专题23 以函数为背景的直角三角形的存在性问题(提升训练)(解析版)

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直角三角形存在性问题

直角三角形存在性问题1．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m与y轴交于点B，与x轴交于点C，OC＝8，直线y＝kx+n经过点B与x轴负半轴交于点A，13 AOBO，（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，以线段AB为斜边作等腰直角三角形ABD（点D在y轴右侧），直线OD 与BC交于E，求点E的坐标；2．如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．（1）则点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．3．[模型建立]（一线三等角）（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A 作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；[模型应用]（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，直线l2经过点A与直线l1垂直，求直线l2的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（6，﹣8），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+2上的动点且在第四象限内．若△CPD成为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．4．如图，直线l1：y＝x和直线l2：y＝kx+3交于点A（2，2），P（t，0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，使其与直线l1和直线l2分别交于点D，E．（1）求k的值．（2）用t表示线段DE的长．（3）点M是y轴上一动点，当△MDE是等腰直角三角形时，求出t的值及点M的坐标．。

专题01直角三角形的存在性问题(解析版)

专题一直角三角形的存在性问题【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。

这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。

【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF =1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可．试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m |＜|n |，∴m =﹣1，n =﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y =0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB =OC =3，∴BE =DE =1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC =∠DBE =45°，∴∠CBD =90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y =x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ 2，∴QF =1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM =t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t-+=21322t t-+，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM=223t t--﹣（t﹣3）=23t t-，∴S=12PM×QF=12（23t t-）=21322t t-．综上所述，S=2213(03)22{13(03)22t t tt t t t或-+<<-．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y =a （x +1）（x -3），展开得到-2a =2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C （0，3），然后利用待定系数法求直线AC 的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于M ，如图1，则B ′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB +MD 的值最小，则此时△BDM 的周长最小，然后求出直线DB ′的解析式即可得到点M 的坐标；（3）过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y =-13x +b ，把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为y =-13x +3，再解方程组223133y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P 时，利用同样的方法可求出此时P 点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y =a （x +1）（x ﹣3），即y =ax 2﹣2ax ﹣3a ，∴﹣2a =2，解得a =﹣1，∴抛物线解析式为y =﹣x 2+2x +3；当x =0时，y =﹣x 2+2x +3=3，则C （0，3），设直线AC 的解析式为y =px +q ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入得03p q q -+=⎧⎨=⎩，解得33p q =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y =3x +3；（2）∵y =﹣x 2+2x +3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于M ，如图1，则B ′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b ，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N 旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；（3）存在，P为（1172+，﹣2）或（1172，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．【解析】分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N （0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．本题解析：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），∴﹣4=a•1﹣3，解得a=﹣1，∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．设衍生直线为y=kx+b，∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴304bk b -=+⎧⎨-=+⎩，∴13 kb=-⎧⎨=-⎩，∴衍生直线为y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得22121y xy x⎧=-+⎨=-+⎩，解得1xy=⎧⎨=⎩或11xy=⎧⎨=-⎩，∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），∴OM2=（x M﹣x O）2+（y O﹣y M）2=1+16=17，OP2=（|x P﹣x O|）2+（y O﹣y P）2=x2+4，MP2=（|x P﹣x M|）2+（y P﹣y M）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得x=117+或x=117-，即P（117+，﹣2）或P（117-，﹣2）．②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得x=9，即P（9，﹣2）．③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．综上所述，当P为（117+，﹣2）或（117-，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．【名师点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是：利用其表示坐标系中两点距离，是近几年中考的热点,需学生熟练运用.如图，抛物线y =﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣5，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E （x ，y ）为抛物线上一点，且﹣5＜x ＜﹣2，过点E 作EF ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点F ，作EH ⊥x 轴于点H ，得到矩形EHDF ，求矩形EHDF 周长的最大值；（3）如图2，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点P ，使以点P ，A ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =﹣x 2﹣4x +5．（2）372；（3）P 坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣3）或（﹣2，6）或（﹣2，﹣1）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分三种情形分别求解①当90,ACP ∠=o 由222AC PC PA +=，列出方程即可解决．②当90CAP ∠=︒时，由222AC PA PC +=，列出方程即可解决．③当90APC ∠=︒ 时，由222PA PC AC +=，列出方程即可；试题解析：(1)把A (−5,0),B (1,0)两点坐标代入2y x bx c =-++，得到255010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得45b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数表达式为24 5.y x x =--+(2)如图1中，∵抛物线的对称轴x =−2,2(,45)E x x x ，--+ ∴2452EH x x EF x =--+=--，， ∴矩形EFDH 的周长225372()2(53)2().22EH EF x x x =+=--+=-++ ∵−2<0，∴52x =-时,矩形EHDF 的周长最大,最大值为37.2(3)如图2中,设P (−2,m )①当90,ACP ∠=o ∵222AC PC PA +=， ∴22222(52)2(5)3m m ++-=+，解得m =7，∴P 1(−2,7).②当90CAP ∠=o 时,∵222AC PA PC +=， ∴22222(52)32(5)m m ++=+-，解得m =−3，∴P 2(−2,−3).③当90APC ∠=o 时,∵222PA PC AC +=， ∴2222232(5)(52)m m ，+++-=解得m=6或−1，∴P3(−2,6),P4(−2,−1)，综上所述,满足条件的点P坐标为(−2,7)或(−2,−3)或(−2,6)或(−2,−1).类型三【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x ＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a，b的值；(2)如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F5AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．【解析】试题分析：（1）根据抛物线图象经过点A以及“当x=﹣2和x=5时二次函数的函数值y相等”两个条件，列出方程组求出待定系数的值．（2）①首先由抛物线解析式能得到点A、B、C三点的坐标，则线段OA、OB、OC的长可求，进一步能得出AB、BC、AC的长；首先用t表示出线段AD、AE、AF（即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF 是直角，可分成三种情况讨论：i）点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；ii）点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；iii）点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC 又是钝角，所以这种情况不符合题意．②此题需要分三种情况讨论：i ）当点E 在点A 与线段AB 中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF ；ii ）当点E 在线段AB 中点与点O 之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；iii ）当点E 在线段OB 上时，重叠部分是个小直角三角形．试题解析：解：（1）由题意得： 16420{4222552a b a b a b +-=--=+-，解得：a =12，b =32-．（2）①由（1）知二次函数为213222y x x =--.∵A （4，0），∴B （﹣1，0），C （0，﹣2），∴OA =4，OB =1，OC =2，∴AB =5，AC =BC AC 2+BC 2=25=AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB =90°．∵AE =2t ，AF ，∴AF AB AE AC ==又∵∠EAF =∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴∠AEF =∠ACB =90°，∴△AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处；由翻折知，DE =AE ，∴AD =2AE =4t ，EF =12AE =t ．假设△DCF 为直角三角形，当点F 在线段AC 上时： ⅰ）若C 为直角顶点，则点D 与点B 重合，如图2，∴AE =12AB =52t =52÷2=54； ⅱ）若D 为直角顶点，如图3．∵∠CDF =90°，∴∠ODC +∠EDF =90°． ∵∠EDF =∠EAF ，∴∠OBC +∠EAF =90°，∴∠ODC =∠OBC ，∴BC =DC ． ∵OC ⊥BD ，∴OD =OB =1，∴AD =3，∴AE =32，∴t =34；当点F 在AC 延长线上时，∠DFC ＞90°，△DCF 为钝角三角形．综上所述，存在时刻t ，使得△DCF 为直角三角形，t =34或t =54． ②ⅰ）当0＜t ≤54时，重叠部分为△DEF ，如图1、图2，∴S =12×2t ×t =t 2；ⅱ）当54＜t ≤2时，设DF 与BC 相交于点G ，则重叠部分为四边形BEFG ，如图4，过点G 作GH ⊥BE 于H ，设GH =m ，则BH = 12m ，DH =2m ，∴DB =32m．∵DB =AD ﹣AB =4t ﹣5，∴ 32m =4t ﹣5，∴m =23（4t ﹣5），∴S=S△DEF﹣S△DBG=12×2t×t﹣12（4t﹣5）×23（4t﹣5）=2134025333t t-+-；ⅲ）当2＜t≤52时，重叠部分为△BEG，如图5．∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），∴S=12×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．综上所述：2225(0)41340255{(2)3334542025(2)2t tS t t tt t t<≤=-+-<≤-+<≤．【名师点睛】此题主要考查的是动点函数问题，涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识；第二题的两个小题涉及的情况较多，一定要根据动点的不同位置来分类讨论，抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在．【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：2y mx2mx3m=--（m＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）；（2）存在．S △PBC 最大值为2716；（3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．【解析】【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y =0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD =90°时；②∠BDM =90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y =0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =．∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--．设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716．（3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD <90°, ∴讨论∠BMD =90°和∠BDM =90°两种情况：当∠BMD =90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m =22m =(舍去)．当∠BDM =90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m =或1m =-时，△BDM 为直角三角形．【新题训练】1．（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣34x +3；（2）R （1，92）；（3）BT ＝2或BT ＝165．【详解】解：（1）令y =0，即2333084x x -++=，解得122,4x x =-=， ∵点A 在点B 的左侧∴A （﹣2，0），B （4，0），令x =0解得y =3， ∴C （0，3），设BC 所在直线的解析式为y =kx +3，将B 点坐标代入解得k =34- ∴BC 的解析式为y ＝-34x +3；（2）∵MQ ⊥BC ，M 作x 轴， ∴∠QMH ＝∠CBO ， ∴tan ∠QMH ＝tan ∠CBO ＝34， ∴QH ＝34QM ，MH ＝54MQ ，∴△MHQ 周长＝MQ +QH +MH ＝34QM +QM +54MQ ＝3QM ，则求△MHQ 周长的最大值，即为求QM 的最大值；设M （m ，233384m m -++），过点M 与BC 直线垂直的直线解析式为243733812y x m m =--+，直线BC 与其垂线相交的交点22972721,35025200100Q m m m m ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，∴()23=410MQ m m -+，∴当m＝2时，MQ有最大值65，∴△MHQ周长的最大值为185，此时M（2，3），函数的对称轴为x＝1，作点M关于对称轴的对称点M'（0，3），连接AM'与对称轴交于点R，此时|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，∴|AR﹣MR|的最大值为AM'；∵AM'的直线解析式为y＝32x+3，∴R（1，92）；（3）①当TC'∥OC时，GO⊥TC'，∵△OCT≌△OTC'，∴3412=55 OG⨯＝，∴12655 T⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴BT＝2；②当OT⊥BC时，过点T作TH⊥x轴，OT＝125，∵∠BOT＝∠BCO，∴3=1255cOo BOTHs∠＝，∴OH＝36 25，∴36482525 T⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴BT＝165；综上所述：BT＝2或BT＝165．2．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）如图，抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求点C坐标及抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）212；（3）点D的坐标为：310，﹣310)、(310﹣10)、(1，﹣3)【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交于A (﹣3，0)，B (1，0)两点，∴抛物线的表达式为：()22(3)(1)23=23=+-=+-+-y a x x a x x ax ax a ，即﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）过点P 作PM ∥y 轴交直线EF 于点M ，设点P (x ，x 2+2x ﹣3)、点M (x ，﹣x )，则PH ＝22PM ＝()2222321223=2228⎛⎫---+-++ ⎪⎝⎭x x x x ，当x ＝﹣32时，PH 的最大值为2128；（3）①当∠BCD ＝90°时，如图2左侧图，当点D 在BC 右侧时，过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，则CD ＝1，OB ＝1，OC ＝3，tan ∠BCO ＝13＝tan ∠CDM ＝tanα，则sinα＝10，cosα＝10；x D ＝CDcosα＝310，同理y D ＝﹣3﹣1010，故点D (310，﹣3﹣10)；同理当点D （D ′）在BC 的左侧时，同理可得：点D ′(﹣310，﹣3+1010)； ②当∠CDB ＝90°时，如右侧图，CD ＝OB ＝1，则点D (1，﹣3)；综上，点D 的坐标为：(310，﹣3﹣1010)、(﹣310，﹣3+1010)、(1，﹣3)． 3．（2019·四川中考真题）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．【答案】（1）二次函数的关系式为2211y (x 3)3x 2x 33=--+=-+；（2）①NOB ∆是等腰直角三角形，此时点B 坐标为(332,3)+-；②见解析【详解】解：（1）∵二次函数顶点为(3,3)P∴设顶点式2(3)3y a x =-+∵二次函数图象过点(6,0)A∴2(63)30a -+=，解得：13a =- ∴二次函数的关系式为2211y (x 3)3x 2x 33=--+=-+（2）设21(,2)(3)3B b b b b -+>∴直线OB 解析式为：1(2)3y b x =-+∵OB 交对称轴l 于点M∴当3M x =时，1(2)363M y b b =-+⨯=-+∴(3,6)M b -+∵点M 、N 关于点P 对称∴3(6)3NP MP b b ==--+=-，∴33N y b b =+-=，即(3,)N b ①∵12OP MN =∴OP MP =3b =-解得：3b =+∴22112(32(3333b b -+=-⨯++⨯+=-∴(33)B +-，(3,3N +∴222(3(3)36OB =++-=+2223(336ON =++=+B 222(33)(3372BN =++---=+∴OB ON =，222OB ON BN +=∴NOB ∆是等腰直角三角形，此时点B 坐标为(33)+-．②证明：如图，设直线BN 与x 轴交于点D∵21(,2)3B b b b -+、(3,)N b设直线BN 解析式为y kx d =+ ∴21233kb d b b k d b ⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩ 解得：1k b 3d 2b⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BN ：123y bx b =-+当0y =时，1203bx b -+=，解得：6x =∴(6,0)D∵(3,0)C ，NC x ⊥轴∴NC 垂直平分OD∴ND NO =∴BNM ONM ∠=∠4．（2018·贵州中考真题）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,)+-或317(1,)--. 【详解】（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-.（注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+，①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=，2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.5．（2018·四川中考真题）如图①,已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x =2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m .（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y =x 2-4x +3.（2）当m =52时，四边形AOPE 面积最大，最大值为758.（3）P 点的坐标为：P 13+5152），P 2（352-，52），P 3（52，52），P 4（552-152）. 【详解】（1）如图1，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758，∵-32＜0，∴当m=52时，S有最大值是758；（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=5+5255-∴P 5+51+555-15-）；如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN =FM ，则-m 2+4m -3=m -2，解得：x =3+5或35-； P 的坐标为（3+5，152-）或（352-，1+52）；综上所述，点P 的坐标是：（5+5，1+5）或（55-，15-）或（3+5，15-）或（35-，1+52）． 6．（2019·云南中考模拟）已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使P A +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠，将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中，得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+．Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=，()22[11](0)AM m =--+-．分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭7．（2019·黑龙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+2x +c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线y =ax 2+2x +c 的解析式:；（2）点D 为抛物线上对称轴右侧、x 轴上方一点，DE ⊥x 轴于点E ，DF ∥AC 交抛物线对称轴于点F ，求DE +DF 的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q 在抛物线对称轴上，其纵坐标为t ，请直接写出△ACQ 为锐角三角形时t 的取值范围．【答案】（1）y =﹣x 2+2x +3；（2）DE +DF 有最大值为132；（3）①存在，P 的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t ＜83．【详解】解：（1）设抛物线解析式为y =a （x +1）（x ﹣3），即y =ax 2﹣2ax ﹣3a ，∴﹣2a =2，解得a =﹣1，∴抛物线解析式为y =﹣x 2+2x +3；（2）当x =0时，y =﹣x 2+2x +3=3，则C （0，3），设直线AC 的解析式为y =px +q ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入得03p q q -+=⎧⎨=⎩，解得33p q =⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y =3x +3，如答图1，过D 作DG 垂直抛物线对称轴于点G ，设D （x ，﹣x 2+2x +3），∵DF ∥AC ，∴∠DFG =∠ACO ，易知抛物线对称轴为x =1，∴DG =x -1，DF 10x -1），∴DE +DF =﹣x 2+2x 10（x -1）=﹣x 2+（10）x 10，∴当x =101+，DE +DF 有最大值为132；答图1 答图2（3）①存在；如答图2，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=13-x+m，把C（0，3）代入得m=3，∴直线P1C的解析式为y=13-x+3，解方程组223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P1点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，直线AP2的解析式可设为y=13-x+n，把A（﹣1，0）代入得n=13 -，∴直线PC的解析式为y=1133x--，解方程组2231133y x xy x⎧=-++⎪⎨=--⎪⎩，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P2点坐标为（103，139-），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t＜83．8．（2019·广西中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．【答案】（1）y =x +3， y =﹣x 2﹣2x +3；（2）（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3172）或（﹣1，3172）【详解】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），抛物线与x 轴的另一交点为B ，∴B 的坐标为：（﹣3，0），设抛物线的解析式为：y =a （x ﹣1）（x +3），把C （0，3）代入，﹣3a =3，解得：a =﹣1，∴抛物线的解析式为：y =﹣（x ﹣1）（x +3）=﹣x 2﹣2x +3；把B （﹣3，0），C （0，3）代入y =mx +n 得： 30{3m n n -+==，解得：1{3m n ==，∴直线y =mx +n 的解析式为：y =x +3；（2）设P （﹣1，t ），又∵B （﹣3，0），C （0，3），∴BC 2=18，PB 2=（﹣1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（﹣1）2+（t ﹣3）2=t 2﹣6t +10，①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2，即：18+4+t 2=t 2﹣6t +10，解之得：t =﹣2；②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2，即：18+t2﹣6t+10=4+t2，解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，即：4+t2+t2﹣6t+10=18，解之得：t1=3172+，t2=3172-；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3172+）或（﹣1，3172-）．9．（2019·山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12 DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，111，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【详解】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴AC2BC=，∴AC23=，∴AC=6，∴A（﹣2，6），把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：42610b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：34bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），∴AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），∵PE=12 DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2），∴x=-1或1（舍），∴P（﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=311，∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）；ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．10．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△P AB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【详解】（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），∴设抛物线解析式为y =a （x ﹣6）（x +2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a =6，解得：a =﹣12，所以抛物线解析式为y =﹣12（x ﹣6）（x +2）=﹣12x 2+2x +6；（2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y =kx +b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y =﹣x +6，设P （t ，﹣12t 2+2t +6）其中0＜t ＜6，则N （t ，﹣t +6），∴PN =PM ﹣MN =﹣12t 2+2t +6﹣（﹣t +6）=﹣12t 2+2t +6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ，∴S △P AB =S △P AN +S △PBN=12PN •AG +12PN •BM=12PN •（AG +BM ）=12PN •OB=12×（﹣12t 2+3t ）×6=﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t =3时，△P AB 的面积有最大值；（3）△PDE 为等腰直角三角形，则PE =PD ，点P （m ，-12m 2+2m +6），函数的对称轴为：x =2，则点E 的横坐标为：4-m ，则PE =|2m -4|，即-12m 2+2m +6+m -6=|2m -4|，解得：m =4或-2或5+17或5-17（舍去-2和5+17）故点P 的坐标为：（4，6）或（5-17，317-5）．11．（2019·陕西中考模拟）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P 1-1313-1）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）.。

中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。

2020年中考数学难题突破：函数中特殊三角形存在性问题解析与练习及参考答案

(3 ) ①x＝ 1 (1 ，a)
②三 AQ＝ BQ，AB＝BQ， AQ＝AB
解： (1) ∵直线 y＝3x＋ 3，
∴当 x＝0 时， y＝ 3，当 y＝0 时， x＝－ 1，
∴点 A 的坐标为 ( －1，0) ，点 B 的坐标为 (0 ，3) ．
(2) 设抛物线对应的函数表达式为
y＝ax2＋ bx＋c，由题意，得
③当 AQ＝ AB时，如图③，由勾股定理，得 22＋a2＝ 10，解得 a＝± 6，此时点 Q的坐标是 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ．综上所述，存在符合条件的点 Q，点 Q的坐标为 (1 ，1) 或 (1 ，0) 或 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ．类型 2 直角三角形、全等三角形存在性问题例 2 如图 2，已知直线 y＝kx －6 与抛物线 y＝ ax2＋bx＋c 相交于 A，B 两点，且点 A(1，－ 4) 为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上．
解得
1－ m＝ 2
13
1＋ m＝ 2
13 ＞0，舍去
，
∴点 P 的坐标为
1－ 2
13 ，
13－1 . 2
(3) 如图，①当∠ Q1AB＝90°时，△ DAQ∽1 △ DOB，
AD DQ1
5 DQ1
∴OD＝ DB，即6＝ 3ຫໍສະໝຸດ ， 557
∴DQ1＝ 2，∴ OQ1＝2，
7 即点 Q1的坐标为 0，－ 2 ；
C(3，0) ．
(1) 求点 A，B 的坐标．
(2) 求抛物线对应的函数表达式．
图1
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 Q的坐
标；若不存在，请说明理由．

函数与直角三角形的存在性问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型(学生版)

函数与直角三角形的存在性问题解题策略以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示：A BABCABCEFEF直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线上（A、B两点除外）.解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论，通常这类问题的解题策略有：(1)几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算.如图，若∠ACB=90°，过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F.则△AEC∾△CFB．从而得到线段间的关系式解决问题.(2)代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验.经典例题【例1】(2022春•绿园区期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，连结QR．设四边形APRQ与Rt△ABC的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t(t >0)秒．(1)线段AP的长为(用含t的代数式表示)．(2)当点R恰好落在线段BC上时，求t的值．(3)求S与t之间的函数关系式．(4)当△CPR为直角三角形时，直接写出t的值．【例2】(2022春•成华区校级期中)如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x 轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27．(1)求直线AB的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段AB上(不与点A、B重合)，过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE 的长为y(y≠0)，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在平面直角坐标系中，C (8，0)、B (0，6)是矩形ABOC 的两个顶点，点D 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合)，双曲线y =k x(k >0)经过点D ，与矩形ABOC 的边AC 相交于点E ．(1)如图①，当点D 为AB 中点时，k 的值为，点E 的坐标为．(2)如图②，当点D 在线段AB 上的任意位置时(不与A 、B 重合)，连接BC 、DE ，求证：BC ∥DE ．(3)是否存在反比例函数上不同于点D 的一点F ，满足：△ODF 为直角三角形，∠ODF =90°，且tan ∠DOF =13，若存在，请直接写出满足以上条件时点D 的横坐标，若不存在，请说明理由．【例4】(2022•巴南区自主招生)已知在平面直角坐标系中，二次函数y =18x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，A (-4，0)，B (12，0)，C (0，-6)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)如图1，点P 为直线BC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ，过点P 作PE ∥BC 交x 轴于点E ，求PD +22BE 的最大值及此时点P 的坐标；培优训练一、解答题1.(2022秋•南关区校级月考)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，动点F从点A出发沿折线AC-CB向终点B运动，在AC上的速度为每秒3个单位长度，在BC上的速度为每秒1个单位长度．当点F不与点C重合时，以CF为边在点C的右上方作等边△CFQ，设点P的运动时间为t(秒)，点F到AB的距离为h．(1)AC=；(2)求h与t的函数关系式，并写出t的取值范围；h时，求t的值；(3)当点F在AC边上运动，且点Q到AB的距离为12(4)取AB边的中点D，连结FD、CD，当△FCD是直角三角形时，直接写出t的值．2.(2021•罗湖区校级模拟)如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．(1)求抛物线的函数解析式；(2)当△AOB为直角三角形时，求t的值；(3)如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．3.(2012•芜湖县校级自主招生)学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°的值为A.12B.1 C.32D.2(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是．(3)已知sinα=35，其中α为锐角，试求sadα的值．4.(2022秋•法库县期中)如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，-1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为(1，n)．(1)则k=，b=，n=；(2)若函数y=kx+b的值大于函数y=x+1的函数值，则x的取值范围是；(3)求四边形AOCD的面积；(4)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标．5.(2022秋•同安区期中)如图，直线y=2x-2分别与x轴、y轴交于A点与B点，函数y=2x2+2nx+n的图象经过B点．点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D．(1)求该二次函数的解析式；(2)连接AD，当△ABD为直角三角形时，求BD的长；(3)将△BDP绕点B逆时针旋转45°，得到△BD'P'，当点P的对应点P'落在坐标轴上时，请求出点P的坐标．6.(2022秋•禅城区校级期中)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知A(6，0)，(1)写出点B，点C的坐标和△ABC的面积；(2)直线l经过A、B两点，求直线AB的解析式；S△ABC？若存在，求出点D的坐标；若(3)点D是在直线AB上的动点，是否存在动点D，使得S△ACD=12不存在，请说明理由；(4)如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．7.(2022秋•工业园区校级期中)如图，已知点P是第一象限内二次函数y=-x2+2mx+3m2(m>0)图象上一点，该二次函数图象与x轴交于A、B两点(A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC．(1)线段AB的长为(用含m的代数式表示)；(2)当m=1时，点D与C点关于二次函数图象对称轴对称，若AD平分∠CAP，求点P的坐标；(3)若△ABC是直角三角形，点E是AP与BC的交点，则AEPE的最小值是多少？直接写出答案即可．8.(2022秋•西湖区期中)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以BC为一边向下作矩形BDEC，其中DB=3．M为线段AB上的动点(且不与A、B重合)，过M作MN⊥DE，交DB于点N．(1)如图1，以MN为边作矩形MNPQ，使边NP在线段DE上，点Q在AC上．①当MN为5时，矩形MNPQ的面积为；②设MN=x，矩形MNPQ的面积为y，试求出y关于x的函数表达式；③矩形MNPQ的面积y是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．(2)如图2，过点N作AB的平行线，交线段AC于点F，连接MF，若△MNF为直角三角形，请直接写出线段MN的长度．9.(2022秋•梁溪区校级期中)如图1，Rt△MCD中，∠MCD=90°，MD=5，CD=4．O为边MD上一点，以O为圆心，MO为半径的⊙O与边CD相切于点F，交MC、MD于点E、N．点A、B分别在线段MN、MC上(不与端点重合)，且满足ANBM =54．(1)①求MO的长；②设BM=x，AD=y，求y与x之间的函数关系式；(2)如图2，作AP∥MC，交CD于点P，连接AB，BP．①当△ABP为直角三角形时，求BM的长；②当点E关于BP的对称点E′落在边MD上时，请直接写出DEME的值．10.(2022秋•市北区期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，y2=-13x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C(m，5)．(1)填空：m=，b=；(2)求△ACD的面积；(3)在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(4)点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．11.(2022秋•南湖区校级期中)在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，E是AB边上一动点，以1cm/s的速度从点B出发，到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停止运动．设动点运动的时间为t(s)，△DEF的面积为S(cm2)(1)求S关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围．(2)当△DEF是直角三角形时，求△DEF的面积．12.(2022秋•罗湖区校级期中)建立模型：(1)如图1，等腰直角三角形ABC的直角顶点在直线l上．过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，求证：△ADC≌△CEB模型应用：(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线l1：y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；(3)如图3，在平面直角坐标系，点B(6，4)，过点B作AB⊥y交于点A，过点B作BC⊥x交于点C，P 为线段BC上的一个动点，点Q(a，2a-4)位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．13.(2022秋•天桥区期中)如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y=x，直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B(0，3)，与l1交于点C(2，m)．(1)求出直线l2的函数关系式；(2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1、l2交于点M、N，①当点M在点N的上方，且满足MN=OB时，请求出点M与点N的坐标；②当点M在点N的下方时，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．14.(2022秋•甘井子区校级月考)抛物线y=x2+bx+c过A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称．(1)抛物线的解析式是，△ABD的面积为；(2)在直线AD下方的抛物线上存在点P，使△APD的面积最大，求出最大面积．(3)当t≤x≤t+1时，函数y=x2+bx+c的最小值为5，求t的值．(4)若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标．15.(2022秋•荣县校级月考)如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线y=1x2交于A、B两点，其中点4A的横坐标是-2(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标；(2)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限；点N(0，1)，当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？16.(2022秋•汉川市校级月考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(4，0)，B点坐标为(-1，0)，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t 秒．(1)求二次函数的解析式．(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17.(2022秋•鼓楼区校级月考)如图，抛物线y=1x2-x-3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，4与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，-3)．(1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m(m≥0)，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l 交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；(3)若点Q是对称轴上的点，且△ADQ为直角三角形，求点Q的坐标．18.(2022春•武侯区校级期中)【模型建立】：(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；【模型应用】：(2)如图②，已知直线l1：y=-2x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式；(3)如图③，平面直角坐标系内有一点B(-4，-6)，过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P 是线段AB上的动点，点D是直线y=3x+3上的动点且在第三象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．19.(2022秋•齐齐哈尔月考)综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，3)．当x-4和x=2时，二次函数y=a2+bx+c(a≠0)的函数值y相等，连接AC、BC．(1)求抛物线的解析式；(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC 边上的P处，则t的值为，点P的坐标为；(4)抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF以AC为直角边的直角三角形？若不存在请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．20.(2022秋•双流区校级月考)如图1，平面直角坐标系中，直线y=-3x+m交x轴于点A(4，0)，交y轴正4半轴于点B．(1)求△AOB的面积；(2)如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB=BC，P为射线AB(不含A点)上一点，过点P作y轴的平行线交射线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点N，使△PQN是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21.(2022秋•大连月考)如图，矩形OABC顶点B的坐标为(8，3)，定点D的坐标为(12，0)，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形PQR，设运动时间为t秒，△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S．(1)当t=时，△PQR的边QR经过点B；(2)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．22.(2022秋•思明区校级月考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0，3)，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．(1)求这个二次函数及直线BC的表达式．(2)过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值．(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠NMO 为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．23.(2022秋•越秀区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(0，2)，以AB为边向右作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，二次函数y=12x2+bx-2的图象经过点C．(1)求二次函数的解析式；(2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．24.(2022秋•石阡县月考)如图1，一次函数y=kx-2(k≠0)的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=3x (x<0)的图象交于点B(-3，b)，连接OB．(1)b=，k=．(2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，C是线段AB上一点(不与点A，B重合)，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD．若四边形OCBD的面积为3，求点C的坐标．。

二次函数中综合题——直角三角形存在性问题

二次函数中综合题——直角三角形存在性问题直角三角形存在性问题，只要掌握了找点及如何确定点，就能对于这一类型的题都能迎刃而解。

1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点。

（简称“两线一圆”）。

2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1×k2=-1（这个知识点是高中才学，不过中考的时候可以运用的）。

以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解例题赏析（2017年.娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A （﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC 的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D 作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．【考点】二次函数综合题【分析】（1）把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）即可得到结论；（2）由题意得AD=2t，DF=AD=2t，OF=4﹣4t，由于直线AC 的解析式为：y=x+2，得到E（2t﹣4，t），①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质得到结论；②当∠FEC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论；③当∠ACF=90°，根据勾股定理得到结论；（3）求得直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论．【点评】本题考查了待定系数法确定函数关系式，梯形的面积公式，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．巩固训练1. 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+( k-1)x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+( k-1)x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．不好意思，二次函数的上角标2都没弄到上面，截图太费事了啊，我强烈建议头条中把编辑文字的功能搞强大点，上角标下角标打不出来啊，真郁闷！。

直角三角形的存在性专项训练(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：常用函数处理手段（设计方案时常使用的手段）有哪些？问题2：直角三角形存在性关键是用好直角，那么见到直角我们都有哪些思考角度？问题3：怎么根据题目特征选取适当的直角思考角度？举例说明．问题4：对比直角三角形存在性、等腰三角形存在性和平行四边形存在性问题，你是否掌握了解决存在性问题的一般方法？总结一下．问题5：动态几何问题的处理框架是什么？问题6：对于动态几何综合问题如何分析运动过程？问题7：在分析几何特征，表达时，常见表达线段长的方式有哪些？问题8：轴对称最值模型，怎么操作？直角三角形的存在性专项训练一、单选题(共5道，每道10分)1.如图1，已知抛物线经过A(-3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）该抛物线的解析式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：待定系数法求二次函数的解析式2.（上接第1题）（2）如图2，若P是抛物线对称轴上的一个动点，则△PBC周长的最小值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题3.（上接第1，2题）（3）若P是抛物线对称轴上的一个动点，Q是坐标平面内一点，当以A，C，P为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性4.如图，已知点A，B分别在x轴、y轴上，，点C的坐标为，AB与OC相交于点G．点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OC向点C运动，过点P作直线EF∥AB，分别交OA，OB或AC，BC于点E，F．设点P运动的时间为t秒（）．（1）若直线EF在四边形OACB内扫过的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( ) A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架5.（上接第4题）（2）设线段OC的中点为Q，当△EFQ为直角三角形时，t的值为( )A. B.或5 C. D.或5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点处理框架。

高考数学考点冲刺《23与三角函数有关的应用题》(含解析)

专题23 与三角函数有关的应用题【自主热身，归纳总结】1、如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9 m 和15 m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD ＝________m.【答案】 18【解析】：设BD ＝x m ，作AH⊥CD，垂足为H ，记∠HAC＝α，∠HAD ＝β，则α＋β＝45°. 因为tan α＝6x ，tan β＝9x ，且tan (α＋β)＝1，得6x ＋9x 1－6x ·9x ＝1，即x 2－15x －54＝0，即(x ＋3)(x －18)＝0，解得x ＝18.解后反思在解方程的过程中，若记3x ＝t ，则5t ＝1－6t 2，因为方程中出现的系数较小，所以更易解出方程的根．2.如图1，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.【答案】 150【解析】根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)． 3.如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.【答案】 7504、如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2.设∠AOC ＝x rad.(1) 写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2) 试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值？思路分析对于(1)，面积S 由两部分组成，一个是扇形面积，根据扇形面积公式S ＝12αr 2可得，另一个是△OCD 的面积，根据三角形的面积公式12ab sin C 可得；对于(2)，注意到所研究的函数不是基本初等函数，因此，采用导数法来研究它的最值．【解析】： (1) 因为扇形AOC 的半径为40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x,0＜x ＜π.(2分)在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以△COD 的面积S △COD ＝12OC ·OD ·sin∠COD ＝1 600sin(π－x )＝1 600sin x ，(4分)从而S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x,0＜x ＜π.(6分)【问题探究，变式训练】例1、如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与BD 焊接而成，焊接点D 把杆AC 分成AD ，CD 两段，其中两固定点A ，B 间距离为1米，AB 与杆AC 的夹角为60°，杆AC 长为1米．若制作AD 段的成本为a 元/米，制作CD 段的成本是2a 元/米，制作杆BD 的成本是4a 元/米．设∠ADB＝α，制作整个支架的总成本记为S 元．(1) 求S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问AD 段多长时，S 最小？【解析】： (1) 在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sin π3＝ADsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α，(1分)所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，(3分)则S ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋2a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＝a ⎝⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3.(7分)(2) 令S′＝3a ·1－4cos α2sin 2α＝0，设cos α0＝14.(9分)(11分)所以当cos α＝14时，S 最小，此时sin α＝154，AD ＝3cos α2sin α＋12＝5＋510.(12分)答：(1)S 关于α的函数表达式为S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3；(2)当AD ＝5＋510时，S 最小．(14分)【变式1】、如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC⊥AB.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC＝2π3.计划在BC ︵上再建一座观赏亭P ，记∠POB＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(1) 当θ＝π3时，求∠OPQ 的大小；(2) 当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．思路分析设∠OPQ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式．【解析】：因为∠AQC＝2π3，所以∠AQO＝π3.又OA ＝OB ＝3，所以OQ ＝ 3.(2分)在△OPQ 中，OQ ＝3，OP ＝3，∠POQ ＝π2－θ，设∠OPQ＝α，则∠PQO＝π2－α＋θ.由正弦定理，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋θ＝3sin α，即3sin α＝cos (α－θ)．(4分) 展开并整理，得tan α＝cos θ3－sin θ，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(8分)(1) 当θ＝π3时，tan α＝33.因为α∈(0，π)，所以α＝π6.答：当θ＝π3时，∠OPQ ＝π6.(10分)(2) 解法1 设f(θ)＝cos θ3－sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.则f′(θ)＝－sin θ（3－sin θ）＋cos 2θ（3－sin θ）2＝1－3sin θ（3－sin θ）2.令f′(θ)＝0，得sin θ＝33，记锐角θ0满足sin θ0＝33.(13分) 列表如下：由上表可知，f(因为tan α＝f(θ)>0，且α∈(0，π)，所以当tan α取最大值22时，α也取得最大值．答：游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sin θ＝33.(16分) 解法2 记T ＝cos θ3－sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则3T ＝cos θ＋T sin θ＝(1，T )·(cos θ，sin θ)≤1＋T 2，得T≤22，当且仅当tan θ＝22，即sin θ＝33时取等号．(13分) 所以tan α的最大值为22.显然tan α>0，所以当tan α＝22时，α取最大值．答：游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sin θ＝33.(16分) 【变式2】、））(2017苏锡常镇调研（一））（C13,17. (本小题满分14分) 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)．设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数)．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度之和记为l . (1) 请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2) 问：当α为何值时l 最小，并求最小值．(2) f ′(α)＝h ·⎝⎛⎭⎪⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α，(8分)令f ′(α)＝h ·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3.(9分) 当α变化时，f ′(α)，f (α)的变化情况如下表：所以l min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3h ＋h .(12分)答：(1) l 表示成关于α的函数为l ＝f (α)＝S h ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2； (2) 当α＝π3时，l 有最小值，为3h ＋Sh.(14分)【变式3】、在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．【解析】：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2cos θ．＝(4－23cos θ) 800sin θ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分例2、如图，海上有A ，B 两个小岛相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60°，现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC ＝BO .设AC ＝x km. (1) 用x 分别表示OA 2＋OB 2和OA ·OB ，并求出x 的取值范围；(2) 晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求BD 的最大值．【解析】： (1) 在△OAC 中，∠AOC ＝120°，AC ＝x . 由余弦定理得OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos120°＝x 2. 又OC ＝BO ，所以OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos120°＝x 2 ①.(2分)在△OAB 中，AB ＝10，∠AOB ＝60°.由余弦定理得OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos60°＝100 ②.(4分)①＋②得OA 2＋OB 2＝x 2＋1002.①－②得4OA ·OB ·cos60°＝x 2－100，即OA ·OB ＝x 2－1002.(6分)又OA 2＋OB 2≥2OA ·OB ，所以x 2＋1002≥2×x 2－1002，即x 2≤300.又OA ·OB ＝x 2－1002>0，即x 2>100，所以10<x ≤10 3.(8分) (2) 易知S △OAB ＝S △OAC ，故S △ABC ＝2S △OAB ＝2·12·OA ·OB sin60°＝3x 2－4.(10分)又S △ABC ＝12·AC ·BD ，设BD ＝f (x )，所以f (x )＝3x 2－2x，x ∈(10,103]．(12分)又f ′(x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋100x 2>0，(14分) 则f (x )在(10,103]上是单调增函数，所以f (x )的最大值为f (103)＝10，即BD 的最大值为10.(16分) (利用单调性定义证明f (x )在(10,103上是单调增函数，同样给满分；如果直接说出f (x )在(10,103]上是增函数，但未给出证明，扣2分)【变式1】、如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，AB ∥CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P在道路AC 上（异于A C ，两点），．（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在△ADP 区域内种植观赏植物，在△CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．【解析】：（1）过点D 作DD '垂直于线段AB ，垂足为D '．在直角ABC △中，因为AB ⊥BC ，π6BAC =∠，3AB =，所以BC =在直角ADD '△中，因为1AD '=，DD '=2AD =，则，故π3DAD '=∠，又π6BAC =∠，所以π6DAP =∠．…… 2分在ADP △中，由正弦定理得sin πsin 6AD DP θ=，所以1sin DP θ=，π5π66θ<<． …… 6分（2）在ADP △中，由正弦定理得，所以．所以．又．所以． (8)分设三项费用总和为()f θ，则，π5π66θ<<，，π5π66θ<<．………………………………… 10分 CBA（第17题）DPD '所以，令()0f '=θ，则2π3θ=．列表：所以2π3θ=时，．答：以上三项费用总和的最小值为 14分【变式2】、如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?(第17题)答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．(14分)解法2 (构造直角三角形)设∠PMB ＝θ.当0<θ<π2时，在△PMD 中，因为PM ＝2，所以PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ. (2分)在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMB ＝θ，所以MN sin60°＝AM sin θ，AM ＝433sin θ，所以AD ＝433sin θ＋2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≥π2时，结论也正确.(6分)AP 2＝AD 2＋PD 2＝⎝⎛⎭⎪⎫433sin θ＋2cos θ2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋1633sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ(8分)＝163·1－cos2θ2＋833sin2θ＋4＝833sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3. (12分)当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3.此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30°.(14分) 解法3 设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α. 在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4.(2分)因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cos α＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋x 2－xy 4x ＝2x －y 4.(6分)cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4.(8分)在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy .(12分)因为x 2＋y 2－xy ＝4,4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4.所以AP 2≤12，即AP ≤2 3.当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值2 3.答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．(14分)例3、某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．【解析】（1）过点O 作OH FG ⊥于点H ，则，所以，．……………………………2分所以sin22θθ=+，………………………………6分因为12AB AD ≥，所以1sin 2θ≥，所以定义域为ππ[,)62．……………………8分（2）矩形窗面的面积为．则透光区域与矩形窗面的面积比值为．…10分设，ππ62θ<≤．则A BCDFEOG θH，………………………………………………12分因为ππ62θ<≤，所以11sin222θ≤，所以，故'()0f θ<，所以函数()f θ在ππ[,)62上单调减．所以当π6θ=时，()f θ有最大值π6+，此时(m)． …14分答：（1）S 关于θ的函数关系式为，定义域为ππ[,)62；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB 的长度为1m ．………16分【变式1】、如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l 1排，在路南侧沿直线l 2排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB ＝60m ，BC ＝80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90°的角为α. (1) 求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式； (2) 求排管的最小费用及相应的角α.【解析】 (1) 如图，过E 作EM ⊥BC ，垂足为点M .由题意得∠MEF ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0≤tan α≤43，故有MF ＝60tan α，EF ＝60cos α，AE ＋FC ＝80－60tan α.(4分) 所以W ＝(80－60tan α)×1＋60cos α×2(5分) ＝80－60sin αcos α＋120cos α＝80－α－cos α.(8分)(2) 解法1 设f (α)＝sin α－2cos α其中0≤α≤α0<π2，tan α0＝43，则f ′(α)＝cos αcos α－－sin αα－cos 2α＝1－2sin αcos 2α.(10分) 令f ′(α)＝0得1－2sin α＝0，即sin α＝12，得α＝π6.(11分)列表所以当α＝π6时有f (α)max ＝－3，此时有W min ＝80＋60 3.(15分)答：排管的最小费用为(80＋603)万元，相应的角α＝π6.(16分) 解法2 f (α)＝2－sin αcos α＝32－sin α＋12＋sin αcos α≥32－sin α12＋sin αcos α＝32，当且仅当32(1－sin α)＝12(1＋sin α)时成立，此时sin α＝12，α＝π6.(11分)以下同解法1.【变式2】、如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF 的中点，其所在圆O 的半径为4 dm(圆心O 在弓形EMF 内)，∠EOF ＝2π3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)，AD ∥EF ，且点A ，D 在EF上，设∠AOD ＝2θ.(1) 求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2) 当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos θ的值．(第18题)【解析】 (1) 设矩形铁片的面积为S ，∠AOM ＝θ. 当0＜θ＜π3时(如图1)，AB ＝4cos θ＋2，AD ＝2×4sin θ，S ＝AB ×AD ＝(4cos θ＋2)(2×4sin θ)＝16sin θ(2cos θ＋1)．(3分)当π3≤θ＜π2时(如图2)，AB ＝2×4cos θ，AD ＝2×4sin θ，故S ＝AB ×AD ＝64sin θcos θ＝32sin 2θ. 综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为 S ＝⎩⎪⎨⎪⎧16sin θθ＋，0＜θ＜π3，32sin2θ，π3≤θ＜π2.(7分)【变式3】、如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB ＝20 m ，广场的一角是半径为16 m 的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN (宽度不计)，点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN (宽度不计)摆放．已知双人靠背直排椅的造价为2a 元/m ，单人弧形椅的造价为a 元/m ，记锐角∠NBE ＝θ，总造价为W 元．(1) 试将W 表示为θ的函数W (θ)，并写出cos θ的取值范围； (2) 如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小？【解析】;： (1) 过点N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足为G .在Rt △BNF 中，BF ＝16cos θ，则MG ＝20－16cos θ. 在Rt △MNG 中，MN ＝20－16cos θsin θ.(4分)由题意易得CN ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，(6分)因此，W (θ)＝2a ·20－16cos θsin θ＋16a ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，(7分) 当点M 与点A 重合时，cos θ＝1620＝45；当点M 与点D 重合时，cos θ＝0，故cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，45.(9分) (2) W ′(θ)＝－16a ＋8a ·4－5cos θsin 2θ ＝8a ·θ－θ－sin 2θ.令W ′(θ)＝0，cos θ＝12，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ＝π3.(12分)设锐角θ1满足cos θ1＝45， θ1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫θ1，π3时，W ′(θ)＜0，W (θ)单调递减；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2时，W ′(θ)＞0，W (θ)单调递增．(14分)所以当θ＝π3时，总造价W 最小，最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫163＋8π3a 元，此时MN ＝83，NG ＝43，NF ＝83，因此当AM ＝4 3 m 时，总造价最小．(16分)易错警示解决应用题问题，以下几个方面是很容易导致失分的地方，要引起高度重视．一是函数的定义域不能忘；二是有单位的问题，单位不能丢；三是要注意回到实际问题中去，即“答”不可少．。

一次函数之存在性(直角三角形)(人教版)(含答案)

一次函数之存在性（直角三角形）（人教版）一、单选题(共3道，每道33分)1.如图，直线y=2x+4与坐标轴交于A，B两点，P为直线x=1上一动点，连接AP，BP．当△ABP是以点A，B为直角顶点的直角三角形时，点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①首先研究基本图形，对信息进行标注；②研究目标△ABP，A，B为定点，P为动点，若△ABP是直角三角形，需要根据直角顶点进行分类，根据题目信息，分别以B，A作为直角顶点；③对于直角，需要结合题目背景灵活处理，如以点B，点A为直角顶点时，可以借助坐标系背景用函数解析式来求点坐标．2．解题过程由题意得，A（-2，0），B（0，4）．①当时，如图所示，．∵点的横坐标为1，∴．②当时，如图所示，，∴．综上得，点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性2.如图，直线交y轴于点A，且经过点B（4,1）．若P是y轴上的一动点，当△ABP是以点A，B为直角顶点的直角三角形时，点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①首先研究基本图形，对信息进行标注；②研究目标△ABP，A，B为定点，P为动点，若△ABP是直角三角形，需要根据直角顶点进行分类，根据题意信息，点A，B轮流作为直角顶点；③对于直角，需要结合题目背景灵活处理，如以点B为直角顶点时，可以借助坐标系背景用函数解析式来求点坐标；④审题需要注意，点P是y轴上的一动点，需要弄清目标．2．解题过程①若点Ａ充当直角顶点，即时，显然不成立；②若点Ｂ充当直角顶点，即时，过点B作⊥AB，交y轴于点，如图所示，则，∴．综上所述，符合题意的点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性3.如图，将△ABC放在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C （0，2），P是线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作平行于x轴的直线，交BC于点Q，若在x轴上存在点R，使得△PQR是等腰直角三角形，则点R的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①观察题目特征，确定为等腰直角三角形存在性问题．②分析定点、动点、不变特征．从直角入手，分类讨论．③画图，表达线段长，借助等腰直角三角形性质建等式．2．解题过程由题意，得A（-1，0），B（3，0），C（0，2），则，．设，则，PQ=-2m+4．①如图，当点Q为直角顶点时，PQ=RQ．，，由-2m+4=m，得，∴．②如图，当点P为直角顶点时，PQ=PR．，，由-2m+4=m，得，∴．③如图，当点R为直角顶点时，RP=RQ．过点R作RD⊥于点D，则，由，得m=1，∴．综上得，点R的坐标为．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性。

二次函数背景下的直角三角形的存在性问题学生练习

二次函数背景下的直角三角形的存在性问题学生练习一、课前小测：1.直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是2. 已知Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=8,BC=6,动点P 、Q 分别同时从A 、B 出发，其中点P 在线段AB 上向点B 移动，速度是2单位每秒；点Q 在线段BC 上向点C 运动，速度是1单位每秒。

设运动时间为t （秒），当t= 秒时，△BPQ 是直角三角形。

3.问题已知：定点A(2, 1) 、B(6, 4)和动点M （m, 0）, 存在直角三角形ABM,求点M 的坐标。

4. 如图，直线与抛物线交于点A （0，1），B （4，3）两点。

与轴交于点D 。

（1）求直线和抛物线的解析式；（2)动点P 在x 轴上移动，当△PAB 是直角三角形时，求点P 的坐标（3）动点P 在y 轴上移动，当△PAB 是直角三角形时，求点P 的坐标（4）动点P 在坐标轴上移动，当△PAB 是直角三角形时，求点P 的坐标212y x bx c=++x5.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0)，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上。

（师生共同完成）(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；6. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3，0)、C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB 平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．（3）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；四．课后作业7：如图，已知直线y=kx-6与抛物线c bx ax y ++=2相交于A,B 两点，且点A （1，-4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

二次函数背景下直角三角形存在性问题

二次函数背景下直角三角形存在性问题
上一讲中，我们探讨了等腰三角形存在性问题，用到的方法是“两圆一线”这样的“几何法”，我们也介绍了“点、线、式”这样的“代数法”，“几何法”主要用来找出符合条件的点的位置，“代数法”主要用来求点的坐标，因为这种解法几乎完全脱离了图形，所以，也称之为“盲解忙算法”、“简单粗暴法”、“万能大法”。

我们今天要讲的“直角三角形存在性”内容，它与等腰三角形存在性问题是具有一定的联系性的，因为这两部分内容思路相通，方法接近。

它们的共同点主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年中考的热点。

本讲内容涉及到的常用知识点有：
1. 勾股定理
2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3. K型图相似,因为几乎没有它解决不来的问题，所以，我们对它给与了足够的尊重，称之为“万能K”
4. 两点之间的距离公式
5. 圆的概念与性质
6. 还有一个需要补充的，就是斜率k。

2023学年二轮复习解答题专题二十七：二次函数中直角三角形的存在性问题探究(解析版)

2023学年二轮复习解答题专题二十七：二次函数中直角三角形的存在性问题探究方法点睛一、构造直角三角形的一般思路:构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.二、解题思路是否存在一点，使之与另外两个定点构成直角三角形的问题：首先弄清题意，注意区分直角顶点；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．方法一：利用勾股定理进行边长的计算，从而来解决问题；方法二：往往可以利用到一线等三角之K字（90°）类型和母子相似型类型，尝试建构相应的相似来进行处理；方法三：两条直线互相垂直的条件，即=-1来解决．典例剖析类型一：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题例1. （2022滨州中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．（1）求线段AC 的长；（2）若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；（3）若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM V 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1（2）()11，-（3）()14-，或()25-，或-或-【解析】【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x =1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M （m ,m 2-2m -3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，k 1k2222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．【小问1详解】223y x x =--与x 轴交点：令y =0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x =0，解得y =-3，即C （0，-3），∴AO =1,CO =3,∴AC ==;【小问2详解】抛物线223y x x =--的对称轴为：x =1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t + ()213t =++∴t =-1，∴P （1，-1）；【小问3详解】设点M （m ,m 2-2m -3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()()()222222323182m m m m m m -+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M -或-；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或-或-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．类型二：构造相似来解决直角三角形存在性问题例2.（2021巴中中考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣），有最大值；（3）D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF∥AE，可得＝，则求的最大值即可；（3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝x﹣3，设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，﹣）；（3）∵P（3，﹣），D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D（3，6）；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D（3，﹣9）；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，设D（3，m），∵DT＝BC，∴|m+|＝，∴m＝﹣或m＝﹣﹣，∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．专题过关1. （2022柳州中考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【答案】（1）b=4，c=5，m=5（2）当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）（3）所有符合条件的点P的坐标为（2，233），（2，﹣9）【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；（2）先求解抛物线的对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），证明四边形DEFG 是矩形，而224,45,DE x DF x x =-=-++ 可得四边形DEFG 的周长＝2（﹣x 2+4x +5）+2（2x ﹣4）＝﹣2x 2+12x +2＝﹣2（x ﹣3）2+20，再利用二次函数的性质可得答案；（3）过点C 作CH ⊥对称轴于H ，过点N 作NK ⊥y 轴于K ，证明△MCH ≌△NCK （AAS ），再求解N （﹣4，3），求解直线BN 的解析式为：15,33y x =-+ 可得50,,3Q æöç÷ç÷èø设P （2，p ），再利用勾股定理表示2222510612,339PQ p p p æöç÷=+-=-+ç÷èø BP 2＝()222529p p -+=+，222525525,39BQ æöç÷=+=+ç÷èø再分两种情况建立方程求解即可．【小问1详解】把A （﹣1，0），C （0，5）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，105b c c ì--+=ï\í=ïî ，解得：4,5b c ì=ïí=ïî∴这个抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5，令y ＝0，则﹣x 2+4x +5＝0，解得x 1＝5，x 2＝﹣1，∴B （5，0），∴m ＝5；【小问2详解】∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，∴对称轴为x ＝2，设D （x ，﹣x 2+4x +5），∵DE x ∥轴，∴E （4﹣x ，﹣x 2+4x +5），∵过点D 作x 轴的平行线交抛物线于点E ，作y 轴的平行线交x 轴于点G ，过点E 作EF ⊥x 轴，∴四边形DEFG 是矩形，∴224,45,DE x DF x x =-=-++∴四边形DEFG 的周长＝2（﹣x 2+4x +5）+2（2x ﹣4）＝﹣2x 2+12x +2＝﹣2（x ﹣3）2+20，∴当x ＝3时，四边形DEFG 的周长最大，∴当四边形DEFG 的周长最大时，点D 的坐标为（3，8）；【小问3详解】过点C 作CH ⊥对称轴于H ，过点N 作NK ⊥y 轴于K ，∴∠NKC ＝∠MHC ＝90°，由翻折得CN ＝CM ，∠BCN ＝∠BCM ，∵B （5，0），C （0，5）．∴OB ＝OC ，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴CH x∥轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴43,50m nm nì-+=ïí+=ïî解得：13,53mnì=-ïïíï=ïî∴直线BN的解析式为：15,33 y x=-+∴50,,3 Qæöç÷ç÷èø设P（2，p），∴2222510612,339PQ p p p æöç÷=+-=-+ç÷èøBP 2＝()222529p p -+=+，222525525,39BQ æöç÷=+=+ç÷èø分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，BP 2＝PQ 2+BQ 2，∴22106125925,399p p p +=-+++ 解得：23,3p = ∴232,,3P æöç÷ç÷èø②当∠QBP ＝90°时，P ′Q 2＝BP ′2+BQ 2，∴22106125925,399p p p -+=+++ 解得：9,p =-∴点P ′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P 的坐标为232,3æöç÷ç÷èø或()2,9P -．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．2. （2022雅安中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），且与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D 的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E ，使△ACE 为Rt △，若存在，试求点E 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P ，满足PA ⊥PD ，求线段PB 的最小值．【答案】（1）()223,1,4y x x D =--- （2）E 的坐标为：21,3æöç÷èø或81,3æö-ç÷èø或()1,1-或()1,2.- （3）BP-【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为()()13,y a x x =+-再代入C 的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），再利用勾股定理分别表示210,AC = 224,AE n =+ 22610,CE n n =++ 再分三种情况讨论即可；（3）如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥ 则P 在以H 为圆心，HA为半径的的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，再求解H 的坐标，结合勾股定理可得答案．【小问1详解】解：Q 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），∴设二次函数为：()()13,y a x x =+-把C （0，﹣3）代入抛物线可得：33,a -=-解得：1,a =∴抛物线为：()()()2213231 4.y x x x x x =+-=--=-- ()1,4.D \-【小问2详解】如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线的对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），()()222100310,AC \=--++= ()2222114,AE n n =++=+ ()()2222103610,CE n n n =-++=++ 当90EAC Ð=°时，22610410n n n ++=++，解得2,3n = 即21,,3E æöç÷ç÷èø当90ACE Ð=°时，22410610,n n n +=+++ 解得：8,3n =- 即81,,3E æöç÷-ç÷èø当90AEC Ð=°时，22461010,n n n ++++=整理得：2320,n n ++=解得：121,2,n n =-=-()()1,1,1,2,E E \--综上：E 的坐标为：21,3æöç÷èø或81,3æö-ç÷èø或()1,1-或()1,2.-【小问3详解】如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥则P 在以H 为圆心，HA 为半径的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，()()1,0,1,4,A D --Q()0,2,H AD HP \-= ()3,0,B QBH \==BP \即BP -【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB 最小时，P 的位置是解本题的关键．3. （2022广安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．【答案】（1）2142y x x =+-（2）（-2，-4）（3）P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12---，【解析】【分析】（1）直接将B （0，-4），C （2，0）代入2y ax x m =++，即可求出解析式；（2）先求出直线AB 关系式为：4y x =--，直线AB 平移后的关系式为：4y x n =--+，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D 距AB 最大，此时△ABD 的面积最大，由此即可求得D 点坐标；（3）分三种情况讨论，①当∠PAB =90°时，即PA ⊥AB ，则设PA 所在直线解析式为：y =x+z ，将A （-4,0）代入y =x+z 得，解得：4z =，此时P 点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA =90°时，即PB ⊥AB ，则设PB 所在直线解析式为：y x t =+，将B （0，-4）代入y x t =+得，4t =-，此时P 点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB =90°时，设P 点坐标为：()1p y -，，由于PA 所在直线斜率为：3py ，PB 在直线斜率为：41p y +-，3py g 41p y +-=-1，则此时P点坐标为：(12--+，，(12--，．【小问1详解】解：将B （0，-4），C （2，0）代入2y ax x m =++，得：4420m a m =-ìí++=î，解得：412m a =-ìïí=ïî，∴抛物线的函数解析式为：2142y x x =+-．【小问2详解】向下平移直线AB ，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D 时，此时点D 到直线AB 的距离最大，此时△ABD 的面积最大，∵21402x x +-=时，12x =，24x =-，∴A 点坐标为：（-4,0），设直线AB 关系式为：0y kx b k =+¹（），将A （-4,0），B （0，-4），代入0y kx b k =+¹（），得：404k b b -+=ìí=-î，解得：14k b =-ìí=-î，∴直线AB 关系式为：4y x =--，设直线AB 平移后的关系式为：4y x n =--+，则方程21442x n x x --+=+-有两个相等的实数根，即21202x x n +-=有两个相等的实数根，∴2n =-，即212202x x ++=的解为：x =-2，将x =-2代入抛物线解析式得，()2122442y =´---=-，∴点D 的坐标为：（-2，-4）时，△ABD 的面积最大；【小问3详解】①当∠PAB =90°时，即PA ⊥AB ，则设PA 所在直线解析式为：y =x+z ，将A （-4,0）代入y =x+z 得，40z -+=，解得：4z =，∴PA 所在直线解析式为：4y x =+，∵抛物线对称轴为：x =-1，∴当x =-1时，143y =-+=，∴P 点坐标：（-1，3）；为②当∠PBA =90°时，即PB ⊥AB ，则设PB 所在直线解析式为：y x t =+，将B （0，-4）代入y x t =+得，4t =-，∴PA 所在直线解析式为：4y x =-，∴当x =-1时，145y =--=-，∴P 点坐标为：（-1，-5）；③当∠APB =90°时，设P 点坐标为：()1p y -，，∴PA 所在直线斜率为：3py ，PB 在直线斜率为：41p y +-，∵PA ⊥PB ，∴3py 41p y +-=-1，解得：12p y =-22p y =--，∴P 点坐标为：(12--+，，(12--，综上所述，P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--，，(12---，时，△PAB 为直角三角形．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．4. （2022呼和浩特中考）如图，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和点(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC 、BC ．（1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）如图1，若点D 是线段AC 的中点，连接BD ，在y 轴上是否存在点E ，使得BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P 是第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PQ y ∥轴，分别交BC 、x 轴于点M 、N ，当PMC △中有某个角的度数等于OBC Ð度数的2倍时，请求出满足条件的点P 的横坐标．【答案】（1）213222y x x =-++；A （-1，0）；（2）存在E （0，3）或（0，-1），使得BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形；（3）2或32【解析】【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）先根据中点坐标公式可得点1,12D æö-ç÷èø，设点E （0，m ），再根据两点坐标公式可得()22221501224DE m m m æö=--+-=-+ç÷èø，2222181424BD m m æö=++=+ç÷èø，2216BE m =+，再由勾股定理，即可求解；（3）先求出1tan 2OC OBC OB Ð==，再求出直线BC 的解析式，然后设点213,222P a a a æö-++ç÷èø，则1,22M a a æö-+ç÷èø，CF =a ，可得2122PM a a =-+，再分三种情况讨论：若∠PCM =2∠OBC ，过点C 作CF ∥x 轴交PM 于点F ；若∠PMC =2∠OBC ；若∠CPM =2∠OBC ，过点P 作PG 平分∠CPM ，则∠MPG =∠OBC ，即可求解．【小问1详解】解：把点(4,0)B 和点(0,2)C 代入，得：1164022b c c ì-´++=ïíï=î，解得：322b c ì=ïíï=î，∴抛物线的解析式为213222y x x =-++，令y =0，则213222y x x =-++，解得：121,4x x =-=，∴点A （-1，0）；【小问2详解】解：存在，理由如下：∵点A （-1，0），点(0,2)C ，点D 是线段AC 的中点，∴点1,12D æö-ç÷èø，设点E （0，m ），∴()22221501224DE m m m æö=--+-=-+ç÷èø，2222181424BD m m æö=++=+ç÷èø，2216BE m =+，∵BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形，∴22258116244m m m m ++-+=+，整理得：2230m m --=，解得：3m =或-1，∴点E 的坐标为（0，3）或（0，-1）；【小问3详解】解：∵点B （4，0），C （0，2），∴OB =4，OC =2，∴1tan 2OC OBC OB Ð==，设直线BC 的解析式为()10y kx b k =+¹，把点B （4，0），C （0，2）代入得：11402k b b +=ìí=î，解得：1122k b ì=-ïíï=î，∴直线BC 的解析式为122y x =-+，设点213,222P a a a æö-++ç÷èø，则1,22M a a æö-+ç÷èø，CF =a ，∴2213122222122PM a a a a a -æöæö=-++-=-+ç÷ç÷èøèø+，若∠PCM =2∠OBC ，过点C 作CF ∥x 轴交PM 于点F ，如图甲所示，∴∠FCM =∠OBC ，即1tan tan 2FCM OBC Ð=Ð=，∴∠PCF =∠FCM ，∵PQ y ∥轴，∴CF ⊥PQ ，∴PM =2FM ，∴214FM a a =-+，∴21142a a a -+=，解得：解得：a =2或0（舍去），∴点P 的横坐标为2；若∠PMC =2∠OBC ，∵∠PMC =∠BMN ，∴∠BMN =2∠OBC ，∵∠OBC +∠BMN =90°，∴∠OBC =30°，与1tan 2OC OBC OB Ð==相矛盾，不合题意，舍去；若∠CPM =2∠OBC ，如图乙所示，过点P 作PG 平分∠CPM ，则∠MPG =∠OBC ，∵∠PMG =∠BMN ，∴△PMG ∽△BMN ，∴∠PGM =∠BNM =90°，∴∠PGC =90°，∵PG 平分∠CPM ，即∠MPG =∠CPG ，∴∠PCM =∠PMC ，∴PC =PM ，∴2122a a -+=，解得：32a =或0（舍去），∴点P 的横坐标为32；综上所述，点P 的横坐标为2或32．图甲图乙【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．5. （2022抚顺中考）如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45°得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标；（3）当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．【答案】（1）234y x x =--+（2）(1,6)D -或(3,4)D -（3）()3,4-或(0,4)或2ö÷÷ø或2ö÷÷ø【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点D 作DG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，先求出直线AC 的解析式，设()()2,34,,4D n n n H n n --++，则24DH n n =--，证明△EDH ∽△EOC 得到DH DE OC OE=，即可求出DH =3，据此求解即可；（3）分D 和F 为直角顶点进行讨论求解即可．【小问1详解】解：将(4,0),(0,4)A C -代入23y ax x c =-+得：161204a c c ++=ìí=î，解得14a c =-ìí=î，∴抛物线解析式为234y x x =--+；【小问2详解】解：过点D 作DG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，设过点(4,0),(0,4)A C -的直线的解析式为y kx b =+，则404k b b -+=ìí=î，解得14k b =ìí=î，∴直线AC 的解析式为4y x =+，设()()2,34,,4D n n n H n n --++，则24DH n n =--．∵DH OA OC OA ⊥，⊥，∴DG OC ∥，的∴,ECO EHD EOC EDH Ð=ÐÐ=Ð，∴EDH EOC V V ∽，∴DH DE OC OE=，∵3,44DE OC OE ==，∴3DH =，∴243n n --=解得1n =-或3n =-将1,3n n =-=-分别代入234y x x =--+得6,4y y ==∴(1,6)D -或(3,4)D -；【小问3详解】解：如图1所示，当点D 与点C 重合时，∵点A （-4，0），点C （0，4），∴OA =OC =4，∴∠OCA =∠OAC =45°，当点C 与点D 重合时，∵OP 是OD 逆时针旋转45°得到的，∴∠POD =45°，即∠FOC =45°，∴∠AOF =∠FOC =45°，又∵OA =OC ，∴OF ⊥AC ，即∠OFC =90°，∴△OFC 是直角三角形，∴此时点D 的坐标为（0，4）；如图2所示，当∠DFO =90°时，连接CD ，由旋转的性质可得∠DOF =45°，∴△DOF 是等腰直角三角形，∴OF =OD ，∠FDO =∠FCO =45°，∴C 、D 、F 、O 四点共圆，∴∠FCD =∠FOD =45°，∴∠OCD =∠FCD +∠FCO =90°，∴CD ⊥OC ，∴点D 的纵坐标为4，∴当y =4时，2344x x --+=，解得3x =-或0x =（舍去），∴点D 的坐标为（-3，4）；如图3所示，当∠ODF =90°时，过点D 作DH ⊥y 轴于H ，过点F 作FG ⊥DH 交HD 延长线于G ，同理可证△DOF 是等腰直角三角形，∴OD =DF ，∵FG ⊥DH ，DH ⊥y 轴，∴∠FGD =∠DHO =90°，∴∠GDF +∠GFD =90°，又∵∠GDF +∠HDO =90°，∴∠GFD =∠HDO ，∴△GDF ≌△HOD （AAS ），∴GD =OH ，GF =DH ，设点D 的坐标为（m ，234m m --+），∴234DH GF m OH GD m m ==-==--+，，∴244GH m m =--+，∴点F 的坐标为（244m m +-，224m m --+），∵点F 在直线AC ：4y x =+上，∴2244424m m m m +-+=--+，∴2320m m +-=，解得m =∴点D 的坐标为2ö÷÷ø或2ö÷÷ø；综上所述，点D 的坐标为（-3，4）或（0，4）或2ö÷÷ø或2ö÷÷ø【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．6. （2022恩施中考）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线2y x c =-+向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q ，平移后的抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．判断以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC 与抛物线2y x c =-+交于M 、N 两点（点N 在点M 的右侧），请探究在x 轴上是否存在点T ，使得以B 、N 、T 三点为顶点的三角形与ABC V 相似，若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线2y x c =-+进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线2y x c =-+平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【答案】（1）24y x =-+（2）以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析（3）存在，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø，（4527,88æöç÷èø【解析】【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；（2）分别求得B 、C 、Q 的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；（3）由CBA NBT Ð=Ð，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；（4）如图，作l BC ∥且与抛物线只有1个交点，交y 轴于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，则DEC V 是等腰直角三角形，作EF DC ⊥于F ，进而求得直线l 与BC 的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ∴4c =\抛物线解析式为24y x =-+【小问2详解】以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：Q 24y x =-+的顶点坐标为()0,4P 依题意得，()1,4Q -\平移后的抛物线解析式为()214y x =-++令0y =，解()2140x -++=得123,1x x =-=()()1,03,0A B \-，令0x =，则3y =，即()0,3C()222222222331811231420BC CQ QB \=+==+==-++=，，222BC CQ QB \+=\以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形【小问3详解】存在，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø，理由如下，()3,0B -Q ，()03C ，，3OB OC \==\OBC V 是等腰直角三角形设直线BC 的解析式为y kx b =+，则303k b b -+=ìí=î，解得13k b =ìí=î，\直线BC 的解析式为3y x =+，联立234y x y x =+ìí=-+î解得11x y ì=ïïíïïî，22x y ì=ïïíïïîN \Q ()()1,0,3,0A B -，()0,3C ，OBC V 是等腰直角三角形\4AB =，BC ==设直线AC 的解析式为y mx n =+,03m n n +=ì\í=î33m n =-ì\í=î\直线AC 的解析式为33y x =-+当NT AC ∥时，BNT BCA V V ∽设NT 的解析式为3y x t =-+，由NT 过点N3t =-+解得1t =+\NT 的解析式为31y x =-++，令0y =解得x =T ö\÷÷ø3BT \=+=Q BNT BCA V V ∽，BT BN BA BC\==BN \=②当BNT BAC V V ∽时，则BT BN BC BA ==解得154BT =+3OB =QT ö\÷÷ø综上所述，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø【小问4详解】如图，作l BC ∥，交y 轴于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，则DEC V 是等腰直角三角形，作EF DC ⊥于FQ 直线BC 的解析式为3y x =+设与BC 平行的且与24y x =-+只有一个公共点的直线l 解析式为y x b=+则24y x y x bì=-+í=+î整理得：240x x b ++-=则()21440b D =--=解得174b =\直线l 的解析式为174y x =+175344CD \=-=，1528EF FC CD ===54CE\===即拋物线2y x c=-+EC方向()0,4PQ∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标\平移后的顶点坐标为55,488æö-ç÷èø，即52788æöç÷èø，【点睛】本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．7. （2022海南中考）如图1，抛物线2y ax2x c=++经过点(1,0)(0,3)A C-、，并交x 轴于另一点B，点(,)P x y在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P 的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP 的面积；（3）点Q 在抛物线上，当PD AD的值最大且APQ V 是直角三角形时，求点Q 的横坐标；【答案】（1）2y x 2x 3=-++（2）152（3）点Q 的横坐标为76，113，52，1．【解析】【分析】（1）将A 、C 两点坐标代入解析式求解即可；（2）如图，连接OP ，令2230y x x =-++=，求得点B 的坐标，再根据各点的坐标确定OC 、OB 的长，然后再根据POC BOP BOCP S S S +=V V 四边形求解即可；（3）如图，作PF x ∥轴，交直线BC 于点F ，可得PFD ABD △∽△，即PD PF AD AB =，进一步说明当PF 最大时，PD PF AD AB=最大．设()2,23P m m m -++，则()222,23F m m m m --++，根据线段的核查运算求得PF 的最大值；设点()2,23Q t t t -++，若APQ V 是直角三角形，则点Q 不能与点P 、A 重合，∴3,12t t ¹¹-，再分90APQ Ð=°、90PAQ Ð=°、90AQP Ð=°三种情况解答即可．【小问1详解】解：∵抛物线2y ax 2x c =++经过点(1,0)(0,3)A C -、,∴203a c c -+=ìí=î解得13a c =-ìí=î∴该抛物线的函数表达式为2y x 2x 3=-++．【小问2详解】解：如图，连接OP ，令2230y x x =-++=，∴121,3x x =-=．∴(3,0)B ∵(0,3),(1,4)C P ，∴3,3,1,4P P OC OB x y ====．∴131,6222POC P BOP P S OC x S OB y =×==×=△△．∴152POC BOP BOCP S S S +==V V 四边形．【小问3详解】解：如图，作PF x ∥轴，交直线BC 于点F ，则PFD ABD △∽△．∴PD PF AD AB=．∵4AB =是定值，∴当PF 最大时，PD PF AD AB=最大．设BC y kx b =+，∵(0,3),(3,0)C B ，∴3BC y x =-+．设()2,23P m m m -++，则()222,23F m m m m --++．∴()222392324PF m m m m m m æö=--=-+=--+ç÷èø．∴当32m =时，PF 取得最大值94，此时315,24P æöç÷èø．设点()2,23Q t t t -++，若APQ V 是直角三角形，则点Q 不能与点P 、A 重合，∴3,12t t ¹¹-，下面分三类情况讨论：①若90APQ Ð=°，如图，过点P 作2PP x ⊥轴于点2P ，作12QP P P ⊥交2PP 的延长线于点1P ，则12PPQ AP P △∽△．∴1212QP PP PP AP =．∴23152415323142t t t -=-++-+．∵32t ¹，∴13122t =-．∴76t =．②若90PAQ Ð=°，如图，过点P 作直线1PA x ⊥轴于点1A ，过点Q 作2QA x ⊥轴于点2A ，12APA QAA ∽△△．∴1212PA AA AA QA =．∴2151432312t t t +=--+．∵1t ¹-，∴3123t =-．∴113t =．③若90AQP Ð=°，如图，过点Q 作1Q Q x ⊥轴于点1Q ，作21PQ Q Q ⊥交1Q Q 的延长线于点2Q ，则21PQQ QAQ ∽△△．∴2121PQ QQ QQ AQ =．∴()223232151234t t t t t t --++=+--++．∵3,12t t ¹¹-，∴2321t t =--．∴1251,2t t ==．综上所述，当PD AD 的值最大且APQ V 是直角三角形时，点Q 的横坐标为76，113，52，1．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何图形的综合、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想，灵活应用相关知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键．8. （2022山西侯马二模）如图，抛物线23y ax bx =+-经过()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，P 为第四象限内抛物线上一点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接AC ，AP ，AP 与y 轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当∠MPA ＝2∠PAC 时，求直线AP 的函数表达式．（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点E ，使以E ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）4433y x =--；（3）存在，点E 坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè【解析】【分析】（1）把()1,0A -，()3,0B 分别代入23y ax bx =+-，解方程组即可；（2）先根据平行线的性质得到∠MPA ＝∠ODA ，然后再由三角形外角的性质得到△ADC 为等腰三角形，求出点D 的坐标，由A 、D 两点的坐标即可求得直线AP 的函数解析式；（3）先求出M 点坐标，设点E 的坐标为()1,n ，用含n 的代数式分别表示出2CM ，2CE ，2ME ，然后进行分类谈论依次解出点E 对应的坐标．【小问1详解】的解：把()1,0A -，()3,0B 分别代入23y ax bx =+-，得309330a b a b --=ìí+-=î．解得12a b =ìí=-î．∴抛物线的函数表达式为223y x x =--；【小问2详解】解：根据题意，得MP OD ∥．∴∠MPA ＝∠ODA ．又∵∠MPA ＝2∠PAC ，∴∠ODA ＝2∠PAC ．又∵∠ODA ＝∠DAC ＋∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ．∴CD ＝AD ．在223y x x =--中，令0x =，解得3y =-，∴()0,3C-．设OD ＝m ，则AD ＝CD ＝3－m ．∵()1,0A -，∴OA ＝1．在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得()22213m m +=-．解得43m =．∴40,3D æö-ç÷èø．设直线AP 的函数表达式为y kx c =+．把()1,0A -，40,3D æö-ç÷èø分别代入，得0,4.3k c c -+=ìïí=-ïî解得4,34.3k c ì=-ïïíï=-ïî∴直线AP 的函数表达式为4433y x =--；【小问3详解】解：存在，点E 的坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè．令2442333x x x --=--，解得11x =-，253x =．∴点P 的横坐标为53．∵PM ⊥x 轴，∴5,03M æöç÷èø．由223y x x =--，得抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，由（2）可得()0,3C -．设点E 的坐标为()1,n ，则2225106339CM æö=+=ç÷èø，()22213CE n =++，22254139ME n n æö=-+=+ç÷èø．若∠MCE ＝90°，则222CM CE ME +=，即()22210641399n n +++=+，解得329n =-．若∠CME ＝90°，则222CM ME CE +=，即()22210641399n n ++=++，解得1027n =．若∠CEM ＝90°，则222CE ME CM +=，即()22241061399n n ++++=，解得132n =-+，232n =--．综上所述，点E 的坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像与性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．9．（2021烟台中考）（14分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣2，0），B （4，0），与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2OA ，抛物线的顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．直线y ＝mx +n 经过B ，C 两点．（1）求抛物线及直线BC 的函数表达式；（2）点F 是抛物线对称轴上一点，当FA +FC 的值最小时，求出点F 的坐标及FA +FC 的最小值；（3）连接AC ，若点P 是抛物线上对称轴右侧一点，点Q 是直线BC 上一点，试探究是否存在以点E 为直角顶点的Rt △PEQ ，且满足tan ∠EQP ＝tan ∠OCA ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC 于点F ，则点F 为所求点，此时，当FA +FC 的值最小，进而求解；（3）①当点Q 在点P 的左侧时，证明△QME ∽△ENP ，则＝tan ∠EQP ＝。

专题23 以函数为背景的直角三角形的存在性问题-2021年中考数学重难点专项突破(全国通用)

1 专题23 以函数为背景的直角三角形的存在性问题【知识讲解】 1、知识内容：在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。

另外，较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形．2、解题思路：（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；（2）计算出相应的边长等信息；（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．【例题讲解】1、如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．xyA B CO2【答案】（1）A 、B 的坐标分别为（4-，0），（2，0）；（2）直线l 解析式为334y x =-+或334y x =-．【解析】（1）解方程2333084x x --+=，可得：A 、B 的坐标分别为（4-，0），（2，0）；（2）设AB 中点为D ，D 点为（1-，0），以D 为圆心，AD 为半径作圆，若l 与y 轴平行，则找不到3个M 点，使ABM ∆为直角三角形．∴l 不与y 轴平行．∴必定存在2个M 点，使90A ∠=︒或90B ∠=︒．要满足“以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个”，即直线l 与圆D 相切，设切点为M 0，过M 0作M 0H ⊥x 轴于H ，∵5DE =，03DM AD ==， ∴95DH =，0125M H =． ∴M 0的坐标为41255⎛⎫ ⎪⎝⎭，或41255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴直线l 解析式为334y x =-+或334y x =-．【总结】本题主要考查二次函数背景下的直角三角形的存在性问题，注意认真分析题目中的条件，从而求出正确的结果．2、在平面直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A （1-，0）和点B （0，3），顶点为P ．3（1）求二次函数解析式及点P 的坐标；（2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标．【答案】（1）解析式：223y x x =-++，顶点（1，4）；（2）点Q 的坐标是（1，0）或（9，0）．【解析】（1）由题意得103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：2b =，3c =；∴二次函数解析式为()222314y x x x =-++=--+，∴点P 的坐标是（1，4）；（2）P （1，4），A （1-，0），∴220AP =设点Q 的坐标是（x ，0），则()221AQ x =+，()22116PQ x =-+．○1当90AQP ∠=︒时，222AQ PQ AP +=，∴()()22111620x x ++-+=，解得：11x =，21x =-（不合题意，舍去），∴点Q 的坐标是（1，0）；○2当90APQ ∠=︒时，222AP PQ AQ +=，∴()()22201161x x +-+=+，解得：9x =，∴点Q 的坐标是（9，0）．○3当90PAQ ∠=︒时，不合题意．综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．【总结】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定，另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理确定点的坐标．4。

直角三角形存在性问题专项训练(一)(含答案)

直角三角形存在性问题专项训练（一）试卷简介:在前面通过训练平行四边形存在性、等腰三角形存在性让学生感受有序思考、有序操作的基础上，一方面训练学生直角三角形存在性操作要领，一方面继续训练有序思考和有序操作，需要学生能够掌握整合信息，读题标注；分析特征，有序思考，设计方案；根据方案作出图形，有序操作；检查验证整个过程。

一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，已知点在直线上，P是x轴上一点，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①理解题意，整合信息．将A，B两点坐标以及函数解析式都标注在图上．②分析特征有序思考，设计方案．分析定点，动点：△ABP中，A，B是定点，P是动点；确定分类标准：以三角形的三个顶点轮流当直角顶点进行分类讨论．③根据方案作出图形，有序操作．当定点A或B为直角顶点时，由于AB是定直线，可以利用求解；当动点P为直角顶点时，可以利用相似（三等角模型）或求解．④结果检验，总结．作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．2．解题过程当∠BAP=90°时，过点A作，交x轴于点，如图所示，∵，∴，∴．当∠ABP=90°时，过点B作，交x轴于点，如图所示，∵，∴，∴．当∠APB=90°时，如图，过点B作BD⊥x轴于点D．则△AOP∽△PDB，∴，即，解得，∴，如图所示，综上，符合题意的点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性2.如图，已知A（1，0），B（0，3），P是直线x=2上一点，若△ABP是以AB为斜边的直角三角形，则点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：1．解题要点①理解题意，整合信息．将A，B两点坐标及直线信息标注在图上．②分析特征有序思考，设计方案．分析定点，动点：△ABP中，A，B是定点，P是动点；确定分类标准：题目要求△ABP是以AB为斜边的直角三角形，所以只能是点P作为直角顶点．③根据方案作出图形，有序操作．当动点P为直角顶点时，可以利用相似（三等角模型）或求解．④结果检验，总结．作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍；2．解题过程如图，设点P满足∠APB=90°，直线x=2与x轴交于点C，过点B作BD⊥CP于点D．∵∠APB=90°，∴∠BPD+∠APC=90°．∵∠BPD+∠PBD=90°，∴∠PBD=∠APC，则Rt△DBP∽Rt△CPA，∴，即，解得PC=1或PC=2，∴，即符合题意的点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性3.如图，已知A(0，2)，B(4，0)，点C在x轴上，CD⊥x轴，交线段AB于点D，且点D不与A，B两点重合，将△ABO沿CD折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当△ADE为直角三角形时，x的值为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：1．解题要点①理解题意，整合信息．将A，B两点坐标及翻折信息标注在图上．②分析特征有序思考，设计方案．分析定点，动点：△ADE中，A是定点，D，E是动点；确定分类标准：以三角形的三个顶点轮流当直角顶点进行分类讨论，但结合题目信息，∠ADE不可能为直角，所以直角顶点只能是点A和点E．③根据方案作出图形，有序操作．当定点A为直角顶点时，由于AD是定直线，可以利用求解；当动点E为直角顶点时，可以利用相似（三等角模型）或求解．④结果检验，总结．作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．2．解题过程∵A(0，2)，B(4，0)，∴OA=2，OB=4．由题意得，BC=CE，∠DBE=∠DEB．∵，∴．①当∠DAE=90°时，过点A作AE⊥AB，交x轴于点E，作BE的垂直平分线，找到折痕CD的位置，如图所示，在Rt△AEB中，，∴OE=1，∴E（-1，0），∴，．②当∠AED=90°时，点E只能在x轴的正半轴上，如图所示，∵C（x，0），∴BC=CE=4-x，∴．∵△AOE∽△ECD，∴，即，解得．∵，∴．综上，符合题意的x的值为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性4.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两邻边OA，OC分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为（5，2），D是点A右侧的x轴上一点，E是y轴负半轴上一点，且OE=2AD=2t．连接BD，BE，DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为( )A.4B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①理解题意，整合信息．将信息标注在图上．②分析特征有序思考，设计方案．分析定点，动点：△BDE中，B是定点，D，E是动点；确定分类标准：以三角形的三个顶点轮流当直角顶点进行分类讨论，但结合题目信息，∠BED不可能为直角，所以直角顶点只能是点B和点D．③根据方案作出图形，有序操作．当定点B为直角顶点时，结合题目背景，可以利用相似来解决问题；当动点D为直角顶点时，结合题目背景，可以利用相似（三等角模型）来解决问题．④结果检验，总结．作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．2．解题过程由题意得BC=OA=5，AB=OC=2．∵OE=2AD=2t，∴CE=2+2t．①当∠EBD=90°时，如图所示，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠=∠3，∴Rt△BCE∽Rt△BAD，∴，即，解得，符合题意．∴当时，△BDE是直角三角形．②当∠EDB=90°时，如图所示，过点D作直线轴，分别过点B，E作直线的垂线，垂足分别为点G，H．则四边形OEHD和四边形BADG都是矩形，BG=AD=t，DG=AB=2，EH=OD=t+5，DH=OE=2t．∵△BGD∽△DHE，∴，即，解得，不符合题意．综上，符合题意的t的值为4．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性。

专题23-二次函数与等边三角形存在问题-2022中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版

专题23 二次函数与等边三角形存在问题1．（2021·浙江鄞州·中考一模）如图，点A 是二次函数y 2图象上的一点，且位于第一象限，点B 是直线y 上一点，点B ′与点B 关于原点对称，连接AB ，AB ′，若△ABB ′为等边三角形，则点A 的坐标是（）A ．（13B ．（23C ．（1D ．（43 【答案】B【分析】连接OA ，作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，根据题意∠ABO ＝60°，AO ⊥BB ′，即可得到tan∠ABO ＝OA OB 设A （m 2），通过证得△AOM ∽△OBN ，得到B （﹣m 2），代入直线y 即可得到关于m 的方程，解方程即可求得A 的坐标．【详解】解：连接OA ，作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，∵点B ′与点B 关于原点对称，∴OB ＝OB ′，∵△ABB ′为等边三角形，∴∠ABO ＝60°，AO ⊥BB ′，∴∠BON +∠AOM ＝90°，tan ∠ABO ＝OA OB∴OA OB ∵∠BON +∠OBN ＝90°，∴∠AOM ＝∠OBN ，∵∠BNO ＝∠AMO ＝90°，∴△AOM ∽△OBN ，∴BN ON OBOM AM OA==，设A（m2），∴OM＝m，AM2，∴BN，ON＝m2，∵点A在第一象限内，∴B（﹣m2），∵点B是直线y上一点，（﹣m2），解得m＝23或m＝0（舍去），当m＝232∴A（23），故选：B．【点睛】本题考查二次函数上的点的坐标特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．2．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x 轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(2，1)；（3）M或(1【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可．（3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解．【详解】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到310cb c=⎧⎨--+=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣22-＝1．（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），∴D （2，3），∵B （3，0），∴T （52，32），BD∵∠NPD ＝90°，DT ＝TB ，∴PT ＝12BD∴（1﹣52）2＋（m ﹣32）22，解得m ＝1或2，∴P （1，1），或（2，1）．（3）当点M 在第一象限时，△BMN 是等边三角形，过点B 作BT ⊥BN 交NM 的延长线于T ，设N （1，t ），作TJ ⊥x 轴于点J ，设抛物线的对称轴交x 轴于E ．∵△BMN 是等边三角形，∴∠NMB ＝∠NBM ＝60°，∵∠NBT ＝90°，∴∠MBT ＝30°，BT ，∵∠NMB ＝∠MBT ＋∠BTM ＝60°，∴∠MBT ＝∠BTM ＝30°，∴MB ＝MT ＝MN ，∵∠NBE ＋∠TBJ ＝90°，∠TBJ ＋∠BTJ ＝90°，∴∠NBE ＝∠BTJ ，∵∠BEN ＝∠TJB ＝90°， ∴△BEN ∽△TJB ，∴TJ BJ BT EB EN BN ==∴BJ ，TJ ＝∴T （3，，∵NM＝MT，∴M），∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上，）2＋＋3，整理得，3t2＋（2）t﹣12＋0，解得t＝﹣∴M．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．同法可得T（3，﹣，M，）2＋＋3，整理得，3n2＋（2﹣n﹣12﹣0，解得n，∴M（1，综上所述，满足条件的点M1．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键．3．（2021—2022江苏射阳九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣4，0），B（﹣3AB，BO．（1）求抛物线表达式和直线OB 解析式；（2）点C 是第二象限内直线OB 上方抛物线上的一个动点，是否存在一点C 使△COB 面积最大？若存在请求出点C 坐标及最大面积，若不存在请说明理由；（3）若点D 从点O 出发沿线段OA 向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA 上另一个点H 从点A 出发沿线段AO 向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当点H 到达点O 时，点D 也同时停止运动）．过点D 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长DE 到点F ，使得EF ＝DE ，以DF 为边，在DF 左侧作等边△DGF （当点D 运动时点G 、点F 也随之运动）．过点H 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点L ，延长HL 到点M ，使得LM ＝HL ，以HM 为边，在HM 的右侧作等边△HMN （当点H 运动时，点M 、点N 也随之运动）．当点D 运动t 秒时，△DGF 有一条边所在直线恰好过△HMN 的重心，直接写出此刻t 的值．【答案】（1）抛物线解析式2y =，直线OB 解析式y x =；（2）存在，点32C ⎛- ⎝⎭（3）t 的值为4s 5或4s 11时，△DGF 有一条边所在直线恰好过△HMN 的重心．【分析】（1）利用待定系数法分别把点A 、B 的坐标代入抛物线解析式，设直线OB 解析式为y kx =，进而代点求解即可；（2）过点C 作CQ ∥y 轴，交OB 于点Q ，由（1）可设点2,,,C m Q m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有2CQ =，然后根据铅垂法可进行求解；（3）由题意可分两种情况：①当直线DF 经过△HMN 的重心P 时，②当直线DG 经过△HMN 的重心P 时，然后根据相似三角形的性质与判定及三角函数可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：把点A 、B 的坐标代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx 得：164093a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线解析式为2y x =，设直线OB 解析式为y kx =，∴3k -k =， ∴直线OB解析式为y =；（2）过点C 作CQ ∥y 轴，交OB 于点Q ，如图所示：由（1）可设点2,,,C m Q m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22CQ ==， ∵点B （﹣3，∴△COB 的水平宽为3，∴2213322COB S m ⎛⎫⎫=⨯⨯=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵0<， ∴当32m =-时，△COB，把32m =-代入抛物线解析式得：y =，∴点32C ⎛- ⎝⎭；（3）由题意可分两种情况：①当直线DF 经过△HMN 的重心P 时，如图2，连接NL ，∵LM LH =，且△HMN 是等边三角形，∴点P 在NL 上，由题意得：,2OD t AH t ==，2,4,AB OA OB ==∴222AB OB OA +=，且12AB OA =， ∴30,60AOB BAO ∠=︒∠=︒，∵MH ⊥x 轴，∴∠ALH =30°，∴LH =，∴2HN HM HL ===，∵∠LHN =60°，∴sin606LN HN t =⋅︒=，∵FD ⊥x 轴，MH ⊥x 轴，∴90LHD PDH PLH ∠=∠=∠=︒，∴四边形PLHD 是矩形，∵点P 是重心，∴123PL DH LN t ===， ∵4OA AH HD OD =++=，∴224t t t ++=，解得：45t =； ②当直线DG 经过△HMN 的重心P 时，如图3，连接NL ，∵//DP MN，∴12 LP LKPN KM==，∵LH LM=，∴14 KLKH=，∵//LP DH，∴14KL LPKH DH==，即21434tt=-，解得：411t=，综上所述：t的值为4s5或4s11时，△DGF有一条边所在直线恰好过△HMN的重心．【点睛】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．4．（2021·重庆市育才中考模拟预测）如图，抛物线y＝ax2﹣2x＋c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将ABC沿直线AC翻折得到AB C'，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当AB G'△面积最大时点G的横坐标；（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2；（3）y或y＝x【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2﹣2x＋c得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，求出B′H的长，可得点B′的坐标，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG 解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将△AB'G 面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可．（3）由题意可知△B′BA为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．证出△BAQ≌△BB′P，可得AP垂直平分BB′，则C点在直线AP 上，可求出直线AP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【详解】解：（1）由题意得：02096a ca c=++⎧⎨=-+⎩，解得：13ac=⎧⎨=-⎩，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，在Rt△AB′H中，由勾股定理，得B′H==∴点B′的坐标为（1，，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D，则：0tk b r k b +=⎧⎨-+=⎩，解得：11r k t r b t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ∴直线AG 解析式为y ＝11r r x t t +++， ∴D （1，21r t +）， ∴B ′D ＝21r t +， ∴AB G AB D GB D SS S ''+'= ＝12•B ′D •2＋12•B ′D •（t ﹣1）＝12•B ′D •（t ＋1）＝12（21r t +）（t ＋1）t ＋1）﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2＋（2t ＋3∵﹣1＜0，∴当t时，S △AB ′G 的值最大，此时点G134-）；（3）取（2）中的点B ′，B ，连接BB ′，∵AB ′＝AB ，∠B ′AB ＝60°，∴△ABB ′为等边三角形．分类讨论如下：①当点P 在x 轴的上方时，点Q 在x 轴上方，连接BQ ，B ′P ．∵△PBQ ，△ABB ′为等边三角形，∴BQ ＝BP ，AB ＝BB ′，∠PBQ ＝∠B ′BA ＝60°，∴∠ABQ ＝∠B ′BP ，∴△ABQ ≌△B ′BP （SAS ），∴AQ ＝B ′P ．∵点Q 在抛物线的对称轴上，∴AQ ＝BQ ，∴B ′P ＝BQ ＝BP ，又∵AB ′＝AB ，∴AP 垂直平分BB ′，由翻折可知AC 垂直平分BB ′，∴点C 在直线AP 上，设直线AP 的函数表达式为y ＝k 1x ＋b 1，则1110k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩11k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AP 的函数表达式为y②当点P 在x 轴的下方时，点Q 在x 轴下方．∵△PBQ ，△ABB ′为等边三角形，∴BP ＝BQ ，AB ＝BB ′，∠BB ′A ＝∠QBP ＝∠B ′BA ＝60°．∴∠ABP ＝∠B ′BQ ，∴△ABP ≌△B ′BQ （SAS ），∴∠BAP ＝∠BB ′Q ，∵AB ′＝BB ′，B ′H ⊥AB ，∴∠BB ′Q ＝12∠BB ′A ＝30°，∴∠BAP ＝30°，设AP 与y 轴相交于点E ，在Rt △AOE 中，OE ＝OA •tan ∠BAP ＝OA •tan30°＝∴点E 的坐标为（0．设直线AP 的函数表达式为y ＝mx ＋n ，则0m n n =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AP 的函数表达式为y＝．综上所述，直线AP 的函数表达式为yx +或y＝．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．5．（2021·广西柳南·中考三模）如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点N，交抛物线于点M，点D为线段MN上一动点．（1）求抛物线的表达式及C点坐标；（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）连接BD，在BD左侧构造等边△BDH，求当点D从点M运动到点N的过程中，H运动的路径长．【答案】（1）y ＝−x 2＋2x ＋3，（0，3）；（2）（1，1）或（1）；（3）4【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，进而求出C 的坐标；（2）分CD ＝AD 、AC ＝AD 两种情况，利用勾股定理求出边的长度，分别求解即可；（3）设点H 的坐标为（x ，y ），点D （1，m ），过点H 作HE ⊥BD ，过点E 作x 轴的平行线GR ，交过点B 与y 轴的平行线于点R ，交过点H 与y 轴的平行线于点G ，证明△EGH ∽△BRE，可得212x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而确定点H的轨迹为：y x = 【详解】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 过点A （﹣1，0）和点B （3，0），把A ，B 两点的坐标代入关系式，得01093b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的关系式为：y ＝−x 2＋2x ＋3，把x ＝0代入y ＝−x 2＋2x ＋3得y ＝3，∴C 点坐标为（0，3）；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为：直线x ＝1，设D 点坐标为（1，m ），①当CD ＝AD 时，由题意得：1＋（3−m ）2＝22＋m 2，解得：m ＝1，∴D 点坐标为（1，1）；②当AC ＝AD 时，由题意得：12＋32＝22＋m 2，解得：m＝，故m，∴D 点坐标为（1，∴D 点坐标为（1，1）或（1）；（3）设点H 的坐标为（x ，y ），点D （1，m ），过点H 作HE ⊥BD ，∵△DBH 为等边三角形，∴则点E 是BD 的中点且BD ⊥EH ，则EH ：BE ＝E 为BD 的中点，则点E 的坐标为（2，12m ），过点E 作x 轴的平行线GR ，交过点B 与y 轴的平行线于点R ，交过点H 与y 轴的平行线于点G ，∵∠REB ＋∠GEH ＝90°，∠GEH ＋∠GHE ＝90°，∴∠REB ＝∠GHE ，∴△EGH ∽△BRE ，∴EG GH HE BR ER BE=== 则GH ＝12m −y ，ER ＝3−2＝1，GE ＝2−x ，BR ＝12m ，即122112m y x m --==212x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得：y x = 即点H 的轨迹为直线，当点D 在点M 处时，则m ＝4，则2x ==2x =-122y m =即此时点H的坐标为（2-，2，当点D在点N处时，则m＝2，同理可得，此时点H'的坐标为（2，，则H运动的路径长为H H'4=．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H．（1）求A，B两点的坐标；（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；（3）以OB为边最第四象限内作等边△OBM．设点E为x轴的正半轴上一动点（OE＞OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）P（2，﹣3）；（3）线段DF的长的最小值存在，最小值是2+．【详解】试题分析：（1）令y=0，求得关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的解即为点A、B的横坐标；（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），根据抛物线解析式求得点D的坐标为D（1，﹣4）；结合坐标与图形的性质求得线段CD=，CB=3，BD=2；所以根据勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°，则易推知相似三角形△BCD∽△PNB，由该相似三角形的对应边成比例来求x的值，易得点P的坐标；（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．过点B，F作直线交对称轴于点G．构建全等三角形：△EOM≌△FBM，由该全等三角形的性质和图形中相关角间的和差关系得到：∠OBF=120°为定值，即BF所在直线为定直线．过D点作DK⊥BF，K为垂足线段DF的长的最小值即为DK的长度．解：（1）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），如图1，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．连接BP，设∠NBP=∠CDB．令x=0，得y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴C（0，﹣3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）．由勾股定理，得CD=，CB=3，BD=2．∴BD2=BC2+CD2，∴∠BCD=90°．∵∠BCD=∠PNB=90°，∠NBP=∠CDB．∴△BCD∽△PNB．∴=，=，即x2﹣5x+6=0，解得x1=2，x2=3（不合题意，舍去）．∴当x=2时，y=﹣3∴P（2，﹣3）；（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．过点B，F作直线交对称轴于点G．由题意可得：，∴△EOM≌△FBM，∴∠MBF=∠MOB=60°．∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°为定值，∴BF所在直线为定直线．过D点作DK⊥BF，K为垂足．在Rt△BGH中，∠HBG=180°﹣120°=60°，∴∠HGB=30°．∵HB=3，∴BG=4，HG=2．∵D（1，﹣4），∴DH=4，∴DG=2+4．在Rt△DGK中，∠DGK=30°．∴DK=DG=2+．∵当点E与点H重合时，这时BF=OH=1，则GF=4+1=5．而GK=DK=3+2＞5，即点K在点F运动的路径上，所以线段DF的长的最小值存在，最小值是2+．考点：二次函数综合题．7．如图，抛物线2=--+经过点A和点B.已知点A的坐标是（2，4），点B的横坐标y a x(1)5是－2.（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）设点D 为线段AB 上的一个动点，过D 作x 轴的垂线,垂足为点H .在DH 的右侧作等边△DHG . 将过抛物线顶点Ｍ的直线记为l ，设l 与x 轴交于点N .① 如图1，当动点D 的坐标为(1，2)时，若直线l 过△DHG 的顶点G .求此时点N 的横坐标是多少？② 若直线l 与△DHG 的边DG 相交，试求点N 横坐标的取值范围.【答案】(1)a=1,B(-2,-4);(2)1;②23x -≤≤【分析】（1）由于抛物线经过A 、B 两点，将A 点坐标代入抛物线中，即可求得待定系数的值，进而可求出B 点的坐标．（2）①已知点D 的坐标，即可求得正△DGH 的边长，过G 作GE ⊥DH 于E ，易求得DE 、EH 、EG 的长；根据（1）题所求得抛物线的解析式，即可求出点M 的坐标，也就能得到ME 、MH 的长，易证△MEG ∽△MHN ，根据相似三角形所得比例线段，即可求得N 点的横坐标．②求点N 横坐标的取值范围，需考虑N 点横坐标最大、最小两种情况：①当点D 、A 重合，且直线l 经过点G 时，N 点的横坐标最大；解法可参照（2）的思路，过点G 作GQ ⊥x 轴于Q ，过点M 作MF ⊥x 轴于F ，设出点N 的横坐标，然后分别表示出NQ 、NF 的长，通过证△NQG ∽△NFM ，根据所得比例线段，即可求得此时N 点的横坐标； ②当点D 、B 重合，直线l 过点D 时，N 点的横坐标最小，解法同①．【详解】（1）∵点A （2，4）在抛物线2(1)5y a x =--+上，∴代入得a=1 ,于是抛物线的解析式为224y x x =-++,又∵点B 的横坐标为－2，代入得y=-4,∴B (－2,－4) ;（2）①由题意M (1，5)，D (1，2)，且DH ⊥x 轴，∴点M 在DH 上，MH =5，过点G 作GE ⊥DH ，垂足为E .∵△DHG 是正三角形，可得EG EH =1，∴ME ＝4.设N (x ，0 )，则NH ＝x －1,由△MEG ∽△MHN ，得ME EG MH HN =,∴45=解得1x =,∴点N 1 ; ②如图，当点D 运动至与点A 重合时，直线与DG 交于点G ，此时点N 的横坐标最大．过点G ，M 作x 轴的垂线，垂足分别为点Q ，F .设N （x ，0），∵A (2, 4)，∴G (2+∴NQ =2x --NF =x -1，GQ =2，MF =5.由题意，△NGQ ∽△NMF ， ∴NQ GQ NF MF =,25=.∴x =, 如图，当点D 运动至与点B 重合时，直线与DG 交于点D （即点B ）此时点N 的横坐标最小.∵B (－2, －4) ，∴H (－2, 0)，D (－2, －4).设N （x ，0）.由题意△BHN ∽△MFN ， ∴NH BH FN MF =, ∴()2415x x --=-, ∴23x =-,综上，点N 的横坐标取值范围是23x -≤≤ 【点睛】二次函数的综合题，主要考查二次函数解析式的确定、等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质；在解答（2）题时，关键是正确地作图，构造出与所求相关的相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解．8．（2021·江西寻乌·九年级期末）如图，已知抛物线1C 与x 轴交于(4,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点(0,2)C ．将抛物线1C 向右平移(0)m m >个单位得到抛物线22C C ，与x 轴交于D ，E 两点（点D 在点E 的左侧），与抛物线1C 在第一象限交于点M ．（1）求抛物线1C 的解析式，并求出其对称轴；（2）①当1m =时，直接写出抛物线2C 的解析式；②直接写出用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）连接DM AM ，．在抛物线1C 平移的过程中，是否存在ADM △是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++，其中对称轴是直线32x =；（2）①21522=-+y x x ；②点M 的坐标为2325,28m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（3）存在，5m =．【分析】（1）直接利用待定系数法即可求得抛物线解析式，继而根据解析式即可求得抛物线的对称轴；（2）①利用抛物线平移规律即可求得C 2解析式；②利用抛物线平移规律即可求得M 的横坐标，进而代入C 1抛物线解析式即可；（3）过点M 做MN AD ⊥于点N ，分别表示出点D 、M 、N 、A 的坐标，根据两点间的坐标公式可得DN 、MN ，根据等边三角形的性质列方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）设抛物线1C 的解析式为()20y ax bx c a =++≠．则164002a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩抛物线1C 的解析式为213222y x x =-++，其中对称轴是直线32x =（2）①由（1）知：抛物线1C 的解析式为213222y x x =-++，即21325228y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，根据抛物线平移规律可得：抛物线2C 解析式为：22132515122822y x x x ⎛⎫=---+=-+ ⎪⎝⎭ ②根据抛物线平移规律可得，抛物线1C 向右平移(0)m m >个单位得到抛物线解析式为： 213225228m y x +⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，其对称轴为：322m x += ∴交点M 横坐标为：3233332222222m m m +⎛⎫- ⎪+⎝⎭+=+= 将其代入1C 抛物线解析式可得：2258m y -= ∴点M 的坐标为2325,28m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（3）存在m 值使ADM △是等边三角形．理由如下：过点M 做MN AD ⊥于点N∵()()()232531,0,,,,0,4,004282m m m D m M N A m ⎛⎫+-+⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()35122m m DN m +-=--= 2258m MN -= 若ADM △是等边三角形，则30DMN ∠=︒，∴MN =即225582m m --=解得55m m ==，（不合题意，舍去），∴当5m =时，ADM △是等边三角形．【点睛】本题考查二次函数的有关知识，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质、待定系数法求解析式、抛物线平移规律、等边三角形的性质．9．如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形点,A C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，连结AC ，3OA =，an t OAC =∠，D 是BC 的中点. (1)求OC 的长和点D 的坐标；(2)如图2，M 是线段OC 上的点，OM OC =，点P 是线段OM 上的一个动点，经过,,P D B 三点的抛物线交x 轴的正半轴于点E ，连结DE 交AB 于点F①将DBF ∆沿DE 所在的直线翻折，若点B 恰好落在AC 上，求此时BF 的长和点E 的坐标； ②以线段DF 为边，在DF 所在直线的右上方作等边DFG ∆，当动点P 从点O 运动到点M 时，点G 也随之运动，请直接写出点G 运动路径的长.【答案】(1) OC D 的坐标为3(2；(2) ①点E 的坐标为9(,0)2 【分析】（1）由OA=3，tan ∠OAC=OC OA =得，由四边形OABC 是矩形，得BC=OA=3，所以CD=12 BC=32，求得D （32）；（2）①由易知得ACB=∠OAC=30°，设将△DBF 沿DE 所在的直线翻折后，点B 恰好落在AC 上的B'处，则DB'=DB=DC ，∠BDF=∠B'DF ，所以∠BDB'=60°，∠BDF=∠B'DF=30°，所以BFD=∠AEF ，所以∠B=∠FAE=90°，因此△BFD ≌△AFE ，AE=BD=32，点E 的坐标（92 ，0）；②动点P 在点O 时，求得此时抛物线解析式为y=229x -，因此E （92，0），直线DE ：y =+F 1（3；当动点P 从点O 运动到点M 时，求得此时抛物线解析式为2y x =++，所以E （6，0），直线DE ：y =+，所以F 2（3；所以点F 运动路径的长为12F F ==，即G 运动路径的长．【详解】(1) ∵3,t an AO OA OC OA C ===∠∴OC∵四边形OABC 是矩形，∴3BC AO ==.∵D 是BC 的中点， ∴1322CD BC ==，∴点D 的坐标为3(2.(2) ①∵tan OAC =， ∴30OAC ∠=︒， ∴30ACB OAC ∠=∠=︒.设将DBF ∆翻折后，点B 落在AC 上的'B 处，则','DB DB DC BDF BD F ==∠=∠，∴'30DB C ACB ∠=∠=︒，∴60BDB ∠=︒，∴'30BDF B DF ∠=∠=︒.∵90B ∠=︒，∴tan 30BF BD =⋅︒=∵AB =∴AF BF == ∵,90BFD AFE B FAE ∠=∠∠=∠=︒，∴BFD AFE ∆∆≌.∴32AE BD ==. ∴92OE OA AE =+=，∴点E 的坐标为9(,0)2. ②动点P 在点O 时，∵抛物线过点P （0，0）、3,2D B ⎛ ⎝求得此时抛物线解析式为y=229x - ∴E （92，0），∴直线DE ： y =+，∴F 1（3；当动点P 从点O 运动到点M 时，∵抛物线过点3,,2P D B ⎛⎛ ⎝⎝⎭求得此时抛物线解析式为2y =+ ∴E （6，0），∴直线DE ：y=-y =+∴F 2（3∴点F 运动路径的长为12F F ==， ∵△DFG 为等边三角形，∴G 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等的判定与性质是解题的关键．10．如图1，矩形OABC 的顶点A 的坐标为（4,0），O 为坐标原点，点B 在第一象限，连接AC ， tan ∠ACO=2，D 是BC 的中点，（1）求点D 的坐标；（2）如图2，M 是线段OC 上的点，OM=23OC ，点P 是线段OM 上的一个动点，经过P 、D 、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时点P的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动的路径的长.【答案】（1）D（2,2）；（2）①P（0,0）；②1 3【分析】（1）根据三角函数求出OC的长度，再根据中点的性质求出CD的长度，即可求出D点的坐标；（2）①证明在该种情况下DE为△ABC的中位线，由此可得F为AB的中点，结合三角形全等即可求得E点坐标，结合二次函数的性质可设二次函数表达式（此表达式为交点式的变形，利用了二次函数的平移的特点），将E点代入即可求得二次函数的表达式，根据表达式的特征可知P点坐标；②可得G点的运动轨迹为'GG，证明△DFF'≌△FGG'，可得GG'＝FF'，求得P点运动到M点时的解析式即可求出F'的坐标，结合①可求得FF'即GG'的长度.【详解】解：（1）∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=90°，∵在Rt△ACO中，tan∠ACO=OAOC=2，∴OC=2，又∵D为CB中点，∴CD=2，∴D（2,2）；（2）①如下图所示，若点B 恰好落在AC 上的'B 时,根据折叠的性质1'','2BDF B DF BDB BD B D ∠=∠=∠=, ∵D 为BC 的中点，∴CD=BD,∴'CD B D =, ∴1''2BCA DB C BDB ∠=∠=∠, ∴BCA BDF ∠=∠，∴//DF AC ,DF 为△ABC 的中位线，∴AF=BF,∵四边形ABCD 为矩形∴∠ABC=∠BAE=90°在△BDF 和△AEF 中，∵ABC BAE BF AFBFD AFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BDF ≌△AEF ，∴AE=BD=2,∴E(6,0),设(2)(4)2y a x x ，将E （6,0）带入，8a+2=0∴a=14-，则二次函数解析式为21342y x x =-+，此时P （0,0）； ②如图，当动点P 从点O 运动到点M 时，点F 运动到点F'，点G 也随之运动到G'．连接GG'．当点P 向点M 运动时，抛物线开口变大，F 点向上线性移动，所以G 也是线性移动．∵OM=23OC=43∴4(0,)3M , 当P 点运动到M 点时，设此时二次函数表达式为1(2)(4)2y a x x ，将4(0,)3M 代入得14823a ，解得1112a ，所以抛物线解析式为1(2)(4)212y x x ，整理得21141223y x x =-++. 当y=0时，211401223x x -++=，解得x=8（已舍去负值），所以此时(8,0)E ，设此时直线'DF 的解析式为y=kx+b ，将D （2,2），E （8,0）代入2208k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1383k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1833y x =-+，当x=4时，43y =，所以4'3AF =, 由①得112AF AB ==，所以1''3FF AF AF =-=, ∵△DFG 、△DF'G'为等边三角形，∴∠GDF ＝∠G'DF'＝60°，DG ＝DF ，DG'＝DF'，∴∠GDF ﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'，即∠G'DG ＝∠F'DF，在△DFF'与△FGG'中，''''DF DG F DF G DG DF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DFF'≌△FGG'（SAS ），∴GG'＝FF'，即G 运动路径的长为13．【点睛】本题考查二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，一次函数的应用，折叠问题.（1）中能根据正切求得OC 的长度是解决此问的关键；（2）①熟练掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题关键；②中能通过分析得出G 点的运动轨迹为线段GG',它的长度等于FF'，是解题关键.11．（2020—2021辽宁和平九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2y ax bx =+经过()5,0A -，154B ⎛- ⎝⎭两点，连接AB ，BO ．（1）求抛物线表达式；（2）点C 是第三象限内的一个动点，若AOC △与AOB 全等，请直接写出点C 坐标______；（3）若点D 从点O 出发沿线段OA 向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA 上另一个点H 从点A 出发沿线段AO 向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位长度(当点H 到达点O 时，点D 也同时停止运动)．过点D 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长DE 到点F ，使得EF DE =，以DF 为边，在DF 左侧作等边三角形DGF (当点D 运动时，点G 、点F 也随之运动)．过点H 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点L ，延长HL 到点M ，使得LM HL =，以HM 为边，在HM 的右侧作等边三角形HMN (当点H 运动时，点M 、点N 也随之运动)．当点D 运动t 秒时，DGF △有一条边所在直线恰好过HMN △的重心，直接写出此刻t 的值____________．【答案】（1）2y x =-；（2）54⎛- ⎝⎭或154⎛- ⎝⎭；（3）107或2519【分析】（1）将A 、B 两点坐标代入解析式，可求得；（2）存在2种情况，一种是△AOB ≌△AOC ，则点B 与点C 关于x 轴对称，可求得C 点坐标；另一种是△AOB ≌△OAC ，则OC ∥AB ，AC ∥BO ，联立直线AC 和OC 的解析式，可求得点C 的坐标；（3）有2大类情况，一种是点D 在点H 的左侧，还有一种是点D 在点H 的右侧，画图可得出只有点D 在点H 的左侧有可能．又分为3种情况，一种是DF 过△HMN 的重心，第二种是GF 过△HMN 的重心，第三种是GD 过△HMN 的重心．【详解】（1）∵抛物线过点A(－5，0)，B(154-∴0255a b =-21515()44a b =⋅--解得：a =b =∴抛物线解析式为：2y =；（2）情况一：△AOB ≌△AOC ，图形如下从图形易知，点C 与点B 关于x 轴对称∵B(154-)，∴C(154-，；情况二：△AOB ≌△OBC ，图形如下∴∠BAO=∠AOC ，∠BOA=∠CAO∴AB ∥CO ，BO ∥AC∵A(－5，0)，B(154-)∴直线AB 的解析式为：+直线OB 的解析式为：y=∴OC 的解析式为：AC 的解析式设为：y=b +，将点A 代入得：y=x联立OC 和AC 的解析，解得：x=54-，y=∴C(54-，)；（3）当点D 在点H 的左侧时，即5＞3t ，t ＜53时，图形如下根据题意可知D(－t ，0)，H(2t －5，0)∵OB 的解析式为：y=x∴E(－t)，F(－t)，L(2t－5，M(2t－5)∴HD=5－3t，∵△GFD是等边三角形，∴易知FD∥MH，FG∥HN，GD∥MN情况一：当DF过△MHN的重心时，图形如下，连接LN，交FD于点O则点O为△MHN的重心∴ON：OL=2：1，∴OL=13 LN∵△HMN是等边三角形∴2-t∵OL=HD=5－3t∴5－3t=52t 3 -解得：t=107(成立)；情况二：FG过△HMN的重心，如下图，GF交HM于点P，过点P作FD的垂线，交FD于点Q，过点M作HN的垂线，交GF于点O，交HN于点R则点O为△HNM的中线，∴MO：OR=2:1易知△MOP∽△MRH，∴MP：PH=2:1∴PH=13MH =由题意可知，PQ=HD=5－3t ，∠FPQ=30°∴在Rt △FPQ 中，∴QD=FD －=∴= 解得：t=2519(成立)；情况三：DG 过△MHN 的重心，如下图，HN 与GD 交于点S ，过点S 作x 轴的垂线，交x 轴于点T易知∠SDH=∠SHD=30°，∠HSD=120°，HD=5－3t则在Rt △SHR 中，HT=53t 2－，同理：SH=2233HN MH ===t=－5(舍)综上得：t=107或t=2519．【点睛】本题考查二次函数的综合，注意第（2）、（3）问都存在多种情况，第（3）问解题关键是利用重心的性质，即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，从而转化为边长之比进行求解．。

专题23 二次函数抛物线与三角形的综合-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(原卷版)

专题23 二次函数抛物线与三角形的综合（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一二次函数与直角三角形的综合1．（2022秋•利川市期末）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3交x 轴于点A （4，0）和点B （﹣1，0），交y 轴于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为直线AC 下方抛物线上一动点，连接PA ，PC ，求△ACP 面积的最大值；（3）如图2直线l 为该抛物线的对称轴，在直线l 上是否存在一点M 使△BCM 为直角三角形，若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．针对训练1．（2022秋•渝中区期末）抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，连接BC ．点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于M ，交x 轴于N ，设点P 的横坐标为t ．（1）求该抛物线的解析式；（2）用关于t 的代数式表示线段PM ，求PM 的最大值及此时点M 的坐标；（3）过点C 作CH ⊥PN 于点H ，S △BMN ＝9S △CHM ，①求点P 的坐标；②连接CP ，在y 轴上是否存在点Q ，使得△CPQ 为直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．类型一二次函数与等腰三角形的综合典例2（2021秋•重庆期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．针对训练1．（2022秋•代县期末）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．（1）求抛物线和直线BC的函数解析式．（2）D是直线BC上方抛物线上一点，求△BDC面积的最大值及此时点D的坐标．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022秋•宁陵县期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型三二次函数与等腰直角三角形的综合典例3（2022秋•洛川县校级期末）已知抛物线L₁：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣5，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）平移抛物线L1得到新抛物线L2，使得新抛物线L2经过原点O，且与x轴的正半轴交于点C，记新抛物线L2的顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求出点P的坐标．针对训练1．（2022秋•铁西区校级期末）已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式．（2）当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标．（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？请直接写出点P 的坐标．第二部分专题提优训练1．（2022秋•渝中区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣33，0），B （3，0），与y 轴的交点为C ，且tan ∠CAO =233．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点D 为AB 的中点，过点D 作AC 的平行线交y 轴于点E ，点P 为抛物线上第二象限内的一动点，连接PC ，PD ，求四边形PDEC 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）将该抛物线y ＝ax 2+bx +c 向左平移得到抛物线y '，使y '经过原点，y '与原抛物线的交点为F ，点M 为抛物线y '对称轴上的一点，若以点F ，B ，M 为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．2．（2022秋•鞍山期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（0，2），（﹣2，2）两点．（1）若抛物线C1：y＝ax2+bx+c经过（1，0），求抛物线解析式；（2）抛物线C1：y＝ax2+bx+c与直线y＝x+2有M，N两个交点，O为坐标原点，若△MNO是以MN为腰的等腰三角形，请直接写出a的值；（3）直线y＝x+2分别与抛物线C1：y＝ax2+bx+c，抛物线C2：y＝﹣ax2﹣bx+c恰好有三个公共点，若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点，求a的值．3．（2022秋•前郭县期末）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝，A（，），B（，）；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQ+2PN的最大值；（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•台山市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+x+6的图象与直线y＝kx+b有唯一交点A（﹣1，4）．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若抛物线与x轴的交点分别为点M、N，抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA+PM的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．（3）直线y＝kx+b与x轴交于点B，点Q是x轴上一动点，请你写出使△QAB是等腰三角形的所有点Q 的横坐标．5．（2022秋•通州区期末）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标x E的取值范围．6．（2022秋•临湘市期末）如图，抛物线y=―12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF 的最大面积及此时F点的坐标．7．（2022•甘井子区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A在x轴上．P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2＜m，则y1＞y2；若x1＞x2＞m，则y1＞y2，且当y的绝对值为1时，△APQ为等腰直角三角形（其中∠PAQ＝90°）．（1）求抛物线的解析式；（用含有m的式子表示）（2）当m＞0，x1＜m，x2＞m，过点Q作QF⊥x轴，若y1•y2＝1，探究∠PAO与∠AQF之间数量关系；（3）直线x＝m+1（1≤m≤3）交抛物线y＝ax2+bx+c于点D，将抛物线y＝ax2+bx+c以直线x＝m+1为对称轴向右翻折得到新抛物线，直线y＝kx经过点D，交原抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴于点E，交新抛物线于另一点H，问△EAH的面积是否存在最大值或最小值，若存在，求出面积最值和m的值，若不存在，请说明理由．。

八年级数学一次函数之含30°直角三角形存在性(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是存在性问题？通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查__________.问题2：一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：①_______________，把函数信息（即坐标或解析式）转化为几何信息.②分析___________，确定___________.③____________________________________.问题3：含30°角直角三角形存在性的特征是什么？分类标准是什么？对应的操作是什么？一次函数之含30°直角三角形存在性（北师版）一、单选题(共2道，每道50分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B.若第二象限内存在点P，使以P，O，B为顶点的三角形是含30°角的直角三角形，则点P的坐标为( )A.(-2，)或(-6，)B.(，)或(，)C.(-2，0)，(-6，0)，(-2，)或(-6，)D.(-2，)，(-6，)，(，)或(，)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B.若第二象限内存在点P，使以P，A，B为顶点的三角形是含30°角的直角三角形，则点P的坐标为( )A.(-4，)，(-8，)，(-2，)，(-6，)，(-2，)或(-3，)B.(-4，)，(-8，)，(-2，)，(-6，)，(-2，)或(-3，)C.(-2，)，(-6，)，(-2，)或(-3，)D.(-2，)，(-6，)，(-2，)或(-3，)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：回顾本套试题，主要训练的是什么内容？问题2：含30°角直角三角形存在性与等腰直角三角形存在性有什么相同和不同？请分条列举．。

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专题23以函数为背景的直角三角形的存在性问题
1、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A （1-，0）、B （4，0）、
C （0，2）．点
D 是点C 关于原点的对称点，联结BD ，点
E 是x 轴上的一个动点，设点E 的坐标为（m ，0）
，过点E 作x 轴的垂线l 交抛物线于点P ．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点E 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点Q ，当四边形CDQP 是平行四边
形时，求m 的值；
（3）是否存在点P ，使BDP ∆是不以BD 为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写
出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
A B
C
O 【答案】（1）213222
y x x =-++；（2）m =2；（3）（3）()1818P -，
，()210P -，，()332P ，．【解析】解：（1）∵二次函数过点A 、B ，
∴设二次函数为()()14y a x x =+-．
将点C （0，2）代入，解得12
a =-．
∴二次函数解析式为：213222
y x x =-++；（2）D 点坐标为（0，2-）．
∴直线BD 的解析式为：122
y x =-．∴P 点坐标为213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，Q 点坐标为1,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．∵CD =PQ ，∴2131224222
m m m -++-+=．解得：m =2或m =0（舍），
故m 的值为2；
（3）()1818P -，
，()210P -，，()332P ，．（注：可设过B 或D 的与BD 垂直的直线，然后与二次函数联立后解出）
【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了二次函数解析式的确定，还有就是平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定，注意利用相关性质去确定点的坐标．
2、如图，在Rt ABC ∆中，∠ACB =90°，AB =13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．
（1）当CE =3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；
（2）设CE =x ，AE =y ，当CG =2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；
（3）当AC =5时，联结EG ，若AEG ∆为直角三角形，求BG 的长．
【答案】（1）313；（2）26y x =-；（3）BG 的长为6或16924
．【解析】解：（1）∵CD //AB ，CE =3，AB =13，∴313
EF CE AF AB ==．∴
313CEF CAF S EF S AF ∆∆==．（2）延长AG 交CD 于M ．∴2CM CG AB GB
==．∴26CM =．
∵CD //AB ，
∴EMA MAB EAM ∠=∠=∠，
∴AE =EM ，
∴26y x =-．
（3）∵90EAG ∠<︒，∴分两种情况讨论．
①当90AGE ∠=︒时，可得AG =GM ．
∵CD //AB ，∴162
BG BC ==；②当90AEG ∠=︒时，可得ACF GEF ∆∆∽，
∴ECF GAF ∆∆∽，ECF FAG ∠=∠．
又∵FAG GAB ∠=∠，ECF B ∠=∠，
∴B GAB ∠=∠，
∴GA =GB ．∴16924
BG =．
综上所述，若AEG
为直角三角形，BG的长为6或169 24．
【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了面积的比值，函数解析式的确定以及直角三角形的存在性的确定，注意在求解析式时，利用角平分线的性质去确定解析式．。