即可求解.【详解】设，的夹角为，a bθ因为，为单位向量,且，a b=+a b a b ⋅ 所以，22cos =+a b a b ⋅θ 即， 222cos =++2cos a b a b θθ 整理得，2cos 2cos 2=0θ-θ-解得，cos =1θ-因为6cos 23cos<2,3>===1236a b a b a b a b a bθ⋅-故选:A.7．已知抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则24y x =F ()43A ，P P AF PAF △周长取最小值时，线段的长为 PF A ．1 B ． 134C ．5D ．214【答案】B【分析】求△PAF 周长的最小值，即求|PA |+|PF |的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |．因此问题转化为求|PA |+|PD |的最小值，根据平面几何知识，当D 、P 、A 三点共线时|PA |+|PD |最小，由此即可求出P 的坐标，然后求解PF 长度． 【详解】求△PAF 周长的最小值，即求|PA |+|PF |的最小值， 设点P 在准线上的射影为D ， 根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |因此，|PA |+|PF |的最小值，即|PA |+|PD |的最小值根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时|PA |+|PD |最小， 此时P （，3），F （1，0）的长为，94PF 913144+=故选B ．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时|PA |+|PD |最小，是解题的关键．8．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆1F 2F ()222210,0x y a b a b-=>>P在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为2222x y a b +=+Q 1213F P F Q =（ ）A B C D 【答案】A【分析】连接,设由条件可得，可得，由条件有则21,PF QF 1PF n =12PF PF ⊥2222n b an =-，由双曲线的定义可得.在中，， 由余弦定理可23F Q n =123QF a n =+12F F Q △21cos 2nQF F c∠=-得：，可得，可解得，从而可2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠22263b an n =-n a =得答案.【详解】连接，设,设，，由双曲线的定义可得21,PF QF 12PF F θ∠=122FF c =1PF n =22PF a n =+.由条件可得 ，则，即 12PF PF ⊥()22224n a n c ++=2222n b an =-在中， 12F F P A 12cos cos 2nPF F cθ∠==由，则，由双曲线的定义可得.1213F P F Q =23F Q n =123QF a n =+在中， 12F F Q △21cos cos 2n QF F cθ∠=-=-由余弦定理可得：2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠即 ()()22223342322n a n n c n c c+=++⨯⨯⨯所以22263b an n =-结合上面得到的式子：，可得2222n b an =-n a =所以，则 ，即12,3PF a PF a ==()()2232aa a c +=22104a c =所以，即210542e ==e 故选：A【点睛】关键点睛：本题考查求双曲线的离心率问题，解答本题的关键是由条件设由条件1PF n =可得，可得，在中，，由余弦定理可得：12PF PF ⊥2222n b an =-12F F Q △21cos 2nQF F c∠=-，即 ，所2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠()()22223342322na n n c n c c+=++⨯⨯⨯以 ，属于中档题.22263b an n =-二、多选题9．(多选)数列{an }为等差数列，Sn 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则（ ） A ．a 1＝1 B ．d ＝－ 23C ．a 2＋a 12＝10D ．S 10＝40【答案】ACD【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解. 【详解】设数列{an }的公差为d ， 则由已知得S 7＝， 177()2a a +即21＝，解得a 1＝1. 17(5)2a +又a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝. 23所以S 10＝10a 1＋d ＝10＋＝40. 1092⨯109223⨯⨯由{an }为等差数列，知a 2＋a 12＝2a 7＝10. 故选：ACD10．下列函数中，最小值为2的是（ ） A ． B ． 223y x x =++1y x x=+C ．D ．[]4(3,9)1y x x =∈-[)3(1,0)y x x x=-∈-【答案】AD【分析】根据函数的单调性可求出ACD 的最小值，利用基本不等式可判断B 选项. 【详解】对于A, ，所以函数最小值为2，故A 正确； 2223(1)22y x x x =++=++≥对于B ，当时，，当且仅当即时取得等号， 0x >12y x x =+≥1,x x=1x =当时，，因为， 0x <1y x x ⎛⎫=--+ ⎪-⎝⎭12x x -+≥=-所以当且仅当即时取得等号， 12y x x ⎛⎫=--+≤- ⎪-⎝⎭1,x x -=-=1x -所以，故B 错误； (][),22,y ∈-∞-+∞ 对于C ，在单调递减， 41y x =-[]3,9x ∈所以当时函数有最小值为，故C 错误； 9x =41912=-对于D ，在单调递增， 3y x x=-[)1,0x ∈-所以当时函数有最小值为，故D 正确； =1x -3121--=-故选:AD.11．椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题，正确的是22:14x C y +=12,,F F O （ ）A ．过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8；2F C ,A B 1ABF B ．椭圆上不存在点，使得；C P 120PF PF ⋅=C ．椭圆 CD ．为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为4.P 2214x y +=Q 221x y +=,P Q 【答案】AC【分析】根据椭圆方程写出a 、b 、c 及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断A ；根据椭圆的性质及余弦定理求的最大值，进而确定其范围判断B ；直接法求离心率判断C ；根据圆12F PF ∠的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断的距离范围，即可判断D. ,P Q【详解】由题设椭圆参数为，且、，2,1,a b c ==1(F 2F 对A ：由椭圆定义知：，则△的周长为8，A 正确； 1212||||||||24AF AF BF BF a +=+==1ABF对B ：当在y 轴上时，，而P 12||||2PF PF a ===12||2F F c == 此时，且，易知，1244121cos 82F PF +-∠==-()120,πF PF ∠∈122π3F PF ∠=故，则存在点使得， 122π[0,3F PF ∠∈P 12π2F PF ∠=故存在点使得，B 错误； P 120PF PF ⋅=对C ：椭圆的离心率为C 正确； C c e a ==对D ：由椭圆和圆的方程知：它们在y 轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x 轴上的交点为(1,0)±，所以， 0||113PQ OP a ≤≤+≤+=故的最大距离为3，D 错误. ,P Q 故选：AC.12．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，点在1111ABCD A B C D -M N 11A B 11A D P 线段上运动，给出下列四个结论正确的是（ ）CMA ．平面截正方体所得的截面图形是五边形 CMN 111ABCD ABCD -B ．直线到平面11B D CMNC ．存在点，使得P 1190B PD ∠=D ． 1PDD △【答案】ABC【分析】作出截面图形判断A ；利用等积法可判断B ，利用坐标法可判断CD. 【详解】对于A ，如图直线与、的延长线分别交于，，MN 11C B 11C D 1M 1N连接，分别交，于，，连接，，1CM 1CN 1BB 1DD 2M 2N 2MM 2NN则五边形即为所得的截面图形，故A 正确；22MM CN N 对于B ，由题可知，平面，平面， 11//MN B D MN ⊂CMN 11B D ⊂/CMN 所以平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离，11//B D CMN 1B CMN 11B D CMN设点到平面的距离为，由正方体的棱长为2，1B CMN h 1111ABCD A B C D -可得，3CM CN ==MN =12CMN S ==A所以，11133B CMN CMN V S h h -=⋅==A ，111111123323C B MN B MN V S CC -=⋅=⨯⨯=A所以由，可得11--=B CMN C B MN V V h =所以直线到平面B 正确； 11B D CMN 对于C ，如图建立空间直角坐标系，则，0，，，2，，，2，，，0，，1(2B 2)1(0D 2)(2C 0)(1M 2)设，，所以，2，， PC MC λ=01λ≤≤(1PC MC λλ== 2)-又，2，，，0，，，2，，(2C 0)1(2B 2)1(0D 2)所以，，，，，，，，， (2P λ-22λ-2)λ1(PB λ= 22λ-22)λ-1(2PD λ=-2λ22)λ-假设存在点，使得，P 1190B PD ∠=，整理得，∴211(2)2(22)(22)0⋅=-+-+-=PB PD λλλλλ291440λλ-+=所以（舍去）或 1λ=>λ=故存在点，使得，故C 正确；P 1190B PD ∠=对于D ，由上知，，，所以点，，在的射影为，2，， (2P λ-22λ-2)λ(2P λ-22λ-2)λ1DD (02)λ所以点，，到的距离为：(2P λ-22λ-2)λ1DDd ===所以当时，，2=5λmin d =故面积的最小值是D 错误． 1PDD △122⨯故选：ABC ．三、填空题13．向量，则__________. ()()()2,0,5,3,1,2,1,4,0a b c ==-=- 68a b c +-=【答案】()28,26,7--【分析】根据向量运算求得正确答案.【详解】.68a b c +-=()()()()2,0,518,6,128,32,028,26,7+---=--故答案为：()28,26,7--14．函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______． 【答案】(1，＋∞)【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”法则计算即可.【详解】由题意，函数满足，解得或， ()25log 23y x x =+-2230x x +->3x <-1x >即函数的定义域为，()25log 23y x x =+-()(),31,-∞-⋃+∞令，()223g x x x =+-则函数在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，()g x 再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数 的单调递增区间是()25log 23y x x =+-()1,+∞ ；故答案为： .()1,+∞15．已知是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P 满足，则△12,F F 2214x y -=12||||6PF PF +=的面积是________．12PF F 【答案】2【分析】假设在左支上，由双曲线定义及已知条件可得，再用余弦定理求P 21||5,||1PF PF ==，进而求其正弦值，利用三角形面积公式求△的面积. 12cos F PF ∠12PF F 【详解】不妨假设在左支上，则，又， P 21||||24PF PF a -==12||||6PF PF +=所以，而，则， 21||5,||1PF PF ==21||2F F c ==12251203cos 105F PF +-∠==所以，故，12(0,)2F PF π∠∈124sin 5F PF ∠=综上，△的面积是.12PF F 2121||||1sin 22F P F F F P P ⨯∠⨯=⨯故答案为：2.16．在平面直角坐标系中有两定点A 、B ，且，动点P 满足，若点PxOy 4AB =(0)PA PB λλ⋅=＞总不在以点B 为圆心，为半径的圆内，则实数的最小值为_______． 1λ【答案】5【分析】以所在直线为x 轴，线段的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到点P AB AB 的轨迹方程，再结合两圆位置关系求解即可.【详解】以所在直线为x 轴，线段的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则AB AB .()()2020A B -，，，设，则，，()P x y ，()2,PA x y =---()2,PB x y =--因为动点P 满足，PA PB λ⋅=即，则，即， ()(),,x y x y λ---⋅--=２２224x y λ-+=224x y λ+=+又因为时，点P为半径的圆上，同时点P 总不在以点B 为圆心，0λ>1为半径的圆内，即圆与圆相离或外切或内切或内含，如图，()2240x y λλ+=+>22(2)1x y -+=，解得（舍去）或， 12≤12-≥3λ≤-5λ≥所以实数的最小值为5． λ故答案为：5.四、解答题17．已知等差数列的公差为（），前项和为，等比数列的公比为，且{}n a d 1d >n n S {}n b q ，，，． 111a b ==d q =39S =4528a a b +=(1)求数列，的通项公式； {}n a {}n b (2)记，求数列的前项和． nn na cb ={}n c n n T 【答案】(1)，；21n a n =-12n n b -=(2)116(23)2n n T n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）通过公式求出公差、公比即可求出通项；（2）用错位相减法求数列的前项{}n c n和．【详解】（1），，∴，11a =31339S a d =+=2d =1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，，； 11b =2q =1112n n n b b q --==（2），∴11211(21)22n n n n n a n c n b ---⎛⎫===-⨯ ⎪⎝⎭，∴2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1111221112(21)3(23)12212m n n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-．∴116(23)2n n T n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭18．为了解我校高二数学复习备考情况，年级组织了一次检测考试，并随机抽取了100人的数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计该次检测数学成绩的平均数及中位数（精确到小数点后一位）； m n (2)现准备从成绩在的8人中随机选出2人交流发言，求恰好抽到2人成绩在的(]130,150(]140,150概率．【答案】(1)＝103.2，；m 104.2n =(2). 328【分析】(1)根据频率分布直方图平均数和中位数计算方法计算即可；(2)利用枚举法枚举出8人选2人的基本事件，求出其总数，再求出2人成绩在的事件数(]140,150量，由此即可求出概率.【详解】（1）该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为：＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03＝ m 103.2．因为成绩在的频率为0.4，设中位数，则 [)60,100n 0.024(100)0.1n -=所以，；104.2n =（2）设成绩在的5位同学位，成绩在的3位同学为．从[)130,14012345,,,,A A A A A []140,150123,,B B B 中选出2位同学，基本事件为：， 1213141523242534354511121321,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B A B A B A B ， 2223313233414243515253121323,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共28个，而2位同学成绩恰在内的事件有3个，[]140,150所以8人中随机选出2人交流发言，恰好抽到2人成绩在的概率为. (]140,15032819．a ，b ，c 分别为的内角A ，B ，C 的对边．已知． ABC A 5cos(π)cos(π)cos a A b C c B -=--(1)求；cos A (2)若，求的面积． 221,4b c a b c -==+ABC A 【答案】(1) 1cos 5A =(2)【分析】（1）由诱导公式，正弦和角公式及正弦定理得到，因为，所以5sin cos sin A A A =sin 0A >； 1cos 5A =（2）在第一问的基础上利用余弦定理得到，结合，求出，再利用三角245b c =-1b c -=6,5b c ==形面积公式求出答案.【详解】（1）因为，5cos(π)cos(π)cos a A b C c B -=--所以，即， 5cos cos cos a A b C c B -=--5cos cos cos a A b C c B =+所以， 5sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+即， 5sin cos sin()sin A A B C A =+=又，所以，所以； ()0,πA ∈sin 0A >1cos 5A =（2）由第一问可知，则，1cos 5A =sin A ==由余弦定理得：，2222222cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-因为，，所以，224a b c =+0b >245b c =-又，解得， 1b c -=6,5b c ==所以的面积． ABC A 11sin 3022S bc A ==⨯=20．如图，在正四棱柱中，，点E 在上，且．1111ABCD A B C D -2AB =1CC 122CE EC ==(1)若平面与相交于点F ，求； 1A BE 11D C 1D F (2)求二面角的余弦值． 1A BE A --【答案】(1) 43【分析】（1）作出辅助线，由线面平行的性质得到线线平行，由相似知识求出的长度； 1D F （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值.【详解】（1）如图，连接，因为平面，平面平面，所以1,A F EF 1//A B 11CDD C 1A BE Ç11CDD C EF =．1//A B EF连接，因为，所以，所以， 1CD 11//A B CD 1//EF CD 11112C F C ED F CE ==又，所以．112C D =1112433D F C D ==（2）以D 为坐标原点，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 1,,DA DC DD则，1(2,0,0),(2,0,3),(2,2,0),(0,2,2)A A B E ，1(0,2,0),(2,0,2),(0,2,3)AB BE A B ==-=-设平面的法向量为，ABE ()111,,m x y z =则，解得：，令，则， 11120220m AB y m BE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 10y =11x =11z =故．(1,0,1)m =设平面的法向量为，1A BE ()222,,x n y z =则，令，则， 12222230220n A B y z n BE x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 23y =222,2z x ==故．(2,3,2)n =cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉===由图可知二面角为锐角，故二面角1A BE A --1A BE A --21．已知圆：，过点的直线与圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点. C ()2211x y -+=()0,2P l C (1)当直线的斜率为-4时，求的面积；l AOB A (2)若直线的斜率为k ，直线OA ，OB 的斜率为，. l 1k 2k ①求k 的取值范围；②试判断的值是否与k 有关?若有关，求出与k 的关系式；若无关，请说明理由. 12k k +12k k +【答案】(2)①；②无关，理由见解析3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】(1)由题意可得直线的方程为，即可得圆心到直线的距离，l 42y x =-+l d =求解即可；12AOB S AB d =⋅⋅A (2)①利用求解即可；d r <②设，，联立直线与圆的方程由韦达定理可得，，()11,A x y ()22,B x y 122421k x x k -+=-+12241x x k =+由可得=1，即可得答案. 121212y y k k x x +=+12k k +【详解】（1）解：当直线的斜率为-4时，直线的方程为. l l 42y x =-+因为圆心到直线的距离， ()1,0l d =所以AB ===所以 12AOB S AB d =⋅⋅=△（2）解：直线的方程为.l 2y kx =+①因为与圆相交，所以圆心到直线的距离，l C ()1,0l 1d 得，34k <-即的取值范围是；k 3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭②设，，()11,A x y ()22,B x y 联立方程组， ()22211y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得，()()2214240k x k x ++-+=所以，. 122421k x x k -+=-+12241x x k =+因为， 121212121212121222112222y y kx kx x x k k k k x x x x x x x x ⎛⎫++++=+=+=++=+⨯ ⎪⎝⎭所以， ()212242122221141k k k k k k k k --++=+⨯=--=+即为定值，与直线的斜率无关.12k k +l k 22．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为C x 1F 2F ．点在椭圆上，且满足△的周长为6． P C 12PF F (1)求椭圆的方程；C (2)设过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得(1,0)-l C A B x M 恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．MA MB ⋅M 【答案】(1)22143x y +=(2)存在， 13511,,0648M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据椭圆的定义和性质计算得到答案.（2）联立方程，根据韦达定理的根与系数的关系，计算得到，2222(485)312·43m m k m MA MB k +-+-=+ 得到，解得答案，再验证斜率不存在时的情况即可. 2248531243m m m +--=【详解】（1）由题意知：，解得方程为：.2222226b a c a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 22143x y +=（2）设，，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y (,0)M m 当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立， l (1)y k x =+22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得，则，，2222(43)84120k x k x k +++-=2122843k x x k -+=+212241243-⋅=+k x x k 又， 2212121212·(1)(1)(1)y y k x x k x x x x =++=+++222222241289(1)434343k k k k k k k --=-+=+++而 1212·()()MA MB x m x m y y =--+ 222222241289434343k k k m m k k k --=-⨯-++++为定值． 22222241289(43)43k mk k m k k -+-++=+2222(485)31243m m k m k +-+-=+只需，解得：，从而． 2248531243m m m +--=118m =-135·64MA MB =- 当不存在时，，k 33(1,),(1,)22A B ---当时，，118m =-9135·(1)(1)464MA MB m m =-----=- 综上所述：存在，使得．11(,0)8M -135·64MA MB =- 【点睛】本题考查了求椭圆方程及椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理求解是常考的方法，需要熟练掌握，将定值问题转化为比例关系是解题的关键.。
广东省深圳市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知点，则直线的倾斜角是（ ） ()(1,0,A B AB A ． B ．C ．D ．60 120 30 150 【答案】A【分析】求出直线的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.AB 【详解】因为点，所以，()(1,0,AB AB k ==设直线的倾斜角为，则， AB α0180α<< 所以. 60α= 故选：A.2．“”是“方程表示椭圆”的57m <<22175x y m m +=--A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】 由题意，方程表示一个椭圆，则，解得且， 22175x ym m +=--705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩57m <<6m ≠所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.57m <<22175x y m m +=--点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.75m m -≠-3．在棱长为1的正方体中，（ ） 1111ABCD A B C D -1AB CB CB -+=A ．1 BC D ．2【答案】B【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果．11AB CB CB AB -+=【详解】． 11AB CB CB AB BC CB AC -+=++=+ 故选：B ．4．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是 ()A ．B ．1(1)1n n a -=-+2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数C ． D ．2sin2n n a π=cos(1)1n a n π=-+【答案】C【分析】令，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．1n =【详解】解：令，2，3，4分别代入验证：可知，因此不成立． 1n =3:2C a =-故选：．C 【点睛】本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5．在空间四边形中，，点在上，且，为的中OABC ,,OA a OB b OC c === M OB 3OM MB =N AC 点，则（ ）NM =A ．B ．131242a b c -+- 121232a b c -++C ．D ．131242a b c ++ 121232a b c -+ 【答案】A【分析】利用空间向量加减法运算即可得到答案.【详解】.()()31311314242242NM OM ON OB OA OC b a c a b c =-=-+=-+=-+-故选：A6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>A ．B ．C ．D ． y =y =y =y =【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.by x a=±y =点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.22221(,0)x y a b a b-=>22220x y by x a b a -=⇒=±7．若直线（，）平分圆，则的最小值是（ ） 10ax by +-=0a >0b >()()22114x y -+-=12a b+A ．2B ．5C ．D ．【答案】C【分析】直线平分圆，得到a ,b 关系，再根据基本不等式，即可求解. 【详解】解：直线平分圆，则直线过圆心，即，1a b +=所以(时，取等号) ()1212233b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭b =故选：C.8．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的,M N 24y x =F 23MFN π∠=MN 中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围（ ） P 1:16l y =-d 22λ≥MN d λA ． B ． (-∞(],2-∞C ． D ．(,1-∞(],3-∞【答案】D【分析】令，利用余弦定理表示出弦的长，再利用抛物线定义结合梯形中位||,||MF a NF b ==MN 线定理表示出，然后利用均值不等式求解作答.d 【详解】在中，令，由余弦定理得MFN △||,||MF a NF b ==， 222||||||2||||cos MN MF NF MFNF MFN =+-⋅∠则有， 222||MN a b ab =++显然直线是抛物线的准线，过作直线的垂线，垂足分别为，如1:16l y =-24y x =,,M P N l ,,A B C 图，而为弦的中点，为梯形的中位线，由抛物线定义知，P MN PB MACN ，11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+因此， 22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++当且仅当时取等号，又不等式恒成立，等价于恒成立，则，a b =22λ≥MN d 22MN dλ≤3λ≤所以的取值范围是. λ(,3]-∞故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多选题9．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ） {}n a A ． {}n a B ．{}1n n a a +-C ．(为常数) {}n pa q +,p q D ． {}2n a n +【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A ，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A 不符合题1,1,3-1,1,3意；对于选项B ，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故{}n a 1{}n n a a +-为等差数列，故选项B 符合题意；1{}n n a a +-对于选项C ，若为等差数列，设其公差为，则为常数{}n a d 11()n n n n pa q pa q p a a pd +++--=-=列，故为等差数列，故选项C 符合题意；{}n pa q +对于选项D ，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故{}n a d 121221n n a n a n d +++--=+为等差数列，故选项D 符合题意， {2}n a n +故选：BCD.10．圆和圆的交点为A ，B ，则有（ ）221:20x y x O +-=222:240O x y x y ++-=A ．公共弦AB 所在直线方程为 0x y -=B ．公共弦ABC ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=D ．P 为圆上一动点，则P 到直线AB 2O 1+【答案】AC【分析】A 选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B 选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；C 选项，线段AB 的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；D 选项，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.2O 【详解】因为圆：和圆：的交点为A ，B ， 1O 2220x y x +-=2O 22240x y x y ++-=作差得，440x y -=所以圆与圆的公共弦AB 所在的直线方程为，故A 正确； 1O 2O 0x y -=因为圆心，，所在直线斜率为， 1(1,0)O 2(1,2)O -12O O 2111=---所以线段AB 的中垂线的方程为，即，故C 正确；0(1)y x -=--10x y +-=圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离2O 22240x y x y ++-=2(1,2)O -2r =2(1,2)O -0x y -=P 到直线AB 与圆的公共弦AB 的长d 1O 2O为B,D 错误． =故选:AC.11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地F 点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且A mB n 三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为F A B 、、R ，则222a b c 、、A ．B ．C ．D ．a c m R -=+a c n R +=+2a m n =+b =【答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得 ，（*）m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩ ，故A 正确；a c m R ∴-=+，故B 正确；a c n R +=+（*）两式相加，可得，故C 不正确；22m n a R +=-22a m n R =++由（*）可得 ，两式相乘可得 m R a c n R a c +=-⎧⎨+=+⎩()()22m R n R a c ++=- ，222a c b -=，故D 正确.()()2b m R n R b ∴=++⇒=故选ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线1111ABCD A B C D -,E F 111,A D AA G 上一个动点，则（ ）1B CA ．三棱锥的体积为定值1A EFG -B ．线段上存在点，使平面//平面1B C G EFG 1BDCC ．当时，直线与平面134CG CB = EG ABCDD ．三棱锥1A EFG -【答案】ACD【分析】A 选项，使用等体积法，面面平行进行证明； B 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明；C 选项，根据先求出的坐标，然后利用向量的夹角公式计算；134CG CB =G D 选项，找到外接球的球心，表达出半径，求出最大值.【详解】对于A 选项，因为平面//平面，而平面，故//平面11ADD A 11BCC B 1B C ⊂11BCC B 1B C ，11ADD A 因为点为面对角线上一个动点，故点到面距离不变，为， G 1B C G 11ADD A 2因为分别为棱的中点，故为定值，,E F 111A D AA ､1111122A EF S =⨯⨯=A 故三棱锥，而三棱锥的体积，A 选项正确；1112313G E A F F A E S V -⨯⨯==A 11A EFG G EFA V V --=对于B 选项，如图1，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直D DA x DC y 1DD 线为轴建立空间直角坐标系，z 则，，，，，设（），()2,2,0B ()0,0,0D ()10,2,2C ()1,0,2E ()2,0,1F (),2,G m m 02m ≤≤平面的法向量为，则，令，则，，则1BDC ()1111,,n x y z = 1111111220220n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩11y =11x =-11z =-，()1111n ,,=--设平面的法向量，则，令，则EFG ()2222,,n x y z = ()()222222202210n EF x z n FG m x y m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ 21x =，， 21z =2322my -=所以， 2321,,12m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭若平面//平面，则存在，使得，即，解得：，EFG 1BDC k 12n kn = ()321,1,11,,12m k -⎛⎫--= ⎪⎝⎭1k =-，52m =因为，故不合题意，02m ≤≤所以线段上不存在点，使平面//平面，B 选项错误；1B C G EFG 1BDC 对于C 选项，，，，若，即，解得(),2,G m m (0,2,0)C 1(2,2,2)B 134CG CB = ()()3,0,2,0,24m m =， 32m =此时，又，，显然平面的一个法向量，33,2,22G ⎛⎫⎪⎝⎭()1,0,2E 11,2,22EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ABCD (0,0,1)a =设直线与平面所成角为，则C 选项正确；EG ABCD θsin cos ,a θ=对于D 选项，如图2，连接，交EF 于点J ，则为EF 的中点，1A D J 1A J =的外接球球心的投影为，1A EFG -J 过点作于点，则平面，，找到球心位置，连接，则G 1GH A D ⊥H GH ⊥11ADD A 2GH =O 1,OA OG 为外接球半径，1OA OG =过点作于点，则，，设（），O OK GH ⊥K OK JH =OJ HK =OK JH a ==0a ≤≤，OJ HK h ==由勾股定理得：，，从而2222211OA OJ A J h =+=+()2222OG h a =-+()22222h h a +=-+，解得：，2724a h +=要想半径最大，则只需最大，即最大，当最大为，此时半径的最大值为h 2a a =h2，故D 正确. =故选：ACD三、双空题13．已知数列的通项公式为：，则的最小值为_____，此时的值为_____. {}n a 103n a n =-n a n 【答案】133【分析】分类讨论去绝对值，即可根据通项公式的单调性判断求值.【详解】，已知先减后增，且. 10,4103103,43n n n a n n n ⎧-<⎪⎪=-=⎨⎪-≥⎪⎩n a 3413a a =<故的最小值为，此时的值为3.n a 13n 故答案为：；3.13四、填空题14．在等差数列中，前n 项和记作，若，则______． {}n a n S ()15265k S a a a =++k =【答案】16【分析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得； n 【详解】解：因为，所以，即()15265k S a a a =++()()115261552k a a a a a +=++，所以，所以()82615252k a a a a ⨯=++8263k a a a a =++，所以；()()()()826111113375151k a a a a a d a d a d a d a k d =-+=+-+++=+=+-16k =故答案为：1615．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E 的左、1F 2F ()222:103x yE a a -=>1F 右两支分别交于A ，B 两点，若，则的面积为__________． 22::5:12:13BF AB AF =2ABF△【答案】##2.4 125【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形即可根据勾股定理求解，由直角三角形的面积公22a =式即可得解. 【详解】如图，因为，所以． 22::5:12:13BF AB AF =2AB BF ⊥设，，得，25BF x =12AB x =213AF x =由，得 1221BF BF AF AF -=-1112||513||x AF x x AF +-=-所以，则，13AF x =115BF x =由，得，2221212BF BF F F +=222504x c =又 ，所以，，， 12221023BF BF x a c a ⎧-==⎨=+⎩22a =25c =2225x =故的面形. 2ABF △221123025S AB BF x ===故答案为：125五、双空题16．已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数{}n a 14a =()121n n na n a +=+{}n a 列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________．{}(1)(2)na n n ++n n S 30n S ≥n 【答案】 612n n a n +=⋅【分析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出，再借助数列单调性n S 计算得解.【详解】在数列中，，由得：，而， {}n a 14a =()121n n na n a +=+121n n a a n n +=⋅+141a=于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，{}n a n 142n n a n-=⋅12n n a n +=⋅所以数列的通项公式为；{}n a 12n n a n +=⋅显然，，121212(1)2(2)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21n n n n n n a n n n n n n n n n n n +++++⋅+⋅-+⋅===-++++++++则，324354121222222222222))))2324354121(((((2n n n n n n S n n n n n ++++-+-+-++-+-=+=-+++ 由得：，即，令，则，即数列是递增30n S ≥222302n n +-≥+22322n n +≥+222n n b n +=+12(2)13n n b n b n ++=>+{}n b 数列，由，得，而，因此，，从而得，， 22322n n +≥+32n b ≥632b =6n b b ≥6n ≥min 6n =所以满足不等式的的最小值为6.30n S ≥n 故答案为：；612n n a n +=⋅六、解答题17．已知直线，．()():12360m a x a y a -++-+=:230n x y -+=(1)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；0a =l m n l (2)若坐标原点O 到直线的距离为1，求实数的值．m a 【答案】(1)或，120x y -+=370x y -=(2)或 1a =132a =-【分析】（1）先求出直线与的交点，然后设出直线的方程，求出直线在两坐标轴上的截距，m n l l 由截距相反列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程；l （2）利用点到直线的距离公式列方程可求出实数的值.a 【详解】（1）当时，直线， 0a =:360m x y -++=由，解得， 360230x y x y -++=⎧⎨-+=⎩219x y =-⎧⎨=-⎩所以直线与的交点为，m n (21,9)--由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，l l 9(21)y k x +=+当时，，0x =219y k =-当时，， 0y =921x k=-因为直线在两坐标轴上的截距相反，l 所以，即， 9219210k k-+-=271030k k -+=解得或， 1k =37k =所以直线的方程为或， l 921y x +=+39(21)7y x +=+即或，120x y -+=370x y -=（2）因为坐标原点O 到直线的距离为1，直线，m ()():12360m a x a y a -++-+=，1=化简得，解得或. 2211130a a +-=1a =132a =-18．如图在边长是2的正方体中，E ，F 分别为AB ，的中点．1111ABCD A B C D -1AC（1）求异面直线EF 与所成角的大小．1CD （2）证明：平面． EF ⊥1ACD 【答案】（1）；（2）证明见解析．60︒【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解； 111cos ,EF CD EF CD EF CD ⋅= （2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直. 10EF DA ⋅= 0EF DC ⋅= 【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，(0,0,0)D 1(2,0,2)A (0,2,0)C (2,1,0)E (1,1,1)F 1(0,0,2)D ∴，，，．(1,0,1)EF =- 1(0,2,2)CD =- 1(2,0,2)DA = (0,2,0)DC = （1）， 11cos ,2EF CD = ∴1,60EF CD ︒= ∴异面直线EF 和所成的角为．1CD 60︒（2）11200120EF DA ⋅=-⨯+⨯+⨯= ∴，即1EF DA ⊥ 1EF DA ⊥，1002100EF DC ⋅=-⨯+⨯+⨯=∴即．EF DC ⊥ EF DC ⊥又∵，平面且1DA DC ⊂1DCA 1DA DC D ⋂=∴平面． EF ⊥1ACD 19．记为数列的前项和，． n S {}n a n 1122n n n S a --=()*n N ∈（1）求；1n n a a ++（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和．2n n n b a a +=-{}n b n n T 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 12n -11122n n T +=-【分析】（1）运用数列的递推式：时，，时，，化简变形可得1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-，进而得到所求答案. 1112n n n a a --+=-（2）由（1）的结论，将n 换为n +1，两式相减，结合等比数列的定义和求和公式，即可得到答案.【详解】（1）由，可得时，，即； 1122n n n S a --=1n =1121S a -=11a =当时，，2n ≥1n n n a S S -=-由，， 1122n n n S a --=112122n n n S a ----=两式相减可得：，即：. 11211222n n n n n a a a ----+=-1112n n n a a --+=-即有. 112n n na a ++=-（2）由（1）可得，即有， 112n n n a a ++=-21112n n n a a ++++=-两式相减可得，即. 2112n n n a a ++-=112n n b +=则，可得数列是首项为，公比为的等比数列. 1122122n n n n b b +++=={}n b 1412所以. 1111114212212n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭==--【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20．已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线C ()0,1D ()2,1E -(F -P 1:2l y x =-与圆交于、两点.2:1=+l y x C A B（1）求圆的方程；C （2）求的最小值.22PA PB +【答案】（1）；（2）．22210x y x ++-=13【分析】（1）设圆的一般方程为，即可根据题意列出三个方程，解出C 220x y Dx Ey F ++++=，即可得到圆的方程； ,,D E F C （2）联立直线的方程和圆的方程可得、两点的坐标，设，再根据两点间的距离公2l C A B (),P x y 式表示出，消去，可得关于的二次函数，即可求出最小值． 22PA PB +y x 【详解】（1）设圆的一般方程为，依题意可得，C 220x y Dx Ey F ++++=．1025030E F D E F D F ⎧++=⎪-+++=⎨⎪-+==⎩2,0,1D E F ⇒===-所以圆的方程为：．C 22210x y x ++-=（2）联立或， 221002101y x x x y x y ⎧--==⎧⇒⎨⎨++-==⎩⎩21x y =-⎧⎨=-⎩不妨设，，则，(0,1),(2,1)A B --(),P x y 2y x =-∴． 222222221||||(1)(2)(1)44144132PA PB x y x y x x x ⎛⎫+=+-++++=-+=-+ ⎪⎝⎭故的最小值为．22PA PB +13【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，直线与圆的交点坐标的求法，以及两点间的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．21．如图，在三棱锥中， ，为的中点，. A BCD -AB AD =O BD OA CD ⊥(1)证明：平面平面;ABD ⊥BCD(2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥OCD A E AD 2DE EA =B ACD -，求平面BCD 与平面BCE 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面BCD ，又平面ABD ，从而由面面垂OA ⊥OA ⊂直的判定定理即可得证；（2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点OD F OCD A CF OD ⊥O //OM CF BC M ，则，又由（1）知平面BCD ，所以，，两两垂直，以点为坐标原OM OD ⊥OA ⊥OM OD OA O 点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进OM OD OA x y z 而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解.【详解】（1）证明：因为，为的中点，AB AD =O BD 所以，又且，OA BD ⊥OA CD ⊥BD CD D ⋂=所以平面BCD ，又平面ABD ， OA ⊥OA ⊂所以平面平面； ABD ⊥BCD（2）解：由题意，， 1112OCD S =⨯⨯=A BCD S =A 由（1）知平面BCD ，OA ⊥所以，所以OA =2， 1133B ACD A BCD BCD V V S OA --=⋅⋅==A 取的中点，因为为正三角形，所以，OD F OCD A CF OD ⊥过作与交于点，则，所以，，两两垂直，O //OM CF BC M OM OD ⊥OM OD OA以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，O OM OD OA x yz则，，，，，1，，A （0，0，2），， (0B 1-0)1,0)2C (0D 0)14(0,,)33E 因为平面，所以平面的一个法向量为， OA ⊥BCD BCD (0,0,1)m = 设平面的法向量为，又， BCE (,,)n x y z =344,0),(0,,)233BC BE == 所以由，得，令，， 00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩30244033x y y z +=⎪+=⎪⎩x =1y =-1z =所以，1,1)n =-所以 |||cos ,|||||m n m n m n⋅<>= 所以平面BCD 与平面BCE22．在平面直角坐标系中，椭圆2． ()2222:10x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线A 、B 两点，D 是椭圆C 上一点，直线OD 的斜率为，且:l y mx =n 12mn =．T 是线段OD 的半径为，OP ，OQ 是的两条切T A DT T A 线，切点分别为P ，Q ，求的最大值．QOP ∠【答案】(1)； 22132x y +=(2)最大值为.QOP ∠3π【分析】（1）根据焦距易得; 1c =（2）将直线与椭圆联立得到方程组，利用弦长公式得到的表达式，再利用AB |||DT AB =，则可得到，即圆半径的表达式，根据，则,则将直线的方程与椭圆方程DT r 12mn =12n m =OD 联立，得到的表达式，利用,将上述表达式代入，利用换元法结合二次函OD sin2||QOP r r OD ∠=+数最值得到的最值，最终得到的最大值. sin 2QOP ∠QOP ∠【详解】（1）由题意得，， 22c =1c =又c e a = a ∴=b ∴=椭圆方程为：. ∴22132x y +=（2）设，， ()11,A x y ()22,B x y 联立，22132x y y mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()2281290m x +--=，()2227203681211522880m m m ∆=++=+>， 12x x +=129128x x m -=+2||AB x -==， |r AB =，直线的方程为：， 12n m=∴OD 12yx m =联立得，，2213212x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222483m x m =+22683y m =+ ||OD ==,1sin ||2||1QOP r OD r OD r ∠==++，OD r ==令，，且， 223m t +=()2123m t =-2t>110,2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭则ODr==1=≥=当且仅当，，即，时等号成立， 1114t =14t =22314m +=2m =±，因此， 1sin 22QOP ∠≤π26QOP ∠≤的最大值为， QOP ∴∠π3综上所述，的最大值为，此时. QOP ∴∠π32m =±【点睛】本题第二问计算量与思维量较大，对于弦长公式要做到熟练运用，角度最值转化为在一定角度范围内的角的正弦值的最值，最终结合换元法，配方法等求解函数表达式的最值，从而得到角度的最值.。
广东省惠州市2019-2020第一学期期末考试高二数学试题(含解析)
惠州市2019-2020学年第一学期期末考试高二数学试题全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．若复数1iz -i=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i -+ B ．1122i -- C ．1122i + D ．1122i -+2．设命题p ：2,2n n N n ∃∈>；则命题p 的否定为 （ ）A ．2,2nn N n ∀∈> B ．2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤ D ．2,2nn N n ∃∈= 3．已知双曲线方程为2244x y -=，则其渐近线方程为 （ ）A ．2y x =B ．12y x =C ．2y x =±D ．12y x =± 4．已知,a b R ∈，i 为虚数单位，则0a =“”是“复数+a bi 是纯虚数”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要5．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只， 则恰有2只测量过体重指标的概率为 ( ) A ．23 B ．35 C ．25 D ．3106．已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x ，y 的值分别为 ( )A ．1,1B ．11,2 C ．11,22 D ．1,127．已知点F 是双曲线2222=1x ya b-的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于G 、H 两点，若△GHE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）AA 1A ．()1+∞,B ．()12,C ．()212+, D ．()112+, 8．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，60ABC ∠=︒，12AB BC CC ===， 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．154-B ．154C ．14-D ．149．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线22y x =上移动，M 为线段AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( )A ．12B ．1C ．32D ．2 10．若函数()()sin cos xf x e x a x =+在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．()1,+∞二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。
2023-2024学年广东省广州市六区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若抛物线的焦点坐标为（0，2），则抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．x 2＝8y2．已知空间向量m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣43．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．−√22C ．√22D ．14．椭圆x 225+y 216=1与椭圆x 225−k +y 216−k=1(k ＜16)的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等5．若两条平行直线3x ﹣4y +m ＝0（m ＜0）与3x +ny +6＝0之间的距离是3，则m +n ＝（ ） A ．﹣13B ．﹣9C ．17D ．216．过直线l ：√3x +y −4=0上一点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ．若∠APB =π3，则点P 的坐标为（ ） A ．(4√33，0) B ．(2√3，−2)或（0，4）C ．(√3，1)D ．(√3+√15，1−3√5)或(√3−√15，1+3√5)7．已知双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2为其左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线右支相交于A ，B 两点，且∠F 1AB =π2，tan ∠ABF 1=512，则双曲线的离心率为（ ）A ．√213B ．√21C ．√293D ．√298．数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =2n −1，前12项和为158，则a 1的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−n ，则（ ） A ．S 3，S 6，S 9成等差数列B ．a 3，a 6，a 9成等差数列C ．数列{a n }是递增数列D ．数列{S n }是递增数列10．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，直线l ：（1+3λ）x +（1+λ）y ﹣2﹣4λ＝0（λ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（1，2） B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为x +y ﹣2＝0D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于2−√2 11．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A ．（2，0）B ．（﹣2，4）C ．（1，4）D ．（﹣1，1）12．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1与BAA 1B 1是边长为2的正方形，平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，M ，N 分别在BC 1和AB 1上，且BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，则（ ）A ．直线MN ∥平面ABCB ．当a ＝1时，线段MN 的长最小C ．当a =√22时，直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13D ．当a =√2时，平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知△ABC 的三个顶点是A （5，﹣1），B （1，1），C （2，3），则边AB 上的高所在直线的方程为 ． 14．正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，则a →⋅(a →+b →+c →)= ． 15．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则{a n }的通项公式a n ＝ ．16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=−12x ，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出．若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为 ；反射光线n 所在直线的方程为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，a 1＝b 1＝1，a 2+b 2＝4，S 3＝6． （1）求{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{1S n}的前n 项和T n ．18．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝4，E ，F 分别为线段AB ，AA 1的中点．（1）求直线A 1C 与EF 所成角的余弦值； （2）求点B 1到平面CEF 的距离．19．（12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0． （1）求m 的取值范围；（2）当m ＝1时，求圆O ：x 2+y 2﹣4＝0与圆C 的公共弦的长．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，AD ＝2DC ＝2CB ＝2，E 为PD 的中点． （1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）若∠P AB ＝60°，求平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1a n﹣2a n+1＝0，n∈N*．（1）求证：数列{1a n−1}为等差数列；（2）设c n=1a n−1，记集合{n|k≤c n≤2k，k∈N∗}中元素的个数为b k，求使b1+b2+⋯+b k＞2024成立的最小正整数k的值．22．（12分）如图，在圆O：x2+y2＝1上任取一点p，过点p作y轴的垂线段PD，D为垂足，点M在DP 的延长线上，且|DM|＝2|DP|，当点p在圆O上运动时，记点M的轨迹为曲线C（当点P经过圆与y轴的交点时，规定点M与点p重合）．（1）求曲线C的方程；（2）过点T（t，0）作圆O：x2+y2＝1的切线l交曲线C于A，B两点，将|AB|表示成t的函数，并求|AB|的最大值．2023-2024学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若抛物线的焦点坐标为（0，2），则抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．x 2＝8y解：抛物线的焦点坐标为（0，2），可得p ＝4，则抛物线的标准方程是：x 2＝8y ． 故选：D ．2．已知空间向量m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣4解：因为m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →， 所以m →⋅n →=（﹣2）×4+1×（﹣1）+（﹣3）×x ＝0，解得x ＝﹣3． 故选：C ．3．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．−√22C ．√22D ．1解：由题意直线的斜率k ＝tan π4=1．故选：D ．4．椭圆x 225+y 216=1与椭圆x 225−k +y 216−k=1(k ＜16)的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解：第一个椭圆的a 1＝5，b 1＝4，则焦距为2√25−16=6， 且长轴长为10，短轴长为4，离心率为35，第二个椭圆的a2=√25−k ，b 2=√16−k ，则焦距为2√(25−k)−(16−k)=6，且长轴长为2√25−k ，短轴长为2√16−k ，离心率为√25−k，所以A ，B ，C 错误，D 正确，故选：D ．5．若两条平行直线3x ﹣4y +m ＝0（m ＜0）与3x +ny +6＝0之间的距离是3，则m +n ＝（ ） A ．﹣13B ．﹣9C ．17D ．21解：因为直线l1：3x﹣4y+m＝0（m＜0）与l2：3x+ny+6＝0平行，所以3n＝﹣4×3，解得n＝﹣4，所以l2：3x﹣4y+6＝0，又两平行线之间的距离d=|m−6|√3+(−4)=|m−6|5=3，所以|m﹣6|＝15，即m﹣6＝15或m﹣6＝﹣15，解得m＝21或m＝﹣9，因为m＜0，所以m＝﹣9，所以m+n＝﹣13．故选：A．6．过直线l：√3x+y−4=0上一点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B．若∠APB=π3，则点P的坐标为（）A．(4√33，0)B．(2√3，−2)或（0，4）C．(√3，1)D．(√3+√15，1−3√5)或(√3−√15，1+3√5)解：因为点P在直线l：√3x+y−4=0上，可设P(√3a，4−3a)，又P A，PB是圆的两条切线，且∠APB=π3，所以OA⊥PA，∠OPA=π6，|OA|=2，所以|OP|＝4，即√3a2+(4−3a)2=4，化为a2﹣2a＝0，解得a＝0或a＝2，所以点P坐标为(0，4)，(2√3，−2)．故选：B．7．已知双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，过F2的直线l与双曲线右支相交于A，B两点，且∠F1AB=π2，tan∠ABF1=512，则双曲线的离心率为（）A．√213B．√21C．√293D．√29解：如图，由题意，设|AF1|＝5x，则|AB|＝12x，|BF1|＝13x，设|AF2|＝y，则|BF2|＝12x﹣y，因为A，B都在双曲线上，所以|AF1|﹣|AF2|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a，即5x﹣y＝13x﹣（12x﹣y）＝2a，解得x=2a3，y=4a3，又|F1F2|=2c=√|AF1|2+|AF2|2=√(10a3)2+(4a3)2=2√293a，所以c=√293a，则离心率e=ca=√293．故选：C．8．数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=2n−1，前12项和为158，则a1的值为（）A．4B．5C．6D．7解：当n为奇数时，a n+2﹣a n＝2n﹣1，可得a2n﹣1＝a1+（n﹣1）+12（n﹣1）（n﹣2）×4＝a1+（n﹣1）（2n﹣3），则a1+a3+a5+a7+a9+a11＝6a1+1+6+15+28+45＝6a1+95，而a2+a4＝3，a6+a8＝11，a10+a12＝19，则前12项和为6a1+95+33＝158，解得a1＝5．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，则（）A．S3，S6，S9成等差数列B．a3，a6，a9成等差数列C．数列{a n}是递增数列D．数列{S n}是递增数列解：数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，对于A，S3＝32﹣3＝6，S6＝62﹣6＝30，S9=92−9=72，∵2S6≠S3+S9，∴S3，S6，S9不成等差数列，故A错误；对于B，a3＝S3﹣S2＝（32﹣3）﹣（22﹣2）＝4，a6＝S6﹣S5＝（62﹣6）﹣（52﹣5）＝10，a9＝S9﹣S8＝（92﹣9）﹣（82﹣8）＝16，∵2a6＝a3+a9，∴a3，a6，a9成等差数列，故B正确；对于C，数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]＝2n﹣2，∴数列{a n }是递增数列，故C 正确；对于D ，∵数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−n =n （n ﹣1）， ∴数列{S n }是递增数列，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，直线l ：（1+3λ）x +（1+λ）y ﹣2﹣4λ＝0（λ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（1，2） B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为x +y ﹣2＝0D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于2−√2解：对于A ，直线l 的方程可化为：x +y ﹣2+λ （3x +y ﹣4）＝0，由{x +y −2=03x +y −4=0，解得{x =1y =1，∴直线l 恒过定点（1，1），故A 错误； 对于 B ，∵（1﹣2）2+（1﹣2）2＝2＜4，∴点 （1，1）在圆C 的内部，∴直线l 与圆C 相交，故B 正确；对于C ，由圆的性质可知，当直线l 被圆C 截得的弦最短时，圆心C （2，2）到直线l 的距离d 最大， 而当直线l 与直线y ＝x 垂直时，圆心C 到直线l 的距离d =2√2最大， 此时直线l 的方程为x +y ﹣2＝0，故C 正确；对于D ，圆C 的半径r ＝2，且直线l 恒过定点（1，1），且点（1，1）在圆C 的内部． 圆C 上存在三个点到直线l 的距离等于2−√2，故D 错误． 故选：BC ．11．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A ．（2，0）B ．（﹣2，4）C ．（1，4）D ．（﹣1，1）解：根据题意可得双曲线的渐近线为y ＝±2x ， 点（2，0）在抛物线右支开口内，∴A 选项满足； 点（﹣2，4）在渐近线y ＝2x 上，∴B 选项不满足； 点（1，4）在两渐近线所夹上方区域，∴C 选项满足； 点（﹣1，1）在两渐近线所夹左方区域，∴D 选项不满足． 故选：AC ．12．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1与BAA 1B 1是边长为2的正方形，平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，M ，N 分别在BC 1和AB 1上，且BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，则（ ）A ．直线MN ∥平面ABCB ．当a ＝1时，线段MN 的长最小C ．当a =√22时，直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13D ．当a =√2时，平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13解：由题意BB 1⊥BC ，BB 1⊥BA ，BC ∩BA ＝B ，则BB 1⊥平面ABC ， 平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，平面BCC 1B 1∩平面BAA 1B 1＝BB 1， AB ⊂平面ABB 1A 1，AB ⊥BB 1，所以AB ⊥平面BCC 1B 1，又BC ⊂平面BCC 1B 1，故AB ⊥BC ， 以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则B （0，0，0），A （0，2，0），C （2，0，0）， B 1（0，0，2），C 1（2，0，2），所以BC →1=(2，0，2)，AB →1=(0，−2，2)， 因为BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，设AN →=λAB →1，BM →=λBC →1，(0＜λ＜1，且λ=a22)， 所以M （2λ，0，2λ），N （0，2﹣2λ，2λ）， 所以MN →=(−2λ，2−2λ，0)，易知平面ABC 的一个法向量为BB 1→=(0，0，2)，因为MN →⋅BB 1→=0，且MN ⊄平面ABC ， 所以直线MN ∥平面ABC ，故A 正确；由|MN →|=√(−2λ)2+(2−2λ)2=√8λ2−8λ+4=√8(λ−12)2+2，当λ=12，即a =√2时，线段MN 有最小值为√2，故B 不正确；当a =√22时，λ=14，此时MN →=(−12，32，0)，不妨取平面BAA 1B 1的一个法向量为BC →=(2，0，0)， 则|cos ＜MN →，BC →＞|=|MN →⋅BC →|MN →||BC →||=2×√14+94=√1010，所以直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正弦值为√1010， 故直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的余弦值为√1−(√1010)2=3√1010， 所以直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13，故C 正确；取MN 的中点O ，连接BO ，B 1O ，BN ，B 1M ， 因为三角形MNB 与三角形MNB 1都是等边三角形， 所以∠BOB 1为二面角的平面角， 又BB 1=2，BO =B 1O =√62，根据余弦定理可得cos ∠BOB 1=−13， 所以平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知△ABC 的三个顶点是A （5，﹣1），B （1，1），C （2，3），则边AB 上的高所在直线的方程为 2x ﹣y ﹣1＝0 ．解：A （5，﹣1），B （1，1），则k AB =−1−15−1=−12，故边AB 上的高所在直线的斜率为2， 所求直线过点C （2，3），故边AB 上的高所在直线的方程为y ﹣3＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：2x ﹣y ﹣1＝0．14．正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，则a →⋅(a →+b →+c →)= 8 ． 解：∵正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，∴|a →|=|b →|=|c →|=2，a →⋅b →=a →⋅c →=2×2×cos60°＝2，∴a →⋅(a →+b →+c →)=a →⋅a →+a →⋅b →+a →⋅c →=4+2+2＝8．故答案为：8．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则{a n }的通项公式a n ＝ n •2n ﹣1 ． 解：∵数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，∴a n +1=2(n+1)n ×a n =2(n+1)n ×2n n−1×.....×2×21×a 1＝2n •（n +1）， 故a n ＝n •2n ﹣1，（当n ＝1时，a 1＝1也满足）．故答案为：n •2n ﹣1． 16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=−12x ，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出．若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为 y =12 ；反射光线n 所在直线的方程为 y =−18 ．解：抛物线C ：y 2=−12x 的焦点为F(−18，0)， 因为直线OA 的倾斜角为3π4，所以直线OA 的方程为y ＝﹣x ， 由{y =−x y 2=−12x ，解得{x =0y =0或{x =−12y =12，所以A(−12，12)， 则入射光线m 所在直线的方程为y =12； 则k AF =12−12−(−18)=−43，所以直线AF 的方程为y =−43(x +18)， 由{y =−43(x +18)y 2=−12x ，解得{x =−132y =−18或{x =−12y =12，所以B(−132，−18)， 则反射光线n 所在直线的方程为y =−18．故答案为：y=12；y=−18．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，a1＝b1＝1，a2+b2＝4，S3＝6．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{1S n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b1＝1，a2+b2＝4，S3＝6，可得1+d+q＝4，3+3d＝6，即d+q＝3，d＝1，q＝2，则a n＝1+n﹣1＝n，b n＝2n﹣1；（2）S n=12n（n+1），可得1S n=2n(n+1)=2（1n−1n+1），则T n＝2（1−12+12−13+...+1n−1n+1）＝2（1−1n+1）=2nn+1．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，E，F分别为线段AB，AA1的中点．（1）求直线A1C与EF所成角的余弦值；（2）求点B1到平面CEF的距离．解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（2，0，4），C （0，2，0），E （2，1，0），F （2，0，2），所以A 1C →=（﹣2，2，﹣4），EF →=（0，﹣1，2），所以cos ＜A 1C →，EF →＞=A 1C →⋅EF →|A 1C →|⋅|EF →|=−2−8√4+4+16×√1+4=−√306， 因为异面直线夹角的取值范围为（0，π2]， 所以直线A 1C 与EF 所成角的余弦值为√306． （2）由（1）知，B 1（2，2，4），C （0，2，0），E （2，1，0），F （2，0，2），所以CE →=（2，﹣1，0），CF →=（2，﹣2，2），CB 1→=（2，0，4），设平面CEF 的的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CE →=0n →⋅CF →=0，即{2x −y =02x −2y +2z =0， 取x ＝1，则y ＝2，z ＝1，所以n →=（1，2，1），所以点B 1到平面CEF 的距离为|CB 1→⋅n →||n →|=√6=√6．19．（12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0．（1）求m 的取值范围；（2）当m ＝1时，求圆O ：x 2+y 2﹣4＝0与圆C 的公共弦的长．解：（1）由x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0，可得（x ﹣2）2+（y +m ）2＝2m ﹣m 2+3，则2m ﹣m 2+3＞0，解得﹣1＜m ＜3，即m 的取值范围是（﹣1，3）：（2）当m ＝1时，圆C 为x 2+y 2﹣4x +2y +1＝0，联立{x 2+y 2=4x 2+y 2−4x +2y +1=0，可得两圆的公共弦所在的直线方程为4x ﹣2y ﹣5＝0， 由圆O 的圆心（0，0）到直线4x ﹣2y ﹣5＝0的距离为d =|0−0−5|√16+4=√52， 则公共弦的长为2√4−54=√11． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，AD ＝2DC ＝2CB ＝2，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）若∠P AB ＝60°，求平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值．（1）证明：如图，设P A 中点为F ，连接EF ，FB ，因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且EF =12AD ， 又因为BC ∥AD ，BC =12AD ， 所以EF ∥BC 且EF ＝BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，所以CE ∥平面P AB ；（2）解：如图，设AD 的中点为O ，连接PO ，BO ，因为△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，则PO ⊥AD ，又AD ＝2DC ＝2CB ＝2，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，所以PO ＝OB ＝1，AB =√2，P A =√2，又∠P AB ＝60°，所以△P AB 是正三角形，则PB =√2，所以PO 2+OB 2＝PB 2，即PO ⊥BO ，又PO ⊥AD ，OB ⊥OD ，则以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （1，0，0），C （1，1，0），所以PA →=(0，−1，−1)，PB →=(1，0，−1)，PC →=(1，1，−1)，设平面P AB 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PA →=0n →⋅PB →=0，即{−y −z =0x −z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，即n →=(1，−1，1)， 设平面P AB 的法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅PC →=0m →⋅PB →=0，即{a +b −c =0a −c =0，令a ＝1，则b ＝0，c ＝1，即m →=(1，0，1)， 设平面P AB 与平面PBC 的夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜n →，m →＞|=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=23×2=√63． 即平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值为√63． 21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ﹣2a n +1＝0，n ∈N *．（1）求证：数列{1a n −1}为等差数列； （2）设c n =1a n −1，记集合{n|k ≤c n ≤2k ，k ∈N ∗}中元素的个数为b k ，求使b 1+b 2+⋯+b k ＞2024成立的最小正整数k 的值．解：（1）证明：由题意可知a n +1a n ＝2a n ﹣1，所以1a n+1−1−1a n −1=(a n −1)−(a n+1−1)(a n+1−1)(a n −1) =a n −a n+1a n+1a n −(a n+1+a n )+1 =a n+1−a n 2a n −1−(a n+1+a n )+1=1， 所以数列{1a n −1}是首项为1a 1−1=1，公差为1的等差数列； （2）由（1）可知c n =1a n −1=1+(n −1)×1=n ， 所以集合{n |k ≤n ≤2k ，k ∈N *}中元素的个数为2k ﹣k +1，即b k =2k −k +1，所以b 1+b 2+b 3+…+b k ＝（21+22+23+…+2k ）﹣（1+2+3+…+k ）+k=2(1−2k)1−2−k(1+k)2+k =2k +1﹣2−12k 2+12k ， 由指数函数的图象和性质可得b k =2k −k +1＞0 恒成立，所以b 1+b 2+⋯+b k 单调递增，因为b 1+b 2+⋯+b 10=210+1−2−12×102+12×10=2001， b 1+b 2+⋯+b 11=211+1−2−12×112+12×11=4039， 所以使b 1+b 2+⋯+b k ＞2024成立的最小正整数k 为11．22．（12分）如图，在圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点p ，过点p 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |，当点p 在圆O 上运动时，记点M 的轨迹为曲线C （当点P 经过圆与y 轴的交点时，规定点M 与点p 重合）．（1）求曲线C 的方程；（2）过点T （t ，0）作圆O ：x 2+y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，将|AB |表示成t 的函数，并求|AB |的最大值．解：（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），则D （0，y 0），因为|DM |＝2|DP |，所以点P 是线段PM 的中点，所以x 0=x 2，y 0＝y ， 因为点P 在圆x 2+y 2＝1上，所以x 02+y 02=1，所以x 24+y 2=1，所以动点M 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1；（2）当﹣1＜t ＜1时点T （t ，0）在圆内，此时过点T （t ，0）不能得到圆O 的切线，故弦AB 不存在，当t ＝1（t ＝﹣1）时切线方程为x ＝1（x ＝﹣1），对于x 24+y 2=1，令x ＝1，解得y =±√32，所以|AB|=√3，当|t |＞1时切线l 的斜率存在，设斜率为k ，则切线l 的方程为y ＝k （x ﹣t ）（|t |＞1），所以22=1，所以k 2=1t 2−1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =k(x −t)x 24+y 2=1，消去y 整理得（1+4k 2）x 2﹣8tk 2x +4k 2t 2﹣4＝0， 将k 2=1t 2−1 代入得（t 2+3）x 2﹣8tx +4＝0， 所以Δ＝48t 2﹣48＞0，所以x 1+x 2=8t t 2+3，x 1x 2=4t 2+3， 所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√48t 2(t 2+3)2=4√3|t|t 2+3， 综上所述，|AB |={√3，t =±14√3|t|t 2+3，|t|＞1， 又当|t |＞1时，|AB |=4√3|t|t 2+3=4√3|t|+3|t|≤√32√|t|⋅3|t|=2，当且仅当|t|=√3时取等号， 所以|AB |max ＝2．。
2023-2024学年广东省深圳学校高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳学校高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线C 的方程为x 2+8y ＝0，则抛物线的焦点坐标为（ ） A ．（﹣2，0）B ．（2，0）C ．（0，﹣2）D ．（0，2）2．已知直线l 的方程为x +√3y +2=0，则该直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．等比数列{a n }中a 4﹣a 1＝14，a 5﹣a 2＝28，则a 2024＝（ ） A ．22023B ．22024C ．22025D ．220264．已知方程x 2+y 2+2x ﹣2ay +2a +4＝0表示一个圆，则实数a 取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） B ．[﹣1，3]C ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D ．（﹣1，3）5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n ﹣2025，其前n 项和为S n ，则S n 取最小值时n 的值为（ ） A ．1012B ．1013C ．1014D ．10156．已知动圆与圆F 1：(x +4)2+y 2=1及圆F 2：(x −4)2+y 2=9都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ） A ．x 2−y 215=1 B ．x 2−y 215=1(x ≤−1) C ．x 215−y 2=1D ．x 215−y 2=1(x ≤−√15)7．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且MN =12ON ，AP =34AN ，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →，则OP →=（ ）A ．14OA →+14OB →+14OC →B ．13OA →+13OB →+13OC →C ．14OA →+13OB →+13OC →D ．13OA →+14OB →+14OC →8．在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=3a n −2n−1(n ∈N ∗)，记c n =3n −2×(−1)n λa n ，若数列{c n }为递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(−32，1)B ．（﹣2，1）C ．（﹣1，1）D ．（0，1）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知数列{a n }的前5项依次为2，0，2，0，2，则下列可以作为数列{a n }通项公式的有（ ） A ．a n ={2，n 为奇数0，n 为偶数B ．a n =(−1)n +1C ．a n =2|sinnπ2|D ．a n =4|cosnπ3| 10．当实数m 变化时，关于x ，y 的方程（m 2+1）x 2+my 2＝m （m 2+1）可以表示的曲线类型有（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线11．如图，在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA =CB =1，AA 1=2，∠BCA =π2，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．BN =√2B ．A 1B ⊥C 1MC ．直线BC 1与平面ACC 1A 1的夹角正切值为12D ．cos ＜BA 1→，CB 1→＞=−√301012．已知圆C 过点（4，2），（2，0），（6，0），点M 在线段y ＝x （0≤x ≤4）上运动，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，以AB 为直径作圆C '，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2＝4 B ．.△MAB 面积的最小值为2 C ．圆C '的面积的最小值为πD ．切点A 、B 的连线过定点（3，1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线x 2−y 24=1的离心率为 ．14．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 8＝36，则数列{1S n}的前2024项和为 ．15．已知两条平行线l 1：3x ﹣4y +6＝0与l 2：6x ﹣8y +C ＝0之间的距离为1，则实数C 的值为 ．16．如图，在棱长为6正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，DD 1的中点，过E ，F ，G 三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知动点M 到两个定点O （0，0）、A （3，0）的距离的比12．（1）求动点M 的轨迹Γ的方程；（2）过点P （3，2）作曲线Γ的切线l ，求切线l 的方程．18．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为5，取正方形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点I ，J ，K ，L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去；在这个过程中，记正方形ABCD 边长为a 1，正方形EFGH 边长为a 2，⋯，第n 个正方形边长为a n ，构成数列{a n }． （1）写出a 2，a 3；（2）求数列{a n }的通项公式a n ；（3）记数列{b n }满足b n =a n 2，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)经过点P(0，1)，Q(√3，12)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F(√3，0)作倾斜角π4的直线l ，直线l 交椭圆C 于点A ，B ，求△OAB 面积．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，P A ＝PC ，PB ＝PD ，AC ∩BD ＝O ．（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）若P A 与平面ABCD 所成的角为30°，求平面BPC 与平面PCD 夹角的余弦值． 21．（12分）已知平面直角坐标系xOy 下，抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程：x ＝﹣1． （1）求抛物线E 的标准方程；（2）若抛物线E 上两点A ，B 满足OA →⋅OB →=−4，求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标． 22．（12分）已知数列{b n }的前n 项和S n ，且S n ＝2b n ﹣2． （1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{a n }的通项公式a n ＝n ，若将数列{a n }中的所有项按原顺序依次插入数列{b n }中，组成一个新数列：b 1，a 1，b 2，a 2，a 3，b 3，a 4，a 5，a 6，a 7，b 4，⋯，b k 与b k +1之间插入2k ﹣1项{a n }中的项，该新数列记作数列{c n }，求数列{c n }的前100项的和T 100．2023-2024学年广东省深圳学校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线C的方程为x2+8y＝0，则抛物线的焦点坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）解：由x2+8y＝0，可得x2＝﹣8y，所以2p＝8，所以p2=2，故抛物线的焦点坐标为（0，﹣2）．故选：C．2．已知直线l的方程为x+√3y+2=0，则该直线的倾斜角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6解：直线l：x+√3y+2=0，化成斜截式方程得y=−√33−2√33，设直线l的倾斜角为α，则直线l的斜率k＝tanα=−√33，且0≤α＜π，所以α=5π6，即直线l的倾斜角为5π6．故选：D．3．等比数列{a n}中a4﹣a1＝14，a5﹣a2＝28，则a2024＝（）A．22023B．22024C．22025D．22026解：设等比数列{a n}的公比为q，a4﹣a1＝14，a5﹣a2＝28，则q=a5−a2a4−a1=2814=2，a4﹣a1＝14，则8a1﹣a1＝14，解得a1＝2，故a2024=a1q2023=2×22023=22024．故选：B．4．已知方程x2+y2+2x﹣2ay+2a+4＝0表示一个圆，则实数a取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）B．[﹣1，3]C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）解：圆的方程化为标准形式，可得（x+1）2+（y﹣a）2＝a2﹣2a﹣3，所以r 2＝a 2﹣2a ﹣3＞0，解得a ＜﹣1或a ＞3，即实数a 取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 故选：C ．5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n ﹣2025，其前n 项和为S n ，则S n 取最小值时n 的值为（ ） A ．1012B ．1013C ．1014D ．1015解：由a n ＝2n ﹣2025，当1≤n ≤1012时，a n ＜0； 当n ≥1013时，a n ＞0，则S n 取最小值时n 的值为1012． 故选：A ．6．已知动圆与圆F 1：(x +4)2+y 2=1及圆F 2：(x −4)2+y 2=9都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ） A ．x 2−y 215=1B ．x 2−y 215=1(x ≤−1)C ．x 215−y 2=1D ．x 215−y 2=1(x ≤−√15)解：设动圆的圆心为M （，x ，y ），动圆的半径为r ，因为动圆与圆F 1：(x +4)2+y 2=1及圆F 2：(x −4)2+y 2=9都外切， 所以|MF 1|＝1+r ，|MF 2|＝3+r ， 所以，|MF 2|﹣|MF 1|＝2，故M 的轨迹是以F 1（﹣4，0），F 2（4，0）为焦点的双曲线的左支，a ＝1，c ＝4， 又b 2＝c 2﹣a 2＝15，则轨迹方程为x 2−y 215=1，x ≤﹣1． 故选：B ．7．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且MN =12ON ，AP =34AN ，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →，则OP →=（ ）A ．14OA →+14OB →+14OC →B ．13OA →+13OB →+13OC →C ．14OA →+13OB →+13OC →D ．13OA →+14OB →+14OC →解：∵M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，MN =12ON ，∴OM →=12（OB →+OC →），ON →=23OM →=13（OB →+OC →），∵AP =34AN ，∴OP →=OA →+AP →=OA →+34AN →=OA →+34（ON →−OA →）=14OA →+34×13（OB →+OC →）=14OA →+14OB →+14OC →，故选：A ．8．在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=3a n −2n−1(n ∈N ∗)，记c n =3n −2×(−1)n λa n ，若数列{c n }为递增数列，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(−32，1)B ．（﹣2，1）C ．（﹣1，1）D ．（0，1） 解：a n+1=3a n −2n−1（n ∈N *），等式两边同时除以2n +1可得：a n+12n+1=32⋅a n 2n −14， 所以a n+12n+1−12=32（a n 2n −12）， ∵a 1＝1，∴a 12−12=0，∴数列{a n 2n −12}为常数列，每项都为0， ∴a n 2n−12=0，∴a n ＝2n ﹣1，∴c n ＝3n ﹣2×（﹣1）n λ2n ﹣1＝3n ﹣（﹣2）n λ， ∵数列{c n }为递增数列， ∴对∀n ∈N *，c n +1＞c n 恒成立，∴3n +1﹣（﹣2）n +1λ＞3n ﹣（﹣2）n λ对∀n ∈N *恒成立，当n 为偶数时，有3n +1+2n +1λ＞3n ﹣2n λ恒成立，即λ＞[﹣（32）n ﹣1]max =−32，当n 为奇数时，有3n +1﹣2n +1λ＞3n +2n λ恒成立，即λ＜[（32）n ﹣1]min ＝1，综上所述，实数λ的取值范围为（−32，1）．故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知数列{a n }的前5项依次为2，0，2，0，2，则下列可以作为数列{a n }通项公式的有（ ） A ．a n ={2，n 为奇数0，n 为偶数B ．a n =(−1)n +1C ．a n =2|sinnπ2|D ．a n =4|cosnπ3| 解：数列{a n }的前5项依次为2，0，2，0，2， 经验证，AC 选项，显然可以表示，对于B ，当n ＝1时，a 1＝0，故B 错误； 对于D ，当n ＝2时，a 2＝2，故D 错误． 故选：AC ．10．当实数m 变化时，关于x ，y 的方程（m 2+1）x 2+my 2＝m （m 2+1）可以表示的曲线类型有（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解：（m 2+1）x 2+my 2＝m （m 2+1）， 当m ＝0时，方程为x 2＝0，即直线x ＝0； 当m ＞0时，方程为x 2m+y 2m 2+1=1，又m 2+1﹣m ＝（m −12）2+34＞0，可得方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆； 当m ＜0时，方程为x 2m +y 2m 2+1=1，可得方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．故选：ACD ．11．如图，在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA =CB =1，AA 1=2，∠BCA =π2，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．BN =√2B ．A 1B ⊥C 1MC ．直线BC 1与平面ACC 1A 1的夹角正切值为12D ．cos ＜BA 1→，CB 1→＞=−√3010解：根据题意，Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√2，在Rt △ABN 中，BN =√AN 2+AB 2=√1+2=√3，故A 不正确；因为△A 1B 1C 1中，A 1C 1＝B 1C 1，M 为A 1B 1中点，所以C 1M ⊥A 1B 1，又因为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1M ⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥C 1M ， 因为A 1B 1∩AA 1＝A 1，所以C 1M ⊥平面AA 1B 1B ，结合A 1B ⊂平面AA 1B 1B ，可得C 1M ⊥A 1B ，故B 正确；因为AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC ，结合AC ⊥BC ，且AA 1∩AC ＝A ，可得BC ⊥平面AA 1C 1C ，即CC 1是BC 1在平面AA 1C 1C 内的射影， 所以∠BC 1C 是直线BC 1与平面ACC 1A 1的所成角，Rt △C 1BC 中，tan ∠BC 1C =BC CC 1=12，可知C 正确； 取AC 中点E ，连接AB 1，与A 1B 交于点O ，连接OE ，BE ．因为OE 是△AB 1C 的中位线，所以OE ∥B 1C ，∠BOE 是向量BA 1→，CB 1→的所成角，矩形AA 1B 1B 中，A 1B =√AA 12+AB 2=√6，矩形CC 1B 1B 中，B 1C =√BC 2+BB 12=√5，△BOE 中，BE =√BC 2+CE 2=√52，OE =12B 1C =√52，OB =12A 1B =√62， 所以cos ∠BOE =BO 2+OE 2−BE 22BO⋅OE =√3010，即cos ＜BA 1→，CB 1→＞=√3010，故D 不正确．故选：BC ．12．已知圆C 过点（4，2），（2，0），（6，0），点M 在线段y ＝x （0≤x ≤4）上运动，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，以AB 为直径作圆C '，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2＝4 B ．.△MAB 面积的最小值为2 C ．圆C '的面积的最小值为πD ．切点A 、B 的连线过定点（3，1）解：由于圆C 过点（4，2），（2，0），（6，0），则圆心在直线x ＝4上， 设为C （4，c ），则（4﹣2）2+c 2＝（4﹣4）2+（c ﹣2）2，解得c ＝0， 故圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4，故A 正确； 设线段y ＝x （0≤x ≤4）为OD ，由于|AB |＝2|AC |sin ∠ACM ＝4sin ∠ACM ，结合图形可知△OCD 为等腰直角三角形， 当MC ⊥OD ，即M 在线段OD 的中点时，∠ACB 最小，则∠ACM 最小，此时|AB |最小， 此时点M 到直线AB 的距离最小，故此时△MAB 面积的最小， 由点到线的距离公式可得|MC |的最小值为√1+1=2√2，由切线长定理可得|MB |＝|MA |=√(2√2)2−22=2＝|AC |＝|BC |， 可得四边形AMBC 是正方形，所以△MAB 的面积=12×2×2＝2，故B 正确； 由于|AB |＝2|AC |sin ∠ACM ＝4sin ∠ACM ，结合图形可知△OCD 为等腰直角三角形， 当MC ⊥OD ，即M 在线段OD 的中点时，∠ACB 最小，则∠ACM 最小，此时AB 最小， 最小值为4sinπ4=2√2，此时以AB 为直径作圆C ′，圆的最小面积为π(√2)2=2π；故C 错误； 设M （a ，a ），则|MA |=√|MC|2−4=√(a −4)2+a 2−4，以M 为圆心，|MA |为半径的圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝（a ﹣4）2+a 2﹣4， 化为普通方程为x 2﹣2ax +y 2﹣2ay ＝﹣8a +12， 与圆C 的一般式方程为x 2﹣8x +12+y 2＝0，两圆方程相减可得AB 所在直线方程为﹣2ax ﹣2ay +8a +8x ﹣24＝0，所以﹣2a （x +y ﹣4）+8x ﹣24＝0，所以AB 过x +y ﹣4＝0与8x ﹣24＝0的交点（3，1）， 所以切点A 、B 的连线过定点（3，1），故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线x 2−y 24=1的离心率为 √5 ． 解：∵双曲线x 2−y 24=1，∴a ＝1，b ＝2，可得c =√a 2+b 2=√5， 故双曲线x 2−y 24=1的离心率为c a=√5．故答案为：√5．14．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 8＝36，则数列{1S n }的前2024项和为 40482025．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3＝3，S 8＝36，可得a 1+2d ＝3，8a 1+12×8×7d ＝36，即2a 1+7d ＝9，解得a 1＝d ＝1，则S n ＝n +12n （n ﹣1）=12n （n +1），1S n=2n(n+1)=2（1n −1n+1），数列{1S n }的前2024项和为2（1−12+12−13+...+12024−12025）＝2（1−12025）=40482025． 故答案为：40482025． 15．已知两条平行线l 1：3x ﹣4y +6＝0与l 2：6x ﹣8y +C ＝0之间的距离为1，则实数C 的值为 2或22 ． 解：直线l 1：3x ﹣4y +6＝0，即6x ﹣8y +12＝0，结合直线l 2：6x ﹣8y +C ＝0，可得它们之间的距离d =|12−C|√6+(−8)2=1，解得C ＝2或22．故答案为：2或22．16．如图，在棱长为6正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，DD 1的中点，过E ，F ，G 三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 6√10+3√2 ．解：直线EF 与直线AD ，CD 分别交于点M ，N ，连接GM ，GN ，分别交AA 1，CC 1于点K ，H ，连接EK ，FH ，则五边形EFHGK 是过三点E ，F ，G 三点的平面截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面，如图，由题意得AM ＝AE ＝GF ＝CN ＝3，AK DG =MK MG =AM MD =33+6=13，则AK ＝1， FH ＝EK =√12+32=√10，GH ＝GK =23GM =23√32+92=2√10， ∵EF ＝3√2，∴过E ，F ，G 三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为：6√10+3√2．故答案为：6√10+3√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知动点M 到两个定点O （0，0）、A （3，0）的距离的比12． （1）求动点M 的轨迹Γ的方程；（2）过点P（3，2）作曲线Γ的切线l，求切线l的方程．解：（1）设M（x，y），由题意得，√x2+y2=12×√(x−3)2+y2，化简得，x2+y2+2x＝3，即动点M的轨迹Γ的方程为（x+1）2+y2＝4；（2）设过点P（3，2）作曲线Γ的切线l与圆的切点分别为N，F，圆T的圆心E（﹣1，0），设切线方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，则√1+k2=2，解得，k＝0或k=43，故切线方程为y＝2或4x﹣3y﹣6＝0．18．（12分）如图，正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去；在这个过程中，记正方形ABCD边长为a1，正方形EFGH边长为a2，⋯，第n个正方形边长为a n，构成数列{a n}．（1）写出a2，a3；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记数列{b n}满足b n=a n2，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意可得：a2=√22a1=5√22，a3=√22a2=52；（2）由题意可得a n=√22a n−1，又a1＝5，则数列{a n}是以5为首项，√22为公比的等比数列，则a n=5×(√22)n−1；（3）记数列{b n}满足b n=a n2，则b n=25×(12)n−1，则数列{b n}的前n项和T n=25[1−(12)n]1−12=50[1−(12)n]．19．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点P(0，1)，Q(√3，12)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F(√3，0)作倾斜角π4的直线l，直线l交椭圆C于点A，B，求△OAB面积．解：（1）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点P(0，1)，Q(√3，12)．则{b=13a2+141=1，解得a2＝4，故椭圆C的标准方程为x24+y2=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F(√3，0)作倾斜角π4的直线l，则直线的斜率为k＝1，则直线l的方程为y=x−√3，联立{y=x−√3x24+y2=1，化简整理可得，5y2+2√3y−1=0，由韦达定理可知，y1+y2=−2√35，y1y2=−15，|AB|=√1+1k2√(y1+y2)2−4y1y2=√2×√(−235)2−4×(−15)=85，原点O到直线AB的距离d=|3|√1+(−1)2=√62，故△OAB面积为12|AB|×d=12×85×√62=2√65．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝120°，P A＝PC，PB＝PD，AC∩BD ＝O ．（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）若P A 与平面ABCD 所成的角为30°，求平面BPC 与平面PCD 夹角的余弦值．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴O 为AC ，BD 的中点，又P A ＝PC ，PB ＝PD ，∴PO ⊥AC ，PO ⊥BD ，∵AC ∩BD ＝O ，且AC ，BD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ；（2）解：设菱形ABCD 的边长为2t （t ＞0），∵∠ABC ＝120°，∴∠BAD ＝60°，则OA =√3t ，由（1）知PO ⊥平面ABCD ，∴P A 与平面ABCD 所成角为∠P AO ＝30°，得到PO ＝t ， 以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B （0，t ，0），C （−√3t ，0，0），P （0，0，t ），D （0，﹣t ，0），得到BP →=(0，−t ，t)，CP →=(√3t ，0，t)，CD →=(√3t ，−t ，0)，设平面PBC 与平面PCD 的一个法向量分别为m →=(x 1，y 1，z 1)，n →=(x 2，y 2，z 2)，由{m →⋅BP →=−ty 1+tz 1=0m →⋅CP →=√3tx 1+tz 1=0，取x 1＝1，得m →=(1，−√3，−√3)，由{n →⋅CP →=√3tx 2+tz 2=0n →⋅CD →=√3tx 2−ty 2=0，取x 2＝1，得n →=(1，√3，−√3)，设平面BPC 与平面PCD 的夹角为θ，∴cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√7×√7=17，∴平面BPC 与平面PCD 夹角的余弦值为17． 21．（12分）已知平面直角坐标系xOy 下，抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程：x ＝﹣1．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若抛物线E 上两点A ，B 满足OA →⋅OB →=−4，求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标． 解：（1）抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程：x ＝﹣1，则p 2=1，解得p ＝2， 故抛物线E 的方程为y 2＝4x ；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的方程为x ＝my +n ，联立{y 2=4x x =my +n，化简整理可得，y 2﹣4my ﹣4n ＝0， Δ＝16m 2+16n ＞0，即m 2+n ＞0，由韦达定理可知，y 1y 2＝﹣4n ，x 1x 2=(y 1y 2)216=n 2， OA →⋅OB →=−4，则x 1x 2+y 1y 2=n 2−4n =−4，即n ＝2，故AB 的方程为x ＝my +2，恒过定点（2，0）．22．（12分）已知数列{b n }的前n 项和S n ，且S n ＝2b n ﹣2．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{a n }的通项公式a n ＝n ，若将数列{a n }中的所有项按原顺序依次插入数列{b n }中，组成一个新数列：b 1，a 1，b 2，a 2，a 3，b 3，a 4，a 5，a 6，a 7，b 4，⋯，b k 与b k +1之间插入2k﹣1项{a n }中的项，该新数列记作数列{c n }，求数列{c n }的前100项的和T 100．解：（1）∵S n ＝2b n ﹣2①，∴S n ﹣1＝2b n ﹣1﹣2（n ≥2）②，①﹣②得，b n ＝2b n ﹣2b n ﹣1（n ≥2），即b n ＝2b n ﹣1（n ≥2），又∵b 1＝2b 1﹣2，∴b 1＝2，∴数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴b n =2n ；（2）∵b k 与b k +1之间插入2k ﹣1项{a n }中的项，且20+21+22+…+25＝63，20+21+22+…+25+26＝127＞100，而b6与b7之间插入25项{a n}中的项，∴数列{c n}的前100项中有数列{b n}的前7项，∴数列{c n}的前100项中有数列{a n}的前93项，∴数列{c n}的前100项的和T100＝a1+a2+…+a93+b1+b2+…+b7＝1+2+…+93+2+4+…+27=93×(1+93)2+2×(1−27)1−2=4625．。
2023-2024学年广东省中山市高二上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省中山市高二上册期末数学试题一、单选题1．直线tan 60x =︒的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．不存在【正确答案】C【分析】根据斜率和倾斜角的定义，直接可得答案.【详解】化简得，x =90°故选：C2．已知向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，且ka b + 与a b - 互相平行，则实数k 的值为（）A ．－2B ．2C ．1D ．－1【正确答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示，列出方程组，求解即可．【详解】∵向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =- ，∴(,,0)(1,0,2)(1,,2)ka b k k k k +=+-=-，(1,1,0)(1,0,2)(2,1,2)a b -=--=- ，∵ka b + 与a b -互相平行，∴()ka b a b λ+=-，即1222k k λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得1k λ==-．故选：D ．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,6n n S S ==，则4n S =（）A ．8B ．12C ．14D ．20【正确答案】D【分析】依据等差数列的性质去求4n S 的值【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S =，2624n n S S -=-=则n S ，2n n S S -，32n n S S -，43n n S S -构成首项为2，公差为2的等差数列则4n S =n S +(2n n S S -)+(32n n S S -)+(43n n S S -)=2+4+6+8=20故选：D4．某班有包括甲、乙在内的4名学生到2个农场参加劳动实践活动，且每个学生只能到一个农场，每个农场2名学生.则甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．34【正确答案】C【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．【详解】解：记四名学生为甲、乙为A ，B ，另外2名学生为a ，b ，两个农场为M ，N ，则分配方案为：M 农场AB ，N 农场ab ；M 农场ab ，N 农场AB ；M 农场Aa ，N 农场Bb ；M 农场Ab ，N 农场Ba ；M 农场Ba ，N 农场Ab ；M 农场Bb ，N 农场Aa ，共6种，甲、乙两名学生被安排在不同农场的分配方案为：M 农场Aa ，N 农场Bb ；M 农场Ab ，N 农场Ba ；M 农场Ba ，N 农场Ab ；M 农场Bb ，N 农场Aa ，共4种，故甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为4263=.故选：C.5．已知数列{}n a 是等比数列，8a ，16a 是函数()21614f x x x =++的两个不同零点，则618420816a a a a a a +=（）A ．16B ．16-C ．14D ．14-【正确答案】B【分析】由题意得到81681616,14a a a a +=-=，根据等比数列的性质得到61842081614a a a a a a ===，化简61842088168161618614()1414a a a a a a a a a a a a +=++=，即可求解.【详解】由8a ，16a 是函数()21614f x x x =++的两个不同零点，可得81681616,14a a a a +=-=，根据等比数列的性质，可得61842081614a a a a a a ===则61842088168168161614()141416a a a a a a a a a a a a +=+=-+=.故选：B.6．设123,,e e e 为空间的三个不同向量，如果1122330e e e λλλ++=成立的等价条件为1230λλλ===，则称123,,e e e线性无关，否则称它们线性相关.若(2,1,3),(1,0,2),(1,1,)a b c m =-==-线性相关，则m =（）A ．3B ．5C ．7D ．9【正确答案】D【分析】确定()()123123131232,,320,0,0a b c m λλλλλλλλλλλ++=++--++=，解得答案.【详解】(2,1,3),(1,0,2),(1,1,)a b c m =-==-线性相关，()()123123131232,,320,0,0a b c m λλλλλλλλλλλ++=++--++=，则1231312320 0 320m λλλλλλλλ++=⎧⎪-=⎨⎪-++=⎩，123,,λλλ不同时为0，解得9m =.故选：D7．双曲线2221(0)16x y a a -=>的一条渐近线方程为124,,3y x F F =分别为该双曲线的左右焦点，M为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．12【正确答案】B【分析】根据双曲线的渐近线方程求得a ，结合双曲线的定义求得2MF ，再结合基本不等式和函数的单调性求得2116MF MF +的最小值.【详解】双曲线2221(0)16x y a a -=>的一条渐近线方程为443y x x a ==，所以3a =，5c =，当M 在双曲线的左支时，212126,6MF MF a MF MF -===+，所以211116166614MF MF MF MF +=++≥=，当且仅当112116,4,10MF MF MF MF ===时等号成立.当M 在双曲线的右支时，122126,6MF MF a MF MF -===-，所以211116166MF MF MF MF +=+-（其中18MF a c ≥+=），对于函数()()168f x x x x=+≥，()()168f x x x x=+≥，任取128x x ≤<，()()1212121616f x f x x x x x -=+--()()1212121212121616x x x x x x x x x x x x ---=--⋅=，由于1212120,160,0x x x x x x -<->>，所以()()()()12120,f x f x f x f x -<<，所以()f x 在[)8,+∞上递增，所以()()min 1688108f x f ==+=.所以211116166MF MF MF MF +=+-的最小值为1064-=.综上所述，2116MF MF +的最小值为4.故选：B8．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中不正确．．．的是（）A ．若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B ．存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PDC ．当且仅当Q 点落在棱1CC 上某点处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大D．若1=2D Q ，那么Q点的轨迹长度为4【正确答案】B【分析】取111,BC CC 中点,E F ，证明1//D EF 平面1A DP ，得动点轨迹判断A ，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面1A PD 的一个法向量，由1D Q与此法向量平行确定Q 点位置，判断B ，利用空间向量法求得Q 到到平面1A PD 距离的最大值，确定Q 点位置判断C ，利用勾股定理确定Q 点轨迹，得轨迹长度判断D ．【详解】选项A ，分别取111,BC CC 中点,E F ，连接11,,D E D F EF ，PF ，由PF 与11B C ，11A D 平行且相等得平行四边形11A PFD ，所以11//D F A P ，1D F ⊄平面1A DP ，1A P ⊂平面1A DP ，所以1//D F 平面1A DP ，连接1B C ，1//EF B C ，11//B C A D ，所以1//EF A D ，同理//EF 平面1A DP ，1EF D F F ⋂=，1,EF D F ⊂平面1D EF ，所以平面1//D EF 平面1A DP ，当Q EF ∈时，1D Q ⊂平面1D EF ，所以1//D Q 平面1A DP ，即Q 点轨迹是线段EF ，A 正确；选项B ，以1D 为原点，11111,,D A D C DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(1,0,0)A ，(0,0,1)D ，1(1,1,2P ，设(,1,)Q x z （0,1x z ≤≤），1(1,0,1)A D =- ，11(0,1,2A P = ，1(,1,)D Q x z = ，设(,,)m a b c =是平面1A PD 的一个法向量，则11012m A D a c m A P b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1c =，则1(1,,1)2m =- ，若1D Q ⊥平面1A PD ，则1//D Q m，所以存在R λ∈，使得1D Q m λ= ，12x z λλλ=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得2[0,1]x z ==-∉，因此正方形11B C CB 内（含边界）不存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD ，B 错；选项C ，1A PD △面积为定值，当且仅当点Q 到平面1A PD 的距离最大时，三棱锥1Q A PD -的体积最大，1(1,1,)AQ x z =-，Q 到平面1A PD 的距离为12332A Q m d x z m ⋅==+-，02x z ≤+≤，302x z ≤+≤时，23[()]32d x z =-+，当0x z +=时，d 有最大值1，322x z ≤+≤时，23[()]32d x z =+-，2x z +=时，d 有最大值13，综上，0x z +=时，d 取得最大值1，故Q 与1C 重合时，d 取得最大值，三棱锥1Q A PD -的体积最大，C 正确；选项D ，11D C ⊥平面11BB C C ，CQ ⊂平面11BB C C ，111D C C Q ⊥，所以22111122C Q D Q D C =-，所以Q 点轨迹是以1C 为圆心，22为半径的圆弧，圆心角是2π，轨迹长度为1222424π⨯⨯=，D 正确．故选：B ．关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过1D 且与平面1A PD 平行的平面1D EF ，由体积公式，在正方形11BB C C 内的点Q 到平面1A PD 的距离最大，则三棱锥1Q A PD -体积最大．二、多选题9．（多选）点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离为2，则a 的值可以为（）A ．14B ．112-C ．112D ．14-【正确答案】AB【分析】把抛物线2y ax =，化为标准形式21x y a =，得12p a=，故准线方程为：14y a =-，利用点到直线的距离可得答案.【详解】抛物线2y ax =的准线方程为14y a=-，因为点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离为2，所以1124a +=，解得14a =或112a =-，故选AB ．【点晴】焦点在y 轴的抛物线的标准方程为22x py =±，准线方程为2py =±，计算时一定要找准p 的值.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（）A ．若59S >S ，则150S >B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则78S S >D ．若67S S >则56S S >.【正确答案】BC根据等差数列的前n 项和性质判断．【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >．故选：BC ．关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负．11．如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右项点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（）A ．2121e e =-B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c -=-【正确答案】AC【分析】根据题中关系可得122a a =，122c c >，122c a c =+，结合椭圆的几何性质逐项判断即可.【详解】由题图知，122a a =，122c c >，所以()12212221221220a c a c a c a c a c c -=-=-<，则1221a c a c <，故B 不正确；且1222212222a c a c a c -=->-，故D 不正确；因为椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，所以1122a c a c -=-，则1221a c a c +=+，故C 正确；因为椭圆2C 的右项点为椭圆1C 的中心，所以122c a c =+，则12221212211122222c a c c e e a a a +===+=+，即2121e e =-，故A 正确．故选：AC ．12．若数列{}n a 满足()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N--===+≥∈，则称数列{}na 为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（）A ．12321n n a a a a a +++++=-B ．202020202021S a a =+C ．135********a a a a a ++++= D ．24620202021a a a a a ++++> 【正确答案】AC【分析】利用斐波那契数列的递推关系进行累加求和即可判断.【详解】A 选项，12n n n a a a --=+ ，31242311n n na a a a a a a a a +--=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩ .累加得，12123n n n a a a a a a a ++--=+++ ，即2212n n a a a a a +-=+++ .又21a =，所以12321n n a a a a a +++++=- ，A 正确；B 选项，由A 选项可知21n n S a +=-，故202020202020122211a S a a =-=-+，B 不正确；C 选项，12n n n a a a --=+ ，423645202220202021a a a a a a a a a -=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩ .累加得，20222352021a a a a a -=+++ ，所以21135202120222022202211a a a a a a a a a -+=-+=++++= ，C 正确；D 选项，由C 选项中同理可知，31532021201920211202246202012021()1a a a a a a a a a a a a a a =-+-++-=-=-+<+++ ，D 不正确.故选：AC.三、填空题13．在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：143,140,144,142,142,145,148,147,147,150,这10名同学数学成绩的60%分位数是___________.【正确答案】146【分析】根据计算分位数的步骤，计算求解即可.【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：140,142,142,143,144,145,147,147,148,150根据1060%6⨯=，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；10名同学数学成绩的60%分位数为.1451471462+=故14614．直线:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度1:2的两段弧,则b =______.【正确答案】【分析】根据直线将单位圆分成长度1:2的两段弧，求出劣弧所对圆心角，再根据半径为1，求出圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式求出b 即可.【详解】解:由题知22:1C x y +=分成长度1:2的两段弧，所以两段弧长所对圆心角之比为1:2，故劣弧所对圆心角为120 ，记:l y x b =+与圆22:1C x y +=交点为,A B ，则120ACB ∠= ，过点C 作AB 垂线，垂足为D ，画图如下:则有1AC =，60ACD ∠= ，30CAD ∴∠= ，12CD ∴=,即圆心C 到直线l 的距离为12，()0,0C ，根据点到直线的距离公式有12=，解得2b =±.故答案为.15．已知定点(,0)(0)A a a >到椭圆22194x y +=上的点的距离的最小值为1，则a 的值为___________．【正确答案】2或4【分析】设椭圆上任一点为P (x ，y )(－3≤x ≤3)，求出|PA |的解析式，再利用二次函数的性质分析解答得解.【详解】解：设椭圆上任一点为P (x ，y )(－3≤x ≤3)，则()22222221594|()()36449955PA x a y x a x x a a ⎛⎫=-+=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当503a <≤时，有9035a <≤.∴当95x a =时，2min 4||415PA a =-=，得53a =>(舍)，当533a <<时，有927355a <<，当且仅当x ＝3时，2min ||691PA a a =-+=，故a ＝2或a ＝4，综上得a ＝2或4.故2或4.16．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E （如右图）是由椭圆C 1:216x +24y =1和双曲线C 2:29x -23y =1在y 轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C 1上一点P 0出发，经过点F 2，然后在曲线E 内多次反射，反射点依次为P 1，P 2，P 3，P 4，…，若P 0，P 4重合，则光线从P 0到P 4所经过的路程为_________.【正确答案】4【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.【详解】椭圆114,2,a b c ===223,a b c ===双曲线和椭圆的焦点重合.根据双曲线的定义有111231326,6PF PF P F P F -=-=，所以11126PF PF -=①，31326P F P F -=②，根据椭圆的定义由1112223130028,8PF PP P F P F P P P F ++=++=，所以路程021*********P F PF PP P F P F P P +++++021*********66P F PF PP P F P F P P =+-+++-+()()11122231300212PF PP P F P F P P P F =+++++-88124=+-=.故4四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1--，动点P 满足PO PA=(1)求动点P 的轨迹C 的方程(2)若直线l 过点()4,1Q -且与轨迹C 相切，求直线l 的方程【正确答案】(1)22(2)(2)4+++=x y (2)4x =-或51280x y ++=【分析】（1）设(),P x y ，根据动点P 满足PO =，用两点间距离公式化简求解.（2）讨论直线的斜率，设出直线l 的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案.【详解】（1）设(),P x y ，则由|||PO PA =，化简得22(2)(2)4+++=x y ，所以P 点的轨迹方程为22(2)(2)4+++=x y ．（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x =-，圆心(2,2)C --到直线l 的距离为2，又因为圆的半径为2，所以相切；当直线l 的斜率存在时，设():14l y k x -=+，即140kx y k -++=，由()2,2C --到l 的距离2=512k =-，所以直线方程为5510123x y --+-=，即51280x y ++=，综上，l 的方程为4x =-或51280x y ++=.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，PAD 为等边三角形，,22,,AD BC AD CD BC E F ===∥分别为棱,PD PB 的中点.(1)求证：⊥AE 平面PCD ；(2)求平面AEF 与平面PAD 夹角的余弦值；(3)在棱PC 上是否存在点G ，使得//DG 平面AEF ？若存在，求直线DG 与平面AEF 的距离；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(3)【分析】（1）CD ⊥平面PAD 得到CD AE ⊥，AE PD ⊥，得到线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面AEF的法向量为(2,1,n =- ，平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)OB = ，再根据向量的夹角公式计算得到答案.（3）假设存在，设,[0,1]PG PC λλ=∈，计算(,2)G λλ-，根据平行得到4=5λ，确定98,555AG ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝=⎭，再利用向量的距离公式计算得到答案.【详解】（1）CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，故CD AE ⊥；PAD 为等边三角形，E 为PD 中点，故AE PD ⊥；CD PD D = ，且,CD PD ⊂平面PAD ，故⊥AE 平面PCD .（2）取AD 的中点O ，连接,OP OB ，则//OB CD ，故OB ⊥平面PAD ，,AD OP ⊂平面PAD ，故OB OP ⊥，OB AD ⊥.PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥.以O 为原点，以OA 、OB 、OP 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则1(1,0,0),,,(0,2,0)2A E F B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，则31,0,,,1,0222AE EF ⎛⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n AE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，3022102x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2x =，得平面AEF的一个法向量为(2,1,n =- ，平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)OB =.cos ,||||OB n OB n OB n ⋅〈〉=== 平面AEF 与平面PAD（3）假设在棱PC 上存在点G ，使得//DG 平面AEF ，且设,[0,1]PG PC λλ=∈，则PG PC λ=，(P ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，(1,2,PC =- ，则(,2)G λλ-，所以()1,2DG λλ=- ，要使得//DG 平面AEF ，则222660DG n λλλ⋅=--+-= ，得4=5λ，故48,,555G ⎛- ⎝⎭，98,555AG ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝=⎭直线DG 与平面AEF的距离为AG n n⋅= 19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：()20y ax a =>的焦点F 到其准线的距离为2，直线l 过点()0,1P 且与C 交于A B 、两点.(1)求a 的值及直线l 的斜率的取值范围；(2)若8AF BF +=，求直线l 的方程.【正确答案】(1)4a =，直线l 的斜率的取值范围为()(),00,1-∞⋃(2)1y x =-+或213y x =+.【分析】（1）结合题意，根据抛物线的焦准距得4a =，再设直线l 的方程为1y kx =+，进而与抛物线联立，结合判别式求解即可；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，进而结合韦达定理与焦半径公式得24228k k -+=，再解方程即可得答案.【详解】（1）解：因为抛物线C ：()20y ax a =>的焦点F 到其准线的距离为2，所以，22a =解得4a =.所以抛物线方程为24y x =，因为直线l 过点()0,1P 且与C 交于A B 、两点，所以，设直线l 的斜率为k ，方程为1y kx =+，所以，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩得()222410k x k x +-+=，故方程有两个不等的实数解.()22202440k k k ⎧≠⎪⎨∆=-->⎪⎩，解得1k <且0k ≠所以，直线l 的斜率的取值范围为()(),00,1-∞⋃（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）知，12242kx x k -+=又由焦半径公式得1228AF BF x x +=++=，所以，24228k k -+=，即2320k k +-=，解得1k =-或23k =.所以，直线l 的方程为1y x =-+或213y x =+.20．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种主流经济形式．某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图．(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），并将平均日利润超过300元的商家称为“优秀商家”，所得频率直方图如图所示．（i ）请根据频率直方图计算抽取的商家中“优秀商家”个数，并以此估计该直播平台“优秀商家”的个数；（ii ）若从抽取的“优秀商家”中随机邀请两个商家分享经验，求邀请到的商家来自不同平均日利润组别的概率．【正确答案】(1)16家；4家；(2)（i ）6家；120家；（ii ）815.【分析】（1）由已知，可先计算小吃类、玩具类商家所占的比例，然后按照分层抽样的方法直接计算；（2）由已知题意和图像可先求解出0.002x =，然后再直接计算直播平台优秀商家个数；可根据条件，优秀商家中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家，直接计算邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件的概率.【详解】（1）抽取小吃类商家100251510554016100-----⨯=（家），抽取玩具类商家10404100⨯=（家）；（2）由图可得(0.0010.0030.0050.009)5010.002x x ++++⋅=⇒=，（i ）该直播平台“优秀商家”个数约为800(0.0020.001)50120⋅+⋅=（家）；（ii ）由已知得：抽取的“优秀商家”中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家．设邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件为A ，则()42865152P A ⨯==⨯．21．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中()()212,4142,N n n a S a n n *==++≥∈．(1)求{}n a 的通项公式，并判断{}n a 是否是等差数列，说明理由；(2)证明：当2n ≥时，1223341111113n n a a a a a a a a +++++< ．【正确答案】(1)2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，数列{}n a 不是等差数列，理由见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由()2414n n S a =++得，当3n ≥时，()211414n n S a --=++，然后两式相减得12n n a a --=，即数列{}n a 从第2项起为等差数列，根据()2414n n S a =++和12a =得到23a =，即可得到2112a a -=≠，数列{}n a 不是等差数列，然后求通项即可；（2）利用裂项相消的方法求12233411111n n a a a a a a a a +++++ ，即可证明1223341111113n n a a a a a a a a +++++< .【详解】（1）由()2414n n S a =++得，当3n ≥时，()211414n n S a --=++，两式相减得()()221411n n n a a a -=+-+，整理得()()1120n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 为正项数列，所以10n n a a -+≠，则120n n a a ---=，即12n n a a --=，在()2414n n S a =++中，令2n =，则()2212244414S a a a =+=++，解得23a =或-1（舍去），所以211a a -=，所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，公差为2，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，数列{}n a 不是等差数列.（2）当2n ≥时，()()()111111*********n n a a n n n n +==--+-+，所以当2n ≥时，122334111111111111123235572121n n a a a a a a a a n n +⎛⎫++++=+-+-++- ⎪⨯-+⎝⎭ ()113221n =-+，因为()10221n >+，所以()11132213n -<+，即1223341111113n n a a a a a a a a +++++< .22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，左右焦点分别为1F 、2F ，圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，且交点在椭圆E 上，直线:l y x m =+与椭圆E 交于A 、B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为14-．(1)求椭圆E 的方程；(2)若1m =，试问E 上是否存在P 、Q 两点关于l 对称，若存在，求出直线PQ 的方程，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)2214x y +=；(2)存在P 、Q 两点关于l 对称，直线PQ 的方程为53y x =--．【分析】（1）由椭圆定义知2a 为两圆半径之和，由点差法可得22OM AB b k k a⋅=-，求出2b ，从而得到椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程为y x t =-+，根据PQ 中点在直线l 上求得t 值，注意检验直线PQ 与椭圆有两个交点.【详解】（1）因为圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，且交点在椭圆E 上，所以213a =+，2a =，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,M x y ，22112222222211x y a b x y aa ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①－②()()01201222220x x x y y y ab --⇒+=，201220120y y y b a x x x -⇒+⋅=-22OM AB b k k a⇒⋅=-，222114b b a⇒-=-⇒=，则椭圆E 的方程：2214x y +=；（2）假设存在P 、Q 两点关于l 对称，设直线PQ 的方程为y x t =-+，()33,P x y ，()44,Q x y ，PQ 中点(),N N N x y ，22225844044y x t x xt t x y =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩，()226420440t t ∆=-->t ⇒<34425N x x t x +==，5N t y =，即4,55t t N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由N 在l 上，451553t t t =+⇒=-，此时(t ∈，故存在P 、Q 两点关于l 对称，直线PQ 的方程为53y x =--．。
2023-2024学年广东省广州市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学试题一、单选题1．已知()A 3,5，()1,7B ，则直线AB 的倾斜角大小是（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【正确答案】D【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan 1α=-，进而求出倾斜角.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则75tan 113α-==--，因为[)0,πα∈，所以135α=︒.故选：D2．抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据抛物线的定义解题即可.【详解】设()00,P x y ，因为24y x =，所以2p =，所以0232x +=，解得02x =故选：B ．3．过点()1,2P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）A ．3270x y +-=B ．250x y +-=C ．3270x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或250x y +-=【正确答案】C【分析】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，分情况讨论即可求解.【详解】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，因为()2,3A ，()4,5B -，所以53442AB k --==--，所以过点()1,2P 且与AB 平行的直线为：()241y x -=--即460x y +-=，因为()2,3A ，()4,5B -，所以线段AB 的中点为()3,1-，所以过点()1,2P 与线段AB 的中点为()3,1-的直线的方程为：()122131y x ---=⨯--，即3270x y +-=，所以这条直线的方程是：3270x y +-=或460x y +-=，故选.C4．设{}n a 是等差数列，若723,13a a ==，则数列{}n a 前8项的和为A ．128B ．80C ．64D ．56【正确答案】C【分析】由等差数列的求和公式以及角标之和的性质求解即可.【详解】()()87128886422a a a a S ⨯+⨯+===故选：C本题主要考查了等差数列的求和公式以及角标之和的性质，属于基础题.5．在直三棱柱111ABC A B C -中，1190,,BCA D F ∠=︒分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（）A．10B ．12C．10D．15【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得11BD AF 与所成角的余弦值，从而求得所求.【详解】根据题意易知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设12BC AC CC ===，则()()()()112,0,0,1,0,2,0,2,0,1,1,2,A F B D 故()11,1,2BD =- ，()11,0,2AF =-，设11BD AF 与所成角为α，090α︒≤≤︒，则11cos AF BD AF BD α⋅==⋅所以sin 10α=，即1BD 与1AF所成角的正弦值是10故选：C.6．已知直线l ：310mx y m --+=恒过点P ，过点P 作直线与圆C ：22(1)(2)25x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．45B ．2C ．4D ．25【正确答案】A【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定AB 最小时直线与直线CP 的位置关系，即可得结果.【详解】由(3)10m x y --+=恒过(3,1)P ，又22(31)(12)525-+-=<，即P 在圆C 内，要使AB 最小，只需圆心(1,2)C 与P 的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由||5CP =5，所以22555AB =-故选：A7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）A ．3B ．12C ．2D ．4【正确答案】A【分析】根据等差数列的通项得出第1、5、17项，根据等比中项得出12a d =，即可根据等比数列公比求法得出答案.【详解】数列{}n a 是公差为0d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，则514a a d =+，17116a a d =+，第1、5、17项顺次成等比数列，则()()2111416a d a a d +=+，解得12a d =，则这个等比数列的公比511111433a a d a q a a a +====，故选：A.8．已知()4,0A ，()0,4B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A．B ．6C．D．【正确答案】C【分析】求出P 关于直线AB 的对称点Q 和它关于y 轴的对称点T ，则QT 的长就是所求路程．【详解】由题意直线AB 方程为4x y +=，设P 关于直线AB 的对称点(,)Q a b ，则122422ba ab ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，即(4,2)Q ，又P 关于y 轴的对称点为(2,0)T -，QT ==故选：C二、多选题9．已知直线1l 的方程为()258x m y ++=，直线2l 的方程为()345m x y ++=，若12//l l ，则m =（）A ．1-B ．7-C ．1D ．3-【正确答案】AB【分析】根据两直线平行可得12211221A B A B AC A C =⎧⎨≠⎩，解之即可【详解】因为()1258l x m y ++=：即()2580x m y ++-=，()2345m x l y ++=：即()3450m x y ++-=，且12//l l ，所以()()()()53242583m m m ⎧++=⨯⎪⎨⨯-≠-+⎪⎩，解得1m =-或7-．故选：AB10．已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±,则下列结论正确的是（）A．直线10x -=与C 有两个公共点B ．CC ．C 的方程为2213x y -=D ．曲线2e 1x y -=-经过C 的一个焦点【正确答案】CD【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程,将点(代入即可得双曲线方程,因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,所以A 错误;根据双曲线方程可求出,,a b c ,进而判断选项B,C 的正误;写出焦点坐标,代入2e 1x y -=-中,即可判断选项D 正误.【详解】解:因为双曲线C渐近线方程为y =,不妨设双曲线方程为:223x y λ-=,将点(代入,可得3λ=,所以双曲线方程为:2213x y -=,故选项C 正确;因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,故选项A 错误;因为双曲线方程为:2213x y -=,所以1,2a b c ===,所以离心率为c a =故选项B 错误;因为双曲线的焦点坐标为()()2,0,2,0-,将()2,0代入2e 1x y -=-知，该焦点在曲线上,将()2,0-代入2e 1x y -=-知，该焦点不在曲线上,所以选项D 正确.故选:CD11．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F 、2F 在x 轴上，短轴长等于2，焦距为过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的方程为2214x y +=B ．椭圆C C ．12PQ =D ．272PF =【正确答案】AD【分析】求出a 、b 、c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F 为椭圆C 的左焦点，将x =入椭圆方程，可求得PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C ，由已知可得222bc =⎧⎪⎨=⎪⎩1b =，c =2a ==.对于A 选项，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为2214xy +=，A 对；对于B 选项，椭圆C 的离心率为2c e a ==，B 错；对于C 选项，设点1F 为椭圆C 的左焦点，易知点()1F ，将x =12y =±，故1PQ =，C 错；对于D 选项，11122PF PQ ==，故21722PF a PF =-=，D 对.故选：AD.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为2，则（）A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为5B ．在棱AB 上不存在一点F ，使得1//C F 平面BDE C ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍D ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小【正确答案】CD【分析】建立空间直角坐标系，根据二面角C AB E --的正切值求出点E 的位置，利用空间向量与线面之间的关系可列式得出A 、B 、D 选项；利用等体积法即可求出1B 到平面ABE 的距离和C 到平面ABE 的距离，即可判断出选项 C.【详解】如图建立直角坐标系，设正方体边长为2因为二面角C AB E --2，所以二面角C AB E --设平面ABC 的法向量为()10,0,1n = ，设平面ABE 的法向量为()2,,n x y z =u u r()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,E λ，()0,2,0AB =，()2,0,BE λ=- 222020AB n y BE n x z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，设1x =，解得221,0,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1212122cos ,3n n n n n n ⋅==⋅，解得λ=AE =，2AD =，DE222cos 25AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅⋅，A 错误；()2,2,0B，(0,E ，()0,0,0D ，()2,2,0DB =，(0,DE = 设平面BDE 法向量为()3,,n x y z =3322020DB n x y DE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，设1x =，解得(31,n =- ()10,2,2C ，()2,,0F y ，()12,2,2C F y =--若1//C F 平面BDE，则31220n C F y ⋅=-+-=，解得42y =-<故在棱AB上存在一点F，使得1//C F平面BDE，B错误；设1B到平面ABE的距离为1h，C到平面ABE的距离为2h，其中ABES=111112233B ABE E ABBV V h--==⨯=⨯⨯，解得13h=211233C ABE E ABCV V h--==⨯=⨯，解得23h=，12h=，C正确；(BE=-，平面11BDD B的法向量为()2,2,0AC=-()cos,3BE ACBE ACBE AC⋅==⋅，直线BE与平面11BDD B，D正确.故选：CD三、填空题13．过点()1,0，且斜率为2的直线方程是______．【正确答案】220x y--=【分析】由题意写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．【详解】过点()1,0，且斜率为2的直线方程是()021y x-=-，化为一般式方程为220x y--=．故答案为220x y--=．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．14．椭圆221259x y+=的左焦点为1F，M为椭圆上的一点，N是1MF的中点，O为原点，若3ON=，则1MF=______．【正确答案】4【分析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.【详解】椭圆221259x y+=的左焦点为1F,如图，设右焦点为2F,则5a=，由N是1MF的中点，O为12F F得中点，3ON=,故2||2||6MF ON==,又12||||210MF MF a+==，所以1||4MF =，故415．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________.【正确答案】2n n+【分析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解.【详解】因为2n a n ==，所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =，所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+.故2n n+本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.16．已知等比数列{}n a 的首项为1，且()64312a a a a +=+，则1237a a a a = __________.【正确答案】128【分析】先由等比数列的通项公式得到364312a a q a a +==+，进而得到3412a a q =⋅=，再根据等比数列的性质得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为()64312a a a a +=+，根据等比数列的通项公式的计算得到：364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=.由等比数列的性质得到.77123742128a a a a a === 故答案为128.这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础.对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.四、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【正确答案】(1)()*4n a n n N =∈；(2)2(1)n n T n =+【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d ，代入等差数列的通项公式即可得解；（2）求出等差数列{}n a 的前n 项和，再由裂项相消法求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【详解】（1）因为4a 是2a 与8a 的等比中项，所以2428a a a =，即()()()221113740a d a d a d d d +=++⇒-=，解得4d =或0d =，又0d >，所以4d =，数列{}n a 的通项公式为()*1(1)4n a a n d n n N =+-=∈；（2）()1n 2n n a a S 2n 2n 2+==+ ，2n 111112n 2n 2n n 1S ⎛⎫∴== ⎪++⎝⎭则n 12n111T S S S =++⋯+111111111122231212(1)n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题考查等差数列通项公式及前n 项和公式，裂项相消法求和，属于基础题.18．已知圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，且圆心C 在直线l ：30x y --=上.(1)求圆C 的方程；(2)若从点()4,1M -发出的光线经过x 轴反射，反射光线1l 刚好经过圆心C ，求反射光线1l 的方程.【正确答案】(1)()()226313x y -+-=；(2)2530x y -+=【分析】(1)根据题意设圆心(,3)C a a -，利用两点坐标公式求距离公式表示出CA CB =，解出a ，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程；(2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得()14,1M --，利用直线的两点式方程即可得出结果.【详解】（1）圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，因为圆心C 在直线：l ：30x y --=上，设圆心(,3)C a a -，又圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，所以CA CB =解得6a =，所以()6,3C ，所以r CA ==故圆C 的方程为C ：()()226313x y -+-=；（2）点()4,1M -关于x 轴的对称点()14,1M --，则反射光线1l 必经过点1M 和点C ，由直线的两点式方程可得113446y x +--=+--，即1l .2530x y -+=19．四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)45︒【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量法证得平面AEC ⊥平面PDB .（2）结合向量法求得直线AE 与平面PDB 所成角的余弦值，进而求得所成角的大小.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设,AB a PD h ==，()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,A a B a a C a P h ，(),,0AC a a =- ，所以220,0AC DP AC DB a a ⋅=⋅=-+= ，所以,AC DP AC DB ⊥⊥，由于DP DB D ⋂=，所以AC ⊥平面PDB ，由于AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面PDB .（2）当PD =且E 为PB中点时，()11,,,222P E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设AC BD O = ，则11,,022O a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EO ，则//EO DP ，EO ⊥平面ABCD ，EO AO ⊥.由（1）知AC ⊥平面PDB ，所以AEO ∠是AE 与平面PDB所成角，11,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos EO AEO EA ∠= 由于[]0,90AEO ∠∈︒︒，所以45AEO ∠=︒.20．已知等差数列n {a }的前n 项和为n S ，公差为0d >，且231440,13a a a a =+=，公比为(01)q q <<等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭(1)求数列n {a }，n {b }的通项公式,n n a b ；(2)若数列n {c }满足n n n c a b =+，求数列n {c }的前n 项和n T .【正确答案】(1)3 1.n a n =-2112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)()31211234n n n +⎛⎫+- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解.（2）利用等差数列前n 项和公式与等比数列的前n 项和公式以及分组求和法即可求解.【详解】(1)由题意可得：等差数列n {a }，1111()(2)40,2,2313.3a d a d a a d d ++==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩3 1.n a n =-因为等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，(01)q q <<，所以123111,,.2832b b b ===12111,1112•1242.4n n n b b q --⎧=⎪⎪⎛⎫⎛⎫⇒==⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩.(2)n n n c a b =+=31n -2112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.()111242311214nn n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦∴=+-()31211234n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭本题主要考查等差等比数列的通项公式、求和公式以及分组求和，需熟记公式，考查学生的计算能力，属于基础题.21．如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值．【正确答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用三角形中位线和11//AD 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点M E ∴为1B BC ∆的中位线1//M E BC ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//AD BC 1//ND BC ∴且112ND B C =//M E ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O = ，11111A CB D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD四边形ABCD 为菱形AC BD∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)3,0,0A ，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,,222N ⎫-⎪⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则31,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形DF AB∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD1D F A A ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA DF ∴ 为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎫=⎪⎪⎝⎭设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r ，又)13,1,2MA =- ，33,,022MN ⎫=-⎪⎪⎝⎭132033022n MA y z n MN x y ⎧⋅-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩ ，令3x =1y =，1z =-)3,1,1n ∴=- 15cos ,515DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅ 10sin ,5DF n ∴<>= ∴二面角1A M A N --的正弦值为：105本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.22．设抛物线2:4C y x =，直线:20l x my --=与C 交于A ，B 两点．()1若||AB =l 的方程；()2点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ．求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【正确答案】(1)20x y --=或20x y +-=，(2)见证明【分析】(1)联立直线与抛物线消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式AB ==.(2)设M 的坐标为(),OH OH x y ，由于MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，可利用·0PM PN = 找出一关系式，从而求出定点.【详解】()1由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理可得2480y my --=，显然216320m =+> ，设()()1122,,,A x y B x y ，124y y m ∴+=，128y y =-AB ∴===21m ∴=，即1m =±，直线方程为20x y --=或20x y +-=，()2证明：设AB 的中点M 的坐标为(),OH OH x y ，则()12122OH y y y m =+=，2=222OH OH x my m ∴+=+，()222,2M m m ∴+，由题意可得()0,2N m ，设MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，()20022,2PM m x m y ∴=+-- ，()00,2PN x m y =-- ，由题意可得·0PM PN = ，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，由题意可得002200042040,20x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩解得002,0x y ==，定点()2,0即为所求本题主要考查直线与抛物线的位置关系，圆的相关性质，定点问题，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.。
广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷含详解
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，两边平方后展开整理，即可求得 ，则 的长可求．
【详解】解： ，
，
， ，
， ，
．
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.已知等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若 ，则
1.“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
∴“ ”是“ ”的充分必要条件．
故选C
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
2.在等差数列 中，若 的值是
11.已知点 和点 ，直线 ， 的斜率乘积为常数 ，设点 的轨迹为 ，下列说法正确的是（）
A.存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之和为定值
B.存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之和为定值
C.不存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之差的绝对值为定值D.不存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之差的绝对值为定值
【详解】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2 ，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2 ，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝ ，
则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有 ＝ ，变形可得BC＝ ＝ ＝ ，
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2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.
1．命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0
C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0
D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥0
2．双曲线x 264
−
y 236
=1的焦距是（ ）
A ．10
B ．20
C ．2√7
D ．4√7
3．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2
B ．6
C ．8
D ．14
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π
6，B =π
4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3
B ．
3√6
2
C ．3√3
D ．2√6
5．已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4）
C ．（2，0）
D ．（4，0）
6．已知双曲线x 2m
−
y 22
=1的焦点与椭圆x 24
+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
7．“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1
+
y 27−m
=1表示椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线
x 216
−
y 248
=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|
＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18
B ．2
C ．18
D ．4
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
10．直线l ：y ＝kx +2与椭圆C ：
x 22
+y 2=1有公共点，则k 的取值范围是（ ）。