第10节 图的连通性
排水管网模型
┉。
4.2 管网模型的拓扑特性
拓扑学(topology是)研究几何图形或空 间在连 续改变 形状后 还能保 持不变 的一 些性质的学科 。它只考虑物体间的位置关系而不 考虑它 们的形 状和大 小 。拓 扑英文名是Topology, 直译是地志学 , 最早指研究地形、地貌相类似的有关
学科。
公元1858 年 ， 德国数学家莫比乌斯（Mobius ， 1790 ～1868 ）和约翰 斯 丁发现: 把一根纸条扭转 180 °后 ， 两头再粘接起来做成的纸带圈 ， 具有魔术般 的性质 。普通纸带具有两个面（即双侧曲面 ） ， 一个正面 ， 一个反面 ， 两个面可 以涂成不同的颜色； 而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面 ） ， 一只小虫可以爬 遍整个曲面而不必跨过它的边缘 。这种纸带被称为“莫比乌斯带 ”。（也就是说， 它的曲面只有一个）
， 水力属性是管段和
节点在系统中的水力特征的表现 ， 拓扑属性是管段与节点之间的关联 关系 。 管段属性 :??
4.1.3 管网模型的标识
将给水排水管网优化和 抽象为管网模型后 ， 应 该对其进行标识 ， 以便 于以后的分析和计算 。 标识的内容包括: 节点 与管段的命名或编号； 管段方向与节点流量的 方向与设定。
管网图简化
4.1.2 给水排水管网模型元素 给水排水管网经过简化成为仅由管段 和节点 两类元 素组成 的管网 模型 , 管段 与节点相互关联 , 即管段的两端为节点 , 节点之间通过管段连通。 （1 ）管段?? 管段是管线和泵站等简化后的抽象形 式 , 它只能输送水量 , 管段中间不 允许有流量输入或输出 , 但水流经管段后可产生能量改变 。?? 当管线中间有较大的集中流量时 , 无论是流出或流入 , 应在集中流量点 处设置节点 , 避免造成较大的水力计算误差 。?? 泵站、减压阀、跌水井、非全开阀门 等则应 设于管 段上 , 因为它们的功 能与管段类似 , 只引起水的能量变化而没有流量的增加 或者损 失。 （2 ）节点?? 节点是管线交叉点、端点或大流量出 入点的 抽象形 式 。节点只能传递能 量 , 不能改变能量 , 但节点可以有流量的输入或输出。
Chapter 10滨海与浅海沉积体系
对海底沉积物 影响不大
波长大， 波高近等； 周期短，似正弦波
一）坡度对波形的控制
在陆棚区或深水区，波浪图像呈近正弦曲线，为长而缓、斜率小的波，波浪摆动的直径向下呈指数 函数减小（图 10－3A）。当水深超过浪的半波长时，向前传播的浪成为一系列的脊和槽的正弦图像切面， 因此，陆棚区或深水区底部水的动荡通常是很小的，一般没有沉积物的运动，所以常把水深等于 1/2 波 长处，作为浪基面。故当水深大于波长的一半时，沉积物所受到的波浪的扰动已很弱，这就是地质学上
4
碎屑岩系油气储层沉积学——第十章
把此深度作为浪基面的理由。 当深水的波浪进入浅水区时，随着波速的减小，除了波浪产生波浪折射现象外，将发生以下的变化：
波长减小，陡度（波高/波长）增大，即波形从对称变为不对称，当深度接近于 4/3 波高时，波浪的破 碎作用就发生了；水的质点运动轨道从圆形变为椭圆形、直到往复的直线运动。只有波浪的一个特征， 即周期保持不变；这就形成了水动力的分带。
根据波浪的起因不同，海洋波浪有风浪、暴风浪和津浪（Tsunami也称海啸）。其中风浪是经常性持 续起作用的波浪，是影响沉积作用和海滩过程的主要因素；而暴风浪与津浪均为突变性的短暂事件，但 它们的作用巨大。
正常气候时，当风吹过海平面时所形成的海（湖）面波动，由于风的流动带有涡流和阵发性，它以 不规则的切线应力作用于水面，将能量传递给水面。起初在水面上吹起波纹，波纹不断发展成波浪。它 是海岸带向沿岸传送能量的主要形式，不仅本身具有侵蚀海岸和搬运改造沉积物的作用，而且还可派生 沿岸流（Longshore current）和回流（Rip current）。前者引起沉积物的沿岸漂流，后造成沉积向海迁移。 风浪从其生成区传播到沿岸地带，波谱不断发生变化；随着海水深度变浅，依次出现风浪、涌浪（Swell）、 升浪（Build—up）、破浪（Breaker）、拍岸浪（碎浪）或激浪（Surf）和冲浪（Swash）（图 10－3）。因
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
第3章多智能体机器人系统的数理知识
注意，顶点上的环对这个顶点的入度和出度的贡献都是1。在全是
有向边的图中，每条边都有一个起点和一个终点，所有顶点的入度之和
与出度之和相等，这两个和都等于图的边数。
5
3.1.1 图的概念
例题3.1 请分别列出图3-1中两个图的顶点集 和边集 。
3 仍是连通的。
在无向图中，若图中任意两个顶点均连通，则称图是连通的
(connected)，图的这一性质称作连通性 (connectivity)。图3.2(a)为无
向连通图，而图3.2(b)由于 3 与其他节点均不连通因此为无向不连通图。
在无向连通图的每一对不同顶点之间都存在简单通路。
10
3.1.2 图的类型
为简单图。
针对有向图中的节点 ，当其入度与出度相等时，即 deg in ( ) =
deg out ( )，称其为平衡节点 (balanced node)。如果有向图中所有节点
都是平衡的，那么就称此图是平衡的 (balanced)。无向图中的节点均为
平衡节点，且所有的无向图均为平衡图。
定义3.2 (平衡图 balanced graph) 如果节点的出度和入度相等，那
1,
= ൝
0,
若 → 是 的一条边
否则
（3-2）
这与顶点入度的定义类似。
若定义有向图从 到 有边时，它的矩阵在 (, ) 位置上有1，则
构成边 的顶点 ( , ) 为有序二元组时，边 称作有向边 (directed
edge) 。由于有向边具有方向性，因此也可写作 → (或 → )。当
= → 时，此时的 称为 的起点 (origin)， 称为 的终点
图论与组合优化
图论与组合优化当然可以，请看以下的试题：选择题：1. 图论中研究的对象是什么？A. 图B. 数字C. 文字D. 表格2. 组合优化问题通常涉及哪些方面的优化？A. 线性方程组B. 离散对象的组合C. 连续函数的极值D. 微积分的应用3. 图的邻接矩阵中，元素a_ij表示什么？A. 节点i到节点j的距离B. 节点i到节点j的路径数目C. 节点i到节点j是否相邻D. 节点i到节点j的权重4. 在组合优化中，什么是NP完全问题？A. 可以在多项式时间内解决的问题B. 只能通过穷举法解决的问题C. 不可能在多项式时间内解决的问题D. 只适用于离散优化问题5. 图论中常用的搜索算法不包括以下哪个？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. Dijkstra算法D. 快速排序算法填空题：6. 图的顶点数和边数分别记为____和____。
7. 组合优化中，优化目标通常表示为____。
8. 图的一条路径是指图中连接节点的____序列。
9. 图的最小生成树是指包含图中所有节点且权重最小的____。
10. 组合优化中经常使用的基本方法包括贪婪算法和____搜索。
11. 图的度是指与节点____的边的数量。
12. 组合优化问题中，经常需要考虑的约束条件包括____约束和____约束。
13. 图的邻接表是一种表示方法，用于描述每个节点的____。
14. 组合优化中，什么类型的问题通常包括最大流问题和最短路径问题？15. 图的直径是指图中最长____的长度。
16. 在图论中，什么是哈密顿路径？17. 组合优化中，什么是线性规划问题？18. 图的连通性指的是图中任意两个节点之间是否存在____。
19. 组合优化中，什么是二分图匹配问题？20. 图论中常用的表示方法有邻接矩阵和____。
希望这些题目能够符合你的要求，如果有其他需要，请随时告诉我！。
NNG_教师教案离散数学_48课时_黄海华
（第三讲） 2.3、联结词 的完备性
2.4、可满足 性问题与消解 法
1. 真值函数 2. 联结词完备集
1. 消解法
南宁学院教师教案
二级学院（部门）：高博软件学院 专业：13计算机科学与技术 课 程：离散数学 主讲教师：付林林
课题 章节 第三章 命题逻
授课班级
14计 算机 科学 与技 术 （互 联网 会计 审计
划分
第七节、偏序关系
习题课
重 点、 难点 及突 破措 施
重点、难点： 1、二元关系的运算 2、关系的闭包 3、等价关系与划分 4、偏序关系
课堂作业：无
教学场所 及教具
教学方法
普通教室 （√）多媒 体（） 实验室 （） 音 像（） 图 片（） 实 物（） 模 型（） 其 他：
讲授（√） 讨论（） 实践（） 案例（） 演示（） 主题活动 （） 其他：
1. 命题真值与赋值 命题，命题的真值，真命题，假命题，简单命题，复合命题
2. 命题与真值的符号化 用p,q,r等表示命题，成为命题的符号化
3. 基本复合命题 否定式 合取式 析取式 蕴涵式
4. 复合命题 基本复合命题以及多次使用常用联结词
1.2、命题公 式及其赋值
1. 命题常项与命题变项 命题常项，命题变项
反、对称、反对称、传递性给出证明。 6、熟练掌握等价关系、等价类、商集、划分的概念，以及
等价关系与划分的对应性质。 7、熟练掌握偏序关系、偏序集、哈斯图等概念。
内容提要及教学过程
学时分配
第一节、有序对与笛 1
卡儿积
1
第二节、二元关系 1
第三节、关系的运算 第四节、关系的性质
1 1
第五节、关系的闭包
第六节、等价关系与
4 给水排水管网模型-精选文档
在几何图形直观地表示管网图时，管段画成带有 箭头的线段，如图4-5所示。图4.5所示管网图也 可用集合表示为G（V，E），其中： V={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} E={(1→2),(2→3),(3→4),(4→5),(5→6),(6→7), (8→3),(9→10),(11→12),(12→10)} 在管网模型中，常用各管段的起点集合和终点集 合来表示管网图。 起点集合：由各管段起始节点编号组成的集合， 记为F； 始点集合：由各管段终到节点编号组成的集合， 记为T。
最大节点编号就是管网模型中的节点总数。一 般节点编号用(1),(2),(3)--；管段编号[1],[2],[3]-管段的一些属性是有方向性的，如流量、流速、 压降等，它们的方向都是根据管段的设定方向 而定的，只有当给出管段方向后，才能将管段 两端节点分别定义为起点和终点，即管段设定 方向总是从起点指向终点。
的网络系统，为便于规划、设计和运行管理，应将其 简化和抽象为便于用图形和数据表达和分析的系统
这种模型主要表达系统中各组成部分的拓扑关系和水 力特性，将管网简化和抽象为管段和节点两类元素， 并赋予工程属性，以便用水力学、图论和数学分析理 论等进行表达和分析计算
简化：从实际系统中去掉一些较次要的给水排 水设施，使分析与计算集中于主要对象;简化 包括管线的简化和附属设施的简化
管网图或图论中所谓图是指事物和这些事 物之间的联系，简而言之，图就是关系或 联系，图不是图像或图形。事物之间的关 联关系又叫拓扑关系。如图4.4所示，A、 B、C、D四支球队的竞赛关系，构成一个 图；图4.5所示为某排水管网图。
A
B C D 图4.5 排水管网图
图像特征提取及分析PPT课件
5
基本概念
特征形成
根据待识别的图像，通过计算产生一组原始特征，称之为特征形成。
特征提取
原始特征的数量很大，或者说原始样本处于一个高维空间中，通过映射或变 换的方法可以将高维空间中的特征描述用低维空间的特征来描述，这个过程 就叫特征提取 。
特征选择
从一组特征中挑选出一些最有效的特征以达到降低特征空间维数的目的，这 个过程就叫特征选择。
如果仅计算其在坐标系方向上的外接矩形是很简单的，只需计 算物体边界点的最大和最小坐标值，就可得到物体的水平和垂 直跨度。
但通常需要计算反映物体形状特征的主轴方向上的长度和与之 垂直方向上的宽度，这样的外接矩形是物体最小的外接矩形 （MER-Minimum Enclosing Rectangle）。
✓ 一幅图像或一个区域中的连接成分数C和孔数H不 会受图像的伸长、压缩、旋转、平移的影响，但如 果区域撕裂或折叠时，C和H就会发生变化。
✓ 区域的拓扑性质对区域的全局描述是很有用的，欧 拉数是区域一个较好的描述子。
2023/10/17
14
2.凹凸性--区域的基本特征之一
区域内任意两像素间的连线穿过区域外的像素，则此区域为凹形。 相反，连接图形内任意两个像素的线段，如果不通过这个图形以 外的像素，则这个图形称为是凸的。
1. 统计矩 函数的矩在概率理论中经常使用.几个从矩导出的
期望值适用于形状分析. 大小为m*n的数字图像f(i,j)的(p+q)阶矩为:
nm
mpq
i p j q f (i, j)
i1 j 1
2023/10/17
25
（1）区域重 (形)心位置
0阶矩m00是图像灰度f(i,j)的总和。 二值图像的m00则表示对象物的面积。
图连通性若干拓展问题探讨
因，每次开会前都必须对出席会议的骑士有如下要求：
• ① 相互憎恨的两个骑士不能坐在相邻的2个位置；
• ② 为了让投票表决议题时都能有结果（不平票），出席会议的骑士数必须是奇数。
• 如果有某个骑士无法出席任何会议，则国王会为了Peace of the World把他踢出骑士团。
}
Network
• A network administrator manages a large network. The network consists of N
computers and M links between pairs of computers. Any pair of computers are
双连通分量
• 点双连通图：点连通度大于1的图称为点双连通图（没有割点）。
• 边双连通图：边连通度大于1的图称为边双连通图（没有割边）。
• 无向图G的极大(点/边)双连通子图称为(点/边)双连通分量。
• 缩点：把一个双连通分量缩为一个点的过程，就是删除与该双连通分量相关的所有点和边，
然后新建一个点，向所有与双连通分量中的点有边相连的点连边。
{
mark x as a cut-vertex
repeat
z←top of stack s
pop z from stack s
until z=y
mark vertexes just poped and x as a DCC
}
} else low[x]←min(low[x],dfn[y])
Knights of the Round Table
无向图上的经典Tarjan算法
河北师大点集拓扑课件10
河北师大点集拓扑课件10一、教学内容1. 拓扑空间的定义与基本性质2. 开集、闭集、边界、内部与外部的概念3. 拓扑的几种重要性质：分离性、可数性、局部紧性等4. 积空间与商空间的构造及性质5. 紧致性与连通性的定义、判定与性质二、教学目标1. 理解拓扑空间的基本概念，掌握拓扑的几种重要性质2. 掌握开集、闭集、边界等概念，能够运用它们解决实际问题3. 学会使用紧致性与连通性对拓扑空间进行分类与判定三、教学难点与重点1. 教学难点：拓扑空间的构造与性质、紧致性与连通性的判定2. 教学重点：拓扑空间的基本概念、拓扑的性质与分类四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔2. 学具：教材、笔记本、文具五、教学过程1. 实践情景引入通过展示几个典型的拓扑空间实例，引导学生发现拓扑空间的基本概念。
2. 例题讲解讲解教材中的典型例题，帮助学生理解拓扑空间的开集、闭集、边界等概念。
3. 知识点讲解（1）拓扑空间的定义与基本性质（2）开集、闭集、边界、内部与外部的概念（3）拓扑的几种重要性质：分离性、可数性、局部紧性等（4）积空间与商空间的构造及性质（5）紧致性与连通性的定义、判定与性质4. 随堂练习针对每个知识点，设计相应的练习题，让学生当堂巩固所学内容。
5. 课堂小结六、板书设计1. 拓扑空间的定义与基本性质2. 开集、闭集、边界、内部与外部的概念3. 拓扑的几种重要性质4. 积空间与商空间的构造及性质5. 紧致性与连通性的判定七、作业设计1. 作业题目：（1）设X为拓扑空间，证明：X是T0空间当且仅当X中任意两点都有不同的闭邻域。
（2）设A、B是拓扑空间X的两个子集，证明：A∪B是紧致的当且仅当A和B都是紧致的。
（3）设X、Y是两个拓扑空间，证明：如果X是连通的，Y是紧致的，则X×Y也是连通的。
2. 答案：（1）略（2）略（3）略八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课是否成功引导学生理解拓扑空间的基本概念，掌握拓扑的几种重要性质？教学难点是否讲解透彻？2. 拓展延伸：（1）研究更高级的拓扑性质，如仿紧性、局部连通性等（2）探讨拓扑空间与其它数学分支（如：分析、代数、几何等）的联系（3）学习拓扑空间的其它重要应用，如：动力系统、微分几何等重点和难点解析1. 拓扑空间的基本概念及其性质的理解2. 开集、闭集、边界等概念的掌握3. 拓扑性质的判定与应用4. 紧致性与连通性的理解及其判定5. 作业题目的设计与解答一、拓扑空间的基本概念及其性质的理解拓扑空间是点集拓扑学的核心概念，它由一个非空集合及其上的拓扑结构组成。
2022年Python数学实验与建模-图与网络的基本概念
航空基础学院数学第教7研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
图 4.1 中，边e2和e3为重边，e5为环，顶点v5为孤 立点。
v1• e1
•v 5
e5
e3
•v4 e4
v2•
e2
•v3
图 4.1 非简单图示例
航空基础学院数学第教8研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
定义 4.4 无环且无重边的图称为简单图。 如果不特别申明，一般的图均指简单图。
航空基础学院数学第教27研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
Naval Aeronautical University
02
MATLAB 工具箱简介
航空基础学院数学第教28研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
1.图的生成
Graph：无向图（undirected Graph）；
各边相异的道路称为迹（trail）； 各顶点相异的道路称为轨道（path），记为 P(v0 ,vk )； 起点和终点重合的道路称为回路；
起点和终点重合的轨道称为圈，即对轨道 P(v0 ,vk )， 当v0 vk 时成为一个圈。
航空基础学院数学第教15研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
3.定点的度
定义 4.7 （1）在无向图中，与顶点v 关联的边的 数目（环算两次）称为v 的度，记为d(v)。
（2）在有向图中，从顶点v 引出的弧的数目称为v 的出度，记为d (v)，从顶点v 引入的弧的数目称为v 的入 度，记为d (v)，d(v) d (v) d (v)称为v 的度。
在有向图 D中，如果对于任意两个顶点u和v ，从 u到v 和从v 到u都存在道路，则称图 D是强连通图。
(软件补课)图论
4.2 偶图（双图、双色图、二部图） 定义2 设G=(V,E)是一个图， 若G的顶点集V有一个二 划分{V1,V2}，使得G的任一条边的两个端点一个在V1 中,另一个在V2中,则这个图称为偶图。偶图有时记 为({V1,V2},E)。 4.3 偶图的特征性质 定理2 图G为偶图的充分必要条件是它的所有圈都是 偶数长。 4.4 图兰(Turan)定理 定理3 具有P个顶点的而没有三角形的图中最多有 [p2/4]条边。 例2 设G=(V,E)是一个(p,q)图，则 (1)若G是一个偶图，证明q≤p2/4； (2)若G是一个K-正则偶图，证明：p≥2K。
1.3 顶点连通度、边连通度、最小度之间关系 定理1 对任一图G，有k(G)≤λ(G)≤δ(G)。 对任意一个图有： 0≤k(G)≤λ(G)≤δ(G)， 并且k(G),λ(G),δ(G)都是非负整数； 反过来，若对任意整数a，b，c，0≤a≤b≤c， 是否存在一个图G，使得 k(G)=a,λ(G)=b,δ(G)=c呢？ 定理2 对任何整数a,b,c，0≤a≤b≤c，存在 一个图G,使得x(G)=a,λ(G)=b,δ(G)=c。
例7 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。 例8 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数 均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同 构的G。
例10 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。 例11证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公 共的顶点。 例12 至少要删除多少条边，才能使Kp(p>2)不连通且 其中有一个连通分支恰有k(0<k<p)个顶点？简述理由。
Chapter 10滨海与浅海沉积体系
环境 特征
海水反复进退，日光充足， 生物繁多，温度和盐度变化较大；
生物群变化迅速，适应性强
①地形； ②岩性特征
潮汐与 波浪强度
外，还可形成较发育的滨海碳酸盐沉积。
二、环境分类
关于海岸环境的划分，不同专业的学者由于侧重点的不同，其划分方案各异。但归结起来，主要是 根据海岸环境的主要控制因素（如：水动力条件、沉积物供给状况、气候变化、地貌特点、海平面升降 及地质构造背景等）对其进行分类。而从沉积学的角度来看，首先可依据沉积物的类型将其划分为陆源 碎屑型海岩（砂质海岸）和碳酸盐（包括蒸发盐）型海岸两大类；尔后，在此基础上，再根据有无障壁 性地形的存在，对砂质海岸进一步划分为无障壁海岸和有障壁海岸两类。若根据水动力条件是以波浪作 用为主，还是潮汐作用为主，又可分为海滩型海岸和泻湖—潮坪型海岸；或称浪控型与潮控型海岸。
带：水动力状况复杂，波浪、
潮汐、沿岸流对沉积物的扰
动、搬运和改造极为强烈；
气候影响明显，海水温度和
盐度变化大；海水中含氧量
高。富营养物质，生物繁盛，
生态分异明显多样。因此， b
沉积条件的多变性是海岸带
区别于其他沉积环境最为突
图 10－1 大陆边缘理想模式（a）与剖面（b）（据？，199？年）
出的特点。在地质历史中，海岸带又是对地壳运动、海平面波动和海侵、海退反应最敏感和地质作用最
滨海带的基本地质特征主要表现在四个方
表 10－1 海岸带的基本地质特征
面：①深度范围；②宽度大水；③沉积特点及④ 表现
深度
环境特征上（表 10－1）。深度范围主要受正常
范围
天气波浪强度的控制。面向大洋的开阔滨海带， 宽度
特征 变化大，通常在 20～30m；
图论的简单顶点
图论的简单顶点
图论的简单顶点:
1. 节点：也称为图中的顶点，是图的基本元素，代表表示数据。
2. 边：节点之间的连接，它代表着节点之间在某种意义上的关系，如通往其他节点的路线。
3. 图：一种数据结构，由节点和应用于节点的边组成，用于描述由一组对象及其之间的关系组成的问题。
4. 无向图：无向图是一种拥有节点和边的无方向的图。
5. 有向图：有向图是一种拥有节点和边的有方向的图。
6. 路径（或环）：一组由节点和边构成的序列，表示节点之间存在的路线。
7. 连通性：一组节点是连通的，当且仅当任意两个节点之间存在一条路径。
8. 权重：权重表示在图中对节点或边的重要性。
9. 树：树是一种特殊的连通无环的图，具有特定的层次结构。
10. 桥接：桥接通常是指移除特定的边，会使图中的一个或多个连通分量（或子图）分离成不相交的两个连通分量（或子图）。
11. 图遍历：图遍历是图搜索算法的一种，主要用于找到某个节点到另一个节点的最短路径。
12. 强连通图：在无向图中，若任意两个顶点都可以由一条路径互相到达，则称该图为强连通图。
13. 最小生成树：一种用于描述带权完全图的树状图，它的边的数量比图的节点数少1。
14. Euler回路/欧拉路径：欧拉路径是一条路径，它经过每条边恰好一次。
15. 邻接矩阵：也称为邻接矩阵，是一个二维的数组，它通过0或1的值表示
节点之间的连接情况。
16. 图着色：图着色是一种图论技术，用于分配图中每个节点一种不同的颜色，使其不能出现相邻节点具有相同颜色的情况。
《离散数学》第七章_图论-第2节-预习
定理7-2.1推论
推论1： 在n阶图G中，若从不同结点vj到vk有 路，则从vj到vk有长度小于等于n-1的通路。 证明： 若路不是通路， 则路上有重复结点， 删除所有重复结点之间的回路， 得到的是通 路， 其长度小于等于n-1。 推论2：在一个具有n个结点的图中，如果存在 经过结点vi回路（圈），则存在一条经过vi 的长度不大于n的回路（圈）。
Whitney定理
（最小点割集<=最小边割集<=最小点度数）
Whitney定理的证明
证明：设G中有n个结点m条边。 (2)若G连通 1)证明λ(G)≤δ(G)
若G是平凡图，则λ(G)=0≤δ(G)； 若G是非平凡图，由于每一结点上关联的所有 边显然包含一个边割集，因而删除最小度数 δ(G)对应结点所关联的边，则使G不连通，即 存在一个边割集的元素个数小于等于δ(G) ， 即λ(G)≤δ(G)。
e6,e5都是割边
边连通度(edgeconnectivity)
为了破坏连通性，至少需要删除多少条边? 边连通度： G是无向连通图, (G) = min{ |E’| | E’是G的边割集 } 即产生一个不连通图需删去的边的最小数 目。 规定： G非连通： (G)=0 (Kn) = n-1
0
ei (vi 1 , vi ), (ei v i 1 , v i )
v
v1 v 2 0 e e 1 2
v i 1 v i ei
vn en
结点数=边数+1
路长度 ：边的数目。
回路(closed walk)
回路： … v e v e v
0 1 1 2
当v 0 v n时
i 1
圈(cycles)
C1 C2 C3 C4 C5
图论第3章
|V(G-S)|=2: |V(G)|=|S| +2 κ(G)≤|V(G)|-1=|S| +1≤k
G-S连通： 这时，e是 G-S的割边
|V(G-S)| ≥ 3: G-S有割点v
κ(G)≤| S∪{v}|≤k
S∪{v}是G的顶点割
当λ(G) =1时，κ(G) =λ(G) =1。 设对λ(G)<k（k≥2）的图G，κ(G)≤λ(G)。 对λ(G) = k的图G。设E′是G的一个k边割，取e∈E′。令H = G-e, 则λ(H) = k-1。由归纳假设κ(H)≤k-1。
u C
x
w
Q
v
P2
定理得证
推论 设G的阶至少为3，则G是块当且仅当G无孤立点且 任意两条边都在同一个圈上。 证明 设G无孤立点且任意两条边都在同一个圈上。此时G 无环且任意两个点也在同一个圈上，由定理4知G是块。
反之，设G是块。任取G中两条边e1和e2。在e1和e2的边 上各插入一个新的顶点v1和v2，使e1和e2均成为两条边， 记这样得到的图为G′。显然G′是阶大于4的块，由定理4， G′中v1和v2位于同一个圈上，于是在G中e1和e2位于同一个 圈上。 v e1 1
定理由上述方法构造的h4523为了描述通信延迟dfrank等拓展了图的普通距离和普通直径的概念提出了用宽距离来描述点对间信息传递的通信延迟而用所谓的宽直径来描述网络的最大通信延迟
第三章 图的连通度
考察：
u
G1：删去任意一条边后便不连通
G2 ：删去任意一条边后仍连通，
但删去点u后便不连通；
G3
G4
G3和G4删去任意一条边或任意一个点后仍连通，但从直观上看G4的连通
w
u C v
下设 v 不在C 中。因G 是块，无割点，故 G-w 仍连通， 于是G-w中存在一条 (u, v) 路Q 。 设点 x 是 Q 与 C 的最后一个公共点（因 u 本身就是 Q 与 C 的公共点，故这样的 x 存在）。这样，x 将 C 划 分为两条 (u, x) 路 P1 和P2， 不妨设 w 在P2 上，如下图所示。于是P1，Q 的 x到 v 段，边 wv 以及P2 的 u 到 w 段共同构成一个圈C*且u 与 v 均在 C* 上。 P1
10第八章-油藏地化应用解析
重质组分倾 向于残留在 储层中
棒色谱
三、油气运聚成藏史研究
成藏石油在组成上往往具有非均质性， England 等 （ 1987 ） 以 及 England 和 Mackenzie （ 1989 ） 提 出 ， 油 藏 内 部 诸 如 气 油比和生物标志物比值之类石油成分参数的 变化，可以解释为由于油藏石油充注聚集期 间继承性保留的油源相和成熟度的差异所致。
（1）抽提沥青热解
A性量表子酪质P明化较I根含量的：合高S降量极增1许物。为解有性大多的S挥产1很化而原与烃发物好合增油原性类中的大物油，的，的相，的、的尤其S关而原更A2其含峰P性S油轻量是I，2则值，，的在低且代的因热烃低AS表相2P此类解A峰I来关P、可馏的与I源性值分含根S原2于（的，有峰据油高图原其大类油中分油8含量似藏的-3子中量于高沥沥-1含随极青干青分3） 热密度解S1（产的C物相le中对m的大enSt小1z和，可S1用29的7于9相）预对。测大原小油推的测密对度应，原油的 S1＜450mg/g，则原油API＜14， S1＞450mg/g，则原油API＞14，为可产油。
（3）根据油田水组成的变化研究油藏内流 体流动屏障
油田水的化学组成的变化规律可以为井内确定 潜在流动屏障提供重要的信息。在水层和油层内， 残余盐分析（RSA）87Sr/86Sr突变通常表明油层间存 在流动混合的屏障。因此，RSA可提供一种预测流体 流动屏障的方法，利用这种方法判别横向上分隔层， 无论在含油区还是在含水区都是可能的（Smalley等， 1992，1995）。
原油密度与全岩热解S1/S2的关系 （Baskin等，1993）
第四节 资源量估算方法
❖ 在油气远景评价工作中，过去主要是定性地评价盆地 生油潜力的大小，而估价盆地生油潜能的定量方法，目 前正在不断发展和实践中。 ❖生油量计算影响因素多，所以方法也多，各种方法在 一定程度上都存在缺陷和不足。 基本上可归纳为：
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集合论 与图论
Hale Waihona Puke 桥的定义定义7 图G的一条边x称为G的一座桥，如果 G-x的支数大于G的支数. 图中边e7，e8是桥.
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集合论 与图论
割点的性质
定理6 设v是连通图G=(V,E)的一个顶点，则 下列命题等价： (1)v是图G的一个割点. (2)集合V\{v}有一个二划分{U,W}使得uU， wW，v在联结u和w的每条路上. (3)存在与v不同 的两个顶点u和w，使 得v在每一条u与w间 的路上. U
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集合论 与图论
边连通度
定义11 图G的边连通度=(G)是为了从G产生非 连通图或平凡图所需要从G中去掉的最少边数. (1)非连通图和平凡图的边连通度为0. (2)当p≥1时，(Kp)=p-1. (3)有桥的图的边连通度为1.
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集合论 与图论
(G)/(G)/(G)之间的关系
闭通道，则一定存在vi 到自身长度小于或等于 n 的闭 通道. 推论2 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的闭 迹，则一定存在长度小于或等于n 的回路.
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集合论 与图论
扩大路径法
设G=(V, E)为 n 阶无向图， 为G中一条路径。 若 的始点和终点都不与路径外的顶点相邻，则称 是一条极大路径. 任给一条路径，若此路径的始点或终点与路径外 的某个顶点相邻，就将它扩到路径中来，继续这一 过程，直到最后得到的路径的两个端点不与路径外 的顶点相邻为止。 最后总能得到一条极大路径. 称如此构造一条极大路径的方法为“扩大路径法”。 这是一种涉及路径和圈的构造证明中常用的方法.
连通分支数是10.
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集合论 与图论
连通图的充分条件
定理5 设G=(V, E)是一个有p个顶点的图，若对G 的任两个不相邻的顶点u和v有degu+degv≥p-1，则G是 连通的. 证: 如果G不连通，则G至少有两个支，设G1=(V1,E1) 是其中的一个支，其他各支构成的子图为G2=(V2,E2). 设V1=n1，则V2=p-n1, 在G1中，uV1，degu≤n1-1; 在G2中，vV2，degv≤p-n1-1; degu+degv≤(n1-1)+(p-n1-1)=p-2 这与定理的假设矛盾，所以G是连通的。
集合论 与图论
边割集的性质
定理8 设S是连通图G=(V,E)的边割集，则G-S恰 有两个支.
证：假如G-S的支数大于2，则把S的边逐一加入 G-S中，每加入一条边至多能把G-S的两个支联结在 一起.
所以，存在S的一个真子集A使得G-A的支数大于 G的支数。这与S是G的边割集矛盾。因此G-S只有两 个支. 说明：若G 连通，E为边割集，则 p(GE)=2； V为点割集，则 p(GV)2.
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集合论 与图论
边割集的性质
推论1 设G是一个有k个支的图，如果S是G的边割 集，则G-S恰有k+1个支。
推论2 不连通图G的每个边割集必是G的某个支 的边割集。
说明： 1、Kn中无点割集; 2、Nn中既无点割集，也无边割集，其中Nn为 n 阶零 图.
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集合论 与图论
图的连通度
(1) 连通图与非连通图 (2) 有割点(桥)的连通图与没有割点(桥)的连通图 (3) 有割集的连通图 (4) 连通图的连通程度
degv1≥2，除v2外，必有某个顶点u和v1相邻， 那么u必在P中.
如果u不在P中，P1=uv1v2...vn是一条更长的路; 所以u必是v2,...,vn中的某个vi，i≥3，于是 P=v1v2...viv1是G的一个圈.
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集合论 与图论
扩大路径法的应用
例2: 设 G 为 n（n3）阶无向(简单)图， 2，证 明G 中存在长度 +1 的圈. 证：设 = v0v1…vl 是由初始路径 0 用扩大路径法 的得到的极大路径，则 l （为什么？）. 因为v0 不与 外顶点相邻，又 d(v0) ，因而 在 上除 v1外，至少还存在 1个顶点与 v0 相邻. 设 vx 是离 v0 最远的顶点，于是 v0v1…vxv0 为 G 中长 度 +1 的圈.
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集合论 与图论
n-连通
定义12 设G是一个图， 若(G)≥n，则称G是n-点连通图，简称n-连通； 若(G)≥n，则称G是n-边连通图.
说明：设G1，G2是n阶无向简单图， 1、若(G1) ≥ (G2)，则称G1比G2的点连通程度高; 2、若(G1) ≥ (G2)，则称G1比G2的边连通程度高.
集合论 与图论
通道与回路的性质
定理1 在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vivj） 存在通道，则从vi 到 vj 存在长度小于或等于n1 的通 道. 推论1 在 n 阶图G中，若从顶点vi 到 vj（vivj）存 在通道，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n1的路.
定理2 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的
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集合论 与图论
连通图
说明: (1)若u与v之间有一条路，则称u与v连通. 规定u与自身总是连通的. (2)连通图: 任意两点都连通的图. 平凡图是连通图. (3)连通关系 : R={(u, v)| u, v V且u与v连通}. R是等价关系. (4)连通分支: V关于R的等价类的导出子图. 例3：考虑下图的连通分支数及连通分支数.
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集合论 与图论
连通图
定义4 设G=(V, E)是图，如果G中任两个不同顶 点间至少有一条路联结，则称G是一个连通图.
定理4 设G=(V,E)是一个图，在V上定义二元关系R 如下：u, vV，uRv当且仅当u与v之间有一条路，则R 是V上的等价关系. 关于R的每个等价类的导出子图称为G的连通分支.
v1 u v w v3 v4
W
v2
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集合论 与图论
桥的性质
定理7 设x是连通图G=(V,E)的一条边，则下列 命题等价： (1)x是G的桥; (2)x不在G的任一圈上; (3)存在G的两个不同顶点u和v，使得边x在联结u 和v的每条路上; v1 (4)存在V的一个 划分{U,W}，使得 v x U W uU及wW，x u v2 v4 在每一条连接u与w v5 的路上. v
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集合论 与图论
实
例
由某条路径扩大出的极大路径不惟一，极大 路径不一定是图中最长的路径. 上图中，(1)中实线边所示的长为2的初始路径 ，(2),(3),(4)中实线边所示的都是它扩展成的极大 路径. 还能找到另外的极大路径吗？ 7/29
集合论 与图论
通道与回路的性质
定理3 设G=(V, E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图，如果uV，degu为偶数，则G中有圈. 证 令P是G中的一条最长的路(或极大路径)， P=v1v2...vn,
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集合论 与图论
问 题
G为连通图，但不是完全图. 顶点连通度— (G) = min{ |V | |V 为点割集 }. 规定：完全图Kn(n≥1)的顶点连通度为n-1; 非连通图的顶点连通度为0. G为连通图. 边连通度——(G) = min{|E| | E为边割集}. 规定：非连通图的边连通度为0.
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集合论 与图论
例
题
例4：如果图G中的两个不同顶点u与v间有两条不同路 联结，则G中有圈。 证: 令P1和P2是G中两条不同的u-v路；
因为P1P2，所以存在P2的一条边x=u1v1不在P1 上，或者存在P1的一条边x=u1v1不在P2上;
由P1和P2上的顶点和边构成的G的子图记为P1∪P2， 于是(P1∪P2)-x是G的一个连通子图.
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集合论 与图论
例 题
例1：分析通道与闭通道，迹与闭迹，路与圈之间的关 系. v1v2v5v2v3是一条长为4的v1-v3的 通道. v1v2v5v4v2v3是一条长为5的迹. v1v2v5v3是一条长为3的路. v2v4v5v2是圈. v2v4v5v2v3v2是闭通道，但不是闭迹.
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集合论 与图论
路与圈
定义2 如果图中一条通道上的各边互不相同，则 称此通道为图的迹； 如果一条闭通道上的各边互不相同，则此闭通道 称为闭迹. 定义3 如果图中一条通道上的各顶点互不相同， 则称此通道为路或路径； 如果闭通道上各顶点互不相同，则称此闭通道为 圈，或回路. 说明：在无向图中，长度为1的圈由环构成； 长度为2的圈由两条平行边构成. 在无向简单图中，所有圈的长度3.
(1) 连通度与割集之间的关系？
(2)找n阶k-连通图，使其边数最少问题.
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集合论 与图论
顶点连通度
定义10 设G=(V,E)是一个无向图，图G的顶点连通 度=(G)是为了产生一个非连通图或平凡图所需要从 G中去掉的最少顶点数目.
(1)非连通图和平凡图的顶点连通度为0. (2)有割点的连通图的顶点连通度为1.
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集合论 与图论
顶点连通度
对于完全图来说，无论去掉多少个顶点都不可能 得到非连通图. 但对于Kp来说，去掉p-1个顶点，得到一个平凡 图，按定义， Kp的连通度为p-1，即(Kp) =p-1(p≥1). 图G的“顶点连通度”，以后简称为G的“连通 度”.
集合论 与图论
第10节 图的连通性
主要内容：
路、圈的定义(6.3节) 连通图(6.3节) 连通度 — 割点、桥(7.3节) —点(边)割集(7.3节) —点(边)连通度(8.1节)
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集合论 与图论
通道与闭通道
定义1 设G=(V, E)是一个无向图， G的一条通道是G的顶点和边的一个交错序列 v0, x1, v1, x2, v2, x3, ..., vn-1, xn, vn, 其中xi={vi-1, vi} ，i=1, 2, ..., n. n称为通道的长. 这样的通道常称为v0-vn通道，并简记为v0v1v2...vn. v0和vn分别为通路的起点和终点. 当v0=vn时，则称此通道为闭通道.