北京大学数学系《高等代数》考点讲义
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纵观近几年名校高代考研真题，有以下特点： １．从题型看，以证明题和计算题为主，个别学校设有填空题．从分值看，每道题满分在 １０至 ２０分 之间．这些特点表明，各校的考研题注重综合性和灵活性． ２．从内容看，考察的热点有： （１）矩阵理论． 中山大学 ２０１２年考题中，１２道题中有 ８道题分别考察了矩阵的行列式、矩阵的特征值和特征向
每个章节具体辅导内容：
（１）本章考情分析：常考题型，分值分布，本章重点，本章难点．
（２）本章考点之间联系，复习思路．
（３）本章要点精讲．
— ２—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路 （４）本章技巧点，方法点的总结，包括难题选讲． ２．《名校真题过关精讲精练》（约 ３０讲） 《名校真题过关精讲精练》按辅导内容分为五部分：多项式、线性方程组、矩阵理论、二次型、线性 空间理论（包括线性变换和欧氏空间）． （１）精选习题： ａ）选取名校近年的考研真题；ｂ）选取有一定难度的考研真题；ｃ）选取综合性强的真题；ｄ）选取的 真题要达到足够的量，以保证对重要知识点的覆盖面； （２）注重总结方法； （３）注意总结分类． ３．《冲刺串讲及模拟卷》（约 １０讲） 通过前两轮的复习，在临近考试前期，对之前的考点进行系统的串讲．从而使考生查漏补缺，整体 把握．通过模拟试卷的练习，进行考前最后冲刺．
３．高等代数重点研究一般对象的结构，将诸多数学结构进行抽象，统一表达为线性空间、线性变 换、欧氏空间等抽象结构，从而使它成为数学中的语言．
４．高等代数的一般性、抽象性的特点，对培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力有重要作用．
二、研究内容
１．基本对象：线性空间； ２．主要手段：线性变换—矩阵； ３．基本方法：初等变换； ４．局限性： （１）线性空间（线性变换）在域上定义，限制了它的应用范围．如果将域一般化为环，即研究环上 的线性空间理论，即为模论． （２）线性空间缺乏度量性质，若考虑几何度量，即产生欧氏空间理论，考虑距离度量，即产生距离 空间，考虑几何度量，即产生拓扑空间等．
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
绪 论
一、高等代数在数学课程体系中的地位和作用
１．数学分析、高等代数、解析几何是数学类专业的三大基础课，而高等代数还是代数数论、代数几 何、抽象代数、实变函数、泛函分析、拓扑学及计算数学类课程的重要基础．
２．高等代数是数学相关类专业的研究生入学考试的必考课程，初步统计近三年全国数百所高校 的 ８８９个专业都将高等代数作为考研必考的专业基础课．
— １—
量、矩阵的若当标准型、矩阵的方幂、矩阵的对角化、矩阵的秩、矩阵张成的线性空间、正定矩阵等概 念，分值占到 １５０分中的 １０５分．
厦门大学 ２０１２年考题中，１６道题中有 １０道题考察了矩阵的相关概念和理论． 中科院研究生院 ２０１２年考题中，８道题中有 ５道题考察了矩阵的相关内容． （２）线性空间和线性变换理论． 南开 ２０１２年试题中，９道题中有 ４道题考察了线性空间及线性变换的内容，占到 １５０分中的 ７０分． （３）多项式理论． 多项式理论在各校的考研题中所占的比例适中，一般占到 １５０分的 １５分至 ２５分，但这部分内容 是各校考试题中的必考内容． ３．从方法看，考察的热点有： （１）矩阵的初等变换方法； （２）特征值和特征向量方法； （３）标准正交化方法； （４）子空间直和的判定方法． ４．发展趋势 （１）题型仍会以证明题和计算题为主，因为研究生考试重点考察学生分析问题的能力及综合利用 知识解决问题的能力． 但随着数学在各个领域的应用逐渐扩大，计算题的比重有上升的趋势． （２）考察内容仍将以矩阵理论、线性空间和线性变换理论、多项式理论和线性方程组为热点内容． （３）注意新的概念和新的理论的出现． 中山大学 ２００１年考察了线性空间商空间的概念、对偶空间、子空间的零化子等概念． （４）反问题的讨论． （南京航天航空大学 ２０１１）（２０分）设二次型 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） ＝ａ（ｘ２ １ ＋ｘ２ ２ ＋ｘ２ ３）＋２ｂ（ｘ１ｘ２ ＋ｘ１ｘ３ ＋ ｘ２ｘ３）经过正交变换 Ｘ ＝ＣＹ化为二次型 ３ｙ２ １ ＋３ｙ２ ２，求参数 ａ，ｂ的值及正交矩阵．
五、辅导内容和形式
高等代数考研辅导第一阶段分为三部分： 《考点精讲及复习思路》、《名校真题过关精讲精练》、《冲刺串讲及模拟卷》．
பைடு நூலகம்
１．《考点精讲及复习思路》（约 ４０讲）
《考点精讲及复习思路》以章为单位，围绕考研知识要点，精选各校考研真题，强化基本概念，注重
提炼数学思想和方法，利用典型例题来阐述如何运用基本理论和知识去分析问题、解决问题的方法．
目 录
绪 论 １ 第一章 多项式 ４ 第二章 行列式 １３ 第三章 线性方程组 １９ 第四章 矩阵 ２５ 第五章 二次型 ３１ 第六章 线性空间 ３５ 第七章 线性变换 ４０ 第八章 λ－矩阵 ４３ 第九章 欧氏空间 ４４
三、教材选用
主要参考教材：《高等代数》（第三版），高等教育出版社，２００３，北京大学数学系几何与代数教研 室代数小组编．
１．该教材的内容覆盖了《高等代数》考试大纲的所有内容和知识点． ２．全国采用该教材的学校所占比例非常大． ３．该教材荣获全国高等学校优秀教材． ４．该教材习题编排较好，有梯度．
四、考题综述及变化趋势
每个章节具体辅导内容：
（１）本章考情分析：常考题型，分值分布，本章重点，本章难点．
（２）本章考点之间联系，复习思路．
（３）本章要点精讲．
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北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路 （４）本章技巧点，方法点的总结，包括难题选讲． ２．《名校真题过关精讲精练》（约 ３０讲） 《名校真题过关精讲精练》按辅导内容分为五部分：多项式、线性方程组、矩阵理论、二次型、线性 空间理论（包括线性变换和欧氏空间）． （１）精选习题： ａ）选取名校近年的考研真题；ｂ）选取有一定难度的考研真题；ｃ）选取综合性强的真题；ｄ）选取的 真题要达到足够的量，以保证对重要知识点的覆盖面； （２）注重总结方法； （３）注意总结分类． ３．《冲刺串讲及模拟卷》（约 １０讲） 通过前两轮的复习，在临近考试前期，对之前的考点进行系统的串讲．从而使考生查漏补缺，整体 把握．通过模拟试卷的练习，进行考前最后冲刺．
３．高等代数重点研究一般对象的结构，将诸多数学结构进行抽象，统一表达为线性空间、线性变 换、欧氏空间等抽象结构，从而使它成为数学中的语言．
４．高等代数的一般性、抽象性的特点，对培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力有重要作用．
二、研究内容
１．基本对象：线性空间； ２．主要手段：线性变换—矩阵； ３．基本方法：初等变换； ４．局限性： （１）线性空间（线性变换）在域上定义，限制了它的应用范围．如果将域一般化为环，即研究环上 的线性空间理论，即为模论． （２）线性空间缺乏度量性质，若考虑几何度量，即产生欧氏空间理论，考虑距离度量，即产生距离 空间，考虑几何度量，即产生拓扑空间等．
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
绪 论
一、高等代数在数学课程体系中的地位和作用
１．数学分析、高等代数、解析几何是数学类专业的三大基础课，而高等代数还是代数数论、代数几 何、抽象代数、实变函数、泛函分析、拓扑学及计算数学类课程的重要基础．
２．高等代数是数学相关类专业的研究生入学考试的必考课程，初步统计近三年全国数百所高校 的 ８８９个专业都将高等代数作为考研必考的专业基础课．
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量、矩阵的若当标准型、矩阵的方幂、矩阵的对角化、矩阵的秩、矩阵张成的线性空间、正定矩阵等概 念，分值占到 １５０分中的 １０５分．
厦门大学 ２０１２年考题中，１６道题中有 １０道题考察了矩阵的相关概念和理论． 中科院研究生院 ２０１２年考题中，８道题中有 ５道题考察了矩阵的相关内容． （２）线性空间和线性变换理论． 南开 ２０１２年试题中，９道题中有 ４道题考察了线性空间及线性变换的内容，占到 １５０分中的 ７０分． （３）多项式理论． 多项式理论在各校的考研题中所占的比例适中，一般占到 １５０分的 １５分至 ２５分，但这部分内容 是各校考试题中的必考内容． ３．从方法看，考察的热点有： （１）矩阵的初等变换方法； （２）特征值和特征向量方法； （３）标准正交化方法； （４）子空间直和的判定方法． ４．发展趋势 （１）题型仍会以证明题和计算题为主，因为研究生考试重点考察学生分析问题的能力及综合利用 知识解决问题的能力． 但随着数学在各个领域的应用逐渐扩大，计算题的比重有上升的趋势． （２）考察内容仍将以矩阵理论、线性空间和线性变换理论、多项式理论和线性方程组为热点内容． （３）注意新的概念和新的理论的出现． 中山大学 ２００１年考察了线性空间商空间的概念、对偶空间、子空间的零化子等概念． （４）反问题的讨论． （南京航天航空大学 ２０１１）（２０分）设二次型 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） ＝ａ（ｘ２ １ ＋ｘ２ ２ ＋ｘ２ ３）＋２ｂ（ｘ１ｘ２ ＋ｘ１ｘ３ ＋ ｘ２ｘ３）经过正交变换 Ｘ ＝ＣＹ化为二次型 ３ｙ２ １ ＋３ｙ２ ２，求参数 ａ，ｂ的值及正交矩阵．
五、辅导内容和形式
高等代数考研辅导第一阶段分为三部分： 《考点精讲及复习思路》、《名校真题过关精讲精练》、《冲刺串讲及模拟卷》．
பைடு நூலகம்
１．《考点精讲及复习思路》（约 ４０讲）
《考点精讲及复习思路》以章为单位，围绕考研知识要点，精选各校考研真题，强化基本概念，注重
提炼数学思想和方法，利用典型例题来阐述如何运用基本理论和知识去分析问题、解决问题的方法．
目 录
绪 论 １ 第一章 多项式 ４ 第二章 行列式 １３ 第三章 线性方程组 １９ 第四章 矩阵 ２５ 第五章 二次型 ３１ 第六章 线性空间 ３５ 第七章 线性变换 ４０ 第八章 λ－矩阵 ４３ 第九章 欧氏空间 ４４
三、教材选用
主要参考教材：《高等代数》（第三版），高等教育出版社，２００３，北京大学数学系几何与代数教研 室代数小组编．
１．该教材的内容覆盖了《高等代数》考试大纲的所有内容和知识点． ２．全国采用该教材的学校所占比例非常大． ３．该教材荣获全国高等学校优秀教材． ４．该教材习题编排较好，有梯度．
四、考题综述及变化趋势