分数阶微分方程初值问题解的存在性
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第 ６卷
第 ３期
贵 阳学 院学报 （ 自然科 学版 ） （ 季刊 ）
Ｊ ＵＲ Ｏ ＮＡＬ ＯＦ ＧＵＩ ＹＡＮ ＣＯ 】 Ｅ Ｇ ＬＬ ＥＧ
Ｖ０ ． Ｎｏ ３ １６ ．
２ １ 年 ９月 ０１
Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ Ｑ ａｔｌ） ａｕａ ｉ ｃｓ（ ｕｒ ｒ Ｓｅ ｅｙ
在 性。
关键词 ：分数阶微分方程 ； ｅ ｙ Ｓｈｕｅ 度 ； ｒｎｃｅ；存在性定理 Ｌｒ — ａｄｒ ａ ｃ Ｋｏｅｋｒ
中图分类号 ：０ ７ ．１ １５ ５ 文献标识 码 ：Ａ 文章编号 ：１７ ６ ２ （ ０ １ ３－ ０ ７－ ３ ６ ３－ １５ ２ １ ）０ ０ ０ ０
Ｔｈ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏｕ ｉ ｎ ｏ ｎ ｔ ｌ ｅＥｘｓｅ ｅ ｆＳ ｌ ｔ ｓｆ ｒ Ｉ ｉｉ ｏ ａ
对 ｃｏ６ ［ ，］中的任意有界集 ， 不妨取为 Ｄ 。下 一 证 是列紧的。 Ｖ ∈ ，１ｔ ∈［ ，］， ｔ， ２ ０ ６ 假定 ￡≤ｔ ， ｌ ２ 我们可
以得到
ｒ （）＝０ Ｄ上有解 ， 而初值问题方程 （ ） ｕｔ 在 从 １ 在
（
。
。
一 一
Ｉ ｕ ） ｒ （ ） （ｔ 一 ｕ ｔ ｒ ２ ｓ ）
的。 ｃ， 的数 ＝躏 Ｉ 解取［］ 范 ０ ｌ。 ０上 ６ Ｉ ｌ
作映射 ： ［ ，］ Ｃ ０ ｂ Ｃ ０ ｂ ［ ，］，
ｔ ～ ｏ
下面我们介绍一些引理 ， 中引理 ２出 自文 其
献［ ］ 引理 ３和引理 ４出自文献［ ］ ３， ４。 引理 ２ Ｃ ｐｔ分数阶微分方程初值问题 （ ） ． ａｕ ｏ １ 等价于如下第二类非线性 Ｖ ｈｇ ｌ ｏｅｒ 积分方程 ａ
Ｉｕ ｔ （）
为函数 （）的 ０阶 Ｃｐｔ 分数阶积分子 ， ｔ ｃ ａｕ ｏ 。 Ｉ
为 阶 Ｃｐ ｔ积分算子 ， 中 ，（ 为 Ｇ ｍ ａ函 ａｕ ｏ 其 ） ａｍ 数。 对上述条件 ， 称
引理 ４ 紧同伦不变性 ）设 Ｘ为实线性赋范 ．（ 空间， 为 Ｘ中的有界开集 ， ｆ∈Ｃ ， ）Ｐ∈Ｘ， （ Ｘ ，
部分 ， （） ｕ ｔ ｎ ｔ 为 （）的 阶导数。称
（）∈ Ｃ ［ ，］Ｒ 则初值问题（ ）及（ ） ｔ （ ０ ｂ ， ）， １ ２ 的解
在 ［ ，］ ０ ｂ 上存在。
ｕ ＝ｏ ｕ） （ Ｄ～ ｔ ｔ Ｉ （＝ ） ，
（— ） ｔ ｓ ｕ ｓｄ （）ｓ
（ 盖 ）
证明．由引理 ２ Ｃ ｐｔ 分数 阶微分方程初值 ， ａｕ ｏ 问题 （ ） １ 的解等价于积分方程
１ ，
使得 ｌ （，）ｌ 厂ｔ ≤Ｍｌ 。
作 （）＝Ａ （） ｔ ｔ 的先验估计 ， 中 Ａ∈［ ， 其 ０
且它 的解连续 。
１ ，
≤
Ｒ— 分数阶微分方程初值 问题 （ ） Ｌ ２ 等价于如 下第二类非线性 Ｖ ｌｇ ｌ ｏｅｒ 积分方程 ｔ ａ
一
墓
８一
－
≤
薹 ： ｊ岳 ＝ Ｔ ≤ ｎ Ｌ‘ ０ 晤 ‘，
０
有 Ｉ 。 ８ ≤ ㈤Ｉ
作同伦变换 ｈ （）＝１ ｔ ） ｕ ￡ ， ０ ￡ １ ）一 ｔ （） Ａ Ｅ［ ， ， （ Ｔ
ｆ ， 是 ｌ 于 ＜
１ 。取 Ｃ Ｏ ｂ 中的有界开集 Ｄ ＝｛ ￡ ］ ［ ，］ （）∈ｃ ｏ ［，
Ｉ． ≤ Ｉ Ｉ ） － 志 ｌ ） Ｔ ｌ （ ｆ ｕ ｔ （
为 Ｒ ｍ ｎ —Ｌ ｕｉ 分数 阶微分 ， 称 Ｒ— ｅ ａｎ ｉ ｖｌ ｏ ｌ ｅ 简 Ｌ微
）墓 ＝ 簪＋
（） ｓ）
弧，
分， 算子。 称为 阶 Ｒ— 微分算子。 Ｌ
注： 若函数 还满足 （）∈Ｃ （ ， ｔ “０ ∞）， 则
ｏ
ｎ一１ Ｄ ｕ（ ） ＝ 。 ， ｔ ， ｔ Ｄ ｕ（ ）一ｋ 。 Ｉ● １ ｋ ｒ （ — ＋ １ ｋ ）
在此基础上 ， 本文给出初值问题解的存在性的
另外一种证 明方法 ， 即利用 Ｌ ｒ Ｓｈｕｅ 度理 ｅ ｙ— ｃａｄｒ ａ 论研究 Ｃｐｔ 分数阶微分方程初值问题 ａｕ ｏ ｒ （） ＝ｆｔｕ ｔ ） ； ｕｔ Ｄ （，（） ，
｛ ｕ ０ （）＝ｕ ，
【 ｋ ＝ ０ １ … ， —１ ，， １ ＇ １
ｔ ｎ ｉｅｅ ｔ ｌｅ ｕ ｔ ｎ ｙＬ ｒｙ—Ｓ ｈ ｕ ｅ ｅｒｅｔｅ ｒｍ． ｉ ａ ｄｆ ｒｎｉ ｑ ａｉ ｓｂ ｅａ ｃ ａ ｄ ｒｄ ｇｅ ｏｅ ｏｌ ａ ｏ ｈ
Ｋｅ ｒ ｓ： ｒ ｃ ｏ ａ ｆ ｒ ｎ ｉ ｑ ａｉｎ；Ｌ ｒ ｙ—Ｓ ｈ ｕ ｅ ｇｅ ；Ｋｒ ｎ ｃ ｅ ；Ｅｘｓｅ ｃ ｈ ｏ ｅ ｙ ｗｏ ｄ Ｆ ａ ｔ ｎ Ｄｉ ｅ ｅ ｔ Ｅ ｉ ｌ ｌ ａ ｕ ｔ ｏ ｅａ ｅ ａ ｄ ｒＤｅ ｒ ｅ ｏｅｋｒ ｉ ｎ ｅ Ｔ ｅ ｒ ｍ． ｔ
（） １
≤ Ａ ｔｈ １ 一 ）； （） （ ＹＩ 文献 ［ ］ ２ 利用 Ｂ ｎｃ 压缩映 ａａｈ 射原理 和 Ｓｈｕｅ 不 动点 定 理证 明 了线 性 Ｒ － ａａｄｒ ｅ
ｍ ｎ — ｉ ｖｌ 分数 阶微分方程 ａｎ Ｌ ｕｉｅ ｏ ｌ
以及 Ｒ ｍ ｒ Ｌ ｕｉ 分数阶微分方程初值 ｅａ ｍ— ｉ ｖｌ ｏ ｌ ｅ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｉ ｐ ｐ ｒｏ ｔｉ ｅ ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｏｕ ｉｎ ｏ ｉ ａ ａｕ ｒ ｂｅ ｆＣ ｐ ｔ ｄ Ｒｅ ｎ － ｉ ｕ ｉ ｅｆａ ・ ｓ ｒ ｃ ： ｈ ｓ ａ ｅ ｂａ ｎ ｄ ｔ ｘ ｓ ｃ ｆ ｌ ｔ ｓｆ ｒ ｎｔ ｌ ｌ ｅｐ ｏ ｌ ｍｓｏ ａ ｕ ｏ ａ ｍａ ｎ・ Ｌ ｏ ｖＵ ｃ ｈ ｅ ｓ ｏ ｉｉ ｖ ｎ ｒ －
ｓ ）
ｓ ，
［ ，］ ０ ６ 上有解 。 对 Ｒ— 分数 阶微分方程初值问题（ ） Ｌ ２ 解的存
ｓｕ ｓ ） ｓ ，（） ｄ Ｉ
ｓｕ ｓ ）ｓ 一 ，（） ｄ
在性证明同上， 在这里不再赘述。
＋ｔ
—
ｓ ）
参考 文献 ：
（２一ｓ ｔ ）
。
（） Ｉ ｓ）
［ ］ ｈｎ Ｙ Ｇ ｏ ｕ ． ｘ ｔ ｃ ｆｃｏａｄ ｅ ｎａｅ １ Ｃ ｅｇ ，ｕｚ Ｇ Ｅｉｅ ｅ ｆ ａ ｉ ｌｉ ｒ ｔｌ ． ｈ ｓ ｎ ｏ ｒ ｔｎ ｆ ｅ ｉ ｑａｏｓ Ｊ． ． ｌｈ Ａ ａ Ａ ｐ ，０５ ３０ ：６ — ｕｔｎ ［］ Ｊ ｂ ｔ ｎ１ ｐ１ ２０ （１ ）２ ｉ ａ． ． ．
ｅ Ｐｒ ｂ ｅ ｆ ｏ ｌｍｓ ｏ
Ｆｒ ｃｉ ｎ ｌＤｉｊ ｒ ｎ ｉｌＥｑ ａ ｉｎ ａ ｔ０ ａ ｆｅ ｅ ｔａ ｕ ｔｏ ｓ ｆ
ＸＵ Ｎａ ．ＸＩ ｉ ｈ ｎ ＡＯ Ｌ —ｓ ｕ
（ ｏ ｅｅｏ ｉ ｃ ，Ｃ ｉａＵ ｉｅｓｙｏ ｎｎ ｄＴ ｃ ｎｌ ｙ Ｘ ｚｏ ２ ６ Ｃ ｎ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ｃｅ ｅ ｈｎ ｎｖｒｉ Ｍｉｉ ａ ｅｈ ｏ ｇ ， ｕｈｕ２ １ ， ｈ ａ ｌ Ｓ ｎ ｔ ｆ ｇｎ ｏ １ １ ｉ
Ｐ ∈Ｘ ， Ｐ 隹 当 ）时 ， ｅ ｄｇ ，） ＝０。 因此 ， Ｐ
定义 １ 设 ∈ｃ ｏ ＋ａ） ［ ， ０ 贝 ［ ， 。 ｎ Ｌ ０ ＋０），０
Ｖｔ≥ ０ ＞０， ， 称
。
若 ｄｇ ｅ
（ —ｓａＩ（） ｓ ｔ ）－ｕ ｓ ｄ 解。
，）≠０， Ｐ 则方程 ）＝Ｐ 在 内存在
ｆ ｔｕ（ （，２
一 （，ｌ ）Ｉ ｆｔ ㈤ ｕ ＜
，
墓 悟 ＋
记 ∑：Ｉｕ ｋ ＋ ＭＦａ １，是 ＝ ：ｂ￣ ！ ｂ１ （＋）于 ｏ Ｉ ｋ／ Ｉ ＂／
Ｖ￡ ［ ，］ Ｅ ０ ｂ Ｖ ∈Ｄ， ＝０ １２ 设 １ 在 Ｄ 中收敛于 ，， … ，
ｕ， 。故存在 自然数 Ⅳ ， 使得当 ｎ≥ Ⅳ时 ， 有 ｕ 一
若 Ｈ： ×［ ，］ ＋ ０ １ ＿ 紧连续 ， （ ）＝ 一 （ ， ； 。 日 戈ｔ ）
设 Ｐ ０ １ ＋Ｘ 连 续 且 ｐ ￡ 芒 ｈ（ ）， ：［ ，］＿ （） 加 则 ｄｇ ｈ， ，（） 与 ｔ ｅ（ Ｐ ｔ） 无关。
；ｕ） 。￣ｕ） 南 Ｄ（ ＝ ｔ ＂ｔ ｔ Ｄ（ －
解的存在性 。
收稿 日期 ： １ — ５— ９ ２ １ ０ ２ ０ 作者简介 ： 娜 （９ ６一 ， ， 徐 １ ８ ） 女 山东枣庄人 ， 在读硕士研究生 ， 主要研究微分方程边值 问题理论及其在实际问题中的应用 。
●
一
７一
１ 预备知识
本节主要介绍一些分数 阶微分方程的基础知 识 和 一 些 引 理。首 先 我 们 做 一 些 符 号 说 明 ，
（＝ 普 ＋【（ｓ ， ｔ 蓑 ＿ ｔ） ） — ｓ
（） ， ｓ）
再作函数 ｒ ｔ ： ＝ —Ｔ 则初值问题 （ ） （）Ｆ ｕ， １ 的解
转化为求函数 Ｆ ｔ 的零解。 （）
）薹 ＝ 簪＋
（） ｓ）
圹
由已知条件可得 ， ｆ∈ ［ ，］×Ｒ，了常数 Ｖ ０ｂ
ｓ （ （） ｓ ）一一Ｕ“ ｓｄ ’
一 ２
主 要 结 果
定理 １ 若 ￡ 在 ［ ，］× ． ， ） ０ ｂ Ｒ上连续有界，
为 Ｃ ｐ ｔ分数 阶微分 ， ａｕ ｏ 算子； 为 阶 Ｃ ｐｔ Ｄ 称 ａｕ ｏ 微分算子， 中 ｎ＝［ 其 ］＋１， ］ ［ 表示 的整数
ｄｇ １，）为 ，在 上 关 于 Ｐ点 的 Ｌ ｒ ｅ ＂ １ Ｐ ｅ ｙ— ａ
Ｓｈｕｅ 度 。 ｃａｄｒ
＝
薹
“
ｓ ）
ｓ （） ， ｓ）
且它的解连续。
引理 ３ Ｋｏｅｋｒ ．（ ｒ ｃｅ 存在性定理 ） ｎ 设 为实线
性赋范空间， 力为 中的有界开集 ， ｆ∈ｃ ， ） （ Ｘ ，
㈤ ）一 ＜ ～ 则 是连续的， 于是 是完全连续的。 由引 理 ４ ｄｇ ｈ （）Ｄ，） ＝ ｄｇ ｉ， ０ ， ｅ（ ＾ ｔ， ０ ｅ （ Ｄ，） ｄ
＝ｄｇ Ｆ， ０ ｅ（ Ｄ，）＝ １。 由 引理 ３ Ｆ（） ＝ ｕ ｔ ， ｔ （）一
６《￡＜ ＋ ， 隹 （） ］ｕ 《Ｍ １贝 ａ 。 ：（ ） ｝４ Ｄ ０
Ｓ ｐ． ０１ ｅ ２ １
分数阶微分方程 初值 问题解 的存在性
徐 娜， 肖立 顺
徐州 ２ １ １ ） ２ １６
（ 中国矿业大学理学院， 江苏
摘
要 ：利用 Ｌｒｙ ｃ ａｄｒ ｅａ —Ｓｈｕ ｅ 度理论 ，证 明 了 Ｃ ｐ ｔ ａｕｏ和 Ｒ ｍ ｎ ｅ ａｎ—Ｌｏｖ ｌ ｉ ｉｅ分数 阶微分 方程初值 问题解 的存 ｕｌ
０ 引言
近年来 ， 分数阶微分方程初值问题解的存在性 研究引起 了许 多学者 的关 注。其 中文献 ［ ］ １ 利用
Ｓｈｕｅ 不动点定理研究阶数在 （ ，） ｃａｄｒ ０ １ 上非线性 Ｒ ｍ ｎ — ｉ ｖｌ分数 阶微分 方程 Ｄ ＝ ￡ ） ｅ ａｎ Ｌ ｕｉｅ ｏ ｌ ， 解的存在性 ， 函数 满足条件 ： ｔ ）一 ￡ ）Ｉ Ｉ ， ， ｙ
问题
小 ， ，， ） …
解的存在性 ， 其中， ， （ ＝１２ …， 是实数 ， ｉ ，， ） ０
ｆ ｕ ｔ ＝ ｆｔｕ ｔ） ｎ一１ ＜ ≤ｎ ｏ （） （ ，（） ， ｛ ０ （） 。 ｏ Ｉ ｋ ＝１２ …， （ ） 【 Ｄ 一 ｔ］ ： ＝ｕ ， ［ ． ｕ ， ， ｎ ２
≤
Ｐ ； ｏ ，
一
： ］＋ ［ ］ＥＩ—Ｓａｅ ＡｌＡ．Ｌｉｅｒｄｆｅｅｔａ ｑａｉｎ ｆｆａ－ ２ ｙｄ Ｖ ｎａ ｉ ｒｎ ｌｅｕｔ ｓＯ ｒｅ Ｉ Ｉ ｉ ｏ
２． ９
ｓ＇＝ ）ｓ ＂ －Ｉ ｄ
第 ３期
贵 阳学 院学报 （ 自然科 学版 ） （ 季刊 ）
Ｊ ＵＲ Ｏ ＮＡＬ ＯＦ ＧＵＩ ＹＡＮ ＣＯ 】 Ｅ Ｇ ＬＬ ＥＧ
Ｖ０ ． Ｎｏ ３ １６ ．
２ １ 年 ９月 ０１
Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ Ｑ ａｔｌ） ａｕａ ｉ ｃｓ（ ｕｒ ｒ Ｓｅ ｅｙ
在 性。
关键词 ：分数阶微分方程 ； ｅ ｙ Ｓｈｕｅ 度 ； ｒｎｃｅ；存在性定理 Ｌｒ — ａｄｒ ａ ｃ Ｋｏｅｋｒ
中图分类号 ：０ ７ ．１ １５ ５ 文献标识 码 ：Ａ 文章编号 ：１７ ６ ２ （ ０ １ ３－ ０ ７－ ３ ６ ３－ １５ ２ １ ）０ ０ ０ ０
Ｔｈ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏｕ ｉ ｎ ｏ ｎ ｔ ｌ ｅＥｘｓｅ ｅ ｆＳ ｌ ｔ ｓｆ ｒ Ｉ ｉｉ ｏ ａ
对 ｃｏ６ ［ ，］中的任意有界集 ， 不妨取为 Ｄ 。下 一 证 是列紧的。 Ｖ ∈ ，１ｔ ∈［ ，］， ｔ， ２ ０ ６ 假定 ￡≤ｔ ， ｌ ２ 我们可
以得到
ｒ （）＝０ Ｄ上有解 ， 而初值问题方程 （ ） ｕｔ 在 从 １ 在
（
。
。
一 一
Ｉ ｕ ） ｒ （ ） （ｔ 一 ｕ ｔ ｒ ２ ｓ ）
的。 ｃ， 的数 ＝躏 Ｉ 解取［］ 范 ０ ｌ。 ０上 ６ Ｉ ｌ
作映射 ： ［ ，］ Ｃ ０ ｂ Ｃ ０ ｂ ［ ，］，
ｔ ～ ｏ
下面我们介绍一些引理 ， 中引理 ２出 自文 其
献［ ］ 引理 ３和引理 ４出自文献［ ］ ３， ４。 引理 ２ Ｃ ｐｔ分数阶微分方程初值问题 （ ） ． ａｕ ｏ １ 等价于如下第二类非线性 Ｖ ｈｇ ｌ ｏｅｒ 积分方程 ａ
Ｉｕ ｔ （）
为函数 （）的 ０阶 Ｃｐｔ 分数阶积分子 ， ｔ ｃ ａｕ ｏ 。 Ｉ
为 阶 Ｃｐ ｔ积分算子 ， 中 ，（ 为 Ｇ ｍ ａ函 ａｕ ｏ 其 ） ａｍ 数。 对上述条件 ， 称
引理 ４ 紧同伦不变性 ）设 Ｘ为实线性赋范 ．（ 空间， 为 Ｘ中的有界开集 ， ｆ∈Ｃ ， ）Ｐ∈Ｘ， （ Ｘ ，
部分 ， （） ｕ ｔ ｎ ｔ 为 （）的 阶导数。称
（）∈ Ｃ ［ ，］Ｒ 则初值问题（ ）及（ ） ｔ （ ０ ｂ ， ）， １ ２ 的解
在 ［ ，］ ０ ｂ 上存在。
ｕ ＝ｏ ｕ） （ Ｄ～ ｔ ｔ Ｉ （＝ ） ，
（— ） ｔ ｓ ｕ ｓｄ （）ｓ
（ 盖 ）
证明．由引理 ２ Ｃ ｐｔ 分数 阶微分方程初值 ， ａｕ ｏ 问题 （ ） １ 的解等价于积分方程
１ ，
使得 ｌ （，）ｌ 厂ｔ ≤Ｍｌ 。
作 （）＝Ａ （） ｔ ｔ 的先验估计 ， 中 Ａ∈［ ， 其 ０
且它 的解连续 。
１ ，
≤
Ｒ— 分数阶微分方程初值 问题 （ ） Ｌ ２ 等价于如 下第二类非线性 Ｖ ｌｇ ｌ ｏｅｒ 积分方程 ｔ ａ
一
墓
８一
－
≤
薹 ： ｊ岳 ＝ Ｔ ≤ ｎ Ｌ‘ ０ 晤 ‘，
０
有 Ｉ 。 ８ ≤ ㈤Ｉ
作同伦变换 ｈ （）＝１ ｔ ） ｕ ￡ ， ０ ￡ １ ）一 ｔ （） Ａ Ｅ［ ， ， （ Ｔ
ｆ ， 是 ｌ 于 ＜
１ 。取 Ｃ Ｏ ｂ 中的有界开集 Ｄ ＝｛ ￡ ］ ［ ，］ （）∈ｃ ｏ ［，
Ｉ． ≤ Ｉ Ｉ ） － 志 ｌ ） Ｔ ｌ （ ｆ ｕ ｔ （
为 Ｒ ｍ ｎ —Ｌ ｕｉ 分数 阶微分 ， 称 Ｒ— ｅ ａｎ ｉ ｖｌ ｏ ｌ ｅ 简 Ｌ微
）墓 ＝ 簪＋
（） ｓ）
弧，
分， 算子。 称为 阶 Ｒ— 微分算子。 Ｌ
注： 若函数 还满足 （）∈Ｃ （ ， ｔ “０ ∞）， 则
ｏ
ｎ一１ Ｄ ｕ（ ） ＝ 。 ， ｔ ， ｔ Ｄ ｕ（ ）一ｋ 。 Ｉ● １ ｋ ｒ （ — ＋ １ ｋ ）
在此基础上 ， 本文给出初值问题解的存在性的
另外一种证 明方法 ， 即利用 Ｌ ｒ Ｓｈｕｅ 度理 ｅ ｙ— ｃａｄｒ ａ 论研究 Ｃｐｔ 分数阶微分方程初值问题 ａｕ ｏ ｒ （） ＝ｆｔｕ ｔ ） ； ｕｔ Ｄ （，（） ，
｛ ｕ ０ （）＝ｕ ，
【 ｋ ＝ ０ １ … ， —１ ，， １ ＇ １
ｔ ｎ ｉｅｅ ｔ ｌｅ ｕ ｔ ｎ ｙＬ ｒｙ—Ｓ ｈ ｕ ｅ ｅｒｅｔｅ ｒｍ． ｉ ａ ｄｆ ｒｎｉ ｑ ａｉ ｓｂ ｅａ ｃ ａ ｄ ｒｄ ｇｅ ｏｅ ｏｌ ａ ｏ ｈ
Ｋｅ ｒ ｓ： ｒ ｃ ｏ ａ ｆ ｒ ｎ ｉ ｑ ａｉｎ；Ｌ ｒ ｙ—Ｓ ｈ ｕ ｅ ｇｅ ；Ｋｒ ｎ ｃ ｅ ；Ｅｘｓｅ ｃ ｈ ｏ ｅ ｙ ｗｏ ｄ Ｆ ａ ｔ ｎ Ｄｉ ｅ ｅ ｔ Ｅ ｉ ｌ ｌ ａ ｕ ｔ ｏ ｅａ ｅ ａ ｄ ｒＤｅ ｒ ｅ ｏｅｋｒ ｉ ｎ ｅ Ｔ ｅ ｒ ｍ． ｔ
（） １
≤ Ａ ｔｈ １ 一 ）； （） （ ＹＩ 文献 ［ ］ ２ 利用 Ｂ ｎｃ 压缩映 ａａｈ 射原理 和 Ｓｈｕｅ 不 动点 定 理证 明 了线 性 Ｒ － ａａｄｒ ｅ
ｍ ｎ — ｉ ｖｌ 分数 阶微分方程 ａｎ Ｌ ｕｉｅ ｏ ｌ
以及 Ｒ ｍ ｒ Ｌ ｕｉ 分数阶微分方程初值 ｅａ ｍ— ｉ ｖｌ ｏ ｌ ｅ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｉ ｐ ｐ ｒｏ ｔｉ ｅ ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｏｕ ｉｎ ｏ ｉ ａ ａｕ ｒ ｂｅ ｆＣ ｐ ｔ ｄ Ｒｅ ｎ － ｉ ｕ ｉ ｅｆａ ・ ｓ ｒ ｃ ： ｈ ｓ ａ ｅ ｂａ ｎ ｄ ｔ ｘ ｓ ｃ ｆ ｌ ｔ ｓｆ ｒ ｎｔ ｌ ｌ ｅｐ ｏ ｌ ｍｓｏ ａ ｕ ｏ ａ ｍａ ｎ・ Ｌ ｏ ｖＵ ｃ ｈ ｅ ｓ ｏ ｉｉ ｖ ｎ ｒ －
ｓ ）
ｓ ，
［ ，］ ０ ６ 上有解 。 对 Ｒ— 分数 阶微分方程初值问题（ ） Ｌ ２ 解的存
ｓｕ ｓ ） ｓ ，（） ｄ Ｉ
ｓｕ ｓ ）ｓ 一 ，（） ｄ
在性证明同上， 在这里不再赘述。
＋ｔ
—
ｓ ）
参考 文献 ：
（２一ｓ ｔ ）
。
（） Ｉ ｓ）
［ ］ ｈｎ Ｙ Ｇ ｏ ｕ ． ｘ ｔ ｃ ｆｃｏａｄ ｅ ｎａｅ １ Ｃ ｅｇ ，ｕｚ Ｇ Ｅｉｅ ｅ ｆ ａ ｉ ｌｉ ｒ ｔｌ ． ｈ ｓ ｎ ｏ ｒ ｔｎ ｆ ｅ ｉ ｑａｏｓ Ｊ． ． ｌｈ Ａ ａ Ａ ｐ ，０５ ３０ ：６ — ｕｔｎ ［］ Ｊ ｂ ｔ ｎ１ ｐ１ ２０ （１ ）２ ｉ ａ． ． ．
ｅ Ｐｒ ｂ ｅ ｆ ｏ ｌｍｓ ｏ
Ｆｒ ｃｉ ｎ ｌＤｉｊ ｒ ｎ ｉｌＥｑ ａ ｉｎ ａ ｔ０ ａ ｆｅ ｅ ｔａ ｕ ｔｏ ｓ ｆ
ＸＵ Ｎａ ．ＸＩ ｉ ｈ ｎ ＡＯ Ｌ —ｓ ｕ
（ ｏ ｅｅｏ ｉ ｃ ，Ｃ ｉａＵ ｉｅｓｙｏ ｎｎ ｄＴ ｃ ｎｌ ｙ Ｘ ｚｏ ２ ６ Ｃ ｎ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ｃｅ ｅ ｈｎ ｎｖｒｉ Ｍｉｉ ａ ｅｈ ｏ ｇ ， ｕｈｕ２ １ ， ｈ ａ ｌ Ｓ ｎ ｔ ｆ ｇｎ ｏ １ １ ｉ
Ｐ ∈Ｘ ， Ｐ 隹 当 ）时 ， ｅ ｄｇ ，） ＝０。 因此 ， Ｐ
定义 １ 设 ∈ｃ ｏ ＋ａ） ［ ， ０ 贝 ［ ， 。 ｎ Ｌ ０ ＋０），０
Ｖｔ≥ ０ ＞０， ， 称
。
若 ｄｇ ｅ
（ —ｓａＩ（） ｓ ｔ ）－ｕ ｓ ｄ 解。
，）≠０， Ｐ 则方程 ）＝Ｐ 在 内存在
ｆ ｔｕ（ （，２
一 （，ｌ ）Ｉ ｆｔ ㈤ ｕ ＜
，
墓 悟 ＋
记 ∑：Ｉｕ ｋ ＋ ＭＦａ １，是 ＝ ：ｂ￣ ！ ｂ１ （＋）于 ｏ Ｉ ｋ／ Ｉ ＂／
Ｖ￡ ［ ，］ Ｅ ０ ｂ Ｖ ∈Ｄ， ＝０ １２ 设 １ 在 Ｄ 中收敛于 ，， … ，
ｕ， 。故存在 自然数 Ⅳ ， 使得当 ｎ≥ Ⅳ时 ， 有 ｕ 一
若 Ｈ： ×［ ，］ ＋ ０ １ ＿ 紧连续 ， （ ）＝ 一 （ ， ； 。 日 戈ｔ ）
设 Ｐ ０ １ ＋Ｘ 连 续 且 ｐ ￡ 芒 ｈ（ ）， ：［ ，］＿ （） 加 则 ｄｇ ｈ， ，（） 与 ｔ ｅ（ Ｐ ｔ） 无关。
；ｕ） 。￣ｕ） 南 Ｄ（ ＝ ｔ ＂ｔ ｔ Ｄ（ －
解的存在性 。
收稿 日期 ： １ — ５— ９ ２ １ ０ ２ ０ 作者简介 ： 娜 （９ ６一 ， ， 徐 １ ８ ） 女 山东枣庄人 ， 在读硕士研究生 ， 主要研究微分方程边值 问题理论及其在实际问题中的应用 。
●
一
７一
１ 预备知识
本节主要介绍一些分数 阶微分方程的基础知 识 和 一 些 引 理。首 先 我 们 做 一 些 符 号 说 明 ，
（＝ 普 ＋【（ｓ ， ｔ 蓑 ＿ ｔ） ） — ｓ
（） ， ｓ）
再作函数 ｒ ｔ ： ＝ —Ｔ 则初值问题 （ ） （）Ｆ ｕ， １ 的解
转化为求函数 Ｆ ｔ 的零解。 （）
）薹 ＝ 簪＋
（） ｓ）
圹
由已知条件可得 ， ｆ∈ ［ ，］×Ｒ，了常数 Ｖ ０ｂ
ｓ （ （） ｓ ）一一Ｕ“ ｓｄ ’
一 ２
主 要 结 果
定理 １ 若 ￡ 在 ［ ，］× ． ， ） ０ ｂ Ｒ上连续有界，
为 Ｃ ｐ ｔ分数 阶微分 ， ａｕ ｏ 算子； 为 阶 Ｃ ｐｔ Ｄ 称 ａｕ ｏ 微分算子， 中 ｎ＝［ 其 ］＋１， ］ ［ 表示 的整数
ｄｇ １，）为 ，在 上 关 于 Ｐ点 的 Ｌ ｒ ｅ ＂ １ Ｐ ｅ ｙ— ａ
Ｓｈｕｅ 度 。 ｃａｄｒ
＝
薹
“
ｓ ）
ｓ （） ， ｓ）
且它的解连续。
引理 ３ Ｋｏｅｋｒ ．（ ｒ ｃｅ 存在性定理 ） ｎ 设 为实线
性赋范空间， 力为 中的有界开集 ， ｆ∈ｃ ， ） （ Ｘ ，
㈤ ）一 ＜ ～ 则 是连续的， 于是 是完全连续的。 由引 理 ４ ｄｇ ｈ （）Ｄ，） ＝ ｄｇ ｉ， ０ ， ｅ（ ＾ ｔ， ０ ｅ （ Ｄ，） ｄ
＝ｄｇ Ｆ， ０ ｅ（ Ｄ，）＝ １。 由 引理 ３ Ｆ（） ＝ ｕ ｔ ， ｔ （）一
６《￡＜ ＋ ， 隹 （） ］ｕ 《Ｍ １贝 ａ 。 ：（ ） ｝４ Ｄ ０
Ｓ ｐ． ０１ ｅ ２ １
分数阶微分方程 初值 问题解 的存在性
徐 娜， 肖立 顺
徐州 ２ １ １ ） ２ １６
（ 中国矿业大学理学院， 江苏
摘
要 ：利用 Ｌｒｙ ｃ ａｄｒ ｅａ —Ｓｈｕ ｅ 度理论 ，证 明 了 Ｃ ｐ ｔ ａｕｏ和 Ｒ ｍ ｎ ｅ ａｎ—Ｌｏｖ ｌ ｉ ｉｅ分数 阶微分 方程初值 问题解 的存 ｕｌ
０ 引言
近年来 ， 分数阶微分方程初值问题解的存在性 研究引起 了许 多学者 的关 注。其 中文献 ［ ］ １ 利用
Ｓｈｕｅ 不动点定理研究阶数在 （ ，） ｃａｄｒ ０ １ 上非线性 Ｒ ｍ ｎ — ｉ ｖｌ分数 阶微分 方程 Ｄ ＝ ￡ ） ｅ ａｎ Ｌ ｕｉｅ ｏ ｌ ， 解的存在性 ， 函数 满足条件 ： ｔ ）一 ￡ ）Ｉ Ｉ ， ， ｙ
问题
小 ， ，， ） …
解的存在性 ， 其中， ， （ ＝１２ …， 是实数 ， ｉ ，， ） ０
ｆ ｕ ｔ ＝ ｆｔｕ ｔ） ｎ一１ ＜ ≤ｎ ｏ （） （ ，（） ， ｛ ０ （） 。 ｏ Ｉ ｋ ＝１２ …， （ ） 【 Ｄ 一 ｔ］ ： ＝ｕ ， ［ ． ｕ ， ， ｎ ２
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２． ９
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