高中数学 高考双曲线

三、典型例题选讲

（一）考查双曲线的概念

例1 设P 是双曲线192

22=-y a

x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （ ）

A ．1或5

B ．6

C ．7

D ．9

分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出

2||PF 的值．

解： 双曲线192

22=-

y a

x 渐近线方程为y =x a 3±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴

. 12||3,||0PF PF =>，7||2=∴

PF . 故选C ．

归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法．

（二）基本量求解

例2(2009山东理)设双曲线122

22=-b

y a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共

点，则双曲线的离心率为（ ）

A ．

45 B ．5 C ．2

5

D ．5 解析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21

b y x

a y x ⎧

=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得

210b x x a -

+=有唯一解，所以△=2()40b

a

-=， 所以2b a =

，2c e a ====D ．

归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关

系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能．

例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2

+1相切，

则该双曲线的离心率等于( )

解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为

0'0|2x x y x ==．由题意有

00

2y x x =．又有

2001y x =+，联立两式解得:201,2,b x e a =∴===

因此选C ．

例4（2009江西）设1F 和2F 为双曲线22

221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点，若1

2F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）

A ．

32 B ．2 C ．5

2

D ．3

解析：由tan

6

2c b π

=

=

2222344()c b c a ==-，则2c e a ==，故选B ．

归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出tan 6

2c b π

=

=

体现数形结合思想的应用．

（三）求曲线的方程

例5（2009，北京）已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>

为x =

．

（1）求双曲线C 的方程；

（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆

225x y +=上，求m 的值．

分析：（1）由已知条件列出,,a b c 的关系，求出双曲线C 的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m 的值．

解：（1

）由题意，得2a c

c a

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，解得1,a c == ∴2

2

2

2b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2

2

12

y x -=． （2）设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，

由2

212

0y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩

得22

220x mx m ---=（判别式0∆>）， ∴12

000,22

x x x m y x m m +=

==+=， ∵点()00,M x y 在圆2

2

5x y +=上，

∴()2

2

25m m +=，∴1m =±．

另解：设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，

由22112

222121

2

y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=.

由直线的斜率为1，121200,22

x x y y

x y ++=

=代入上式，得002y x =. 又00(,)M y x 在圆上，得22005y x +=，又00(,)M y x 在直线上，可求得m 的值. 归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的

关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

例6 过(1,1)M 的直线交双曲线

22

142x y -=于,A B 两点，若M 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程．

分析：求过定点M 的直线方程，只需要求出它的斜率．为此可设其斜率是k ，利用M 为弦AB 的中点，即可求得k 的值，由此写出直线AB 的方程．也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解．

解法一：显然直线AB 不垂直于x 轴，设其斜率是k ，则方程为1(1)y k x -=-．

由22

142

1(1)x y y k x ⎧-=⎪

⎨⎪-=-⎩

消去y 得222(12)4(1)2460①k x k k x k k ----+-=

设),(),(221,1y x B y x A ，由于M 为弦AB 的中点，

所以

1222(1)1212x x k k k +-==-，所以1

2

k =． 显然，当1

2

k =时方程①的判别式大于零.

所以直线AB 的方程为1

1(1)2

y x -=-，即210x y -+=．

解法二：设),(),(221,1y x B y x A ，则

22

1122221②

421③

42

x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩

①－②得12121212()()2()()0x x x x y y y y -+--+=. 又因为12122,2x x y y +=+=，所以12122()x x y y -=-．

若12,x x =则12y y =，由12122,2x x y y +=+=得121x x ==，121y y ==． 则点A B 、都不在双曲线上，与题设矛盾，所以12x x ≠． 所以12121

2

y y k x x -=

=-．

所以直线AB 的方程为1

1(1)2

y x -=

-，即210x y -+=．