2019年上海高中数学 第41讲 直线的方程

第41讲 直线的方程

一、知识点梳理

1、平面上两点间的距离公式

设点()111,P x y 、点()222,P x y ，则12P P = ．

2、线段的中点公式

设点()111,P x y 、点()222,P x y ，则线段12P P 的中点M 的坐标为 ．

3、直线的点方向式方程

若直线l 经过点()00,x y ，且它的一个方向向量是(),d u v =（0uv ≠），则该直线的点方向式方程

为 ．

4、直线的点法向式方程

若直线l 经过点()00,x y ，且它的一个法向量是(),n a b =（0ab ≠），则该直线的点法向式方程

为 ．

5、直线的倾斜角

设直线l 的倾斜角为α，则α的取值范围是 ．

6、直线的斜率

（1）直线l 的倾斜角为α（2π

α≠），则该直线的斜率k = ；

（2）若直线l 经过点()11,A x y 和()22,B x y （12x x ≠），则该直线的斜率k = ．

7、直线的斜截式方程

若直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则该直线的方程为 ．

8、直线的点斜式方程

若直线l 经过点()00,x y ，且斜率为k ，则该直线的点斜式方程为 ．

9、直线的截距式方程

若直线l 在x 轴在y 轴上的截距分别为a 与b （0ab ≠），则该直线的截距式方程为 ．

10、直线的一般式方程

直线l 的一般式方程为 ．

二、典型例题

例1、已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()1,1A 、()5,3B ，()4,5C ，求：

（1）过点A 且与BC 边平行的直线；

（2）求AC 边上的中线所在的直线的方程；

（3）求BC 边上的高所在的直线的点法向式方程．

例2、（1）将直线()()32430x y -++=绕其与x 轴交点A 逆时针方向旋转90后得到直线l ，求直线l 的方程．

（2）直线()()31210x y +++=的一个法向量为(),2a a -，求a 的值．

（3）原点在直线l 上的射影为()1,2N -，求l 的方程．

（4）已知点()1,2A -和点()3,4B ，求线段AB 的垂直平分线l 的点法向式方程．

例3、已知过点()2,P m 、(),5Q m 的直线l ，（1）若直线l 的斜率为3，求m 的值；（2）直线l 倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围。

例4、已知直线l 过原点且倾斜角（1）为直线132y x =

-的倾斜角的两倍，求直线l 的方程；（2）倾斜角比直线340x y -+=的倾斜角大

4π，求直线l 的方程．

例5、（1）已知直线倾斜角,63ππα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦

，求斜率k 的范围；（2）已知直线斜率)

k ⎡∈⎣，求倾斜角α的范围．

例6、已知直线l过点()

3,1

B为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取

A、()

1,4

0,2

M，且与以()

值范围．

例7、设直线l的方程为()()

m x m y m

++--+=（m R

21230

∈），

（1）求证对任何实数m，直线l都必过第二象限；

（2）若直线l不过第三象限，求实数m的取值范围．

三、课后练习

1、 经过点()0,4A ，倾斜角为1arccos 2的直线方程为 ．

2、 直线l 过点()1,1P 且其一个方向向量与向量()2,3垂直，则l 的方程为 ．

3、 直线l 过点()3,1M 且其一个方向向量()1,2d =--，则l 的方程为 ．

4、 过点()5,2，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为 ．

5、 若点()2,4A -关于点(),4M x -的对称点为()1,B y ，则x = ；y = ．

6、 设点()5,1A ，点B 在y 轴上，且5AB =，则点B 的坐标为 ．

7、 直线tan 5

x π

=的倾斜角α= ． 8、 直线410x y +-=的倾斜角α= ．

9、 直线sin 10x y θ-+=的倾斜角α的取值范围是 ．

10、 若直线l 的斜率[)1,4k ∈-，则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ．

11、 将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则直线l

的斜率为 ．

12、 过点()5,2，且倾斜角α满足4sin 5

α=的直线l 的方程为 ． 13、 直线cot 1y x θ=⋅+，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

的倾斜角是 ． 14、 过点()5,2，且倾斜角α满足4sin 5

α=的直线l 的方程为 ．

15、 直线10ax by +-=在y 轴上的截距为1-，0y --=的倾斜角的2倍，则a 、

b 的值分别为 ．

16、 将直线一般式方程改写为点法向式方程和点方向式方程：

（1）3420x y --=； （2）2390x y ++=．

17、 试分别根据下列条件，求直线l 的一般方程：

（1）过点()1,2-，且与直线310x y +-=平行； （2）过点()1,2，且垂直于直线350x y --=．

18、 已知直线l 过点()1,2P -，且不过第一象限，求该直线的斜率k 的取值范围及倾斜角α的取值范围．

19、 已知两点()1,5A --，()3,2B -，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．