泰勒公式6-3(数分教案)

f (x)在x 0处除f (0) 0外不存在任何阶导数.
无法构造出高于一次的泰勒多项式.
但是,lim x0
f (x) xn
lim xD(x) x0
0,
即 f (x) o xn
取 pn (x) 0 0 x 0 x2 0 xn 0,
有 f (x) pn (x) o (x x0 )n , n N
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
0
得
ak
1 k!
f (k)( x0 )
(k 0,1,2,, n)
代入Pn ( x)中得
Pn (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
(3) 若f (x)在点x0附近满足f (x) pn (x) o (x x0 )n
其中pn (x)为n次多项式 : pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则pn ( x)未必是n阶泰勒多项式.例如: f (x) xn1D(x), n N , 其中D(x)为狄利克雷函数.
0 a0 an
f(
x0 ) a1
f (n) ( x0 )
n!
hn
f (x0 )
o hn
h
a2
f
(x0 ) 2!
(
x0
)
0
反复使用柯西定理,知 : x a时 :
Rn (x) (x x0 )n
Rn (x) Rn (x0 ) ( x x0 )n (x0 x0 )n
Rn (c1 ) n(c1 x0 )n1
Rn(c2 ) n(n 1)(c2 x0 )n2
...
Rn(n1) (cn1 ) n(n 1)...2(cn1 x0 )
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
例如, 当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
（如下图）
y ex
y ex
y x
y 1 x
o
y ln(1 x)
o
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计。
问题: 寻找函数P( x),使得 f ( x) P( x) 误差 R( x) f ( x) P( x) 可估计
§6.3 泰勒公式
• 一、问题的提出 • 二. 泰勒(Taylor)公式 • 三、简单的应用 • 四、小结
一、问题的提出
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f (x) f (x0 )
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
)
(x
x0
)n
(1)
称为函数f 在点x0处的泰勒(Taylor)多项式,
Pn (x)的各项系数
f
(k ) ( x0 ) (k k!
1, 2,..., n)称为泰勒系数.
下面要证f (x) Pn (x) o((x x0 )n ),即泰勒多项式
逼近f (x)时,其误差为(x x0 )n的高阶无穷小量.
f (x0 h)
f (x0 )
f (x0 )h
f (x0 ) h2 2!
f (n) ( x0 ) hn n!
(2)泰勒公式中,取x0 0时,有 :
ohn
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn o xn
2!
n!
此式称为带Peano余项麦克劳林公式.
设函数 f ( x)在含有 x0的开区间(a, b) 内具有直到 (n 1)阶导数,P( x) 为多项式函数 Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
Pn和 Rn的确定
分析:
1.若在 x0 点相交
xx0 ( x x0 )n
定理中(2)式称为函数f 在点x0处的泰勒公式, Rn (x) f (x) Pn (x)称为泰勒公式的余项,
形如o (x x0 )n 的余项称为皮亚诺Peano余项,
(2)式又称为带皮亚诺余项的泰勒公式.
注意 : (1)泰勒公式中如记x x0 h,则泰勒公式表为
其中a cn-1 cn-2 ... c2 c1 x
故 lim Rn ( x) lim Rn(n1) (cn1) Rn(n) ( x0 ) 0,
xx0 ( x x0 )n cn1x0 n!(cn1 x0 )
n!
同理证 lim Rn (x) 0, 故 lim Rn (x) 0
xx0 ( x x0 )n
y
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
y f (x)
x
假设 Pn(k)源自文库( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
a f ( x ),
(x
x0 )n
o
( x x0 )n
(2)
证明:即证 lim Rn (x) xx0 ( x x0 )n
0,其中Rn (x)
f (x) Pn (x)
由已知, Rn ( x)在x0的邻近具有直到n 1阶导数,
且f (n) (x0 )存在.
易验证 :
Rn
( x0
)
Rn(
x0
)
...
R (n) n
(4) 满足f (x) pn (x) o (x x0 )n
的n次逼近多项式pn (x)是唯一的.事实上,
设f (x0 h) a0 a1h a2h2 anhn o hn
f (x0 h) f (x0 ) f (x0 )h
f (n) ( x0 ) hn o hn n!
二. 泰勒(Taylor)公式
• 1.具Peano余项的泰勒公式
定理 6.1 如果函数 f ( x)在点 x0存在直至n阶导
数,则有 f (x) Pn (x) o (x x0 )n
即 f (x)
f (x0 )
f (x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 ) n!