《博弈论与信息经济学》混合战略纳什均衡

p*
q*
1, 1,
3,0 4 1 ,0 4
有两个纯战略均衡：（德语，德语）、（法语，法语）；
一个混合战略均衡：p*, q* 3 4,1 4。
p
甲
1
3/4 乙
O 1/4
12
1q
博弈论与信息经济学
▪ 解法2：代数法
甲和乙的期望盈利：v甲 v乙
p 4q q4p
1 2q 1 3 3 2 p
q2
C
r1
C
r2
4r1 2 2q1 q2 4r2 1 q1 q2 8q1 4q2 6 0
4r1 r2 11 q1 q2 1 0
4r1 2 2 p1 p2 4r2 1 p1 p2 8 p1 4 p2 6 0
4r1 r2 11 p2 p2 1 0
参与人i的期望盈利为：vi pi , pi
n
pj
sj
ui
s
。
sS j1
6
博弈论与信息经济学
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父母/儿子
支助 父 （p1） 母 不助
（p2）
儿子
立志（q1）
不立志（q2）
32
-1 3
-1 1
00
期望盈利：
1 3 p1q1 p1q2 p2q1 0 2 2q1 p1 q1 p2 3q2 p1 0
4q1 2 2 p1 p2 4q2 1 p1 p2 8 p1 4 p2 6 0
4q1 q2 11 p1 p2 1 0
p1*
1 2
,
p2*
0,
p3*
1 2
q1*
1 2
, q2*
0, q3*
1 2
r1*
1 2
,
r2*
0, r3*
1 2
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博弈论与信息经济学
2
即p 1 ，则q能取任意值，即q 0,1。
2
9
博弈论与信息经济学
2020/6/11
0 如果q 1 2
1 如果q 1 2
反应函数：p 0,1如果q 1 2，q 0,1如果q 1 2
1 如果q 1 2
0 如果q 1 2
由此可知，这个博弈的纳什均衡为p* 1 2，q* 1 2。
p
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博弈论与信息经济学
2020/6/11
A/B/C （sc=1）
1 A2
3
A/B/C （sc=2）
1 A2
3
A/B/C （sc=3）
1 A2
3
1 3，3，3 2，3，3 1，3，3
1 3，3，2 2，3，2 1，3，2
1 3，3，1 2，3，1 1，3，1
B 2 3，2，3 2，2，3 1，2，3
儿子
立志
放荡
32
-1 3
-1 1 0 0
1
博弈论与信息经济学
假定父母选择支助的概率为p1，选择不支助的概率为p2 1- p1 ； 儿子选择立志的概率为q1，选择不立志的概率为q2 1- q1 。那么
对两个参与人，各自的盈利函数为：
v1
3 p1q1
1
p1q2
1
p2q1
5
p1q1
p1
q1
v2 2 p1q1 p2q1 3 p1q2 2 p1q1 q1 3 p1
完全信息静态博弈。）
甲/乙
乙 红(q) 黑(1-q)
红(p) -1
11
-1
甲
黑(1-p) 1
-1 -1
1
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期望盈利为：v甲 v乙
p, p,
q q
2p 2q
1 2p
2q 1
2q 1 2 p 1
8
博弈论与信息经济学
2020/6/11
对于甲来说，为使盈利达到最大，只有调整p。如果1 2q 0， 即q 1 ，则p越大越好，而p的最大值只能取1；如果1 2q 0，
B 2 3，2，2 6，6，6 5，6，6
B 2 3，2，1 6，6，5 5，6，5
3 3，1，3 2，1，3 1，1，3
3 3，1，3 6，5，6 5，5，6
3 3，1，1 6，5，5 9，9，9
15
博弈论与信息经济学
解：
矩阵1
A1 A2
r1 2 p1 p2 1 r2 4q1 2 p1
不助 3
3 ，2 -1，1
-1，3 0 ，0
博弈论与信息经济学
▪ 父母的最佳选择p*=0.5，儿子的最佳选择q*=0.2，解释如下：
• （1）当父母选择支助的概率p>0.5时，儿子的最佳选择就是放荡；当父母选择 支助的概率p<0.5时，儿子的最佳选择就是立志。
• （2）当儿子选择立志的概率q>0.2时，父母的最佳选择就是支助；当儿子选择 立志的概率q<0.2时，父母的最佳选择就是不支助。
v甲
p
v乙
q
4q 1 0 4p 3 0
p*
q*
3 4 1 4
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博弈论与信息经济学
▪ 例3（三人博弈）
• 三个参与人A、B、C，每个人的战略集为{1，2，3}。每个人对应于某个战略 的支付是用三个人选择战略中的最小数字乘以4，再减去自己所选择战略的值。
• 三个局中人的混合战略为：p，q，r • 学习如何写出三个局中人的矩阵型表达式。
甲
1
1/2
乙
O
1/2
1q
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博弈论与信息经济学
2020/6/11
▪ 解法2：代数法
v甲 p, q 2 p 1 2q 2q 1 v甲
v乙
p,
q
2q
2
p
1
2
p
1
v乙
p q
1 2q 2p 1
0 0
p* q*
1 1
2 2
▪ 例2.
甲/乙
乙 德(q) 法(1-q)
德(p) 3
21
1
甲
法(1-p) 0
02
3
甲和乙的期望盈利：v甲 v乙
p 4q q4p
1 2q 1 3 3 2 p
11
博弈论与信息经济学
2020/6/11
▪ 解法1：反应函数法
反应函数如下：
1
p 0,1
0
如果q 1 4
1
如果q 1 4，q 0,1
如果q 1 4
0
如果p 如果p 如果q
3 3 3
4 4 ，均衡 4
▪ （1）混合策略
• 纯战略：参与人在给定的信息下只选择一种特定战略， 这样情况下的战略，称为纯战略。
• 混合战略：参与人在给定信息下以某种概率分布选择不 同的战略，在原来纯战略的基础上，选择某个战略的概 率分布称为混合战略。
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博弈论与信息经济学
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混合策略的定义：在n人博弈G S1,L , Sn;u1,L ,un中，假定参与人i有 K个纯战略，即Si si1,L , siK ，则概率分布pi pi1,L , piK ，0 pik 1，
b.对于儿子的期望盈利v2，如果1 2 p1 0，即父母的混合战略p1 0.5，则
儿子的混合战略取最大值q1 1时，v2最大；相反，如果1 2 p1 0，父母的
混合战略p1 0.5，则儿子的混合战略取最大值q1 0时，v2最大。
儿子 父母/儿子
立志（q1） 放荡（q2）
支助 父 （p1） 母
v1
p1
v2
q1
5q1 1 0 1 2 p1 0
p1 q1
p2 0.5 0.2，q2
0.8
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博弈论与信息经济学
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▪ 进一步浪子博弈还可以作出如下解释：
期望盈利：v1 v2
3 p1q1 2q1 p1
p1q2 q1 p2
p2q1 3q2 p1
3r1 r2
4q1
p1
1
6
4
p1
C 3
1
r1
r2
4q1
2
p1
p2
2
4q2
p1
p2
1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
9
8 p1
4
p2
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博弈论与信息经济学
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A A1 A2 A3 B B1 B2 B3 C C1 C2 C3
A
p1
A
p2
B
q1
B
K
pik 1，pik p sik 是i选择战略sik的概率，pi称为参与人i的混合战略。
k 1
i 代表i的混合战略空间，pi i 。
▪ （2）期望盈利
对于博弈G S1,..., Si ,..., Sn;u1,..., ui ,..., un，对应于s s1,..., si,..., sn 有p p1,..., pi ,..., pn ，pi i ，p表示局中人i的混合战略组合，那么，
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父母/儿子 父 支助 母 不助
儿子
立志
放荡
32
-1 3
-1 1 0 0
4
博弈论与信息经济学
• 从上例中可以看出，当参与人在选择战略具有不确定性， 考虑纳什均衡时，具体战略的盈利已经显得不很重要， 重要的是某个战略的概率分布，因此，纳什均衡的解也 就必须包含概率，这样的支付或盈利就称为期望盈利。
0
0
p1 5q1 1 q1 1 2 p1
q1 3
p1
a.对于父母的期望盈利v1，如果5q1 1 0，即儿子的混合战略q1 0.2，则
父母的混合战略取最大值p1 1时，v1最大；相反，如果5q1 1 0，即儿子
的混合战略q1 0.2，则父母的混合战略取最小值p1 0时，v1最大。
p2
5
4q1
A3 1 r1 r2 p1 8q1 4q2 6 p2 4q1 4q2 3 9 8q1 4q2
矩阵2
BB21
r1 2q1 r2 4 p1
q2 1 2 q1
q2
5
4
p1
B3
1
r1
r2
q1
8 p1
4
p2
6
q2
4
p1
4
p2
3
9
8 p1
4 p2
矩阵3
C1 C2
2
即q 1 ，则p越小越好，而p的最小值只能取0；如果1 2q 0，
2
即q 1 ，则p能取任意值，即p 0,1。
2
对于乙来说，为使盈利达到最大，只有调整q。如果2 p 1 0， 即p 1 ，则q越大越好，而q的最大值只能取1；如果2 p 1 0，
2
即p 1 ，则q越小越好，而q的最小值只能取0；如果2 p 1 0，
❖ 1.混合策略与期望盈利
▪ 例：浪子博弈
• 在这一博弈中，两个参与人都不知道对方选择是否确定地选择某个策略，因此， 按照以前所学的知识无法得出均衡解。但是，如果知道对方将以某一概率对某 一策略进行选择的话，就可以得出反应函数，就可以按照纳什均衡的方法求得 解。
2020/6/11
父母/儿子 父 支助 母 不助
7
博弈论与信息经济学
❖ 2.混合战略纳什均衡
▪ 例1.
对于n人混合博弈G S1,L , Sn;u1,L ,un，pi si i ，如果
p* p1*,L , pn* 满足vi pi*, p*i vi pi , p*i ，则称p*为该博弈
的混合战略纳什均衡。（海萨尼认为，混合战略博弈就是不