排列与组合的综合应用题
排列、组合的综合问题
从 1，3，5，7，9 中任取三个数，从 2，4，6，8 中任取两 个数，则可以组成没有重复数字的五位数的个数为________． 解析：“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从 1，3， 5，7，9 中任取三个数，有 C35种取法；第二步，从 2，4，6，8 中任取两个数，有 C24种取法；第三步，将取出的五个数全排列， 有 A55种排法．共有符合条件的五位数 C35C24A55＝7 200(个)． 答案：7 200
• 处理有附加条件的排列、组合应用题的策略: • (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，
再考虑其他元素; • (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，
再考虑其他位置; • (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，
再减去不合要求的排列数或组合数.
【基础检测】
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜中选
个，再加上 3 开头的排列数才共有 180 个，如果加
上 4 开头的，则共有 240 个，所以第 200 项应该是
4 开头的数．
而形如 4 1
数，有 A24＝12 个．
故 200 项在形如 4 2
中．
又 421
， 423
各有 3 个数，故此数应在形如 4 2 5 中 的 第 二 个数、即符合 180＋12＋3＋3＋2＝200. 故所求第 200 项为：4253.
A．24
B．48
C．120
D．72
D
【解析】解法一：特殊位置法：第一步：从除
A 外的 4 人中选 2 人参加理、化竞赛，有 A24种选法； 第二步：从剩余 3 人中选 2 人参加数、英竞赛，有 A23种选法，共 A24·A23＝72 种．
解法二：特殊元素法：分选 A 及不选 A 两种， 共 C34·C12A33＋A44＝72 种．
排列组合典型例题
种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法．
【答案】 B
11
4．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合
方法有( )种．
A．C25C26
B．C52A26
C．C52A22C26A22
D．A52A26
【解析】 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有 C25种方法；第 2 步，
10
3．(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…，
10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
2
【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排 法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为 元素分析法或位置分析法)．
3
题型三 组合应用题
例3 某市工商局对35件商品进行抽样调查，已知其中有15件假 货．现从35件商品中选取3件．
(1)其中某一件假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？
4
【讲评】 组合问题常有以下两类题型：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这 些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从 剩下的元素中去选取．
高中排列组合试题及答案
高中排列组合试题及答案一、选择题1. 从5个人中选出3个人参加比赛，不同的选法有（）种。
A. 10B. 15C. 20D. 60答案：B2. 有3个不同的球和3个不同的盒子，每个盒子只能放一个球，不同的放法有（）种。
A. 3B. 6C. 9D. 27答案：D3. 从6本不同的书中选3本送给3个不同的人，每人一本，不同的送法有（）种。
A. 20B. 60C. 120D. 720答案：B二、填空题4. 一个班级有20名学生，需要选出5名学生组成一个小组，那么不同的选法有______种。
答案：15,5045. 从10个人中选出3个人担任班长、副班长和学习委员，不同的选法有______种。
答案：720三、解答题6. 某学校有5个不同学科的竞赛，每个学生可以选择参加1个或多个竞赛，求至少参加一个竞赛的学生的选法总数。
答案：首先，每个学生有6种选择：不参加任何竞赛，只参加一个竞赛，参加两个竞赛，参加三个竞赛，参加四个竞赛，参加所有五个竞赛。
对于每个学科，学生有两种选择：参加或不参加，所以总共有2^5=32种可能的组合。
但是，我们需要排除不参加任何竞赛的情况，所以选法总数为32-1=31种。
7. 一个班级有30名学生，需要选出一个5人的篮球队，其中必须包括1名队长和4名队员。
如果队长和队员可以是同一个人，那么不同的选法有多少种？答案：首先，选择队长有30种可能，然后从剩下的29人中选择4名队员，有C(29,4)种可能。
但是，由于队长和队员可以是同一个人，我们需要减去只选了4名队员的情况，即C(30,4)种。
所以，总的选法为30*C(29,4) - C(30,4) = 30*1911 - 27,405 = 57,330种。
四、计算题8. 一个数字密码由5个不同的数字组成，每位数字可以是0-9中的任意一个，求这个密码的所有可能组合。
答案：每位数字有10种可能，所以总的组合数为10^5 = 100,000种。
9. 一个班级有15名学生，需要选出一个7人的足球队，不同的选法有多少种？答案：从15名学生中选出7人，不同的选法有C(15,7) = 6,435种。
浙江新高考数学文科一轮复习创新方案热点题型10.2排列与组合(含答案详析)
第二节摆列与组合考点一摆列问题[例 1] 3 名男生， 4 名女生，依据不一样的要求排队，求不一样的排队方案的方法种数：(1)选此中 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体站成一排，男、女各站在一同；(4)全体站成一排，男生不可以站在一同；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．[自主解答 ] (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全摆列，有A75＝ 2 520 种排法．(2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A 77＝ 5 040 种排法．(3)相邻问题 (捆绑法 ) ：男生一定站在一同，是男生的全摆列，有A 33种排法；女生一定站在一同，是女生的全摆列，有 A 44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A 22种排法，依据分步乘法计数原理，共有 A 33·A44·A 22＝ 288 种排法．(4)不相邻问题 (插空法 )：先安排女生共有 A 44种排法，男生在 4 个女生隔成的 5 个空中安排共有 A 53种排法，故共有 A 44·A 53＝1 440 种排法．(5)先安排甲，从除掉排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A 51＝ 5 种排法；再安排其余人，有 A 66＝ 720 种排法．所以共有A15·A 66＝ 3 600 种排法．【互动研究】本例中若全体站成一排，男生一定站在一同，有多少种排法？解：(捆绑法 )即把全部男生视为一个元素，与 4 名女生构成 5 个元素全摆列，故有 A 33·A 55＝ 720 种排法．【方法例律】1．解决摆列问题的主要方法直接法把切合条件的摆列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑办理，即能够把相邻元素当作一个整体参加其余元素摆列，同时注意捆绑元素的内部摆列插空法不相邻问题插空办理，即先考虑不受限制的元素的摆列，再将不相邻的元素插在前方元素摆列的空中除法法定序问题除法办理的方法，可先不考虑次序限制，摆列后再除以定序元素的全摆列2．解决摆列类应用题的策略(1)特别元素 ( 或地点 )优先安排的方法，即先排特别元素或特别地点．(2)分排问题直排法办理．(3)“小公司”摆列问题中先集中后局部的办理方法．1． (2012 ·宁高考辽 )一排 9 个座位坐了3 个三口之家，若每家人坐在一同，则不一样的坐法种数为()A． 3× 3! B ．3× (3！ )3C． (3！ )4D． 9!分析：选C把一家三口当作一个摆列，而后再摆列这 3 家，所以知足题意的坐法种数为 A 33(A 33) 3＝ (3！ )4.2． (2014 南·充模拟 )将 5名实习教师分派到高一年级的 3 个班实习，每班起码 1 名，最多 2 名，则不一样的分派方案有()A．30 种B．90 种C． 180 种D． 270 种2222分析：选B选分组，再摆列．分组方法共有C5 C3，所以共有C5C3322·A 3＝ 90.A 2 A 2考点二组合问题[例 2] (1)若从 1,2,3，, ， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不一样的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A． 60B． 63C． 65(2)(2013 重·庆高考 )从 3 名骨科、 4 名脑外科和灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都起码有D． 665 名内科医生中选派 5 人构成一个抗震救1 人的选派方法种数是________(用数字作答 )．[自主解答](1)由于从1,2,3， ,，9 中共有 4 个不一样的偶数和5 个不一样的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有C45＋ C44＋ C25C24＝66种不一样的取法．(2)按每科选派人数分为3,1,1 和 2,2,1 两类．入选派人数为3,1,1 时，有 3 类，共有 C33C41C51＋ C31C43C51＋ C31C41C53＝ 200 种选派方法．入选派人数为2,2,1 时，有 3 类，共有 C32C42C51＋ C32C41C52＋ C31C42C52＝ 390 种选派方法．故共有 590 种选派方法．[答案 ] (1)D(2)590【方法例律】1．解决组合应用题的一般思路第一整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；而后局部分步，用到分步乘法计数原理．2．组合问题的常有题型及解题思路常有题型有选派问题，抽样问题，图形问题，会合问题，分组问题．解答组合应用题时，要在认真审题的基础上，分清问题能否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“ 分类” 仍是“ 分步” 解决，将复杂问题经过两个原理化归为简单问题．3．含有附带条件的组合问题的常用方法往常用直接法或间接法，应注意“ 起码”“ 最多”“ 恰巧”等词的含义的理解，关于波及“ 起码”“ 至多”等词的组合问题，既可考虑反面情况即间接求解，也能够分类研究进行直接求解．1．某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 4 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中各起码选一门，则不一样的选法的种数为()A． 30 B ．35C． 42D． 48分析：选 A法一：分两种状况：(1)2 门 A,1 门 B，有 C32C41＝ 12种选法； (2)1门 A,2门B，有 C31C42＝ 3×6＝ 18 种选法．所以共有12＋ 18＝ 30 种选法．法二：清除法： A 类 3 门， B 类 4 门，共 7 门，选 3 门， A，B 各起码选 1 门，有 C73－C33－ C43＝35－ 1－ 4＝ 30 种选法．2．两人进行乒乓球竞赛，先赢3 局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情况(各人胜败局次的不一样视为不一样情况)种数为 ()A． 10B． 15C．20D．30分析：选 C分三种状况：恰巧打 3 局，有 2 种情况；恰巧打 4 局 (一人前 3局中赢 2局，输 1 局，第 4 局赢 )，共有 2C32＝ 6 种情况；恰巧打 5 局 (一人前 4 局中赢 2 局，输 2 局，第 5 局赢 )，共有 2C42＝ 12 种情况．全部可能出现的情况种数为2＋ 6＋12＝ 20.高频考点考点三摆列与组合的综合应用1．摆列与组合是高中数学中的重要内容，也是高考命题的一个热门，多以选择题或填空题的形式体现，试题难度不大，多为简单题或中档题．2．高考对摆列与组合综合应用题的考察主要有以下几个命题角度：(1)相邻问题；(2)相间问题；(3)特别元素 ( 地点 )问题；(4)多元问题等．[例 3](1)(2013烟·台模拟)有 4 张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和 4 张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8 张卡片中拿出 4 张卡片排成一行，假如拿出的 4 张卡片所标的数______种 (用数字作答)．字之和等于10，则不一样的排法共有(2)(2014西·安模拟)某地奥运火炬接力传达路线共分 6 段，传达活动分别由 6 名火炬手达成．假如第一棒火炬手只好从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只好从甲、乙两人________种 (用数字作答)．中产生，则不一样的传达方法共有[自主解答](1)拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10，共有三种状况：1144,2233,1234.所取卡片是1144 的共有 A 44种排法．所取卡片是2233 的共有 A 44种排法．所取卡片是1234，则此中卡片颜色可为无红色， 1 张红色， 2 张红色， 3 张红色，全部是红色，共有 A 44＋C14A 44＋ C24A 44＋ C34A 44＋ A 44＝ 16A44种排法，所以共有 18A 44＝ 18× 4× 3× 2× 1＝ 432 种排法．(2)甲传第一棒，乙传最后一棒，共有 A 44种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有 A 44种方法．丙传第一棒，共有C12·A44种方法．由分类加法计数原理得，共有 A 44＋ A 44＋C21·A 44＝ 96 种方法．[答案 ] (1)432 (2)96摆列与组合综合问题的常有种类及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个有关元素视为一个元向来考虑，待整个问题排好以后，再考虑它们“ 内部” 的摆列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，而后把特定元素插在它们之间或两头的空当中，它与捆绑法有同样作用．(3)特别元素 ( 地点 )优先安排法．优先考虑问题中的特别元素或地点，而后再摆列其余一般元素或地点．(4)多元问题分类法．将切合条件的摆列分为几类，而每一类的摆列数较易求出，而后依据分类计数原理求出摆列总数．1． 8 名学生和 2 位老师站成一排合影， 2 位老师不相邻的排法种数为()82828282A． A C A D．A CA分析：选A相间问题用插空法，8 名学生先排，有 A 88种排法，产生9 个空， 2 位老师插空，有 A 92种排法，所以最后有 A 88A 92种排法．2．3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数为()A． 360B． 288C．216D． 96分析：选 B先保证 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则有C32·A22·A 33·A 42种排法，再从中清除甲站两头的排法，所以所求排法种数为22322222－C3·A 2·A 3·A4－ 2C3·A 2·A2·A 3＝ 6× (6× 1224)＝ 288.3．将 4 名大学生疏派到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇起码一名，则不一样的分派方案有________ 种(用数字作答 ) ．分析：选出两人当作一个整体，再全摆列．共有C42·A33＝ 36 种分派方案．答案： 36———————————[讲堂概括——通法意会 ]———————————1 个辨别——摆列问题与组合问题的辨别方法辨别方法若互换某两个元素的地点对结果产生影响，则是摆列问题，即摆列问题与选用元素摆列次序有关若互换某两个元素的地点对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选用元素组合次序没关3 个注意点——求解摆列与组合问题的三个注意点(1)解摆列与组合综合题一般是先选后排，或充足利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后办理．(2)解受条件限制的组合题，往常用直接法(合理分类 )和间接法 (清除法 )来解决．分类标准应一致，防止出现重复或遗漏．(3)关于选择题要慎重办理，注意等价答案的不一样形式，办理这种选择题可采纳清除法剖析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．易误警告 (十二 )摆列与组合中的易错问题[典例 ]将6名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有 ________种不一样的分法．[解题指导 ]将6名教师分到 3 所中学，相当于将 6 名教师分红 3 组，相当于 3 个不一样元素．[分析 ]将6名教师分组，分三步达成：第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种取法；第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种取法；第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有C33种取法．依据分步乘法计数原理，共有123C6C5C3＝ 60 种取法．再将这 3 组教师分派到 3 所中学，有 A 33＝ 6 种分法，故共有 60× 6＝360 种不一样的分法．[答案 ] 360[名师评论 ] 1.假如审题不认真，极易以为有 C61C52C33＝ 60 种分法．由于此题中并无明确指出哪一所学校1名、2名、3名．2．解决摆列与组合应用题应要点注意以下几点：(1)第一要分清楚是摆列问题仍是组合问题，不可以将二者混杂．(2)在解决问题时，必定要注意方法的明确性，不可以造成重复计数．(3)分类议论时，要注意分类标准确实定，应做到不重不漏．牙语在小语种提早招生考试中，某学校获取5 个介绍名额，此中俄语 1 名，而且日语和俄语都要求一定有男生参加．学校经过选拔定下2 名，日语 2 名，西班3男2女共 5个介绍对象，则不一样的介绍方法的种数为()A． 20B． 22C． 24D． 36分析：选 C 3 个男生每个语种各介绍 1 个，共有 A 33A22种介绍方法；将 3 个男生疏为两2 2 23 2 2 2 2组，此中一组 2 个人，则共有 C3A 2A 2种介绍方法．所以共有 A 3A 2＋ C3A 2A 2＝24 种不一样的介绍方法．。
排列组合应用题—综合[1]
![排列组合应用题—综合[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/75b95657a8114431b80dd806.png)
排列组合应用题—综合一．选择题1.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法共有 （ ）（A ）90种 （B ）180种 （C ）270种 （D ）540种2．从8盒不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．3603.20个不加区别的小球放入编号为1号，2号，3号三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于盒子的编号数，则不同的放法总数是 （ ）（A ）760 （B ）764 （C ）120 （D ）914．从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 （ ）A ．231040A AB ．2323104043C C A A C ．23510405C C AD ．231040C C 5．编号1，2，3，4，5，6的六个球分别放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，其中有且只有三个球的编号与盒子的编号一致的放法种数有 （ ）A ．20B ．40C ．120D ．4806．如果一个三位正整数形如“123a a a ”满足1232a a a a <<且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为 （ ）A ．240B ．204C ．729D ．9207．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是( ) A ．234 B ．346 C ．350D ．363 8．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( ) A ．2426C A B ．242621C A C ．2426A A D ．262A 9．4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有( ) A ． 12 种 B ． 24 种 C 36 种 D ． 48 种10．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 ( )A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种 12．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是A ．48B ．36C ．28D ．1213．已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6}，设映射B A f →:，使集合B 中的元素在A 中都有原象，这样的映射个数共有（ ）A ．16B ．14C ．15D ．12 14．ABCD —A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→……，黑蚂蚁爬行的路是AB →BB 1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第i i 与第2+段所在直线必须是异面直线（其中i 是自然数）.设白、黑蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0 15. 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为( ) A.480 B.240 C.120 D.9616.从1，2，3，4，5，6中任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面,若只有1和3其中一个时,也应排在其它数字的前面,这样的不同三位数个数有( ) A 321144432A A C C ++ B.311443A A C + C.3612A +24A D.36A 17.有7名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 ( )（A ）240 （B ）192 （C ）96 （D ）48二．填空题1．五个不同的球放入四个不同的盒子，每盒不空，共有____ 种放法。
排列组合应用题基本解法举例
排列组合应用题基本解法举例〔关键词〕排列；组合；间接法；捆绑法；插空法；消序法虽然关于排列、组合的应用题是千变万化的，但其解题思路却离不开“分步相乘，分类相加，有序排列，无序组合”的原则.要熟练掌握解题技巧，我们还必须掌握处理排列、组合问题的一些基本技巧、方法.下面举列说明.1. 特殊位置法例1：从10人中选3人站成一排，其中甲不站首位，共有多少种不同排法？分析：首位是特殊位置，先排首位有A种排法，再排其余两位有A种排法，分步相乘得AA=648.2. 间接法例2：有7人站成一排，其中甲不站首位，且乙不站末位，共有多少种不同排法？分析：可用间接法得A-2A+A.其中甲站首位的方法有A种，乙站末位的方法有A种，包含甲站首位且乙站末位的情况有A种.3. 捆绑法例3：6件不同商品排成一排，其中甲、乙、丙3件商品一定要排在一起，共有多少种不同排法？分析：先把甲、乙、丙捆绑起来当一个元素参加排列有A种排法，然后这3件商品内部再排列有A种排法.分步相乘得ＡA=144.对于有相邻要求的排列组合题，可用此法.4. 插空法例4：有5个男生和4个女生排成一排，其中女生不能相邻，有多少种不同排法？分析：第一步，先排5个男生有A种排法；第二步，5个男生之间（包括两端）的6个空位中插入4个女生有A种排法.由分步相乘法得ＡA=43200.5. 先选后排法例5：从8个男生和4个女生中选3个男生2个女生，担任5种不同的工作，有多少种方法？分析：AA为错解，因为漏掉了男、女生的混合排列.正确解法用先选后排法，即先按要求选出5人有CC种方法，后进行排列有A种方法，由分步相乘法得CCA=40320.6. 消序法例6：有身高各不相同的10个人站成一排，要求甲、乙、丙3人从左边顺次一个比一个低（可以不相邻），共有多少种不同排法？分析：首先不考虑限制条件，共有A种不同排法；其次对甲、乙、丙3人的排列消序得：=604800，即共有604800种排法.7. 平均分组法例7：A、B、C、D、E、F 6人平均分成三组下棋，有多少种不同分法？分析：CCC为错解，其中有重复.如：6人中先选A、B为一组，再在剩余4人中选C、E为一组，最后剩余2人D、F为一组；6人中先选C、E为一组，再在剩余4人中选A、B为一组，最后剩余2人D、F为一组.以上两种不同分法得到的结果是完全相同的，即A、B为一组，C、E为一组，D、F为一组.不难发现，错解对这一种分法算了6次.故易得，正确解法为=15.8. 查字典法例8：由0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个没有重复数字且比324105大的六位数？分析：从高位排查如下：（1）查首位有4×××××、5×××××，故有2A个数；（2）查前两位有34××××、35××××，故有2A个数；（3）查前三位有325×××，故有A个数；（4）查前四位有3245××，故有A个数；（5）查前五位有324150，故有1个数.故共有：2Ａ＋2Ａ+Ａ＋Ａ＋1=297个数.。
排列组合应用题
18.高二某班要从7名运动员中选出4名组成 4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙 二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种?
26.某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名代表，至少 有1名女生当选的不同选法有( ) A.27种 B.48种 C.21种 D.24种
27.从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有 1位女同志，分别到4个不同的工厂调查，不同的分派方法有 多少种？ 28.四名优等生保送到三所大学去,每所大学至少得一名,则不 同的保送方案的总数是_ _.
21.从0、1、3、5、7中取出不同的三个数作系数; （1）可组成多少个不同的一元二次方程 ？ （2）其中有实数根的有几个？
22.有划船运动员10人, 其中5人只会划右舷, 2人只会划左舷, 其 余3人会划左、右舷, 现从10人中选出6人, 平均分配到船两舷, 有多少种选法? 23.有6本不同的书 （1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ （2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ （3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分 堆方法？ （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少 不同的分配方法？ （5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆 方法？ （6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
29.六个球，投入四个盒子，各有多少种不同方法？ （1）球不同，盒不同; （2）球不同，盒不同，每盒不空; （3）球相同，盒不同; （4）球相同，盒不同，每盒不空; （5）球不同，盒相同，每盒不空; （6）球相同，盒相同，每盒不空;
排列组合综合应用题专题
排列组合综合应用题专题
排列组合是数学中的一个重要分支，常常用于计数。
在实际生活中，排列组合常常被用来解决各种问题。
下面介绍几个常见的应用案例。
1. 摆放位置问题
假设有10个人要坐在一排座位上，问有多少种不同的坐法？这
是一个典型的排列问题，因为这10个人的顺序不同，组合起来的结果
也就不同。
答案是10的阶乘，即10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3,628,800种。
2. 抽奖问题
假设有40个人参加了一次抽奖活动，每人只能中一次奖，问中
奖的人数有多少种可能性？这是一个组合问题，因为每个人是否中奖
并不影响其他人是否中奖。
答案是40个人中选取1个人中奖的方案数，即40种。
3. 球队比赛问题
假设有20支球队要进行比赛，每两支球队之间只能比赛一次，
问需要多少场比赛才能产生胜负？这是一个排列组合问题。
首先需要
从20支球队中选取两支进行比赛，共有C(20,2)种选法，即20 * 19
/ 2 = 190种。
然后每一场比赛都有胜负和平局三种可能性，因此总共需要190 * 3 = 570场比赛。
排列组合在实际生活中的应用非常广泛，以上只是其中的几个例子。
对于排列组合的掌握不仅能够帮助我们解决生活中的问题，也对
数学学习有很大帮助。
《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
排列组合应用题求解专题
有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种.
解：符合条件的要求着色至少
2
须要三种颜色，故可分为： 3
1
5
（1）使用三种颜色时，
4
A 2与4同色且3与5同色，共有 3 种方法 4
（2）使用四种颜色时，
A 若2与4同色，有
4 4
种方法；若3与5
同色，也有 A44 种方法
所以不同的着色方法共有 A43 2A44 72 种
(2)2张2一起出，3张A分两次出，有种 C32 A53 方法
(3)2张2一起出，3张A分三次出，有种 A54 方法
(4)2张2分开出，3张A一起出，有种 A53 方法
(5)2张2分开出，3张A分两次出，有 C32 A54 种方法.
(6) 2张2分开出，3张A分三次出，有 A55 种方法
因此，共有不同的出牌方法 A55 A52 A54 C32 A53 A53 C32 A54
7、全体学生手拉手站成一圈
7、机会均等法：七个人站成一圈，有七个
接点，从不同的接点剪开后得到的排列数就
是七人的全排 A77 ，而七个人站成一圈，只
有顺序之分，无位置之分，所以满足条件的
排法为 A77 种
7
练习
例题一、12个相同的小球放入编号为 1、 2、3、4的盒子中：
（1）、每个盒子中至少有一个小球的不同方 法有多少种？
法 能一 满样 足，条有件，C和53 种（放1）法的解法一样，有 C53
种放法
练习
例题一、 按以下要求分配6本不同的书, 各有几种分法？
(1) 平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2) 平均分成三份，每份2本；
(3)分成三份，一份一本，一份2本，一份3本；
排列组合试题及答案
排列组合试题及答案一、选择题1. 有5个人站成一排，其中甲乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？A. 120B. 240C. 480D. 720答案：B2. 从6个不同的球中选3个球排成一排，有多少种不同的排法？A. 20B. 30C. 60D. 120答案：C二、填空题1. 将5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，共有______种不同的放法。
答案：1502. 有4个不同的球和4个不同的盒子，每个盒子放一个球，共有______种不同的放法。
答案：4^4 = 256三、简答题1. 某班有50名学生，现在要选出5名学生代表参加学校活动，有多少种不同的选法？答案：从50名学生中选出5名学生代表，这是一个组合问题。
根据组合公式 C_n^m = n! / [m!(n-m)!]，其中 n=50, m=5，计算得 C_50^5 = 50! / [5!(50-5)!]。
2. 某公司有10名员工，需要选出3名员工组成一个团队，有多少种不同的团队组合？答案：这是另一个组合问题，根据组合公式 C_n^m = n! / [m!(n-m)!]，其中 n=10, m=3，计算得 C_10^3 = 10! / [3!(10-3)!]。
四、计算题1. 一个班级有30名学生，现在要选出一个由5名学生组成的委员会。
如果甲和乙两名学生必须同时被选中，那么有多少种不同的委员会组成方式？答案：首先，甲和乙两名学生已经被选中，剩下3个位置需要从28名学生中选出3名学生，这是一个组合问题。
根据组合公式，C_28^3 =28! / [3!(28-3)!]。
2. 有7个不同的字母，需要组成一个3个字母的单词，有多少种不同的单词可以组成？答案：组成一个3个字母的单词，这是一个排列问题。
根据排列公式P_n^m = n! / (n-m)!，其中 n=7, m=3，计算得 P_7^3 = 7! / (7-3)!。
五、应用题1. 某公司有5个部门，需要选出3个部门进行合作。
排列与组合的综合应用题
5．有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9，将其中任意三张并排放在一 起组成三位数，共可组成 432 个不同的三位数．
2．局局部步，整体分类以后，对每一类进行局局部 步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同 时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算结果时用 分步计数原理．
3．辩证地看待“元素〞与“位置〞．排列、组合问 题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些 事物看成元素或位置，要视具体情况而定．有时“ 元素选位置〞，问题解决得简捷；有时“位置选元 素〞，效果会更好．
【点评】本小题考查排列组合、计数原理等根底知
识以及分类讨论的数学思想．
排列组合问题的常见解法主要有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略； (2)合理分类与准确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难那么反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻问题插空处理的策略；
【点评】有关由假设干个数字组成满足某条件的数的
问题通常应用“特殊元素先排法〞或“减去法〞，思考
这类问题时应注意数字“0〞是否参与、组成的数是多
少位数、数字使用时是否可以重复这三个根本方面．
四、几何型排列组合问题 例 4(1)将一个四棱锥的每个顶点染上 1 种颜 色，并使同一条棱上的两端点异色，现共有 5 种颜 色可供使用，问共有多少种不同染色方法？
【点评】几何型排列组合问题需充分利用题设情 境相应的几何性质，利用分类整合的方法求解．
(完整版)排列组合练习题及答案.doc
《排列组合》一、排列与组合1.从 9 人中选派 2 人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从 9 人中选派 2 人参加文艺活动， 1 人下乡演出， 1 人在本地演出，有多少种不同选派方法？3.现从男、女 8 名学生干部中选出 2 名男同学和 1 名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有 90 种不同的方案，那么男、女同学的人数是A. 男同学 2 人，女同学 6 人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学 5 人，女同学 3 人D.男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有 m个车站，为了适应客运需要新增加 n 个车站（ n>1），则客运车票增加了 58 种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有A.12 个B.13个C.14个D.15个5．用 0，1，2，3，4， 5 这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数？（5）可以组成多少个大于 3000，小于 5421 的数字不重复的四位数？二、注意附加条件1.6 人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？（ 2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？2.由 1、2、3、4、5、6 六个数字可组成多少个无重复数字且是 6 的倍数的五位数？3.由数字 1，2，3，4，5，6，7 所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第 379 个数是A.3761B.4175C.5132D.61574.有号 1、2、3、4、5 的五个茶杯和号 1、2、3、4、5 的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的号相同的盖法有A.30 种B.31种C.32种D.36种5.从号 1，2，⋯， 10,11 的 11 个球中取 5 个，使 5 个球中既有号偶数的球又有号奇数的球，且它的号之和奇数，其取法数是A.230 种B.236种C.455种D.2640种6.从 6 双不同色的手套中任取 4 只，其中恰好有 1 双同色的取法有A.240 种B.180种C.120种D.60种7.用 0，1，2， 3，4， 5 六个数成没有重复数字的四位偶数，将些四位数从小到大排列起来，第 71 个数是。
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=…… 2. 规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列与组合的综合应用题
排列与组合的综合应用题（2）授课教师：黄冈中学高级教师汤彩仙一、知识概述例1、有13名医生，其中女医生6人．现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，设不同的选派方法种数为P，则下列等式：①②；③；④；其中能成为P 的算式有________．（填序号）答案：②③例2、袋中有3个不同的红球，4个不同的黄球，每次从中取出一球，直到把3个红球都取出为止，共有多少种不同的取法？解：＋＋＋＋=4110（种）．例3、某停车场有连成一排的9个停车位，现有5辆不同型号的车需要停放，按下列要求各有多少种停法？（1）5辆车停放的位置连在一起；（2）有且仅有两车连在一起；（3）为方便车辆进出，要求任何3辆车不能在一起.解：（1）（种）．（2）（种）．（3）要求任何3辆车不能连在一起，可以分成①5辆车均不相邻，②有且仅有两辆车相邻，③有2组2辆车相邻，三种情况．有．例4、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内：（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解：（1）．（2）．（3）（种）．法二：恰有两个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种；恰有三个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种；恰有五个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为1种；故至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投法数为例5、某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男女同学分别有多少人？解：设有男生x人，女生8－x人，（x∈N＋，且2≤x≤7）．则有，即x（x－1）（8－x）=60．∴x＝6或x＝5．∴男生6人，女生2人或男生5人，女生3人．例6、一栋7层的楼房备有电梯，现有A，B，C，D，E五人从一楼进电梯上楼，求：（1）有且仅有一人要上7楼，且A不在2楼下电梯的所有可能情况种数．（2）在（1）的条件下，一层只能下1个人，共有多少种情况？解：（1）分A上不上7楼两类A上7楼，有54种；A不上7楼，有4×4×53种．共有54＋4×4×53=2625种．（2）（种）．例7、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有__________种．（以数字作答）解：（种）．。
1.2.3排列组合综合应用问题
排列组合综合问题
例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (1)分为两组,一组7人,一组5人； (2)分为甲、乙两组,甲组7人,乙组5人；
把12 人分成两组,一组7人,一组5人与把12人分 成甲、乙两组,甲组7人,乙组5人,实质上是一样 的,都必须分成两步： 第一步:从12 人中选出7人组成一组(或甲组) 有C127种方法； 第二步:剩余的5人组成一组(或乙组) 有C55种方法. 所以总的分配种数为C127.C55种。 所以(1)、(2)分配种数都为C127.C55
有条件限制的组合问题
例4 已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}求含有5个元
素,且其中至少有两个是偶数的子集的个数. 法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： ①2个偶数,3个奇数；②3个偶数,2个奇数； ③4个偶数,1个奇数. 所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105(个) 法2：从反面考虑,全部子集个数为C95,而不 符合条件的有两类： ①5个都是奇数；②4 个奇数,1个偶数. 所以共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105
有条件限制的排列问题
例35个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (1)a,e必须排在首位或末位,有多少种排法？
分两步完成,把a,e排在首末两端有A22种， 再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种. 由乘法原理,共有A22. A33=12(种)排法. 点评：问题(1)是排列问题中某几个元素必须 “在”某些位置的问题,处理这类问题的原则 是：有条件限制的元素或位置优先考虑 .(优 限法)
排列组合综合问题
例2 求不同的排法种数. (3)4男4女排成一排,同性者相邻；
4男4女排成一列,同性者相邻,把4男、4女 捆绑成一个排列,然后同性者之间再全排列, 所以共有A22.A44.A44种——“捆绑法”
第六章 考点24 排列、组合的应用题
不满足限制条件的排列数
，
然后再从中减去
．
2．几种典型的排列问题及其处理方法 (1)元素相邻问题，一般用 捆绑法 ，即将必须相邻的元素“ 捆”在一起当作一个元素进行排列． (2)元素不相邻问题：一般用 插空法 ，即把可相邻的两个元 素之间各留出一个空位，将不能相邻的元素插入空位中进行排列 ．
3．组合问题 组合问题可分为两类：一类是不含限制条件的组合问题， 可直接利用公式求解；另一类是含有限制条件的组合问题．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【例2】现有0～9这十个数字． (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【思路点拨】 (1)①位置分析法：先确定千位上的数字，由 于千位数字不能为0，故有9种排法；再用剩余的9个数字排剩 余的三位数字，有 P93 种排法，由分步计数原理可得没有重复 数字的四位数的个数是 9P93 ．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【变式训练2】 (1)若用0～9这十个数字组成没有重复数字的三位数，则共 有 648 个； (2)若用0，1，2，3，4，5组成能被5整除且没有重复数字的三 位数，则共有 36 个．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
(1)【提示】∵首位选择的方法有9种，其他数位选择的方法有 P92 种，∴共有 9P92 ＝9×9×8＝648(个)． (2)【提示】N＝P52＋ P41P41 ＝36(个)．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
(3)①位置分析法：由于两端不能站女生，故两端只站男生，有 P32 种站法；剩余5名学生站5个位置，有 P55 种站法．由分步计 数原理可得，共有P32P55 种不同的站法． ②元素分析法：由于女生不能站两端，故4名女生只能站中间 的5个位置，有 P54 种站法；剩余3个位置站3名男生，有 P33 种站 法．由分步计数原理可得，共有P54 P33 种不同的站法．
排列组合应用题
排列组合应用题排列组合应用题 11.某铁路线共有14个客车站，这条铁路共需要多少种不同的车票？2.有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同信号，一共可以组成多少种不同信号？3.有五种颜色的小旗，任意取出三面排成一行表示各种信号。
问：共可以表示多少种不同的信号？4.(1)有五本不同的书，分别借给3名同学，每人借一本，有多少种不同的借法？(2)有三本不同的书，5名同学来借，每人最多借一本，借完为止，有多少种不同的借法？5.七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法：(1)七个人排成一排；(2)七个人排成一排，某人必须站在中间；(3)七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；(4)七个人排成一排，某两人必须站在两头；(5)七个人排成一排，某两人不能站在两头；(6)七个人排成两排，前排三人，后排四人；(7)七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排。
6.甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。
问：(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种？(2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？(3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？(4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？7.用0、1、2、3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？8.用数码0、1、2、3、4可以组成多少个(1)三位数；(2)没有重复数字的三位数；(3)没有重复数字的三位偶数；(4)小于1000的自然数；(5)小于1000的没有重复数字的自然数。
9.用数码0、1、2、3、4、5可以组成多少个(1)四位数；(2)没有重复数字的四位奇数；(3)没有重复数字的能被5整除的四位数；(4)没有重复数字的能被3整除的四位数；(5)没有重复数字的能被9整除的四位偶数；(6)能被5整除的四位数；(7)能被4整除的四位数。
10.从1、3、5中任取两个数字，从2、4、6中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有多少个？11.从1、3、5中任取两个数字，从0、2、4中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有多少个？12.从数字1、3、5、7、9中任选三个，从0、2、4、6、8中任选两个，可以组成多少个(1)没有重复数字的五位数；(2)没有重复数字的五位偶数；(3)没有重复数字的能被4整除的五位数。
高二数学排列组合综合应用试题
高二数学排列组合综合应用试题1.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法．（用数字作答）【答案】1260【解析】9个求排成一列，相当于排队，从9个位置选2个排红球，共有种，从剩余7个选3个排黄球，共有，剩余4个位置排白球，因此共有.【考点】排列问题2.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲、乙相邻；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．【答案】(1)24;(2)48;(3)78;(4)36【解析】（1）特殊元素(位置)法:首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种共有24种;(2)捆绑法:把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种;(3)对立法:甲在排头和乙在排尾的各种,其中甲在排头且乙在排尾的有种,五个人站成一排的不同排法数是种,所以甲不在排头，并且乙不在排尾的有种;(4)插空法:先将其余3个全排列种，再将甲、乙插入4个空位种，所以，一共有种不同排法.试题解析：（1）特殊元素是甲,特殊位置是排头;首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种,所以共有：种把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：种；先将其余3个全排列,再将甲、乙插入4个空位，所以，一共有种不同排法.【考点】排列组合3.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．（1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？【答案】（1）70种；（2）59种．【解析】（1）由题意可分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理，问题得以解决．（2）由题意可分三类，第一类，选国画和油画，第二类，选国画和水彩画，第三类，选油画和水彩画，根据分类计数原理，问题得以解决．试题解析：（1）分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理得，共有5×2×7=70种．（2）分三类，第一类，选国画和油画共有5×2=10种，第二类，选国画和水彩画共有5×7=35种，第三类，选油画和水彩画共有2×7=14种，根据分类计数原理共有10+25+14=59种．【考点】分类和分步计数原理．4.有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．【答案】（1）1260（2）7560（3）1680【解析】（1）分步：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；（2）分两步完成：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学；（3）平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学．试题解析：(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有种方法；第三步：把剩下的书给丙有种方法，∴共有不同的分法有 (种)．(2)分两步完成：第一步：将4本、3本、2本分成三组有种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有种方法，∴共有＝7560(种)．(3)用与(1)相同的方法求解，得＝1680(种)．【考点】排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．5.设全集I=｛1，2，3，4，5，6｝，集合A，B都是I的子集，若A B=｛1，3，5｝，则称A，B为“理想配集”，记作（A，B），问这样的“理想配集”（A，B）共有（）A．7个 B．8个 C．27个 D．28个【答案】C【解析】由于交集是1,3,5，所以A,B集合中都必有1,3,5；分情况讨论：1）当A有3个元素，那么B有种选择；2）当A有4个元素，那么A要从1，3，5外再挑一个，有3种，这时B 有种选择，总共有种；3）当A有5个元素，那么A从1，3，5之外再挑两个，有3种，这时B有种选择，总共有种；4）当A有6个元素，B只有唯一一种可能；由分类计数原理得共有：8+12+6+1=27种；故选Ｃ．【考点】分类计数原理．6.将排成一排，要求在排列中，顺序为“”或“”（可以不相邻），这样的排法有种.【答案】【解析】将排成一排，共有排列的种数为，若按的顺序可分为六类，即（可以不相邻），而每类的排列数是一样的均为种，所以顺序为“”或“”（可以不相邻），这样的排法有种，注意等可能方法的使用.【考点】有限制条件的排列计数问题.7. A、B、C、D、E五人并排站成一排，若A，B必须相邻，且B在A的左边，那么不同的排法共种.【答案】24【解析】将A，B看成一个人，和其他三人一起作全排列，又B在A的左边，故有不同的排法共有：种，故应填入：24．【考点】排列与组合．8.（12分）3名教师与4名学生排成一横排照相，求:（1）3名教师必须排在一起的不同排法有多少种？（2）3名教师必须在中间（在3、4、5位置上）的不同排法有多少种？（3）3名教师不能相邻的不同排法有多少种？【答案】（1）; （2）; （3）.【解析】（1）捆绑法，将3名教师作为一整体与4名学生全排列有种，3名教师各自排列有，分步乘法原理；（2）3名教师排法有，4个学生在4个位子上全排列共有种，分步乘法原理；（3）插空法，4名学生共有种，形成5个空位由3个老师排列有种，再用分步乘法原理.解：（1）3名教师的排法有，把3名教师作为一个整体与4个学生共5个元素的全排列共有种，则共有（种） 4分（2）3名教师的排法有， 4个学生在4个位子上的全排列共有种，则共有（种）---8分（3） 12分【考点】1.分步乘法原理；2.排列组合.9.用四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为,则= 。
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(2)以位置为分析对象，即先满足特殊位置 的要求，再考虑其他位置，即优位法．这 两种方法都是直接法；
(3)先不考虑附加条件，计算出所有排列数 或组合数，再减去不符合要求的排列数或 组合数，即间接法．
二、解决排列与组合应用题常用的方法有：
同理 2、3、4、5、6 每一个数在千、百、十和 个位上出现的四位数的个数都是 A35.
于是这个数列各项的和是： (1＋2＋3＋4＋5＋6)×(103＋102＋10＋1)·A35 ＝21×1111×60＝1399860.
【点评】有关由若干个数字组成满足某条件的数的问
题通常应用“特殊元素先排法”或“减去法”，思考
3．5 本不同的书，全部分给四名学生，每人至 少一本，不同分法的种数为( B )
A．480 B．240 C．120 D．6
【解析】先将 5 本书分成 4 组，有 C25种方法， 再将 4 组书分给 4 名同学有 A44种，由分步计数原理 共 C25A44＝240 种．
4．过三棱柱任意两个顶点的直线共有 15 条， 以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥共有 12 个，过 三棱柱任两个顶点的异面直线共有 36 对．
瓜必须种植，不同的种植方法共有( B )
A．24 种
B．18 种
C．12 种
D．6 种
【解析】先选后排，共 C23A33＝18 种．
2．从 A、B、C、D、E 五名学生中选出四名学
生参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中 A 不参
加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( D )
A．24
B．48
C．120
这类问题时应注意数字“0”是否参与、组成的数是多
少位数、数字使用时是否可以重复这三个基本方面．
【点评】几何型排列组合问题需充分利用题设情 境相应的几何性质，利用分类整合的方法求解．
五、创新型排列组合问题
例 5(1)一个五位数 abcde，当且仅当它满足
a<b<c，c>d>e 时，称为凸数，则所有的五位数中凸
第47讲 排列与组合的综合应用题
【学习目标】
1．进一步理解排列、组合的概念，了解计数原理 的思想，熟练掌握排列、组合计算公式．
2．提升综合应用排列，组合的知识解决一些简单 的应用问题的思维能力和分类讨论的数学思想．
【基础检测】
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜中选
出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄
【解析】两点确定一条直线，共 C26＝15 条； 不在同一平面内的四个点确定一个三棱锥，由排除 法得 C46－3＝12 个三棱锥；每个三棱锥可确定三对 异面直线，故有 12×3＝36 对异面直线．
5．有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9，将其中任意三张并排放在一 起组成三位数，共可组成 432 个不同的三位数．
【解析】解法一(间接法)：任取三张卡片可以 组成不同的三位数 C35·23·A33(个)，其中 0 在百位的有 C24·22·A22(个)，这是不符合题意的，故共有不同的三 位数：C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．
【知识要点】
一、求解排列与组合的综合应用题，通常 有三条途径：
【点评】综合应用排列与组合知识求解的问题的 策略通常是“先选后排”和“边选边排”两种方 法．
三、数字排列问题 例3用数字1、2、3、4、5、6组成无重复数字的四 位数，然后把它们由小到大排成一个数列． (1)这数列的第200项是多少？ (2)求这个数列各项的和．
(2)数 1 出现在千位上的四位数的个数为 A35，出 现在百位上的四位数的个数为 A35，出现在十位和个 位上的四位数的个数都应该是 A35.
2．像问题(3)某人得几本是不定的，应先分组再分 配，分两步完成．
【解析】(1)先取后排，先取有 C35C23＋C45C13种， 后排有 A55种，共(C35C23＋C45C13)A55＝5400(种)．
(2)先取后排，但先安排该男生，有 C47C14A44＝ 3360(种)．
(3)先从除去该男生和该女生的 6 人中选 3 人有 C36种．再安排该男生有 C13种，其余 3 人全排列有 A33种，共有 C36C13A33＝360(种)．
直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分 析法与位置分析法；插空法与捆绑法等．
三、解答组合应用题的总体思路为：
1．整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的 并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任何两类的交 集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时用分 类计数原理．
2．局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分 步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同 时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算结果时用 分步计数原理．
(3)如果一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多 少种分法？
(4)如果一人4本，其余两人各1本，有多少种分法？
【 点 评 】1. 平 均 分 组 问 题 应 防 止 重 复 的 情 况 ． 如 {1,2}，{3,4}，{5,6}与{1,2}，{5,6}，{3,4}是同一分 组，但每组取出的先后顺序不同. 一般地，把n本不 同的书平均分成m堆的分法等于取法与m！的商．
D．72
【解析】解法一：特殊位置法：第一步：从除
A 外的 4 人中选 2 人参加理、化竞赛，有 A24种选法； 第二步：从剩余 3 人中选 2 人参加数、英竞赛，有
A23种选法，共 A24·A23＝72 种． 解法二：特殊元素法：分选 A 及不选 A 两种，
共 C34·C12A33＋A44＝72 种． 解法三：排除法：A45－C12A34＝120－48＝72 种．
3．辩证地看待“元素”与“位置”．排列、组合 问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪 些事物看成元素或位置，要视具体情况而定．有 时“元素选位置”，问题解决得简捷；有时“位 置选元素”，效果会更好．
一、分组分配问题
例1有不同的6本书分别给甲、乙、丙三人． (1)如果每人得2本，有多少种方法？ (2)如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分 法？