人教版九年级上学期数学竞赛试卷

图2 九年级上学期数学竞赛试卷 一，选择（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1、篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分） （ D ） 2、如果1-<++<+-m x x m x 1104的解集是4>x ，则 （ C ） （A ）29≤m （B ）5≤m （C ）29

=m （D ）5=m

图1 ————————————————装

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6、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ B ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12 7．如图4，图中平行四边形共有的个数是（ C ） (A) 40 （B ）38 （C ）36 （D ）30 图4 8、任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解：q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定q p n F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ，则在以下结论: ①21)2(=F ②83)24(=F ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F ④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则a n F 1)(=。中，正确的结论有： （ C ） （A ） 4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 二、填空（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 9、若“!”是一种数学运算符号，并且：1!=1，2!=2×1=2，3!＝3×2×1=6，4!=4×3×2×1，…，则100!98!＝ 9900 。 10、用长为８米的铝合金条制成如图5形状的矩形窗框， 使窗户的透光面积最大，那么窗户的最大 图5 透光面积是 8/3m 2

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图6 11、给机器人下一个指令[s ，A ]（0≥s ，οο1800<≤A ），它将完成下列动作：①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离。现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向，要想让机器人移动到点（5-，5）处，应下指令：[52，135°] 。 12、某工件的形状如图6所示，圆弧BC ⌒的度数为60°，AB =6cm ， 点B 与点C 的距离等于AB ，∠BAC =30°，则此工件的面积 为 6∏cm 2 ． 13、一轮船从A 地顺流到B 地要2小时，而从B 地逆流到A 地要3小时，那么有一木排从A 地顺流漂到B 地要 12 小时。 14、汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施： 取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元。若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与 年行驶里程的关系分别如图7中的1l 、2l 所示，则1l 与2l 的交点的横坐标=m 22500 (不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用) 。 图7 15、方程210712122=+++-+x x x x 的解为 -210± 。 16、十个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图8所示，则报3的人心里想 的数是 -2． 图8

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三，解答（20分） 4.已知在△ABC 中，∠ACB =90ο，AC =BC =4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB 的中点O ，两直角边分别经过点B 、C ，然后将三角板绕点O 按顺时针方向旋转一个角度ο0(α＜α＜90ο），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC 、BC 相交于点K 、H ，四边形CHOK 是旋转过程中三角板与△ABC 的重叠部分（如图所示）．那么，在上述旋转过程中： （１）线段BH 与CK 具有怎样的数量关系？四边形CHOK 的面积是否发生变化？证明你发现的结论； （２）连接HK ，设ＢH ＝x , ①当△CKH 的面积为32时，求出x 的值； ②试问△OKH 的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x 的值，若不存在， 请说明理由． 解：（1）在旋转过程中，BH =CK ，四边形CHOK 的面积始终保持不变，其值为△ABC 面积的一半. 理由如下：连结OC ∵△ABC 为等腰直角三角形，O 为斜边AB 的中点，CO ⊥AB ； ∴∠OCK =∠B =45°，CO =OB ，又 ∵∠COK 与∠BOH 均为旋转角， ∴∠COK =∠BOH =α,∴△COK ≌△BOH ， ∴BH =CK ，S 四边形CHOK =S △COK +S △COH =S △BOH +S △COH =S △COB =12S △ABC =4. （2）①由（1）知CK =BH =x ，∵BC =4，∴CH =4－x ，根据题意，得12CH ·CK =32，即(4－x ）x =3，解这个方程得x 1=1，x 2=3，此两根满足条件：0＜x ＜4所以当△CKH 的面积为32时，x 的取值是1或3； ②设△OKH 的面积为S ，由（1）知四边形CHOK 的面积为4，于是得关系式： S =4－S △CKH =4－12x （4－x ）=12（x 2－4x ）+4=12（x 2－2）+2 当x =2时，函数S 有最小值2， ∵x =2时，满足条件0＜x ＜4， ∴△OKH 的面积存在最小值，此时x 的值是2. ————————————————装订线———————————————————装订线————————————————