线性规划中的最优整数解

线性规划中的最优整数解

线性规划中的最优解，就是在线性约束条件下使目标函数取得最大值或最小值的可行

解，而求最优整数解，是同学们的棘手问题，下面以例题的形式讲讲如何求最优解。

例. 某人承揽了一项业务：需做文字标牌6个，绘画标牌5个。现有两种规格的原料，

甲种规格每张32m ，可做文字标牌1个、绘画标牌2个；乙种规格每张22m ，可做文字标

牌2个、绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使总的用料面积最小？最小用料

面积是多少？

分析：将已知数据列成如下所示的表格：

解法一：设甲种规格的原料用x 张，乙种规格的原料用y 张，总的用料面积为z 2m ,则

z=3x+2y

x+2y ≥6

2x+y ≥5

x ≥0

y ≥0

其可行域如图所示：

解方程组

x+2y=6

2x+y=5

得M 的坐标为47

(,)33

当直线z=3x+2y过点M

47

(,)

33

时z最小，此时

4726

32

333

z=⨯+⨯=

由题意可知，点M

47

(,)

33

不是最优解，因为此问题最优解(x,y)中x，y应都是非负

整数，所以目标函数z的最小值一定是大于26

3

的整数，且x，y都是非负整数。取z=9,得

3x+2y=9，其非负整数解是（1，3）和（3，0），但点（3，0）不在可行域内，舍去，所以

点（1，3）是最优解，

min 9

z=

解法二：由解法一可知，点M

47

(,)

33

不是最优解，这时可求出可行域内左下侧靠近

边界的整点，依次为A（0，5），B（1，3），C（2，2），D（3，2），E（4，1），F（5，1），G（6，0），将这些点的坐标分别代入目标函数z=3x+2y，求出z的各对应值，经检验可知，在整点B（1，3）处z取得最小值9。

答：甲种规格的原料用1张，乙种规格的原料用3张时，总的用料面积最小，其最小用料面积为92

m。

对于线性规划中的最优整数解问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可采用如下的方法：

1.调整优值法：先求“非整点最优解”及“最优值”，根据题意调整“最优值”，再求目标函数中的整数解，便可得出最优整数解。课本人教A版必修5第89页例6求最优整数解用的就是这种调整优值法。

2.代入验证法：在可行域内求出与“边界”（求得非整点最优解的两条直线）靠近的所有整点，代入目标函数，再进行比较就可得出最优整数解。