专题23 以函数为背景的直角三角形的存在性问题(提升训练)(解析版)
专题23以函数为背景的直角三角形的存在性问题
1、如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像经过点A (1-,0)、B (4,0)、
C (0,2).点
D 是点C 关于原点的对称点,联结BD ,点
E 是x 轴上的一个动点,设点E 的坐标为(m ,0)
,过点E 作x 轴的垂线l 交抛物线于点P .(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当点E 在线段OB 上运动时,直线l 交BD 于点Q ,当四边形CDQP 是平行四边
形时,求m 的值;
(3)是否存在点P ,使BDP ?是不以BD 为斜边的直角三角形,如果存在,请直接写
出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.
A B
C
O 【答案】(1)213222
y x x =-++;(2)m =2;(3)(3)()1818P -,
,()210P -,,()332P ,.【解析】解:(1)∵二次函数过点A 、B ,
∴设二次函数为()()14y a x x =+-.
将点C (0,2)代入,解得12
a =-.
∴二次函数解析式为:213222
y x x =-++;(2)D 点坐标为(0,2-).
∴直线BD 的解析式为:122
y x =-.∴P 点坐标为213,222m m m ??-++ ???,Q 点坐标为1,22m m ??- ???
.∵CD =PQ ,∴2131224222
m m m -++-+=.解得:m =2或m =0(舍),
故m 的值为2;
(3)()1818P -,
,()210P -,,()332P ,.(注:可设过B 或D 的与BD 垂直的直线,然后与二次函数联立后解出)
【总结】本题综合性较强,考查的内容也比较多,包含了二次函数解析式的确定,还有就是平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定,注意利用相关性质去确定点的坐标.
2、如图,在Rt ABC ?中,∠ACB =90°,AB =13,CD //AB ,点E 为射线CD 上一动点(不与点C 重合),联结AE 交边BC 于F ,∠BAE 的平分线交BC 于点G .
(1)当CE =3时,求S △CEF ∶S △CAF 的值;
(2)设CE =x ,AE =y ,当CG =2GB 时,求y 与x 之间的函数关系式;
(3)当AC =5时,联结EG ,若AEG ?为直角三角形,求BG 的长.
【答案】(1)313;(2)26y x =-;(3)BG 的长为6或16924
.【解析】解:(1)∵CD //AB ,CE =3,AB =13,∴313
EF CE AF AB ==.∴
313CEF CAF S EF S AF ??==.(2)延长AG 交CD 于M .∴2CM CG AB GB
==.∴26CM =.
∵CD //AB ,
∴EMA MAB EAM ∠=∠=∠,
∴AE =EM ,
∴26y x =-.
(3)∵90EAG ∠,∴分两种情况讨论.
①当90AGE ∠=?时,可得AG =GM .
∵CD //AB ,∴162
BG BC ==;②当90AEG ∠=?时,可得ACF GEF ??∽,
∴ECF GAF ??∽,ECF FAG ∠=∠.
又∵FAG GAB ∠=∠,ECF B ∠=∠,
∴B GAB ∠=∠,
∴GA =GB .∴16924
BG =.
综上所述,若AEG
为直角三角形,BG的长为6或169 24.
【总结】本题综合性较强,考查的内容也比较多,包含了面积的比值,函数解析式的确定以及直角三角形的存在性的确定,注意在求解析式时,利用角平分线的性质去确定解析式.
一次函数之全等三角形存在性
一次函数之全等三角形存在性(北师版)11.26 1.(本小题16分)如图,直线与x轴、y轴分别交于A,B两点,若x轴的负半轴、y轴的负半轴上分别 存在点E,F,使得△EOF与△AOB全等,则直线EF的表达式为( ) ? A. B. ? C. D. 1 2 2.(本小题16分)如图,直线与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C是直线上不与A,B重合 的动点.过点C的另一直线CD与y轴相交于点D,若使△BCD与△AOB全等,则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D.
3.(本小题16分)如图,直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A,B两点,点P(x,y)是直线y=-2x+4上的一个动点, 过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E,F两点,若△EOF与△AOB全等,则点P的坐标为( ). A. B. ? C. D. 4.(本小题16分)如图,直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C是直线y=x+2上不与A,B重合的动点.过 点C的另一直线CD与x轴相交于点D,若使△ACD与△AOB全等,则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D. 4 5 5.(本小题18分)如图,直线AB与x轴、y轴分别交于A,B两点,已知A(2,0),B(0,4),线段CD的两端点在坐标 轴上滑动(点C在y轴上,点D在x轴上),且CD=AB.若满足点C在y轴负半轴上,且△COD和△AOB全等,则满足题意的点D有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.(本小题18分)如图,直线与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C的坐标为(-3,0), P(x,y)是直线上的一个动点(点P不与点A重合).当△OPC的面积为时,点P的坐标为( ) ? A. B. C. D. 一次函数之等腰三角形存在性(北师版) 11.25 1.(本小题16分)如图,直线与x轴、y轴分别交于A,B两点,点P是x轴上的动点, 若使△ABP为等腰三角形,则点P的坐标是( ) A. B. C. D.
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性 一、相关结论 1.关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2.周期性(内同) ① 若)()(x f T x f =+(0≠T ),则)(x f 为周期函数,T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠),则)(x f 为周期函数,||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a ),则)(x f 为周期函数,a 2为一个周期。 ④ 若) (1 )(x f a x f =+(0≠a ),则)(x f 为周期函数,a 2为一个周期。 3.自对称性(内反) ①若)()(x b f x a f -=+,则)(x f 的图像关于直线2 b a x += 对称;特别地,若)()(x a f x a f -=+,则)(x f 的图像关于直线a x =对称;0=a 为偶函数。 ②若)()(x b f x a f --=+,则)(x f 的图像关于点)0,2 ( b a +对称;特别地,若)()(x a f x a f --=+,则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称;0=a 为奇函数。 ③若c x b f x a f =-++)()(,则)(x f 的图像关于点)2 ,2(c b a +对称。 4.互对称性 ①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a b x -=对称; ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2 (a b -对称; ③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5. 对称性与周期性的关系 ①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠),则)(x f 为周期函数, ||2a b -为一个周期。 ②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠),则)(x f 为周期函数, ||2a b -为一个周期。 若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠),则)(x f 为周期函 数,||4a b -为一个周期。
一次函数地存在性问题(共13题)
一次函数之存在性问题 知识点睛 函数背景下研究存在性问题,先把函数信息转化为几何信息,然后按照存在性问题来处理. 几何图形 一次函数坐标 1. 如图,直线2y x = +与坐标轴分别交于A ,B 两点,点C 在y 轴上,且12 OA AC =,直线CD ⊥AB 于点P ,交x 轴于点D . (1)求点P 的坐标; (2)坐标系是否存在点M ,使以点B ,P ,D ,M 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 2. 如图,直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ,C 两点,且4 3 OC OB =. (1)求B 点的坐标和k 的值. (2)若点A (x ,y )是第一象限的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时,△AOB 的面积是6? (3)在(2)成立的情况下,x 轴上是否存在点P ,使△POA 是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴、y轴上,OA=6,OB=12,点C是直线y=2x 与直线AB的交点,点D在线段OC上,OD = (1)求直线AB的解析式及点C的坐标; (2)求直线AD的解析式; (3)P是直线AD上的一个动点,在平面是否存在点Q,使以O,A,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
4. 如图,直线1 22 y x = +与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,点C 的坐标为(-3,0) ,P (x ,y )是直线1 22 y x = +上的一个动点(点P 不与点A 重合) . (1)在P 点运动过程中,试写出△OPC 的面积S 与x 的函数关系式; (2)当P 运动到什么位置时,△OPC 的面积为27 8 ,求出此时点P 的坐标; (3)过P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于E ,F 两点,是否存在这样的点P ,使△EOF ≌△BOA ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 6.如图,在直角坐标系中,一次函数y = 23 x +的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B . (1)已知OC ⊥AB 于C ,求C 点坐标; (2)在x 轴上是否存在点P ,使△PAB 为等腰三角形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. x x
专题:函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx
专题:函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1.单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数,若对任何 x1 , x2I ,当 x1x2时,总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ,则称f (x)为I上的增函数,特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ,则称f (x)为I上的减函数,特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2.函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数,x1、 x2为区间内两任意值,那么有: f (x1) f ( x2)或 x1x20(x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数,x1、 x2为区间内两任意值,那么有: f (x1) x1 3.函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20(x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性,当x a, b 时 u m,n,且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性,则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ,若它们的定义域分别为I 和 J ,且 I J: (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时,函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同, F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定;g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时,我们假设 f ( x) 为增函数, g ( x) 为减函数,那么: ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定; ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数, F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ,都有 f ( x) f ( x) ,则称函数 f (x) 为偶函数;如果对于函数 f (x) 的定义域内的任
一次函数之存在性问题
一次函数之存在性问题 1. 如图,直线与坐标轴分别交于A,B两点,点C在y轴上,且,直 线CD⊥AB于点P,交x轴于点D. (1)求点P的坐标; (2)坐标系内是否存在点M,使以点B,P,D,M为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.2. 如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC,OA分别 与x轴、y轴重合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=,点C的坐标为(-9,0). (1)求点B的坐标. (2)如图,直线BD交y轴于点D,且OD=3,求直线BD的表 达式.(3)若点P是(2)中直线BD上的一个动点,是否存在点P,使以O,D,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3. 如图,直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B,C两点,且. (1)求B点的坐标和k的值. (2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx-4上的一个动点,则当点A运动到什么位置时,△AOB的面积是6? (3)在(2)成立的情况下,x轴上是否存在点P,使△POA是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴、y轴 上,OA=6,OB=12,点C是直线y=2x与直线AB的交点,点D在线段OC上,OD=. (1)求直线AB的解析式及点C的坐标; (2)求直线AD的解析式; (3)P是直线AD上的一个动点,在平面内是否存在点Q,使以 O,A,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
5. 如图,直线与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C的坐标为 (-3,0),P(x,y)是直线上的一个动点(点P不与点A重 合). (1)在P点运动过程中,试写出△OPC的面积S与x的函数关系式;(2)当P运动到什么位置时,△OPC的面积为,求出此时点P的坐标; (3)过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E,F两点,是否存在这样的点P,使△EOF≌△BOA?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 一次函数之存在性问题
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性:对于函数 )(x f y =,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有 )()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义(略),请用图形来理解。 3、 对称性: 我们知道:偶函数关于y (即x=0)轴对称,偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的 探讨:(1)函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上,通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==, 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成:)()(x b f x a f -=+,函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 (2)函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上,即) (11x f y =,通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知, b x f x a f 2)()2(11=+-,所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-,所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上,而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成:c x b f x a f =-++)()(,函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 (3)函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称,即关于任一个x 值,都有两个 y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0,则 有可能会出现关于 b y =对称,比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性: (1)函数 )(x f y =满足如下关系系,则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+(等式右边加负号亦成立)
(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题
一次函数与等腰三角形的存在性问题 一.选择题(共3小题) 1.在平面直角坐标系中有两点:A(﹣2,3),B(4,3),C是坐标轴x轴上一点,若△ABC是直角三角形,则满足条件的点C共有() A.2个B.3个C.4个D.6个 2.(2008?天津)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣4,0),B(2,0),若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上,且△ABC为直角三角形,则满足条件 的点C有() A.1个B.2个C.3个D.4个 3.(2016?江宁区一模)已知点A,B的坐标分别为(﹣4,0)和(2,0), 在直线y=﹣x+2上取一点C,若△ABC是直角三角形,则满足条件的点C 有() A.1个B.2个C.3个D.4个 二.填空题(共4小题) 4.(2015?杭州模拟)在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣4,0),B(2,0),设点C是函数y=﹣(x+1)图象上的一个动点,若△ABC是直角三角形,则点C的坐标是. 5.(2009秋?南昌校级期末)在直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(1,2)、(0,0)、(3,0),若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形,则点D 的坐标应为. 6.(2009秋?扬州校级期中)在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为:A(3,0)、B(﹣1,0)、C(2,3)、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为. 7.(2010春?江岸区期中)一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的 坐标分别是(﹣1,﹣1),(﹣2,3),(3,﹣1),则第四个顶点的坐标 为. 三.解答题(共14小题) 8.四边形ABCD中,BD,AC相交于O,且BD⊥AC,求证:AB2+CD2=AD2+BC2.9.如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A,点B,在第一象限是 否存在点P,使以A,B,P为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.