历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
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2017年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
（5月14日下午14:30—16:30）
题目
一
二
三
总成绩
13
14
15
16
得分
评卷人
复核人
考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分
2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。
3.计算器，通讯工具不准待入考场。
4.解题书写不要超过封线
一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
化简得， ①
与抛物线方程联立，得
即 ②
此时，方程②有两个相等的根：
代入①，得
所以直线DE与此抛物线有且只有一个公共点 ……10分
（2） ……15分
设直线DE与xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ交于点G，令
解得
于是
所以 ……20分
16.解：取
（1）先证：
因为
……5分
（2）再证：
综上可知，α的最大值是3，β的最小值是3 ……20分
1988年全国高中数学联赛试题
由归纳原理知，对任意的正整数n，都有
综上，所求实数a的取值范围 ……20分
14.解：因为 ……5分
由
又 ……10分
（2）由
又 ……15分
（3）因为对任意奇质数
所以，存在无穷多个合数n,使得 ……20分
15，解：
（1）设
所以可得
设
于是
设
所以E的坐标为
因此直线DE的斜率为： ， ……5分
所以直线DE的方程是
（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为 ,求 的值.
16.设 为实数，若对任意的实数 恒成立，其中
求 的最大值和 的最小值
2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题
草考答案及评分标准
一，选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A
A. （0. ） B.（0. ） C.（ ，1）D.（ ，1）
5.已知△ABC中， 的最大值时（ ）
A. B. C.2D.
6.已知数列 满足： ，用 表示不超过实数x的最大整数，则 的个位数是（ ）
A.2B.4C.6D.8
二，填空题（本大题共6个小题，每条题5分，共30分）
7.已知函数 =_________.
2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是( )
A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<1
3．平面上有三个点集M，N，P：
M={(x，y)| |x|+|y|<1}，
N={(x，y)| + <2 }，
P={(x，y)| |x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则
①当3<a<4时，则b<0,注意到
则 ，即数列 单调递增
从而 ……15分
②当a=4时，由条件可知 满足条件：
③
注意到 ，满足条件
综上，所求实数a的取值范围 ……20分
法2：因为 对任意的正整数n都成立，故
下面用数学归纳法证明：当 时，对任意的正整数n，都有
当 时，结论成立：
假设
当 ， ……15分
于是结论对 也成立.
1.已知函数 处有极值，则实数a的值是（ ）
A.-2 B. -1 C. 1 D. 2
2.已知 的两个根，则 （ ）
A. B. C. D.
3.在 的展开式。所有形如 的项的系数之和是（ ）
A. 112 B. 448C. 1792D. 14336
4.已知 的左，右焦点，该椭圆上存在两点A,B,使得 ,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
8.设 ，其中 是虚数单位，若 成等比数列，则实数a的值是___________.
9.若 是双曲线 上的点，则 的最小值是_________.
10. 如图，设正方体 的棱长为1，α为过直线 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.
11.已知实数 满足： 的最大值是____.
12.设集合 则集合A中元素的个数是___________
5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴M∪N∪P=I； ⑵N≠Ø． ⑶M≠Ø． ⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是
A．1B．2C．3D．4
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
A．M P NB．M N PC．P N MD．A、B、C都不成立
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有
命题甲：θ> ；
命题乙：a、b、c相交于一点．
则
A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分
C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.已知数列 满足：
（1）若a=3,求证：数列 成等比数列，并求出数列 的通项公式；
（2）若对任意的正整数n,都有 ，求实数a的取值范围。
14.1993年，美国数学家F.Smarandache提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的Smarandache函数。正整数n的Smarandache函数定义为 ，比如：
（1）求数S（16）和S（2016）的值；
（2）若S（n）=7,求正整数n的最大值；
（3）证明：存在无穷多个合数n，使得 ,其中 的最大质因数.
15.如图， 轴上，且关于y轴对称，过点 垂直于x轴的直线与抛物线 交于
B,C,点D为线段AB上的动点，点E在线段AC上，满足
（1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点；
二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.证明：（1）因为
所以，数列 成等比数列 ……5分
于是
即数列 的通项公式 ……10分
（2）法1：因为 对任意的正整数n都成立，故
由（1）知
第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)
一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)
（5月14日下午14:30—16:30）
题目
一
二
三
总成绩
13
14
15
16
得分
评卷人
复核人
考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分
2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。
3.计算器，通讯工具不准待入考场。
4.解题书写不要超过封线
一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
化简得， ①
与抛物线方程联立，得
即 ②
此时，方程②有两个相等的根：
代入①，得
所以直线DE与此抛物线有且只有一个公共点 ……10分
（2） ……15分
设直线DE与xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ交于点G，令
解得
于是
所以 ……20分
16.解：取
（1）先证：
因为
……5分
（2）再证：
综上可知，α的最大值是3，β的最小值是3 ……20分
1988年全国高中数学联赛试题
由归纳原理知，对任意的正整数n，都有
综上，所求实数a的取值范围 ……20分
14.解：因为 ……5分
由
又 ……10分
（2）由
又 ……15分
（3）因为对任意奇质数
所以，存在无穷多个合数n,使得 ……20分
15，解：
（1）设
所以可得
设
于是
设
所以E的坐标为
因此直线DE的斜率为： ， ……5分
所以直线DE的方程是
（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为 ,求 的值.
16.设 为实数，若对任意的实数 恒成立，其中
求 的最大值和 的最小值
2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题
草考答案及评分标准
一，选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A
A. （0. ） B.（0. ） C.（ ，1）D.（ ，1）
5.已知△ABC中， 的最大值时（ ）
A. B. C.2D.
6.已知数列 满足： ，用 表示不超过实数x的最大整数，则 的个位数是（ ）
A.2B.4C.6D.8
二，填空题（本大题共6个小题，每条题5分，共30分）
7.已知函数 =_________.
2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是( )
A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<1
3．平面上有三个点集M，N，P：
M={(x，y)| |x|+|y|<1}，
N={(x，y)| + <2 }，
P={(x，y)| |x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则
①当3<a<4时，则b<0,注意到
则 ，即数列 单调递增
从而 ……15分
②当a=4时，由条件可知 满足条件：
③
注意到 ，满足条件
综上，所求实数a的取值范围 ……20分
法2：因为 对任意的正整数n都成立，故
下面用数学归纳法证明：当 时，对任意的正整数n，都有
当 时，结论成立：
假设
当 ， ……15分
于是结论对 也成立.
1.已知函数 处有极值，则实数a的值是（ ）
A.-2 B. -1 C. 1 D. 2
2.已知 的两个根，则 （ ）
A. B. C. D.
3.在 的展开式。所有形如 的项的系数之和是（ ）
A. 112 B. 448C. 1792D. 14336
4.已知 的左，右焦点，该椭圆上存在两点A,B,使得 ,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
8.设 ，其中 是虚数单位，若 成等比数列，则实数a的值是___________.
9.若 是双曲线 上的点，则 的最小值是_________.
10. 如图，设正方体 的棱长为1，α为过直线 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.
11.已知实数 满足： 的最大值是____.
12.设集合 则集合A中元素的个数是___________
5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴M∪N∪P=I； ⑵N≠Ø． ⑶M≠Ø． ⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是
A．1B．2C．3D．4
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
A．M P NB．M N PC．P N MD．A、B、C都不成立
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有
命题甲：θ> ；
命题乙：a、b、c相交于一点．
则
A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分
C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.已知数列 满足：
（1）若a=3,求证：数列 成等比数列，并求出数列 的通项公式；
（2）若对任意的正整数n,都有 ，求实数a的取值范围。
14.1993年，美国数学家F.Smarandache提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的Smarandache函数。正整数n的Smarandache函数定义为 ，比如：
（1）求数S（16）和S（2016）的值；
（2）若S（n）=7,求正整数n的最大值；
（3）证明：存在无穷多个合数n，使得 ,其中 的最大质因数.
15.如图， 轴上，且关于y轴对称，过点 垂直于x轴的直线与抛物线 交于
B,C,点D为线段AB上的动点，点E在线段AC上，满足
（1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点；
二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.证明：（1）因为
所以，数列 成等比数列 ……5分
于是
即数列 的通项公式 ……10分
（2）法1：因为 对任意的正整数n都成立，故
由（1）知
第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)
一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)