高中数学 第四章 函数应用 2 实际问题的函数建模课件

答案 B
题型二 指数型函数、对数型函数模型
【例 2】 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子 的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v＝ 5log21Q0，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量． (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多 少？
§2 实际问题的函数建模
学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)；2.能 建立函数模型解决实际问题(重、难点)．
预习教材 P120－129 完成下列问题： 知识点一 常见函数模型
(1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
【预习评价】
1．(1)斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？
(2)在幂函数模型的解析式中，α的正负如何影响函数的单调 性？
提示 (1)k>0时直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大； k<0时直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．(2)当 x>0，α>0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，＋ ∞)上为增函数；当x>0，α<0时，函数的图像在第一象限内 是下降的，在(0，＋∞)上为减函数．
常 用
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
函 数
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n 为常数，m≠0， a>0 且 a≠1)
模 (5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
型
(6)分段函数模型 y＝acxx＋＋dbxx≥<mm，
2．(1)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？
(2)数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？
提示 (1)主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快 慢．(2)因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图
选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合，但用得到的 函数进行估计时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就 要再改选其他函数模型．
解析 设每天获得的利润为y元，则 y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432， ∴当x＝42时，获得利润最大，应定价为42元． 答案 B 规律方法 一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别 是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位．利用二次函 数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相 符．
规律方法 指数型函数模型：y＝max＋b(a>0 且 a≠1，m≠0)， 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长 率问题都可用指数型函数模型来表示．对数型函数模型：y ＝mlogax＋c(m≠0，a>0 且 a≠1)，对数型函数模型一般给出 函数关系式，然后利用对数的运算求解．
【训练2】 某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平 均增长率为1.2%，试解答以下问题：
解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为 0，代入题目 所给公式可得 0＝5log21Q0． 解得 Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为 10 个单位． (2)将耗氧量 Q＝80 代入公式得： v＝5log28100＝5log28＝15(m/s)， 即当一只燕子的耗氧量为 80 个单位时，飞行速度为 15 m/s．
知识点二 解决函数应用问题的基本步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个 步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：
【预习评价】
1．某种放射性元素的原子数 y 随时间 x 的变化规律是 y＝1 024e
－5x，则(
)
A．该函数是增函数
【训练1】 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销 售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知， 营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
解析 由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax ＋b(a≠0)，将(1,800)，(2,1 300)代入，得a＝500，b＝300.当 销售量为x＝0时，y＝300．
B．该函数是减函数
C．x＝－15lg1
y 024
D．当 x＝0 时，y＝1
解析 显然该函数是减函数，B正确，C，D变形或求值错 误．
答案 B
2．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时 间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上 午8：00时的温度为________℃．
解 (1)2009 年底人口总数为 100 万人， 经过 1 年，2010 年底人口总数为 100＋100×1.2%＝100×(1 ＋1.2%)， 经过 2 年，2011 年底人口总数为 100×(1＋1.2%)＋100×(1 ＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2， 经过 3 年，2012 年底人口总数为 100×(1＋1.2%)2＋100×(1 ＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3， …… 所以经过 x 年后，该城市人口总数为 100×(1＋1.2%)x， 所以 y＝100×(1＋1.2%)x．
(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ年)的函数关 系；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到 1年)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，
lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005)．
解析 由于t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时t＝
－4，代入函数T(t)＝t3－3t＋60中，可得T(－4)＝8．
答案 8
题型一 一次函数、二次函数模型
【例1】 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发 现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数： m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的 售价应定为( ) A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好