常见数列通项公式的求法(超好)

常见数列通项公式的求法
1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2
55a S =．求数
列{}n a 的通项公式.n a n 5
3=
2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=L ）求n a ，用作差法：{
11,(1)
,(2)n n n S n a S S n -==
-≥。

例2：已知数列}{n a 的前n 项和s n ，12-=n s n 求}{n a 的通项公式。

解：（1）当n=1时，011
==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n
由于1a 不适合于此等式 。

∴⎩⎨⎧≥-==)
2(12)1(0
n n n a n
练习：数列{a n }满足a n =5S n －3，求a n 。

答案：a n =34 （－14
）n-1
3.累加法：
若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥。

例3：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。

（2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+1
2n （n ≥2），求a n 。

解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1 则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1
=（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1
=3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1 =3×（n+2）（n －1）2
－2n+3=3n 2－n
2 （2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=1
2n = a n －a n －1
则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =12n +12n －1 +12
n －2 +…+122 +1=12 －12n
练习：已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211
，求n a 。

答案：n a n 1-23=
4.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121
n n n n n a a a
a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥。

例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得
1
1+=+n n
a a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a
=n n n 114
33221=-⋅⋅Λ所以n a n 1=
练习： 已知数列{}n a 中，
3
1
1=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

答案：.)
1-2(12(1
n n a n
+=
5.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

（1）形如1n n a ka b -=+、1n
n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

①1n n a ka b -=+解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .
②1n n n a ka b -=+解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q ，得：q
q a q p q a n n n n
111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n
n n q
a b =），得：q b q p b n n 1
1+=+再应用1n n a ka b -=+的方法解决.。

例6. 已知数列{}n a 中，651=
a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以1
2+n 得：1)2(3
2211+•=•++n n n n a a
令n n
n a b •=2，则1321+=+n n b b ,应用例7解法得：n n b )3
2(23-=
所以n
n n
n n b a )31(2)21(32
-== 练一练①已知111,32n n a a a -==+，求n a ；②已知111,32n
n n a a a -==+，求n a ；
（2）形如1
1n n n a a ka b
--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

例7：1,13111=+⋅=
--a a a a n n n 解：取倒数：1
111
3131---+=+⋅=n n n n a a a a
⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧∴n a 1是等差数列，3)1(111⋅-+=n a a n 3)1(1⋅-+=n 231
-=⇒n a n 练习： 已知数列｛n a ｝中11=a 且1
1+=+n n
n a a a （N n ∈），
，求数列的通项公式。

常见数列求和公式及应用
1、公式求和法
⑴等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
⑵等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前n 项和公式.正整数和公式有：
1
(1)
2
n
k n n k =+=
∑；21
(1)(21)
6
n
k n n n k =++=
∑；
3
21
(1)[
]2
n
k n n k
=+=∑
例1：已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 ＝x x x n --1)1(＝
2
11)211(21--n ＝1－n 21 2、倒序相加法
121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫
⎬=++++⎭
…………则()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……
例2：已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解：∵由2
222222
111()111111x x x f x f x x x x
x ⎛⎫
⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
式1111
1(1)(2)(3)(4)1113
23422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎣⎦⎣⎦ 变式训练：如已知函数f(x)对任意x ∈R 都有21)1()(=-+x f x f ，++=)1
()0(n
f f S n
)3()2(n f n f ++…)1()2(n
n f n n f -+-+)1(f + ，（*N n ∈），求n S 3、裂项相消法
一些常见的裂项方法：
⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-12112121)12)(12(1n n n n ；
1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++11
1
；
例3： 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1
,,321,211n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=
111
则 1
1
321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n
＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n 练习：已知1
1211++⋅⋅⋅++++=
n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
4、错位相减法设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。

例4：求231
1234n n S x x x nx -=+++++……
例5：设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4
2
12211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，
，
解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．
（Ⅱ）
121
2n n n a n b --=．122135232112222
n n n n n S ----=+++++L ，① 3252321
223222
n n n n n S ----=+++++L ，②
②－①得22122221
222222
n n n n S ---=+++++-L
221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭L 111
1212221212
n n n ---
-=+⨯
--12362n n -+=-． 练习：3.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和.
小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个等式相减；
③利用等比数列的前n 项和的公式求和. 5、分组求和法
例6、已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n
n 求数列{}n a 的前n 项和.
()()()
132********-+++++=++=n a a a S n n n ΛΛ
=()()[].13522222
1
-++++++n n
ΛΛ=()
()[]2
13221212-++--n n n =.22
123221
-+++n n n
练习：求和：2536+47++(+3)n n ⨯+⨯⨯……。