Lucas多项式的几个恒等式

Ｓ ｍ ｅ Ｐｒ ｐ ｒ ｉ ｓ ｏ ｃ ｓ Ｐｏ ｙ ｏ ｉ ｌ ｏ ｏ ｅ ｔｅ ｆＬｕ ａ ｌ ｎ ｍ ａ
ＺＨＡＮＧ —ｉ ｇ， Ｆｕ ｌｎ ＤＵＡＮ ｅ— ｏ Ｗ ｉｇｕ （ ｐ ｒｍｅ ｔ ｆ ｔｅ ｔｃ ｎ ｎ ｏｍａ ｉｎ Ｓ ｉｎ ｅ， ｉａ ｅ ｃ ｅ ＇ Ｃ ｌ ｇ ， ｉａ １ ０ ０， ｈ ｎ ） Ｄｅ ａ ｔ ｎ Ｍａｈ ｍａ ｉｓａ ｄ Ｉ ｒ ｔｏ ｃｅ ｃ Ｗｅｎ ｎ Ｔ ａ ｈ ｒｓ ｏ ｌ ｅ Ｗｅｎ ｎ ７ ４ ０ Ｃ ｉａ ｏ ｆ ｅ
摘
要 ： 以 Ｌ ｃｓ多项式 Ｌ （ 的定义 为基础 ， 出了 Ｌ ｃｓ多项式 的几个性 质 ， ｕａ ） 给 ｕａ 并用初 等方 法进
行 了证 明 ．
关键词 ： Ｌ ｃｓ多项 式 ； ｕａ 数 ； 学 归纳法 ｕａ Ｌ ｃｓ 数 中图分类 号 ： Ｏ１ ７ ５ 文献 标志码 ： Ａ 文章编 号 ：０ ４０ ６ （ ０ １ ０ —０ ４０ １ ０ —３ ６ ２ １ ） ２０ １—２
ＬＨ１ ） － Ｌ２ １ ） ２ （ ） ｘ （ ） ２． ） ；． （ ４ ｘ ＋（ Ｌ胂２ｚ ＋ Ｌ ２ｚ Ｌ Ｈ３ 一 。 ２ （ ＝ Ｌ抖１ ） Ｌ 抖 （ 十 ｘ ２ｚ ］ ｘ － ） ｚ． ） ｚ ２ （ ［ ２ ． ） １ Ｌ２ （ ） 十 Ｌ２ ２ Ｌ 斛 （ 一 一 蚪 Ｈ（ ３
即 当 — ｍ ＋ １ 式 （ ） 立 ． 时 ２ 成
定理 ２ ［ ｌｚ Ｌ （ ） ｘ Ｌ （ ） ２ｚ ＋Ｌ （ ） ３ｚ ＋ … ＋Ｌ ｌ Ｌ ｚ ］一 Ｌ 一 （ ｘ ＋ ４ ． ２ｚ Ｌ （ ） ２ （ ２（ ） ） （ ） ２ 。 ）
证 明
（） ３
当 一 １时 ， ｚ Ｌ （ 一 Ｌ （ ） （ｘ ＋ ４ ， 式 （ ） 立 ． 假 设 — ｋ 式 （ ） 立 ， 也 （ ） ２ ） ；ｚ 一 ２ ）故 ３ 成 现 时 ３成 即
Ｌ （ ）＋ ｘ （ Ｌ２ （ Ｌ ２ ｚ） 外１ ｚ）＋ ｘ （ Ｌ２ （ Ｌ２ ） 抖ｚ ｚ）一 （ ｘ 抖１ ２ 。＋ ４ 一 ）
Ｌ ＾ｚ ［ ２（ ＋ ｘ （ ） 十 ｘ ｌｚ Ｌ ２ ｚ 一 （ ｘ ＋ ４ ２（ ） Ｌ ＾ ） Ｌ２ ｚ ］ Ｌ２ （ ） ２ （ ） ｌ 蚪 ２ ）一
Ｌ２ （ Ｌ 外３ ）＋ ｘ （ Ｌ２ （ ） １ ｚ） ２ （ Ｌ２ ） 抖３ ． 一 蚪２ ｚ 一
Ｌ 蚪 （ ） Ｌ 抖 （ ） ｘ ２ｚ ］ ２ ３ｚ ［ ２ １ｚ 十 Ｌ２ （ ） 一 一 Ｌ 抖 （ ） ｚ ， 胂 ； ３ｚ 一
即 当 一 是 １时 式 （ ） 立 ． ＋ ４ 成
由归纳 法可 知式 （ ） 立． ３成
定理 ３
ｘ Ｌ （ ） ２ｚ ＋ Ｌ （ Ｌ３ ） … ＋Ｌ２ ｚ Ｌ ， （ ］一 Ｌ 井１ｚ 一 ． ［ ｌｚ Ｌ （ ） ２ ） （ ＋ ） ２ ｌ ） （ 斗 ｉ （）
ｘ Ｌ （ ） ２ ） Ｌ （ ） ３ｚ ＋ … ＋ Ｌ ） ２ １ｚ ］一 Ｌ 蚪 （ ） Ｘ ． ［ ｌｚ Ｌ （ ＋ ２ｚ Ｌ （ ） ２（ Ｌ 抖 （ ） ； １ｚ 一
（） ４
证 明 根据 Ｌ ｃ ｓ ｕ ａ 多项式 的定 义可 知 当 一 １ 时式 （ ）成立 ． ４ 假设 一 ｋ时式 （ ）成立 ， ４ 即
当 — ｋ＋ １时 ，
ｘ Ｌ （ ） ２ｚ ＋ … ＋ Ｌ ） ２ （ ＋Ｌ 抖 （ ） ２ ２ ｚ ＋ Ｌ 蚪 （ ） ２ ３ ］一 ［ ｌ Ｌ （ ） ２（ Ｌ计１ ） ２１ｚ Ｌ胂 （ ） ２ ２ Ｌ 抖 （ ）
ｚ Ｌ （ ） ２ ） Ｌ （ Ｌ （ ） … ＋Ｌ １ｚ Ｌ ｚ ］一 ＬＩ ） （ｘ ＋ ４ ． ［ Ｌ （ ＋ ２ ） 。ｚ ＋ ２ （ ） ２（ ） ；（ 一 ２ ）
当 ｔ一 忌＋ １时 ， ｔ
收 稿 日期 ： ０ ０ ０ —４ ２ １ — ５０
基金项目 渭 南 师 范学 院 基 金项 目（０ １ＹＫＺ ６ ）渭 南 师 范学 院基 础数 学 重 点 学科 项 目 ０４；
定理 ４ 当 和 都 是正 整数且 ｎ＞ ｌ时 ， 有 则
ｚ （ Ｌ， ｚ）一 Ｌｒｌ ｘ） （ Ｌｍ（ ｚ）＋ Ｌ （ Ｌ １ ）一 ２ ｚ） （ Ｌ井一 ｌ ） （ ． （） ５
证明 对 ｍ使 用数 学归纳 法证 明．
当 一１ ， 时 由于有 Ｌ Ｌ 十 Ｌ Ｌ２一 科 ， 。 故式 （ ）成 立． 假 设 ｍ — ｋ一 １和 ｍ — ｋ时 式 （ ）都 ５ 现 ５
第 ２ ３卷 第 ｚ期 ２１ ０ １年 ６月
甘 肃 科 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｕ Ｓ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＧａ ｓ ｃｅ ｃ ｓ
Ｖｏ ． ３ ＮＯ ２ １２ ．
Ｊ ｎ２ １ ｕ ． ０１
Ｌ ｃｓ多项 式 的几 个恒等 式 ｕａ
张 福玲 ， 卫 国 段
（ 渭南 师 范 学 院 数 学 与 信 息科 学 系 ， 西 渭 南 陕 ７４ ０ ） １０ ０
第 ２ 卷 ３
张 福 玲 等 ： ｕ ａ 多 项 式 的 几个 恒 等 式 Ｌ ｃｓ
１ ５
ｘ Ｌ （ ） ｚ ） … ＋ Ｌ 卜 （ ） ２（ ）－Ｌ ） ２ （ ） ［ １ｘ Ｌ （ ＋ ２ ｌｘ Ｌ ｋｚ ２（ Ｌ抖１ｚ ＋Ｌ 蚪 （ Ｌ 蚪 （ ］一 ｋ ２ １ ） ２ ２ ）
当 ｍ — ｋ＋ １时 ， Ｌ ｃｓ多项式 的递 推关 系可得 由 ｕａ
Ｌ，１ ｚ Ｌ斛１ ｚ）＋ Ｌ ｚ） ｒ（） ． （ （ Ｌ件２ ｚ）一 ２ （ Ｌ计 ）＝ （ ＝ ｚ ｒ （ Ｌ ）＋ Ｌ，１ ） ｌ ｚ）＋ ｘ （ Ｌ抖１ ｚ Ｌ，ｌ ｚ） （ － 广 （ Ｌ 一（ Ｌ ） （ ）＋ Ｌ （ Ｌ （ ） ２ （ ｚ） 一 Ｌ， ｚ）一
［］ 高 山珍 ， 静． ｕ ａ 数 列 的几 个 性 质 ［］ 贵 州 大 学学 报 ： ２ 叶 Ｌ ｃｓ Ｊ． 自然 科 学 版 ，０２ １ （） ２ １２６ ２ ０ ，９ ４ ：９—９ ．
［］ 王 军 霞 ， 胜 良． 义 Ｆｂ ｎｃｉ 列 和 广 义 Ｌ ｃｓ 列 的性 质 ［］ 甘 肃 科 学 学报 ，ｏ ９ ２ （） １ —１ ３ 杨 广 ｉｏ ａｃ序 ｕａ 序 Ｊ． ２ ｏ ，１ ４ ：９２ ． ［ ］ 张 成 恒 ． 斐 波那 契 序 列 族 的 发生 函数 及 有 关 性 质 ［］ 西 北 师范 大 学 学 报 ，９ ７ ３ （） ２ —６ ４ 泛 Ｊ． １ ９ ，３ ３ ：４２ ．
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： Ｌｕｃ ｓ ｐ ｌ ｎｏ ａ ； ｃ ｓ ｎ ａ ｏ ｙ ｍｉ ｌ Ｌｕ ａ ｕｍｂｅ ｓ； ａ ｈｅ ｔｃ ｌｉ ｄｕ ｔｏ ｒ ｍ ｔ ｍａ ｉａ ｎ ｃ ｉ ｎ
由递推公式 Ｌ ２ Ｌ ＝ 井 ＋ ， 。 ２ Ｌ Ｌ ＝ ， 一 １ ≥ ０ 所 定义 的数列 （ 称 为鲁卡斯数列 ， ， ， Ｌ） 是法 国著 名数 学 家鲁 卡斯在 研究数论 时发现 的一种数列 ， 中任一个数 Ｌ 称为 Ｌ ｃｓ ． 其 ｕ ａ 数 关于 Ｌ ｃｓ ｕａ 数和一 些特殊的多项
的递 推关系 ， ｕａ 多 当 一 ２ ， Ｌ （ ） ；ｚ ］＝ Ｌ （ ） ｜ｚ 一２ 故式 （） 时 ｝ ＋Ｌ （ ） 。ｚ Ｌ （ ） ｘ， ２ 成
ｘ Ｌ （ ＋Ｌ （ ＋ … ＋Ｌ （ ） Ｅ ； ） ； ） Ｌ ｚ ］＝ Ｌ （ Ｌ （ 一 ２ ） 一。 ） ｘ，
成立， 即有 ｚ ， （ Ｌｒ ）一Ｌ 一（ ） 卜 （ ）＋ Ｌ （ Ｌ （ ） 一 ２ 计卜 （ ） 和 ｊ ， （ ＝ Ｌ （ Ｌ （ ） ＋ 卜 卜ｌ １ｚ Ｌ １ｚ ） ｚ Ｌ ２ｚ 吐 ） ＝ １ ） ｚ ＝
Ｌ （ Ｌ外１ ）－２ ） （ － Ｌ井 １ ｚ） （ ．
当 一 ｍ ＋ １ ， 时
ｘ Ｌ （ ＋ （ ） … ＋ Ｌ （ ） Ｌ （ ） ［ ； ） ｚ＋ ｚ ＋ ｚ ］＝ Ｌ （ ） （ ） ２ ｘ １ｚ ｚ Ｌ ｚ 一 ｘ＋ Ｌ （ ）＝
Ｌ （ Ｅ ｚ ＋ 吐 ｌｚ ］ ２ １ ）Ｌ （ ） （ ） 一 ｘ＝ Ｌ （ ） ２ｚ 一２ 科１ｚ Ｌ （ ） ｚ，
Ｌ２（ Ｌ２ （ ＾ ｚ） 抖２ ｚ）＋ ｘ ｝（ Ｌ２ ２ ｚ）一 （ ｘ Ｌ２ １ ｚ） ｝ （ ｝ ｝ ２ 。＋ ４ 一 ）
Ｌ 抖 （ ）Ｌ ） ｘ ｌ ） 一 （ｘ ＋ ４ ２ ２ ｚ ［ ２（ ＋ Ｌ２ （ ］ 抖 ２ ）一 Ｌ 抖 （ ） （ｘ ＋ ４ ， ｉ２ｚ 一 ２ ）
ｘ Ｌ －（ ） ｚ ＋ Ｌ （ Ｌ １ｚ ］ ［ ｒ （ ） ， （ ＋ Ｌ （ Ｌ （ ） 一 ２ 井 （ ［￣ ｚ Ｌ（ ） １ ） 抖 （ ） ＋ Ｌ １ｘ Ｌ－ ） ） ｚ ］ Ｌ ｌ ）一 － ｌ ｚ ｚ 计 （ ） ２ 井 －（ ） ＋ ［ 井 －（ ） ２ 井 （ ） ２ 抖 （ ）一 ［ Ｌ Ｉｚ ＋ Ｌ ｝１ｚ ］ 吐 ｝ｌｚ ＋ Ｌ 卜２ｚ ］一 Ｌ ＾ｚ ［ 。 计 （ ） ２ 计 （ ） ＋ ［ Ｌ 卜ｌ ＋ ２ 计 （ ） 一 ２ （ ）一 ｚ Ｌ Ｉ ｚ ＋ 吐 卜ｌｚ ］ ｚ 计 （ ） Ｌ 卜２ｚ ］ Ｌ ｚ ［ Ｌ （ ＋ Ｌ １ ］ ２ 也 井 ＿（ ） Ｌ 卜 （ ） ２ 井 （ ｚ 井ｔ ） 井 （ ＋ ［ ） ｝ｌｚ ＋ 井 ２ ｚ ］一 Ｌ ）一
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｅ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｕ ａ ｏ ｙ ｏ ａ ， ｏ ｒ ｐ ｒ ｉｓｏ ｕ ａ ｏ ｙ ｏ ｉｌ ｒ ｉ ｅ ｎ ｓｒｃ ： ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ｆ ｔｏ ｆＬ ｃ ｓｐ ｌ ｎ ｍｉｌ ｓ ｍｅ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ｆＬ ｅ ｓｐ ｌ ｎ ｍ ａ ｅｇ ｖ ｎ ａ ｄ ｎ ａ ｐ ｏ ｅ ｙｔ ｅｅｅ ｎ ａ ｙｍ ｅｈ ｄ ． ｒ ｖ ｄ ｂ ｈ ｌ ｍｅ ｔ ｒ ｔ ｏ ｓ
我们利用 Ｌ ｃｓ ｕ ａ 多项式 的递推关 系 ， 用初 等方法证 明 Ｌ ｃｓ 项式的几个恒 等式． ｕａ 多 定 理 １ 当 竹≥ ２时 ， 有
［ ； ） Ｌ （ ＋Ｌ （ ＋ … ＋Ｌ （ ） ； ） ：ｚ ］＝ Ｌ （ ） （ ） ２ ． ｚ Ｌ ｚ 一 ｘ
立 ． 设 — ｍ（ ≥ ２ 时 式 （ ）成 立 ， 假 ｍ ） ２ 即
式 在文献 ［ １～ ８ ］中进行 了深入 的研究 ， 而对 Ｌ ｃｓ 项式的研究并 不多见． 文献Ｅ －中 Ｌ ｅ ｓ ｕａ 多 在 １］ ｕ ａ 多项式 的定
义满 足如下 的递推关 系 ：
Ｌ ２ ）＝ 上 ｌ ｚ）＋ Ｌ （ （ Ｌ （ ｚ）， （ Ｌ０ ｚ）＝ ２ Ｌ１ ｚ ， （ ）＝ ｚ， ＝ １ ２， ． ， … （） １
ｘ 抖１ ｚ）＋ ２ Ｌ （ Ｌ井 ｚ）一 ２ （ Ｌ井 ）一 ｚ （ Ｌ计抖ｌ ｚ） （ ，
所 以 ｍ — ｋ １ 定 理 ４ 立 ， 而定 理得证 ． ＋ 时 成 因
参考文献 ： ［ ３ Ｓ ｎ Ｎ ． ｌｓ ｆ ｎ ｒｌｅ ｏｙ ｏ ａｓＪ． ｅＦｂ ｎ ｃｉ ａｔｒ ，９ ７ ３ （ ） １ １１ ５ １ ｗａｍｙＭ Ｓ ＯｎａＣａｓｏ ｅａｉ ｄＰ ｌｎ ｍｉｌ ］ Ｔｈ ｉｏ ａｃ Ｑｕｒｅｌ １ ９ ，５ ４ ：２—２ ． Ｇｅ ｚ ［ ｙ