第八章. 狄拉克δ函数

当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电荷。

此时
把定义在区间 上，满足上述这两个要求的函
数称为 函数，并记作 ，即0→l (,)−∞+∞)
4(1)(=∫∞
∞
−dx
x η)
3()
()
(0
)(00⎩⎨
⎧=∞
≠=x x x x x ηδ0x x =)
6(1
)(0=−∫∞
∞
−dx x x δ
)
(0x x −δ)
5()
()(0
)(000⎩⎨
⎧=∞
≠=−x x x x x x δ
根据(5)式，在 时， ，所以(6)式左边的积分
不需要在 的区间进行，而只需要在一个包含 点在内的区间内进行，即
引入 函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度为：
位于坐标原点，质量为m 的质点的质量线密度为：
(,)−∞+∞0x x ≠0)(0=−x x δ0x x =⎩⎨⎧><<<=−∫),(0
)
(1)(0000x b x a b x a dx x x b a δδ0x )
()(0x x q x −=δη)()0()(x m x m x δδη=−=
说明：1.
函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数： 它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出
这在通常情况下没有意义。

2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才 有意义。

例：
δ⎩⎨
⎧=∞
≠=)
0()0(0
)(x x x δδ)
0()()(f dx x x f =∫
∞
∞
−δ
二、 函数的性质
性质1：若f (x )是定义在区间 的任一连续函数，则
00())()f x x x dx f x δ+∞
−∞
−=∫
（
——将 乘上f (x )进行积分，其值为将f (x )的宗量换为 或者说： 函数具有挑选性(把f (x )在 的值挑选出来)
证明：设 是任意小的正数，则由于 在 时为零， 所以 0000())())x x f x x x dx f x x x dx ε
ε
δδ+∞+−∞
−−=−∫
∫
（（
由积分中值定理有：
(,)−∞+∞δ)(0x x −δ)(0x x −δ0x δ0x x =ε0x x ≠)
()()()()(000000εξεδξδεε
+<<−−=−∫∫+−∞∞
−x x dx x x f dx x x x f x x
当 时， ，连续函数 ，且
所以
特别地： 时，说明：
也可作为 函数的定义， 即 函数可以通过它在积分号下对任一连续函数f (x )
的运算性质来定义。

0→ε)()(0x f f →ξ0x →ξ∫
+−=−εε
δ001
)(0x x dx x x ∫
∞
∞
−=−)
()()(00x f dx x x x f δ00=x ∫∞
∞
−=)
0()()(f dx x x f δ∫∞
∞−=−)
()()(00x f dx x x x f δδδ
性质2.（对称性）：δδδ—)()(00x x x x −=−函数是偶函数 证明：设f (x )为定义在),(+∞−∞的连续函数，则
与 在积分号下对任一连续函数 f (x )的运算性质相同
性质3. )()()()(000x x x f x x x f −=−δδ
上式的确切含义：在等式左右两边乘上任意连续函数 以后，对x 积分相等
∫∫+∞
∞
−−∞∞−=−−=−))(()()()(000ξξδξδξd x f x x x f x x ∫∫∞∞−∞
∞
−−==−=dx
x x x f x f d x f )()()()()(000δξξδξ)()(00x x x x −=−⇒δδ)(0x x −⇒δ)(0x x −δ)(x ϕ∫
∫∞
∞
−∞
∞
−−=−dx
x x x f x dx x x x f x )()()()()()(000δϕδϕ
证明：当 时，等式两边均为零
当 时，等式两边均为
性质4.
证明：对任意的连续函数f (x )，均有：
0()()()(0)[()]0x x x f x dx xf x x dx xf x δδ∞∞
=−∞−∞
=−==∫∫ 连续函数f (x )的任意性得
另一种证法：由性质3中令f (x )=x ，则 令 ，则
0x x ≠)
()(00x x x f −δ0x x =0)(=x x δ0
)(=x x δ)()(000x x x x x x −=−δδ00=x 0
)(=x x δ
证明：由 构成正交归一的完备性，故可对任意单值连续
有限的函数
展开为： 其中:
又
比较得：
)}({r n K ϕ()f r G 1
()()n n n f r c r ϕ∞
==∑G G *3()()n n c r f r d r ϕ∞−∞
′′′=∫
G G G *3*311
()[()()]()[()()]()n n n n n n f r r f r d r r r r f r d r ϕϕϕϕ∞∞∞∞−∞−∞==′′′′′′
⇒==∑∑∫∫G G G G G G
G G G 33()()()f r r r f r d r δ∞−∞
′′′=−∫
G G G G G *31
()()()
n n n r r r r ϕϕδ∞
=′′=−∑G G G G。