泰勒公式6-3(数分教案)
泰勒定理教案
泰勒定理教案教案标题：探索泰勒定理教案目标：1.了解泰勒定理的概念和应用领域。
2.掌握使用泰勒定理进行函数近似的方法。
3.能够应用泰勒定理解决实际问题。
教案步骤：引入：1.通过引用实际生活中的例子，如使用泰勒定理来近似计算复杂函数值，激发学生对泰勒定理的兴趣和好奇心。
知识讲解：2.简要介绍泰勒定理的背景和定义，解释泰勒级数展开的概念。
3.讲解泰勒定理的公式和推导过程，包括一阶泰勒展开和高阶泰勒展开。
4.讲解泰勒展开的误差估计方法，如拉格朗日余项公式。
示例演练：5.通过具体的数学函数例子，如正弦函数或指数函数，展示如何使用泰勒定理进行近似计算，并与实际值进行比较。
6.引导学生在小组中尝试使用泰勒定理解决其他函数的近似计算问题，并进行讨论和分享。
拓展应用：7.引导学生思考泰勒定理在实际问题中的应用，如物理学、工程学等领域中的近似计算问题。
8.提供一些相关的应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。
总结回顾：9.对泰勒定理的概念、公式和应用进行总结回顾，并强调其重要性和实用性。
10.鼓励学生在日常学习和实践中继续应用泰勒定理，加深对其理解和掌握。
评估：11.设计一些练习题或小组活动，检验学生对泰勒定理的理解和应用能力。
12.根据学生的表现评估他们的学习成果，并提供个别指导和反馈。
扩展：13.对于学习较快的学生，提供更高阶的泰勒展开知识，或引导他们探究其他相关的数学定理。
14.对于学习较慢的学生，提供更多的例子和练习，帮助他们巩固基本概念和运用能力。
注：根据具体教育阶段和学生能力，教案的详细内容和深度可以进行适当调整。
数学分析-Taylor公式与科学计算PPT课件
03 Taylor公式在科学计算中 的应用
多项式逼近
多项式逼近
利用Taylor公式，可以将复杂的函数展开 为多项式形式，从而实现对复杂函数的 近似计算。这种多项式逼近方法在数值 分析和科学计算中具有广泛的应用。
VS
逼近精度
通过选择合适的阶数和节点，可以控制多 项式逼近的精度。高阶多项式逼近能够更 好地逼近函数，但同时也需要更多的计算 资源和时间。
总结词
通过Taylor展开，可以将微分方程转化为差分方程，从 而简化求解过程。
详细描述
在求解微分方程时，有时可以利用Taylor展开将微分方 程转化为差分方程，从而简化求解过程。这种方法在数 值分析中有着广泛的应用，尤其在处理偏微分方程时非 常有效。
05 结论
Taylor公式的意义与价值
1 2
精确近似
数学分析-Taylor公式与科学计算 PPT课件
目录
• 引言 • Taylor公式简介 • Taylor公式在科学计算中的应用 • 实例演示 • 结论
01 引言
主题简介
数学分析
数学分析是研究函数的极限、连 续性、可微性、可积性和实数完 备性的学科，是数学专业的重要
基础课程之一。
Taylor公式
算过程。
求解微分方程
要点一
初值问题
在求解微分方程时，可以利用Taylor公式对微分方程进行 离散化，从而转化为数值求解问题。通过选择合适的步长 和阶数，可以控制数值解的精度和稳定性。
要点二
边值问题
对于微分方程的边值问题，可以利用Taylor公式将问题转 化为有限元方法或边界元方法等数值方法进行求解。这种 方法在科学计算和工程领域中具有广泛的应用。
02 Taylor公式简介
高等数学(第二版)上册课件：泰勒公式
分析
近 1.若在 x0点相交
似 程
Pn (x) f (x0)
度 越
2.若有相同的切线
来
越 好
Pn' (x) f ' (x0)
3.若弯曲方向相同
Pn'' (x) f '' (x0 )
y
y f (x)
0 x0
x
（1） 求 n 次近似多项式
Pn (x0) f (x0)
p'n (x0 )
f
' n
所以
f (x) 8 10(x 1) 9(x 1)2 6(x 1)3 (x 1)4
【例3.3.4】 求 f (x) ex2 的带有佩亚诺余项麦克劳林展开式
解
因为 ex 1 x x2 xn o(xn1)
2!
n!
用 x2代替公式中的 x，即得
ex2 1 x2 x4 x2n o(x2n2 )
2!
n!
【例3.3.1】 求 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式
解 由于 f ' (x) f ''(x) f (n) (x) ex，
所以 f '(0) f ''(0) f (n) (0) 1 ，
取拉格朗日余项，得麦克劳林展开式为
ex 1 x x2 xn e x xn1
则误差 R(x)= f (x) P(x)
设函数 f (x)在含有 x0 的开区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数，P(x) 为
多项式函数
pn(x)
a 1
(x
x0
)
a2
(x
x0
)2
an(x x0)n
6-3 数学分析全套课件
(2m 1)!
3. cos x 1 x2 L (1)m x2m o( x2m1);
2!
(2m)!
4. ln(1 x) x x2 x3 L (1)n1 xn o( xn );
23
n
5. (1 x) 1 x ( 1) x2 L
2!
( 1) ( n 1) xn o( xn );
1!
2!
f (n)(0) xn f (n1)( x) xn1 .
(6)
n!
(n 1)!
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常见函数的麦克劳林公式
(i) ex 1 x x2 L xn e x xn1,
2!
n! (n 1)!
( 0 1 , x (,) ).
(ii) sin xx x3 L (1)m1 x2m1
f ( x) Tn( x)
f (n1)( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1
为 f (x) 在点 x0 的 n 阶拉格朗日型余项。或
Rn (x)
f
( n 1)
(x0 (x
(n 1)!
x0
))
(x
x0 )n1
(0
1)
当 x0 0 时, 公式 (5) 成为
f ( x) f (0) f (0) x f (0) x2 L
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
求 0.99 的近似值 缺点：精度不够，误差无法估计 希望：用 a0 a1(x x0 ) L an (x x0 )n 代 f (x) ai ? 例 f (x) x3 3x 2 ，把 f (x)表成关于 x 1的多项式
pn (x) 为 n 次多项式 pn (x) a0 a1(x x0 ) L an (x x0 )n
多元函数泰勒公式教学案例
多元函数泰勒公式教学案例一、教学目标1. 掌握多元函数泰勒公式的概念和推导方法；2. 能够灵活应用泰勒公式进行多元函数的近似计算；3. 培养学生分析和解决问题的能力。
二、教学内容多元函数泰勒公式是在单变量函数泰勒公式的基础上推广而来的，它是一种将多元函数在某点展开为幂级数的方法，也是数学分析和数学建模中常用的近似计算方法之一。
本课将主要围绕多元函数泰勒公式的概念、推导与应用展开教学。
三、教学过程1. 导入：通过实际问题引入多元函数泰勒公式的概念和应用，激发学生的学习兴趣。
例：已知函数f(x,y)在点(x0,y0)处具有连续的二阶偏导数，求f(x0+Δx,y0+Δy)的近似值。
2. 概念讲解：介绍多元函数的梯度、Hessian矩阵、泰勒公式的概念及推导方法。
3. 示范演示：通过具体的例子演示多元函数的泰勒展开过程，让学生感受到泰勒公式的实际应用价值。
4. 理论深化：对多元函数泰勒公式的推导进行深化解释，引导学生深入理解泰勒公式的本质和原理。
5. 案例演练：设计一些综合性的多元函数泰勒公式应用案例，让学生进行实际操作练习，巩固所学知识。
6. 提高应用能力：引导学生分析实际问题，利用泰勒公式进行多元函数的近似计算，培养学生的问题分析和解决能力。
四、教学方法2. 启发式教学：通过引入实际问题，培养学生发散性思维，激发对数学知识的兴趣。
3. 案例分析：设计多种具体案例，让学生灵活运用泰勒公式进行近似计算，提高应用能力。
五、教学手段1. 多媒体教学：通过PPT、视频等多媒体手段展示多元函数泰勒公式的相关内容，加强对学生的直观教学。
2. 板书讲解：重点内容通过板书呈现，方便学生随时温习、整理思路。
3. 计算机辅助教学：利用数学软件进行多元函数泰勒公式的计算演示，加深学生对知识点的理解。
六、教学反馈1. 课堂练习：设置一些课堂练习，检验学生对多元函数泰勒公式的掌握程度。
七、教学评价采用多元函数泰勒公式教学案例，通过案例演示和实例训练的方式，可以提高学生的理论学习效果和应用能力，引导学生将理论知识应用到实际问题中去解决。
泰勒公式课件(修正)资料
Rn ( x0 x0 )n
) 0
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与1 之间)
(n
Rn(n)(n ) 1)2(n
Rn(n)( x0 ) x0 ) 0
Rn(n1)( )
(n 1) !
( 在 x0 与xn 之间),
便可得到麦克劳林（ Maclaurin ）公式：
f (0) f (0)x f (0) x2 2!
f (n)(0) xn n!
由此得近似公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
几个初等函数的麦克劳林公式：
(
x
1)n1
,
在 1与x之间.
注 1 泰勒公式的余项估计
用pn( x)代替f ( x)的误差为 Rn( x) f ( x) pn( x)
Rn( x)
f (n1)( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间).
当在 x0 的某邻域内 f (n1)( x) M(常数) 时 , 有
第三节
第三章
泰勒公式
一、泰勒（Taylor）公式 二 、麦克劳林（Maclaurin）公式
三 、泰勒公式的应用
一、泰勒(Taylor)公式
1. 泰勒公式的建立 回顾：设 f (x)在 x0 处可导，则
x 的一次 多项式
y
y f (x)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
pn(x) 的确定: pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n,
数学分析1教案泰勒公式
数学分析1教案泰勒公式§3.泰勒公式[教学目的]掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。
[教学要求]（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。
（3）会用带Taylor 型余项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限。
[教学重点]Taylor 公式[教学难点]Taylor 定理的证明及应用。
[教学方法]系统讲授法。
[教学程序]引言不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。
一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点0x可导，则有有限存在公式；0000((((0。
fxfxfxxxxx'=+-+-即在0x附近，用一次多项式1000((((pxfxfxxx'=+-逼近函数f(x)时，其误差为00(xx-。
然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00(xx-，其中n为多项式次数。
为此，有如下的n次多项式：0100(((nnnpxaaxxaxx=+-++-易见：00(napx=，01(1!npxa'=，02(2!npxa''=，…，(0(!nnnpxan=（多项式的系数由其各阶导数在0x的取值唯一确定）。
对于一般的函数，设它在0x点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下：(00000((((((1!!nnnfxfxTxfxxxxxn'=+-++-称为函数f在点0x处泰勒多项式，(nTx的各项函数，(0(!kfxk（k＝1,2,…,n）称为泰勒系数。
多元函数泰勒公式教学案例
多元函数泰勒公式教学案例1. 引言1.1 引言介绍多元函数泰勒公式是微积分中的重要内容，它能够帮助我们近似表示复杂的多元函数。
通过泰勒公式的学习，我们可以更深入地理解多元函数的性质和变化规律。
本教学案例旨在帮助学生掌握泰勒公式的基本原理和应用方法，提高他们在多元函数求导和近似计算方面的能力。
在本教学案例中，我们将首先介绍泰勒公式的概述，包括其在多元函数中的作用和意义。
接着我们将详细讲解泰勒公式的原理，帮助学生理解该公式的推导过程及其在多元函数中的应用场景。
随后，我们将通过具体的实例来展示泰勒公式在实际问题中的应用，让学生更好地掌握其具体操作方法。
通过本教学案例的学习，希望学生能够加深对多元函数泰勒公式的理解，提高其在实际问题中的应用能力，为将来深入学习微积分和相关领域打下坚实的基础。
1.2 教学目的教学目的是通过本教学案例，让学生深入了解多元函数泰勒公式的概念、原理和应用，并掌握其具体的计算方法和技巧。
通过本案例的教学，希望能够培养学生的数学思维和计算能力，提高他们对多元函数泰勒公式的理解和运用能力。
教学目的还包括引导学生建立正确的数学学习方法和思维方式，激发他们对数学的兴趣和热情，培养他们解决实际问题的能力和创新思维。
通过本教学案例，希望能够激发学生对数学研究和应用的兴趣，为他们未来的学习和工作打下良好的基础。
1.3 教学对象教学对象指的是本次课程中的学习者，可以是大学生、研究生，也可以是对多元函数泰勒公式感兴趣的其他人群。
他们可能具有不同的数学基础知识和学习背景，有的可能已经学过相关知识，有的可能是初次接触。
在教学过程中，需要根据学习者的不同特点和需求来设计教学内容和教学方法，使得每位学习者都能够理解和掌握多元函数泰勒公式的原理和应用。
为了更好地满足不同学习者的学习需求，本教学案例将采用多种教学方法，如讲授、示范、实例分析等，以激发学习者的兴趣，提高他们的学习积极性。
教学案例将设置不同的教学步骤，让学习者逐步学习和掌握多元函数泰勒公式的相关知识，从而提升他们的学习效果和能力。
高中数学(人教版)泰勒公式课件PPT课件演示文稿
第22页，共27页。
例1 计算无理数 的近似值,使其误差不超过
例2 在区间
上用近似公式
计算Байду номын сангаас
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
A可取多大？ (1)
y
x
x3 3!
4 yx
2
y
x
x3 3!
x5 5!
(2)
6 4 2 024 6
(3)
2
4
第23页，共27页。
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限 (三) 其它应用
x0 )n2
用 洛 必 达
Rn( x0 ) 0
lim
R(n1) n
(
x)
xx0 n!( x x0 )
法
则
R(n1) n
(
x0
)
0
1 lim
n! x x0
R(n1) n
(
x)
R(n1) n
(
x0
)
x x0
1 n!
R(n) n
(
x0
)
0
第7页，共27页。
➢ 泰勒(Taylor)中值定理1
如果函数
(1在x0与x 之间)
用 柯
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
西 中 值
( 2在x0与1之间)
定 理
R(n) n
(n
)
Rn( n )
(
x0
)
(n 1)2(n x0 ) 0
R(n1) n
(
)
(n 1) !
课堂讲义配套课件：6-3(2)
规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题
时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆
项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬
提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的 项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的 式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，
从而达到利用假设的目的．
跟 踪 演 练 2 用 数 学 归 纳 法 证 明 62n － 1 ＋
等差数列，bn，an＋1，bn＋1 成等比数列{n∈N*}． (1)求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公 式，并证明你的结论； (2)证明：a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn＜152.
(1)解 由条件得 2bn＝an＋an＋1， a2n＋1＝bnbn＋1. 由此可以得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立．
即 f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k ＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1) ＝12(k＋1)[(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)，(2)可知，对任意 n∈N*(n≥2)命题都成立．
要点四 归纳—猜想—证明 例 4 在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn，an＋1 成
证明 ①当 n＝3 时，12n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对 角线，故结论正确． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时结论正确， 即凸 k 边形的对角线有12k(k－3)条，
当 n＝k＋1 时，凸(k＋1)边形是在 k 边形基础上增加了一边，增 加了一个顶点，设为 Ak＋1，增加的对角线是顶点 Ak＋1 与不相邻 顶点的连线再加上原 k 边形一边 A1Ak，共增加了对角线的条数 为 k－2＋1＝k－1. ∴f(k＋1)＝12k(k－3)＋k－1 ＝12(k2－k－2)
多元函数泰勒公式教学案例
多元函数泰勒公式教学案例一、教学目标1. 了解多元函数泰勒公式的概念和基本原理；2. 掌握多元函数泰勒公式的具体应用及推导方法；3. 能够熟练运用多元函数泰勒公式解决实际问题；4. 提高学生的数学建模能力和数学分析能力。
四、教学方法1. 讲授相结合的教学方法；2. 实例分析的教学方法；3. 提问引导的教学方法；4. 示范演练的教学方法。
五、教学过程1. 多元函数泰勒公式的概念和基本原理（1）引入多元函数泰勒公式的背景和基本概念；（2）讲解多元函数泰勒公式的定义和基本原理；（3）举例说明多元函数泰勒公式在实际问题中的应用。
4. 多元函数泰勒公式在实际问题中的应用案例（1）介绍多元函数泰勒公式在实际问题中的具体应用案例；（2）指导学生进行案例分析，分析如何运用泰勒公式解决实际问题；（3）组织学生进行实例演练，提高学生的解决问题能力和分析能力。
六、教学案例某市的一家化工厂生产一种化学产品，其中一个关键的生产参数是反应温度。
为了控制反应温度，化工工程师需要了解反应温度与各种因素的关系，并进行预测。
假设反应温度与反应时间和反应物浓度有关，现需要利用多元函数泰勒公式建立反应温度的预测模型。
由于反应温度不仅与反应时间和反应物浓度有关，还与其他因素有关，因此可以建立多元函数泰勒公式来描述反应温度与各种因素之间的关系。
假设反应温度T与反应时间t、反应物浓度C1、C2之间的关系可以用以下多元函数泰勒公式来表示：T = f(t, C1, C2) ≈ f(a,b,c) + f1(a,b,c)(t-a) + f2(a,b,c)(C1-b) + f3(a,b,c)(C2-c) + ...其中f1(a,b,c)、f2(a,b,c)、f3(a,b,c)等为偏导数，代表了自变量t、C1、C2对应的反应温度T的影响程度。
通过求偏导数可以得到各个自变量对应的影响程度，并建立反应温度的预测模型。
七、课堂小结本节课通过引入多元函数泰勒公式的基本概念、具体应用和推导方法，让学生了解了多元函数泰勒公式的重要性和实际应用价值。
泰勒定理教学设计(教案)
泰勒定理教学设计(教案)目标本教案的目标是让学生理解和应用泰勒定理，掌握其基本原理和计算方法。
内容概述1. 泰勒定理的基本概念和意义。
2. 泰勒级数的定义和展开。
3. 使用泰勒级数近似计算函数值和导数值的方法。
4. 实际问题中的泰勒级数应用案例。
教学步骤1. 导入：引导学生回顾函数的概念和基本性质，如连续性、可导性等。
2. 概念讲解：介绍泰勒定理的概念和意义，解释泰勒级数的定义和展开形式。
3. 计算方法：依次介绍使用泰勒级数近似计算函数值和导数值的方法，包括泰勒多项式展开和截断误差的估计方法。
4. 练：设计一些练题，帮助学生巩固所学内容和提高计算能力。
5. 应用案例：提供一些实际问题的案例，让学生尝试使用泰勒级数进行近似计算和分析。
6. 总结：对泰勒定理的应用和优缺点进行总结，鼓励学生思考其在不同领域中的应用价值。
资源需求- 讲义/课件：用于呈现教学内容和案例。
- 黑板/白板：用于教学演示和解题过程的记录。
- 练题：提供给学生练和巩固所学内容。
- 实际应用案例：提供一些具体领域中的问题，供学生应用泰勒定理进行分析和计算。
评估方法- 练题测验：通过编写一些练题，考察学生对泰勒定理的理解和应用能力。
- 实际应用案例分析：评估学生在具体问题中使用泰勒定理进行近似计算和分析的能力。
参考资料1. Stewart, J. (2007). 单变量微积分. 北京: 人民邮电出版社.2. 微积分教程.以上为泰勒定理教学设计的教案，旨在帮助学生全面掌握泰勒定理的基本原理和应用方法。
教师可根据实际情况调整教学步骤和资源需求，以便更好地实施教学计划，并评估学生的学习成果。
高等数学3(6)泰勒公式课件
)
(
x
x00
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x00
)n1
n阶泰勒公式 (在x0与x之间).
(5)在泰勒公式中, 若x0 0, 则介于0, x之间,故
可表为 x (0 1),这时的泰勒公式,即
按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为: 麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式
f (n1) ( )
(n 1)!
得
Rn ( x)
(x)
Rn(n) (n ) (n) (n )
R(n) n
(
n
(n) (n
) )
R(n) n
(
x0
)
(n)( x0 )
R(n1) n
(
)
(n1) ( )
(在x0与 n之间也在x0与x之间)
注意到
R ( n 1) n
(
x)
f
(n1) (x), (n1) (x) (n 1)!
注意:
Pn(k )( x0 ) f (k )( x0 )
11
泰勒公式
下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式. 定理1 (带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式) 设
1函数f (x)在x0点的某个邻域O x0 内有定义;
2 在此邻域内f (x)有直到n 1阶导数;
3 f n (x0)存在. 称为f ( x)按( x x0 )的幂展开的
应用
理论分析 近似计算
特点(1)易计算函数值;
(2)导数与积分仍为多项式;
(3)多项式由它的系数完全确定, 而其系数
又由它在一点的函数值及导数值确定.
用怎样的多项式去逼近给定的函数
Taylor公式
⇒
a2
=
1 2!
f
′(x0 )
……
⇒
an
=
1 n!
f
(n) (x0 )
故所求的代数多项式为
Pn (x) =
f (x0 ) +
f ′(x0 )(x − x0 ) +
f
′′( x0 2!
)
(
x
−
x0
)
2
+L +
f
(n) (x0 ) n!
(x
−
x0
)n
此多项式称为函数 f (x) 在 x0 处的 n 阶泰勒（Taylor）多项式。
=
x
−
1 3!
x3
+
1 5!
x5
−L+
(−1) n−1
1 (2n −1)!
x 2n−1
+
R2n
(x)
sin(θ x + 2n + 1π )
其中 R2n (x) =
2 (2n + 1)!
x 2n+1 ， 0 < θ < 1。
cos x
=1−
1 x2 2!
+
1 x4 4!
−L+
(−1) n
1 x2n (2n)!
Pn (x0 ) = f (x0 ) ⇒ a0 = f (x0 )
Pn′(x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) + L + nan (x − x0 )n−1 ， Pn′(x0 ) = f ′(x0 )
⇒ a1 = f ′(x0 )
Pn′′(x) = 2a2 + 3 ⋅ 2a3 (x − x0 ) + L + n(n − 1)an (x − x0 )n−2 ， Pn′′(x0 ) = f ′′(x0 )
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其中a cn-1 cn-2 ... c2 c1 x
故 lim Rn ( x) lim Rn(n1) (cn1) Rn(n) ( x0 ) 0,
xx0 ( x x0 )n cn1x0 n!(cn1 x0 )
n!
同理证 lim Rn (x) 0, 故 lim Rn (x) 0
xx0 ( x x0 )n
二. 泰勒(Taylor)公式
• 1.具Peano余项的泰勒公式
定理 6.1 如果函数 f ( x)在点 x0存在直至n阶导
数,则有 f (x) Pn (x) o (x x0 )n
即 f (x)
f (x0 )
f (x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 ) n!
§6.3 泰勒公式
• 一、问题的提出 • 二. 泰勒(Taylor)公式 • 三、简单的应用 • 四、小结
一、问题的提出
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f (x)
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
0
得
ak
1 k!
f (k)( x0 )
(k 0,1,2,, n)
代入Pn ( x)中得
Pn (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
0 a0 an
f(
x0 ) a1
f (n) ( x0 )
n!
hn
f (x0 )
o hn
h
a2
f
(x0 ) 2!
设函数 f ( x)在含有 x0的开区间(a, b) 内具有直到 (n 1)阶导数,P( x) 为多项式函数 Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
Pn和 Rn的确定
分析:
1.若在 x0 点相交
(4) 满足f (x) pn (x) o (x x0 )n
的n次逼近多项式pn (x)是唯一的.事实上,
设f (x0 h) a0 a1h a2h2 anhn o hn
f (x0 h) f (x0 ) f (x0 )h
f (n) ( x0 ) hn o hn n!
f (x)在x 0处除f (0) 0外不存在任何阶导数.
无法构造出高于一次的泰勒多项式.
但是,lim x0
f (x) xn
lim xD(x) x0
0,
即 f (x) o xn
取 pn (x) 0 0 x 0 x2 0 xn 0,
有 f (x) pn (x) o (x x0 )n , n N
y
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
y f (x)
x
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
a f ( x ),
f (x0 h)
f (x0 )
f (x0 )h
f (x0 ) h2 2!
f (n) ( x0 ) hn n!
(2)泰勒公式中,取x0 0时,有 :
ohn
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn o xn
2!
n!
此式称为带Peano余项麦克劳林公式.
)
(x
x0
)n
(1)
称为函数f 在点x0处的泰勒(Taylor)多项式,
Pn (x)的各项系数
f
(k ) ( x0 ) (k k!
1, 2,..., n)称为泰勒系数.
下面要证f (x) Pn (x) o((x x0 )n ),即泰勒多项式
逼近f (x)时,其误差为(x x0 )n的高阶无穷小量.
(
x0
)
0
反复使用柯西定理,知 : x a时 :
Rn (x) (x x0 )n
Rn (x) Rn (x0 ) ( x x0 )n (x0 x0 )n
Rn (c1 ) n(c1 x0 )n1
Rn(c2 ) n(n 1)(c2 x0 )n2
...
Rn(n1) (cn1 ) n(n 1)...2(cn1 x0 )
(x
x0 )n
o
( x x0 )n
(2)
证明:即证 lim Rn (x) xx0 ( x x0 )n
0,其中Rn (x)
f (x) Pn (x)
由已知, Rn ( x)在x0的邻近具有直到n 1阶导数,
且f (n) (x0 )存在.
易验证 :
Rn
( x0
)
Rn(
x0
)
...
R (n) n
(3) 若f (x)在点x0附近满足f (x) pn (x) o (x x0 )n
其中pn (x)为n次多项式 : pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则pn ( x)未必是n阶泰勒多项式.例如: f (x) xn1D(x), n N , 其中D(x)为狄利克雷函数.
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
例如, 当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
（如下图）
y ex
y ex
y x
y 1 x
o
y ln(1 x)
o
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计。
问题: 寻找函数P( x),使得 f ( x) P( x) 误差 R( x) f ( x) P( x) 可估计
xx0 ( x x0 )n
定理中(2)式称为函数f 在点x0处的泰勒公式, Rn (x) f (x) Pn (x)称为泰勒公式的余项,
形如o (x x0 )n 的余项称为皮亚诺Peano余项,
(2)式又称为带皮亚诺余项的泰勒公式.
注意 : (1)泰勒公式中如记x x0 h,则泰勒公式表为