(完整版)等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结
一、等差数列：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；
等差中项，如果2
b
a A +=
，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；
等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；
等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n
）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+
= 中12na n ）2d
-a （n ）2d （=⨯+⨯； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=
【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+
【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+
3、md 成等差数列，公差为、
a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++
4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2
【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，
）
a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 2
5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，
q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+
【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2
）
1-n （n na 1⨯+
= n ）2
d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a
为等比数列，c>0
【说明】d a
-a a a
c c c
c 1-n n 1-n n ==
7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2
n
S -S 奇偶⨯=
当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，
1
-n 1
n S S 偶奇+=
【说明】当n 为偶数时，d 2
n
）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=
+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 2
1
-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+
=+⋯⋯++=，
，1-n 1n 2
1-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶
奇+=⨯++⨯
+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+
8、设1
-2n 1-n 2n n n n n n T S
b a 项和，则n 的前}{b 、}
{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】
n
n 中中1-2n 1-n 2b a
b ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列15
15n n n n n n b a
，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}
{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+
q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+
【说明】
0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2
-a a p -q 2
）
q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=
+⋯⋯+=-+++q --p 2
）
q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=
+++
二、等比数列：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；
等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；
等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；
等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；
等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪
⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=
【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅
【说明】l k 2
-l k 212-n m 21
n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、
a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】
m m
k m 2k k m k q a a
a a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为n
q
【说明】
n n
21n
22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1
-q （A S ，q p a ，a a a n
n n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+
【说明】）1-q （1
-q a q -1）q -1（a S ，q q a q
a a n 1n
1n n 11
-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1
-n n
c
1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；
若n 为偶数时，
q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶
1
奇=；
【说明】当n 为偶数时，
q a a a a a a a a 1
-n 41n
42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 当n 为奇数时，
q a a a a a a S a -S 1
-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=
当n 为偶数时，n
中奇中偶奇2n
奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；
【说明】当n 为偶数时，2n
1-n 42n
42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；
当n 为奇数时，
中1
-n 42n
421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n
中
1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。