2020年湖南省永州市中考数学试题(解析版)

2020年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．（4分）﹣2020的相反数为（）
A．﹣B．2020C．﹣2020D．
2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）
A．注意安全B．水深危险
C．必须戴安全帽D．注意通风
3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）
A．6.353×105人B．63.53×105人
C．6.353×106人D．0.6353×107人
4．（4分）下列计算正确的是（）
A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2
C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5
5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9
6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
7．（4分）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①P A＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）
A．B．25C．35D．63
9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左
视图的面积是（）
A．4B．2C．D．2
10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式
d ＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，
1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）
A ．
B ．﹣1
C ．﹣1D．2
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是．
12．（4分）方程组的解是．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．
14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”
安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：
80≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60
成绩90≤x≤
100
人数2515541
根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．
15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．
16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．
17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A 作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．
18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．
20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．
21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”
知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交
AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q
关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．
如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左
平移．
（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．
（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．
2020年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．（4分）﹣2020的相反数为（）
A．﹣B．2020C．﹣2020D．
【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．
【解答】解：﹣2020的相反数为：2020．
故选：B．
2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）
A．注意安全B．水深危险
C．必须戴安全帽D．注意通风
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．
【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：
选项A、B、C中的图形是轴对称图形，
选项D不是轴对称图形．
故选：D．
3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）
A．6.353×105人B．63.53×105人
C．6.353×106人D．0.6353×107人
【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．
则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．
故选：C．
4．（4分）下列计算正确的是（）
A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2
C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．
【解答】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；
a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；
a6•a3＝a9，故选项C正确；
（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．
故选：C．
5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9
【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，
所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，
方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，
故选：A．
6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故选：A．
7．（4分）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①P A＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP ＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．
【解答】解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴P A＝PB，所以①正确；
∵OA＝OB，P A＝PB，
∴OP垂直平分AB，所以②正确；
∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥P A，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴点A、B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
故选：C．
8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）
A．B．25C．35D．63
【分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S
，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．△ABC
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AEF＝S△ABC．
∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，
∴S△ABC＝25．
故选：B．
9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左
视图的面积是（）
A．4B．2C．D．2
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，
∵AC＝2，
∴AD＝1，AB＝AD＝2，
∴BD＝，
∵左视图矩形的长为2，
∴左视图的面积为2．
故选：D．
10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）
A．B．﹣1C．﹣1D．2
【分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．
【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，
∴PQ＝﹣1，
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠3．
【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
12．（4分）方程组的解是．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x＝6，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝2，
则方程组的解为，
故答案为：
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取
值范围是m＞﹣4．
【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：由已知得：
△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”
安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：
成绩90≤x≤
80≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60
100
人数2515541
根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人．
【分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．
【解答】解：600×＝480（人），
即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，
故答案为：480．
15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．
故答案为．
16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝35°．
【分析】过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．
【解答】解：过点B作EF∥a．
∵a∥b，
∴EF∥a∥b．
∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．
∵△ABC是含30°角的直角三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵∠ABF+∠CBF＝60°，
∴∠2＝60°﹣25＝35°．
故答案为：35°．
17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A 作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为6．
【分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴OB＝AB＝OD＝CD＝，
∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，
故答案为：6．
18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是5．
【分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．
【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，
此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，
连接OP′，OP″，OP，
∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），
∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，
∴∠P′OP″＝120°，
过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，
∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，
∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，
则△PMN周长的最小值是5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+2×﹣2
＝1+1﹣2
＝0．
20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣•]•（a+2）
＝[﹣]•（a+2）
＝﹣
＝，
当a＝2时，
原式＝＝1．
21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”
知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；
（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；
（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），
∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），
补全图形如下：
（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，
n%＝×100%＝5%，即n＝5；
B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，
故答案为：15，5，252°；
（3）画树状图如下：
共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
【分析】（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD
＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；
（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．
【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：
作AD⊥BC于D，如图：
则∠ADB＝∠ADC＝90°，
由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，
∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；
（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，
∵BC＝3×30＝90，
∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；
答：A，C之间的距离约为79.50海里．
23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
【分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；
（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有
＝，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
x+10＝2+10＝12．
故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；
（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有
2y+12（2000﹣y）≤10000，
解得y≥1400．
故至少购进一次性医用外科口罩1400只．
24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD ＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；
（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．
【解答】证明：（1）如图，连接OC，OE，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E为BD的中点，
∴BE＝CE＝DE，
∴∠ECB＝∠EBC，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴∠ABD＝90°，
∴∠OBC+EBC＝90°，
∴∠OCB+∠ECB＝90°，
∴∠OCE＝90°
∴OC⊥CE，
又∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，
∴△BCD∽△ABD，
∴，
∴BD2＝AD•CD，
∴（3）2＝5AD，
∴AD＝9，
∵E为BD的中点，AO＝BO，
∴OE＝AD＝，
∴O，E两点之间的距离为．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q
关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；
②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝
OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，
∴OA＝OB＝OC＝2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2；
（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），
由，可得，
∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，
∴，
∴，
∴，
∴当k＝0时2取最小值为4．
∴△CMN面积的最小值为4．
②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，
解得，，，m 3＝1，m4＝﹣1，
∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，
当时，点P（），
线段PQ的中点为（），
∴，
∴，
∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，
当时，点P（﹣，﹣），
线段PQ的中点为（，﹣1），
∴，
∴，
∴直线l的解析式为y＝（1+）x．
综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．
26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．
如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．
（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．
（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．
【分析】（1）通过操作画出图形便可得出结果；
（2）由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB＝CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；
（3）分四种情况：0＜x≤6；6＜x≤6；6＜x＜6+6；x＝6+6．分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，
【解答】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，
（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
∵两纸条等宽，
∴BE＝DF＝6，
∵∠BCE＝∠DCF＝45°，
∴BC＝CD＝6，
∵两纸条都是矩形，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，
∴s＝，
∵0＜x≤6，
∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；
②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，
∴s＝（x+x﹣6）×6＝6x﹣18，
当x＝6时，s取最大值为（36﹣18）cm2；
③当6＜x＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，
∴s五边形＝s菱形﹣s三角形＝＝，
此时，36；
④当x＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，
∴，
综上，s与x函数关系为：s＝（0＜x≤6），或s＝6x﹣18（6＜x≤6），或s＝
（6＜x＜6+6），或s＝36（x＝6+6）．
故s的最大值为36．。