等比数列通项公式

等比数列的通项公式

一、概念理解

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数，这个数列叫等比数列，用式子表示n 1

n

a

q a +=（常数）。

理解等比数列定义时应注意：

（1）由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0。

（2）对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒。

（3）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3 项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列。

二、通项公式的推导 等比数列的通项公式是n 1n

1a a q -=，

（1）在已知 a 1和 q 的前提下，利用通项公式n 1n

1a

a q -=可求出

等比数列中的任意一项。

（2）已知等比数列中任意两项的前提下，使用n 1n 1a

a q -=可求等

比数列中任意一项。

三、等比数列与函数

等比数列｛a n ｝的通项公式n 1n

1a

a q -=，可以改写为n

1n a a q q

=

⋅。当q>0，

且q ≠1时，x

y q =是一个指数函数，而x 1

a

y q q

=⋅是一个不为0的常数

与指数函数的积，因此等比数列｛a n ｝的图象是函数x 1

a y q q

=⋅的图象

上的一群孤立的点。

四、等比中项

如果 a , G , b 成等比数列，则 G 叫做a 和b 的等比中项 ,

G =。

显然，如果a ，b 存在等比中项，则必有ab>0。于是，如果 a n ≠0 ，

且n 1

2

n n 2a a a ++=对任意的正整数

n 都成立，则数列｛a n ｝是等比数列。

【例题1】

在等比数列{a n}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

【例题2】

等比数列{}n

a 中，44a =，则26a a ⋅等于（ ）

A. 4

B. 8

C. 16

D. 32

【例题3】

数列{}n

a 为等比数列，.q ,15a a ,36a a 7382求公比已知=+=

解析

,036x 15x a ,a ,15a a 36a a a a 273738273的两根是方程=+-∴=+==

2

2

24

1

4,3,1212,34

4

7373±

=±=∴=

=∴====∴q q q q a a a a 或或或

【例题4】

已知}a{

n 为等比数列，且

2

1

a

18

a

a

36

a

a

n

7

4

6

3

=

=

+

=

+，

，，求n。

解析1：⎩

⎨

⎧=+=+=⋅+⋅=+36

a a

18)a a (q q a q a a a

63

636374

9

n 1n 822

1

2)21(32q a a 32

a 36

)q 1(a a a 21

q 1

n 83n 3n 3n 33363=-=-∴===⋅=⋅==∴=+=+=∴----，即，又

解析2：18)q 1(q a a a 33174

=+⋅=+

且36)q 1(q a a a

32163

=+⋅⋅=+

128a 2

1

q 1==∴，

又1n 71

n 1n

)2

1(2q a a --⋅=⋅=

9n 1n 822

1

21

n 8=-=-∴==

=--，即

【例题5】

ac b 2是c b a ,,成等比数列的（ ）

A. 充分但不必要条件 B . 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【例题6】

三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是。

【例题7】

三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数。

解6：4，8，16或16，8，4

解7：12. 8，2，—4或—4，2，8

【例题8】

设等差数列{}n

a 的公差d 不为0，1

9a d =. 若k a 是1a 与2k a 的等

比中项，则k =（ ）

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

【例题9】

已知等差数列的第k ，n ，p 项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数数列，则等比数列的公比为 （ ） A. n

k p

n -- B. k

p n

p -- C. p

n k

n -- D.

p

k n

k --