共轭复数的运算性质
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即寻找方程 ax3 bx2 cx d 0 一般根式解。
很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大 的进展！
怪杰
卡丹诺 (Girolamo Cardano; 1501 1576)
一个多才多艺的学者,
• 一个放荡不羁的无赖
他精通数学、医学、 语言学、天文学、占星学
一生充满传奇，人们称 他为「怪杰」。
一、引言 复数的产生和复变 函数理论的建立
先从二次方程谈起
wenku.baidu.com
解方程 ax2 bx c 0, a 0
x1,2 b
b2 4ac 2a
此公式早于公元前400年，已被巴比伦人发现和使用。
在中国的古籍《九章算术》中，亦有提及与二次方 程有关的问题。
由二次方程到三次方程 由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自 然地，人类就开始寻找三次方程的解法。
1545 年，卡丹诺在他的著作《大术》 （Ars Magna）中，介绍了解三次方程的方法。 从此，解三次方程的方法，就被称为 「卡丹诺公式」。
解方程 x3 mx n
公式： x 3 n
2
n 2 2
m 3 3
3
n 2
n 2
2
第一章 复数与复变函数
（Complex number and function of the complex variable）
§1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1. 5 复变函数
§1.1 复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
当 x 0 时，z iy（纯虚数）；
当 x 0, y 0 时，z 0（实数）；
（3）设复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2.
则 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 .
注意：任意两个虚数不能比较大小！！ 例如，设i 0 ,则i i 0i ,即 1 0 ,矛盾。
m 3
3
例 解 x3 + 6x = 20 注意：m = 6、n = 20 x = 3 10 108 3 10 108
=2
1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方 程时，首先产生了负数开平方的思想。后来， 数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。 这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出 了虚数的几何解析而逐渐好转。
2、1777年，瑞士数学家Euler建立了 系统的复数理论，发现了复指数函数和三 角函数之间的关系，创立了复变函数论的 一些基本定理，并开始把它们应用到水力 学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位， 也是Euler首创的。
3、19世纪，法国数学家Cauchy、德 国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努 力，建立了系统的复变函数理论，这些理 论知识直到今天都是比较完善的。
复变函数不但在其他学科得到了广泛的应 用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它 的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、 概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
从柯西算起，复变函数已有170多年的历史 了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的 一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发 展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际 问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的 必修课程。现在，复变函数中仍然有不少尚待研 究的课题，所以它将继续向前发展，并使它的应 用更加广泛。
但变换不同于化简，它必须是可逆的， 即必须有与之匹配的逆变换。
复变函数与积分变换在应用方面，涉及的 面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。 比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓 场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们 的计算就是通过复变函数来解决的。
再比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的 时候，就用复变函数解决了飞机机翼的结构 问题，他在运用复变函数论解决流体力学和 航空力学方面的问题上也做出了贡献。
z 0 Re(z) Im(z) 0
(4) 设 z x iy, 称 z x iy为 z 的共轭复数.
二、复数的四则运算
设 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2，则
（1）z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
（2）z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
对 象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、 共形映射、傅里叶变换和拉普 拉斯变换等。
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和方法是实变量函 数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相 似之处。但又有不同之处，复变函数有本质上的 深化，尤其是在方法和技巧上，更有着显著的不 同。在学习中要善于比较、区别、特别要注意它 们之间的联系、发展和变化，理解概念、掌握方 法、熟悉技巧。对复数域上特有性质与结果要有 足够理解。
三、复平面
一、 复数的概念
（1）对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。
其中 i2 1 ,或i 1, i称为虚单位。
复数z 的实部（real part） Re(z) = x ; 虚部 （imaginary part ）Im(z) = y .
（2） 当 y 0 时， z x（实数）；
4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支， 如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、 复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等， 并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体 力学、电学等领域。
积分变换就是通过积分运算把一个函数 变成另一个函数，同时，将函数的微积分 运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算 简单、快速完成。
(3)z
z1 z2
z1 z2 z2 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大 的进展！
怪杰
卡丹诺 (Girolamo Cardano; 1501 1576)
一个多才多艺的学者,
• 一个放荡不羁的无赖
他精通数学、医学、 语言学、天文学、占星学
一生充满传奇，人们称 他为「怪杰」。
一、引言 复数的产生和复变 函数理论的建立
先从二次方程谈起
wenku.baidu.com
解方程 ax2 bx c 0, a 0
x1,2 b
b2 4ac 2a
此公式早于公元前400年，已被巴比伦人发现和使用。
在中国的古籍《九章算术》中，亦有提及与二次方 程有关的问题。
由二次方程到三次方程 由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自 然地，人类就开始寻找三次方程的解法。
1545 年，卡丹诺在他的著作《大术》 （Ars Magna）中，介绍了解三次方程的方法。 从此，解三次方程的方法，就被称为 「卡丹诺公式」。
解方程 x3 mx n
公式： x 3 n
2
n 2 2
m 3 3
3
n 2
n 2
2
第一章 复数与复变函数
（Complex number and function of the complex variable）
§1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1. 5 复变函数
§1.1 复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
当 x 0 时，z iy（纯虚数）；
当 x 0, y 0 时，z 0（实数）；
（3）设复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2.
则 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 .
注意：任意两个虚数不能比较大小！！ 例如，设i 0 ,则i i 0i ,即 1 0 ,矛盾。
m 3
3
例 解 x3 + 6x = 20 注意：m = 6、n = 20 x = 3 10 108 3 10 108
=2
1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方 程时，首先产生了负数开平方的思想。后来， 数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。 这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出 了虚数的几何解析而逐渐好转。
2、1777年，瑞士数学家Euler建立了 系统的复数理论，发现了复指数函数和三 角函数之间的关系，创立了复变函数论的 一些基本定理，并开始把它们应用到水力 学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位， 也是Euler首创的。
3、19世纪，法国数学家Cauchy、德 国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努 力，建立了系统的复变函数理论，这些理 论知识直到今天都是比较完善的。
复变函数不但在其他学科得到了广泛的应 用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它 的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、 概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
从柯西算起，复变函数已有170多年的历史 了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的 一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发 展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际 问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的 必修课程。现在，复变函数中仍然有不少尚待研 究的课题，所以它将继续向前发展，并使它的应 用更加广泛。
但变换不同于化简，它必须是可逆的， 即必须有与之匹配的逆变换。
复变函数与积分变换在应用方面，涉及的 面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。 比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓 场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们 的计算就是通过复变函数来解决的。
再比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的 时候，就用复变函数解决了飞机机翼的结构 问题，他在运用复变函数论解决流体力学和 航空力学方面的问题上也做出了贡献。
z 0 Re(z) Im(z) 0
(4) 设 z x iy, 称 z x iy为 z 的共轭复数.
二、复数的四则运算
设 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2，则
（1）z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
（2）z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
对 象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、 共形映射、傅里叶变换和拉普 拉斯变换等。
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和方法是实变量函 数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相 似之处。但又有不同之处，复变函数有本质上的 深化，尤其是在方法和技巧上，更有着显著的不 同。在学习中要善于比较、区别、特别要注意它 们之间的联系、发展和变化，理解概念、掌握方 法、熟悉技巧。对复数域上特有性质与结果要有 足够理解。
三、复平面
一、 复数的概念
（1）对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。
其中 i2 1 ,或i 1, i称为虚单位。
复数z 的实部（real part） Re(z) = x ; 虚部 （imaginary part ）Im(z) = y .
（2） 当 y 0 时， z x（实数）；
4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支， 如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、 复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等， 并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体 力学、电学等领域。
积分变换就是通过积分运算把一个函数 变成另一个函数，同时，将函数的微积分 运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算 简单、快速完成。
(3)z
z1 z2
z1 z2 z2 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2