求函数极限的方法和技巧

求函数极限的方法和技巧

作者: 黄文羊

摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。 关键词：函数极限

引言

在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。

主要内容

一、求函数极限的方法

1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:

12

23lim 22=-+-→x x x x 证: 由2

4

4122322-+-=--+-x x x x x x

()2

2

22

-=--=

x x x

0>∀ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有

ε<--+-12

2

32x x x

由函数极限δε-定义有:

12

23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质

若 A x f x x =→)(lim 0

B x g x x =→)(lim 0

(I)[]=±→)()(lim 0

x g x f x x )(lim 0

x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0

(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0

(III)若 B ≠0 则：

B

A

x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )

(lim )()(lim 0

00

（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0

（c 为常数）

上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,

例：求 4

53lim 22+++→x x x x

解: 4

53lim 22+++→x x x x =

25

4252322=++⋅+

3、约去零因式（此法适用于型时0

,0x x →）

例: 求12

16720

16lim 23232+++----→x x x x x x x

解:原式=()

()

)

12102(65)

2062(103lim

2

23223

2

+++++--+---→x x x x x

x x x x x

x =)

65)(2()

103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x

=)

65()

103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2

lim -→x 73

5

-=+-x x

4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21

44(

lim 22

x

x x ---→

解: 原式=)2()2()

2(4lim

2x x x x -⋅++-→

=)

2)(2()

2(lim

2x x x x -+-→

=4

1

21lim

2=+→x x

5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）

设函数f(x)、g(x) 满足： （I ）0)(lim 0

=→x f x x

(II) M x g ≤)( (M 为正整数) 则：0)()(lim 0

=→x f x g x x

例: 求 x

x x 1sin

lim 0

⋅→ 解: 由 0lim 0

=→x x 而 11

sin

≤x

故 原式 =01

sin

lim 0

=⋅→x

x x

6、利用无穷小量与无穷大量的关系。

（I ）若：∞=)(lim x f 则 0)

(1

lim

=x f (II) 若: 0)(lim =x f 且 f(x)≠0 则 ∞=)

(1

lim x f 例: 求下列极限 ① 51lim

+∞→x x ②1

1lim 1-→x x

解: 由 ∞=+∞

→)5(lim x x 故 051

lim =+∞→x x

由 0)1(lim 1

=-→x x 故 11

lim 1-→x x =∞

7、等价无穷小代换法

设'

'

,,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： '

'

~,~ββαα，

''

lim β

α 存在，

则 βαlim 也存在，且有βαlim = ''

lim β

α

例:求极限2

22

0sin cos 1lim x x x x -→

解: ,~sin 2

2

x x 2

)(~cos 12

22

x x -

∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2

22

2=x x x 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、

差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”

8、利用两个重要的极限。