第八章. 狄拉克δ函数
狄拉克函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x) ( x)dx f (0)
这个积分应理解为
f ( x) ( x)dx lim f ( x) ( x)dx
0
1 1 lim f ( x)dx lim f ( x)dx 0 0 2 2 1 要求:f 连续 由积分中值定理，得 lim f ( )2 f (0) 0 2 ( , )
10
记 n ( x)
sin nx lim n ( x) lim ( x) n n x
这可看作是 函数的另一种定义方式。
sin nx 上式可写为 x
事实上，凡是具有
性质的函数序列 n ( x) ，它们的极限都是 函数.如：
n
lim
狄拉克函数基础
本节介绍一种新的“函数”, 函数.
函数是从某些物理现象中抽象出来的数学模型，例如：力
学中瞬间作用的冲击力，原子弹、氢弹的爆炸等。 这些物理现象有个共同特点， 即作用时间极短，但作用 强度极大。(冲激函数)
函数是由物理学家狄拉克首先引进的，可用于描写物理学
中的一切点量，如：点质量、点电荷、脉冲等，在近代物理 学中有着广泛的应用. 在数学上， 函数可以当做普通函数一样进行运算，并且可以 为处理数学物理问题带来极大的便利.
F[ ( x)] 1
同理可得
狄拉克函数基础
9
利用
F[ ( x a)] eia
F[ ( x a)] eia
和傅里叶变换的线性性可得
ia ia 1 e e cos a F [ ( x a) ( x a)] 2 2 ia ia 1 e e F [ ( x a) ( x a)] sin a 2i 2i 1 从而有公式 F 1[cos a ] [ ( x a) ( x a)] 2 1 1 F [sin a ] [ ( x a) ( x a)] 2i
单位冲激函数
单位冲激函数单位冲激函数，也被称为狄拉克δ函数（Dirac delta function），是一种特殊的数学函数，其特性是在零点处取无穷大的值，而在其他点上则等于零。
单位冲激函数在信号处理、概率论、物理学等领域都有广泛的应用。
一、定义单位冲激函数可以定义为：δ(t) = 0, t ≠ 0δ(t) = ∞, t = 0其中，t是时间变量。
这个函数的图形是一个垂直线段，其长度等于1，起点在原点上。
这个函数在除了原点之外的所有点上的值都是零，而在原点上的值则无穷大。
二、性质1.积分的性质：对于任何函数f(t)，如果在其定义域内某点t=a上有一个单位冲激函数，那么该函数在a点的积分等于f(a)。
2.期望的性质：如果一个随机变量的概率分布函数在原点处有一个单位冲激函数，那么这个随机变量的期望值就等于0。
3.微分的性质：单位冲激函数的导数等于零。
三、应用1.信号处理：在信号处理中，单位冲激函数被用来表示一个瞬时的、幅值无穷大的信号，这个信号在时间上无限接近于零时刻。
这种信号通常被称为“脉冲信号”。
2.概率论：在概率论中，单位冲激函数被用来描述随机事件在某一时刻发生的概率。
例如，在泊松分布中，单位冲激函数被用来描述在每个固定时间间隔内事件发生的概率。
3.物理学：在物理学中，单位冲激函数被用来描述某个物理量在某个时刻突然发生变化的情况。
例如，在连续介质力学中，单位冲激函数被用来描述液体在某个时刻突然出现或突然消失的情况。
四、总结单位冲激函数是一种非常重要的数学函数，它具有非常独特的性质和应用。
它是一种描述瞬时事件或突然变化的工具，被广泛应用于信号处理、概率论、物理学等领域。
虽然它的定义和性质看起来非常奇特，但是它在很多实际应用中都有着非常重要的意义。
通过对单位冲激函数的深入研究和学习，我们可以更好地理解和掌握各种领域中的基础知识和技能，提高自身的学术水平和实践能力。
Diracδ函数及其性质-PPT文档资料
所以有：
sin x sin x lim dx lim dx 1 x x
sin x sin x lim 的极限 x 根据上述讨论可知，函数 x
满足δ(x)函数的条件，可以表示Dirac δ(x)函数，即 (7)式成立。
一、 Dirac δ函数
1°Diracδ函数的定义 2°Diracδ函数可以用一些连续函数的
序列极限来表示 3°Dirac δ函数的性质 4°复合函数形式的Diracδ函数—— δ[h(x)] 5°二维Diracδ函数
M M
Q
Q
激光脉冲及 其它小光源
I
早在一个多世纪前，物理学家就感到有必要引入一 个数学符号来描述质点、点电荷、点光源及又窄又强 的电脉冲等一类物理量，当时用于描述这种物理量的 数学符号被称之为‘冲击脉冲符号’。 1947 年 ， 英 国 物 理 学 家 P.A.M.Dirac 在 他 的 著 作 《Principle of Quantum Mechanics》中正式引入δ(x)， 并称它为‘奇异函数’或‘广义函数’。 δ(x)函数之所以被称为‘奇异函数’或‘广义函数’， 原因在于： 一、它不象普通函数那样存在确定的函数值，而是一 种极限状态，而且它的极限也和普通函数不同，不是 收敛到定值，而是收敛到无穷大； 二、函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幂运算， 它对别的函数的作用只能通过积分来确定。
而当x≠0，σ→0时，
2 1 x lim G ( x ) lim [ exp( 2 )] 0 0 0 2 2
由公式(5)得：
lim G ( x ) dx lim G ( x ) dx 1
0 0
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数狄拉克Δ函数（DiracDeltaFunction）是物理学、工程学和数学等领域的重要概念。
它最初被引入来研究电磁场中的能量流，而后被用于描述各种物理系统的动力学。
此外，它也是数学中离散函数和概率分布的重要工具，甚至是解析函数概念的来源。
在本文中，将详细介绍狄拉克Δ函数的基本概念、特性和应用，不仅让我们了解它，而且可以将它用于研究和解决复杂的物理问题。
一、什么是狄拉克Δ函数？狄拉克Δ函数（Dirac Delta Function）是一种泛函，即一种特殊的函数，它没有原函数，其值只有在某个特定点处才有意义，而在其他任何地方均为零。
这个函数不仅可以用与物理学，还可以应用于数学，其实用性极广。
二、狄拉克Δ函数的定义根据狄拉克Δ函数的定义，狄拉克Δ函数可以由以下表达式定义：Δ(x)=0 (前提 x≠0)Δ(x)= +∞ (前提 x=0)由上式可知，x非零时，狄拉克Δ函数值为零，x为零时，狄拉克Δ函数值无限大。
因此，我们可以得到狄拉克Δ函数的函数图。
三、狄拉克Δ函数的特性1、由于狄拉克Δ函数的定义，我们可以知道它是一个不可积的函数，而且它的积分区间只有一个，也就是[0,0]。
2、狄拉克Δ函数的另一个特性是它的叠加效应，即将狄拉克Δ函数的多个函数叠加，经数学处理后可以得到另一个狄拉克Δ函数的积。
3、狄拉克Δ函数的最后一个特性是它可以用来表达离散函数，这就是何乐私下发明的。
四、狄拉克Δ函数的应用1、在物理学中，狄拉克Δ函数可以用来描述质量点对电场的作用，可以用来描述电流密度。
2、在数学中，狄拉克Δ函数可以用来表示概率分布，可以用来分析离散数据。
3、在工程学中，狄拉克Δ函数可以用来解决微分方程，也可以用来描述信号的传输和吸收特性。
五、总结从上面的内容可以看出，狄拉克Δ函数是一个非常有用的函数，它可以应用于物理学、工程学、数学等领域，可以用来解决各种问题。
然而，由于它的特殊性，在使用它时，也要特别小心，保证它的精确性和可靠性。
狄雷克雷函数
狄雷克雷函数
狄拉克-狄拉克函数（Dirac-Delta function），通常简称为狄拉克函数（Dirac function），是一种在数学物理中常用的特殊函数。
它由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）在20世纪提出，用于描述点源或极限情况下的极窄脉冲。
狄拉克函数在数学上是一个广义函数，它在所有实数轴上除了原点外的任何点上都等于零，而在原点上的值为正无穷大，同时满足积分为1的归一化条件。
狄拉克函数在物理学中具有重要的应用，特别是在量子力学中。
它常被用于描述粒子的位置或动量的测量，以及描述波函数的本征态或基态。
狄拉克函数的性质使得它在积分计算和微积分中非常有用，尤其是在处理连续性分布的情况下。
尽管狄拉克函数在数学上不是一个严格定义的函数，但它可以通过一系列近似函数来表示，例如高斯函数或者方形函数序列。
在物理学中，通常使用这些近似函数来处理实际情况。
总之，狄拉克函数是一种在数学和物理学中广泛应用的特殊函数，用于描述点源或极限情况下的极窄脉冲。
它在量子力学等领域起着重要的作用，用于描述粒子位置和动量的测量，以及处理连续性分布的积分计算等。
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数狄拉克Delta函数，也被称为狄拉克函数，是一种特殊的函数。
它可以被用来描述和解决在数学、物理和工程等领域的问题。
狄拉克Delta函数的主要特征是改变原始函数中的有限个离散值，转换为有限个连续变量，从而优化计算性能。
本文将通过一系列案例，介绍狄拉克Delta函数的基本原理和应用，以及它的基本特性。
一、狄拉克Delta函数的概念狄拉克Delta函数是一种特殊的函数，它的概念是由希腊数学家雷普洛斯狄拉克发展的。
它的计算方式与一般的数学函数不同，它不是以实数为自变量，而是以一个被称为“自变量域”的一组离散的数字来计算的。
它的计算结果是一个连续的函数，它的值依赖于两个变量，即自变量域和实变量域。
二、狄拉克Delta函数的基本特性a.简洁性：狄拉克Delta函数具有高度的简洁性，它能够简化一般数学运算，减少数学表达式中函数的数量，同时可以改善算法的执行效率。
b.可用性：狄拉克Delta函数可以被用于多种应用领域，它可以用于统计分析、数值分析、机器学习、动态系统模拟等。
c.完整性：狄拉克Delta函数能够将离散的输入变量转换为连续的输出变量，从而构成一个完整的系统，有利于提高计算性能和历史记录的可视化显示。
三、狄拉克Delta函数的应用1.数值分析：狄拉克Delta函数可以应用于数值分析，将一组离散的数据转换为一个连续的函数，从而更好地描述物理现象。
2.机器学习：狄拉克Delta函数可以应用于机器学习，可以将被观察到的数据转换为连续函数，从而更好地进行训练和预测。
3.图形处理和图像处理：狄拉克Delta函数可以将一组离散的像素点转换为一组连续的函数，从而更好地处理图像。
四、结论综上所述，狄拉克Delta函数是一种特殊的函数，它具有简洁性、可用性和完整性等特性，可以用于数值分析、机器学习、图形处理和图像处理等领域。
通过将离散的输入变量转换为连续的输出变量，从而实现优化的计算性能以及可视化的历史记录。
狄拉克 δ 函数
δ 函数的性质
1. I = ∫
∞ -∞
f (x) δ(x - x0) x = f (x0), 对任意的连续函数 f (x)
证明：利用 δ 函数的定义 I=
∞ -∞
f (x) δ(x - x0 ) x = lim+ ε0
x0 +ε x0 -ε
x0 +ε x0 -ε
f (x) δ(x - x0 ) x, 其中 ε 0+ 表示 ε > 0 且 ε 0
x0 +ε
= lim+ ε0
[ f (x) - f (x0)] δ(x - x0) x + lim+ ε0
Δ
x0 -ε
f (x0 ) δ(x - x0 ) x
= Δ + f (x0), Δ = lim+ ε0 ≤ lim+ ε0
ε0 x0 +ε
x0 -ε x0 +ε
∞
-∞
f (x) D1 (x) x =
∞
-∞
f (x) D2 (x) x
⟹ D1 (x) = D2(x)， 其中 f (x) 为任意的连续函数
也就是说 ，这里说的证明 ，与其说是证明 ，不如说是一种理解 、说明。 若希望更严谨的数学论证 ，请参阅 Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions "
δ(t) t ,
φ(xl -ε)
1 = φ′(ξ) 1 φ′(ξ) = ▲ 推论 δ(a x - b) = 1 φ′(x
l )
φ(xl +ε) φ(xl -ε) φ(xl +ε) φ(xl -ε)
狄拉克δ-函数及有关应用
第４０卷第７期大 学 物 理Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．７２０２１年７月ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳＪｕｌｙ２０２１ 收稿日期：２０２－１０－１０；修回日期：２０２０－１１－０５ 基金项目：国家自然科学基金（１２０７１０２１）；北京交通大学研究生课程建设项目（１３４８６９５２２）资助 作者简介：郑神州（１９６５—），男，浙江临海人，北京交通大学理学院教授，博士，博士生导师，主要从事偏微分方程理论和应用研究．狄拉克δ－函数及有关应用郑神州１，康秀英２（１．北京交通大学理学院，北京 １０００４４；２．北京师范大学物理系，北京 １００８７５）摘要：狄拉克δ－函数实际上是离散情况下的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数的连续化，它在数学和物理中都有重要的应用．基于广义函数概念引入狄拉克δ－函数的精确定义，证实狄拉克δ－函数不是通常Ｌｅｂｅｓｇｕｅ局部可积意义下的普通函数；文中分别以单位矩形脉冲函数、高斯函数、钟形函数和Ｓｉｎｃ函数的序列在弱极限意义下来逼近狄拉克δ－函数．另外，验证了狄拉克δ－函数可以作为Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数的广义导数，以及其高价广义导数，并给出狄拉克δ－函数的卷积性质、伸缩性质、复合变换性质、正交性和狄拉克梳函数，最后引入了狄拉克δ－函数与广义傅里叶变换的关系，以及其在泊松方程Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值问题求解中的应用．关键词：狄拉克δ－函数，广义函数，弱极限，广义傅里叶变换格林函数中图分类号：Ｏ４－１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０７ ００２５ ０５【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００４５６狄拉克δ－函数是一类“奇怪”的函数，有广泛应用．它按照通常古典的函数定义方式是无法做到，实际上它是非通常意义下的“函数”，更准确地称为“广义函数、Ｓｃｈｗａｒｚ分布函数或泛函”，它是以英国理论物理学家狄拉克名字命名的，在数学和物理中有着独特的地位［１，２］．狄拉克δ－函数可以用来描写物理学中一切点量，如：点质量、点电荷、瞬时源等；数学上可以进行微分和积分变换，为处理数学物理问题带来极大的方便．尤其它在偏微分方程、数学物理方程、傅立叶分析和概率论等领域都离不开这个函数的应用［３－７］，有了狄拉克δ－函数，傅立叶变换就不受绝对可积条件限制，通常称为广义傅立叶变换．狄拉克δ－函数具有悠久的历史，这得从Ｋｒｏｎｅ ｃｋｅｒδ－函数讲起，Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数非常简单：δｉｊ＝１，ｉ＝ｊ０，ｉ≠ｊp （１）对于一列数｛ａｉ｝，ｉ＝１，２，．．．有 ｊδｉｊａｊ＝ａｉ，并满足规范化 ｊδｉｊ＝１，对称化δｉｊ＝δｊｉ．将离散的序列｛ａｉ｝转化为连续的函数ｆ（ｘ），将以上式子类似地写成积分式：∫∞－∞ｆ（ｘ）δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝ｆ（ｘ０）（２）（简记：（ｆ δ）（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）δ（ｘ）＝ｆ（０）δ（ｘ））∫∞－∞δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝１（３）δ（ｘ－ｘ０）＝δ（ｘ０－ｘ）（４）从离散过渡到连续，自然地从求和过渡到积分；这看起来两种δ－函数很雷同了．所以狄拉克δ－函数就达到类似于Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数的选择器效果，对于δ－函数的选择器作用是泊松先提出的，后来Ｃａｕｃｈｙ利用它的选择器性质研究了许多应用问题，进一步地傅里叶给出了其无穷级数表示，在此基础上狄拉克对研究量子力学时发现了连续型的δ－函数重要作用．物理上看，狄拉克δ－函数可以看成一些通常意义下函数列的逼近，但严格的数学理论表明：这不是通常意义下的极限（这是泛函意义下的极限，或称“弱收敛”）．事实上，其真正严格意义下的定义方式是在Ｓｃｈｗａｒｚ分布函数［２］（广义函数或泛函）基础上才有的，这表明从此物理上广泛实用的狄拉克δ－函数可做数学严谨的推理了．在物理和工程技术中，常常会碰到单位脉冲函数（狄拉克δ－函数）［３］，如：在电学中，要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流；在力学中，要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况．像这种常用来表示为集中在一点上单位量的质点、点电荷、瞬时力等的密度分布就是狄拉克δ－函数应用的实际背景；其特点是该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等２６ 大 学 物 理 第４０卷于１．这种对又窄又高的尖峰函数的逼近（脉冲）有着特殊的应用，如：球棒撞击棒球接触的瞬间力作用，其密度分布函数δ（ｘ）．物理和工程上的狄拉克δ－函数通常是这样来引入的：δ（ｘ）＝∞ ｘ＝００ ｘ≠０p ，∫∞－∞δ（ｘ）ｄｘ＝１，但这种方式定义在数学上有着明显的缺陷，是无法进行严格推理的．实际上，这不能用通常的函数来理解，严格说狄拉克δ－函数不算是一个普通函数；由于它集中在一点上的值为无穷大（无穷大的任意倍数还是无穷大），其通常函数在一点上的积分为０（没有面积）．本论述从数学严格的狄拉克δ－函数定义出发，综述其基本性质，以及考虑其在数学和物理学科中的重要应用［３－７］；这起抛砖引玉作用，也为狄拉克δ－函数的进一步应用建立起数学理论基础．１ 狄拉克δ－函数作为广义函数定义１）广义函数［２，５］：δ－函数的准确定义需要从广义函数有关概念出发：设函数列φ（ｘ），φｎ（ｘ）∈Ｃ∞０（Ｒ）（无穷光滑的且具有紧支集），若存在Ｍ＞０使得｜ｘ｜＞Ｍ时对任意自然数ｎ有φ（ｘ）＝０，φｎ（ｘ）＝０且对ｋ＝０，１，２，．．满足ｌｉｍｎ→∞ｓｕｐｘ∈［－Ｍ，Ｍ］φ（ｋ）ｎ（ｘ）－φ（ｋ）（ｘ）＝０（５）其中φ（ｋ）（ｘ）表示ｋ阶导数，ｋ＝０表示原函数．则称序列φｎ（ｘ）收敛于φ（ｘ），此时称Ｃ∞０（Ｒ）为基本空间，记作函数Ｄ（Ｒ）；φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）称为试验函数．若ｆ是Ｄ（Ｒ）上的连续线性泛函，称ｆ是Ｄ（Ｒ）上的广义函数．对于试验函数φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），用〈ｆ，φ〉表示它所对应的泛函值，称为对偶积．Ｄ（Ｒ）上广义函数全体记成Ｄ′（Ｒ）．２）狄拉克δ－函数定义［１，５］〈δ，φ〉＝φ（０）， φ∈Ｄ（Ｒ）（６）它是广义函数．事实上：①δ（ｘ）是线性的：对于任意的α、β∈Ｒ以及φ１（ｘ）、φ２（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有〈δ，αφ１＋βφ２〉＝αφ１（０）＋βφ２（０）＝α〈δ，φ１〉＋β〈δ，φ２〉（７）②δ（ｘ）是连续泛函：对于φｎ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），若ｌｉｍｎ→∞φｎ（ｘ）＝φ（ｘ），有ｌｉｍｎ→∞〈δ，φｎ〉＝ｌｉｍｎ→∞φｎ（０）＝φ（０）＝〈δ，φ〉（８）这里要强调的广义函数收敛性一定要在试验函数作用下收敛的，泛函分析中称为弱收敛．３）狄拉克δ－函数不是通常意义下“函数”．首先，普通意义下的函数一定是广义函数，作为一般Ｌｅｂｅｓｇｕｅ意义下的局部可积函数可以等同于广义函数．事实上，实轴上局部可积函数Ｌｌｏｃ（Ｒ）对任意的闭区间［ａ，ｂ］，有∫ｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ＜∞．定义对偶积为〈Ｆ，φ〉＝∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ（９）简单的验证：这是一个线性连续泛函．任一个局部可积函数按以上做法都有唯一的广义函数与之对应，且可证明：不同的局部可积函数对应于不同的广义函数，并保持线性运算不变；这样可以将局部可积函数ｆ等同于与其对应的广义函数Ｆ．反之，狄拉克δ－函数不是通常函数，没有局部可积函数与之对应［１，５］．事实上，反证法：若存在这样的局部可积函数ｆ（ｘ），有〈ｆ，φ〉＝∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝〈δ，φ〉＝φ（０）， φ∈Ｄ（Ｒ）（１０）特别地取特殊的试验函数为φ（ｘ）＝ｅ－１１－ｘ２＋１，ｘ≤１０，ｘ＞１p （１１）则φ（ｎｘ）∈Ｄ（Ｒ），且 ∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ＝φ（０）＝１， ｎ∈Ｎ（１２）但另一方面∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ＝∫１ｎ－１ｎｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ≤∫１ｎ－１ｎｆ（ｘ）ｄｘ→０， （ｎ→∞）（１３）这是一个矛盾，所以狄拉克δ－函数没有局部可积函数与之对应．２ 狄拉克δ－函数的逼近方式上面定义的广义函数有点抽象，下面我们从物理直观上，用各种函数列逼近的方式来理解狄拉克δ－函数，这种逼近也不是通常意义下的极限，而是泛函意义下的逼近，是一种弱形式的极限［１，２，５］．例如：１）用一个积分值为１矩形脉冲函数序列｛Ｈｎ（ｔ）｝序列的弱极限来逼近．从直观上看，函数序列｛Ｈｎ（ｔ）｝是在区间－１ｎ，１ｎy r 上一系列均匀地放置单位质量所产生的质量分布密度，当ｎ趋向无穷时，其广义极限（弱极限）就是在原点上放置单位质量第７期郑神州，等：狄拉克δ－函数及有关应用２７ 所产生的质量分布密度．因此，狄拉克δ－函数就是在原点上放置单位质量所产生的分布密度．数学推导：对任意正整数ｎ，在－１ｎ，１ｎy r 上均匀地放置单位质量的分布密度Ｈｎ（ｔ）＝ｎ２，ｔ＜１ｎ０，ｔ＞１ｎ（１４）显然Ｈｎ（ｔ）∈Ｌｌｏｃ（Ｒ）（积分值不超过１）．对任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有〈Ｈｎ，φ〉＝∫∞－∞Ｈｎ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝ｎ２∫１ｎ－１ｎφ（ｘ）ｄｘ（１５）用积分中值定理于φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）得到ｌｉｍｎ→∞〈Ｈｎ，φ〉＝φ（０）＝〈δ，φ〉．所以δ（ｘ）是Ｈｎ（ｔ）弱极限．同理可以得到逼近δ（ｘ）的其它常用函数列．２）对于任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有：对ρｔ（ｘ）＝１２ａπ槡ｔｅ－ｘ２４ａ２ｔ（高斯函数，或称正态分布密度函数）， ｌｉｍｔ→０＋〈ρｔ（ｘ），φ〉＝ｌｉｍｔ→０＋∫∞－∞１２ａπ槡ｔｅ－ｘ２４ａ２ｔφ（ｘ）ｄｘ＝δ（０）＝〈δ，φ〉．３）对ρａ（ｘ）＝ａπａ２＋ｘ２C o （钟形函数），ｌｉｍａ→０〈ρａ（ｘ），φ〉＝〈δ，φ〉．４）ρｎ（ｘ）＝ｓｉｎｎｘπｘ（Ｓｉｎｃ函数）， ｌｉｍｎ→∞〈ρａ（ｘ），φ〉＝〈δ，φ〉．３ 广义导数（弱导数）和狄拉克δ－函数先给出广义导数定义：对一个广义函数ｆ∈Ｄ′（Ｒ），若存在ｆ′使得〈ｆ′，φ〉＝－〈ｆ，φ′〉， φ∈Ｄ（Ｒ）（１６）则称为广义函数ｆ有一阶广义导数，其广义导数为ｆ′（见文献［１，２，５］）．一般地，定义ｋ－阶广义导数为；若有ｆ（ｋ）使得〈ｆ（ｋ），φ〉＝（－１）ｋ〈ｆ，φ（ｋ）〉， φ∈Ｄ（Ｒ）（１７）称ｆ（ｋ）为广义函数ｆ的ｋ－阶广义导数，ｋ＝１，２，…．注：通常意义下的导数一定是广义导数，其本质就是分部积分公式；反之不对，从定义得知：广义导数不是逐点定义的．例如：Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数Ｈ（ｘ）＝１，ｘ≥００，ｘ＜０p （１８）对于任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），则有〈Ｈ′，φ〉＝－〈Ｈ，φ′〉＝－∫∞－∞Ｈ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝－∫∞０φ（ｘ）ｄｘ＝φ（０）＝〈δ，φ〉（１９）所以狄拉克δ－函数可看作是Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数的广义导数．考虑函数｜ｘ｜的第ｍ阶广义导数（ｍ为不小于１自然数），有〈｜ｘ｜′，φ〉＝－〈｜ｘ｜，φ′〉＝－∫∞－∞｜ｘ｜φ（ｘ）ｄｘ＝∫０－∞ｘφ（ｘ）ｄｘ－∫∞０ｘφ（ｘ）ｄｘ＝－∫０－∞φ（ｘ）ｄｘ＋ｘφ∞０＋∫∞０φ（ｘ）ｄｘ－ｘφ０－∞＝－∫０－∞φ（ｘ）ｄｘ＋∫∞０φ（ｘ）ｄｘ＝∫∞－∞ｇ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝〈ｇ，φ〉（２０）其中ｇ（ｘ）＝１，ｘ≥０－１，ｘ＜０p ．所以｜ｘ｜′＝２Ｈ（ｘ）－１．一般地｜ｘ｜（ｍ）＝２δ（ｍ－１）， ｍ≥２（２１）４ 狄拉克δ－函数性质和广义傅里叶变换［１，３，５］两个已知函数ｆ１（ｔ）、ｆ２（ｔ）卷积定义：ｆ１（ｔ） ｆ２（ｔ）＝∫＋∞－∞ｆ１（τ）ｆ２（ｔ－τ）ｄτ（２２）狄拉克δ（ｘ）函数一些重要性质：１）卷积性质 ∫∞－∞ｆ（ｘ）δ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（０），∫∞－∞ｆ（ｘ－ｘ０）δ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ０）（２３）这里若取ｆ（ｘ）＝１，则有∫∞－∞δ（ｘ）ｄｘ＝１．更一般地，∫ｂａｆ（ｘ）δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝ｆ（ｘ０），ｘ０∈（ａ，ｂ）０，ｘ０（ａ，ｂ）p ．２）积分下作一个变量代换得到伸缩变换：δ（ａｘ）＝１ａδ（ｘ）（ａ≠０）．一般地，狄拉克δ（ｘ）函数的复合：设ａｎ为连续函数ｆ（ｘ）的单零点（即：ｆ（ａｎ）＝０，ｆ′（ａｎ）≠０），则有δ［ｆ（ｘ）］＝ ｎδ（ｘ－ａｎ）ｆ′（ａｎ）．事实上，对于试验函数φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）和ｆ（ｘ）的单零点ａｎ，由于ｆ（ａｎ）＝０，ｆ′（ａｎ）≠０，在每个ａｎ存２８ 大 学 物 理 第４０卷在邻域都是一一对应，作局部的变量代换ｙ＝ｆ（ｘ）∫∞－∞φ（ｘ）δ［ｆ（ｘ）］ｄｘ＝ ｉ∫ａｉ＋εａｉ－εφ（ｘ）δ［ｆ（ｘ）］ｄｘ＝ ｉ∫ｆ（ａｉ＋ε）ｆ（ａｉ－ε）φ［ｆ－１（ｙ）］δ（ｙ）ｄｙ｜ｆ′（ｘ）｜＝ ｉφ（ａｉ）｜ｆ′（ａｉ）｜（２４）从而δ［ｆ（ｘ）］＝ ｎδ（ｘ－ａｎ）ｆ′（ａｎ）（见［６］）．由此ｆ（ｘ）＝（ｘ２－ａ２） δ（ｘ２－ａ２）＝１２｜ａ｜δ（ｘ－ａ）＋δ（ｘ＋ａ）C o（２５）３）正交性：设｛ ｎ（ｘ）｝是区间（ａ，ｂ）上函数空间的一个完备正交基函数，ｎ（ｘ）为 ｎ（ｘ）的共轭函数，则对于（ａ，ｂ）上任意两个内点ｘ，ｘ０∈（ａ，ｂ），有： ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）＝δ（ｘ－ｘ０）．事实上，由狄拉克δ（ｘ）函数的卷积性质，对于任意的ｆ（ｘ）∈Ｃ∞０（ａ，ｂ），所以只要证∫ｂａｆ（ｘ）ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ｆ（ｘ０）即可．由于｛ ｎ（ｘ）｝是完备正交基，ｆ（ｘ）＝ ｍｃｍｍ（ｘ），ｃｍ＝∫ｂａｍ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ，则Ａ＝∫ｂａｆ（ｘ） ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ ∫ｂａｍｃｍｍ（ｘ） ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ ｍｃｍ ｎ∫ｂａｍ（ｘ） ｎ（ｘ）ｄｘC o ｎ（ｘ０）（２６）考虑｛ ｎ（ｘ）｝是正交基∫ｂａｍ（ｘ） ｎ（ｘ）ｄｘ＝δｍｎＡ＝ ｍｃｍｎδｍｎｎ（ｘ０）＝ ｍｃｍｍ（ｘ０）＝ｆ（ｘ０）（２７）得证．４）狄拉克梳函数［１，８］：平移狄拉克δ（ｘ）－函数的无穷级数Ｃｏｍｂａ（ｘ）＝ ∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）称为狄拉克梳函数（ａ≠０）．对此，我们有Ｆ［Ｃｏｍｂａ（ｘ）］＝Ｃｏｍｂ１ａ（ω）（２８）即狄拉克梳函数的傅里叶变换仍是狄拉克梳函数．事实上，考虑函数列１ａ槡ｅ－２πｉｍｘ／ａp i ∞－∞是周期为｜ａ｜单位正交基（三角函数正交系），狄拉克梳函数Ｃｏｍｂａ（ｘ）是以｜ａ｜为周期的函数，傅里叶级数展开：∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）＝１ａ ∞ｎ＝－∞ｅ－２πｉｎｘ／ａ．所以，由傅里叶变换的平移性质：Ｆ［Ｃｏｍｂａ（ｘ）］＝Ｆ［ ∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）］＝∞ｍ＝－∞ｅ－ｉ２πｍａω＝ ∞ｋ＝－∞δω－ｋ１ａC o＝Ｃｏｍｂ１ａ（ω）（２９）得证．５）三维狄拉克函数：δ（ｘ，ｙ，ｚ）＝δ（ｘ）δ（ｙ）δ（ｚ），即：δ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０， ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≠０∞， ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝０p ，∞－∞δ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙｄｚ＝１．类似于一维的性质：∞－∞ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）δ（ｘ－ｘ０，ｙ－ｙ０，ｚ－ｚ０）ｄｘｄｙｄｚ＝ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）， ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｃ（Ｒ３）常见的一些重要函数，如：常数函数，符号函数，单位阶跃函数以及正余弦函数等不满足傅里叶积分定理的绝对可积条件，即不满足条件∫ｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ＜∞，所以一般的傅里叶变换不存在；但引入δ（ｘ）－函数可以求它的广义傅里叶变换．按照经典数学函数的定义，功率信号（比如周期信号，最典型的是正弦余弦函数）的傅里叶变换是不存在的，但如果引入了广义函数概念，则可以求得功率信号的广义傅里叶变换，于是我们就可以方便地进行频谱分析了［１，５，８］．例如：１）δ（ｘ）函数的傅里叶变换为１，即：Ｆ［δ（ｘ）］＝１．事实上Ｆ［δ（ｔ）］＝∫＋∞－∞δ（ｔ）ｅ－ｉωｔｄｔ＝ｅ－ｉωｔｔ＝０＝１．２）Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数Ｈ（ｘ）＝１，ｘ≥００，ｘ＜０p 定义在ｘ轴上不是绝对可积的，但它却有广义傅里叶变换１ｉω＋πδ（ω）．３）又如求正弦函数ｆ（ｔ）＝ｓｉｎω０ｔ的不是绝对可积的，但它的广义傅里叶变换Ｆ（ω）＝Ｆ［ｆ（ｔ）］＝∫＋∞－∞ｅ－ｉωｔｓｉｎω０ｔｄｔ＝第７期郑神州，等：狄拉克δ－函数及有关应用２９ １２ｉ∫＋∞－∞（ｅｉω０ｔｅ－ｉωｔ－ｅｉ（－ω０）ｔｅ－ｉωｔ）ｄｔ＝１２ｉ２πδ（ω－ω０）－２πδ（ω＋ω０）＝ｉπδ（ω＋ω０）－δ（ω－ω０）（３０）一般地，不满足可积性条件函数的广义傅里叶变换，其像函数通常与狄拉克δ－函数有关［８］．５ δ－函数在边值问题中的应用基本解和格林函数是由δ－函数来定义的．这里以拉普拉斯算子为例谈论其在线性偏微分方程中边值问题求解中的应用．若在３维空间中坐标原点放置一个单位正电荷，即电荷密度分布函数为δ－函数，这时电位满足方程－ΔΓ＝δ（ｒ），这里拉普拉斯算子Δ＝ ２ｘ２＋ ２ｙ２＋２ｚ２；则其解（拉普拉斯方程的基本解）为Γ（ｘ，ｙ，ｚ）＝１４πｒ，其中ｒ＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ槡２．事实上，对方程两边同时作傅里叶变换Γ（ρ）＝Ｆ［Γ（ｒ）］＝ Ｒ３Γ（ｒ）ｅ－ｉρ·ｒｄｒ，则有ρ２Γ＝１ Γ＝１ρ２，其中ρ＝｜ρ｜；再作傅里叶逆变换Γ（ｒ）＝Ｆ－１［Γ（ρ）］＝１８π３ Ｒ３Γ（ρ）ｅｉρ·ｒｄρ＝１４πｒ．于是对全空间具有电荷分布为ｆ（ｒ）的泊松方程－Δｕ＝ｆ（ｒ），电位ｕ的解为ｕ（ｒ）＝ Ｒ３１４π｜ｒ－ｒ′｜ｆ（ｒ′）ｄｒ′．而在一个区域Ω Ｒ３内放置一个单位正电荷，并保持边界值为零，即满足－ΔＧ＝δ（ｒ）， ｒ∈ΩＧΩ＝０， ｒ∈ Ωp ，这样的解函数称为格林函数．格林函数在偏微分方程中有重要的作用，对于线性问题，不论外力项和边界值，该问题求解统一化为求只与区域形状有关的格林函数，当其区域比较特殊时，利用物理意义（如镜像法）可以解出其格林函数具体表达式．这时－Δｕ＝ｆ（ｒ）， ｒ∈Ωｕ Ω＝φ（ｒ）， ｒ∈ Ωp 的解就可以表示为：对于任意ｒ∈Ω，有ｕ（ｒ）＝ ΩＧ（ｒ，ｒ′）ｆ（ｒ′）ｄｒ′＋ ΩｎＧ（ｒ，ｒ′）φ（ｒ′）ｄＳｒ′（３１）其中ｎ为 Ω上的外单位法向向量．参考文献：［１］ ＨｏｓｋｉｎｓＲＦ．Ｄｅｌｔａｆｕｎｃｔｉｏｎｓ：ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｇｅｎｅｒａｌｉｓｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｍ］．２ｎｄｅｄ．ＷｏｏｄｈｅａｄＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇＬｉｍｉｔｅｄ，２０１０．［２］ Ｌ施瓦兹．广义函数论［Ｍ］．姚家燕，译．北京：高等教育出版社，２０１０．［３］ 梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２０１０．［４］ 库朗，希尔伯特．数学物理方法：１、２卷［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８１．［５］ 姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，等．数学物理方程讲义［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００７．［６］ 姜礼尚．偏微分方程选讲［Ｍ］．北京：高等教出版社，１９９７．［７］ 谷超豪，李大潜，陈恕行．数学物理方程［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２０１２．［８］ ＢｒａｄＧ．Ｏｓｇｏｏｄ．ＬｅｃｔｕｒｅｓｏｎｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，ＲｈｏｄｅＩｓｌａｎｄ：ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２０１９，３３．Ｄｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｒｅｌａｔｅｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓＺＨＥＮＧＳｈｅｎ ｚｈｏｕ，ＫＡＮＧＸｉｕ ｙｉｎｇ（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＢｅｉｊｉｎｇＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００４４，Ｃｈｉｎａ；２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｔｉｓｉｎｄｉｃａｔｅｄｔｈａｔＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓａｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅＫｒｏｎｅｃｋｅｒδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｐｌａｙｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｂｏｔｈｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｐｈｙｓｉｃｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｐｒｅｃｉｓｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ａｎｄｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｎｏｔａｕｓｕａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｈｅＬｅｂｅｓｇｕｅｓｅｎｓｅｏｆｌｏｃａｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｏｎｅ．Ｔｏｔｈｉｓｅｎｄ，ｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｈｅｒｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄｉｎｔｈｅｓｅｎｓｅｏｆｗｅａｋｌｉｍｉｔｂｙｍａｋｉｎｇｕｓｅｏｆｔｈｅｓｅｑｕｅｎｃｅｓｏｆｔｈｅｕｎｉｔｒｅｃｔａｎｇｌｅｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，Ｇａｕｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，Ｂｅｌｌ（下转７７页）第７期胡 立：硬币“跳舞”的动力学分析７７ 同时，实验所测得的全过程时间比较短，这是因为实验过程中液膜破裂并不完全，瓶口与硬币的接触部分仍有一部分残留的液膜．倘若在理论模型中的液膜破裂后运动过程也加入部分表面张力，则理论模型的全过程时间会更接近实验测定值．图５ 等差地改变放置误差Δｘ时Ｈ与ｔ的理论关系曲线在图５中，等差地改变放置误差Δｘ，发现硬币所能达到的最大高度Ｈｍａｘ随着Δｘ的增大而增大．这与我们的物理直觉是相符的，放置误差越大，瓶内压强提供的向上支持力力臂（Ｒ＋Δｘ）越大，硬币翘起的角加速度就越大，硬币更容易翘起且翘起更快，进而在液膜破裂时积累了更大的角速度，能够达到的最大高度Ｈｍａｘ也随之增大．３ 结论本文通过提出“放置误差”这一重要概念，从动力学的角度，对硬币“跳舞”的过程进行了分析，推导出硬币运动的二阶常微分方程，通过数值计算发现硬币翘起的最大高度与转动全程时间都与放置误差存在密不可分的联系．放置误差越大，硬币翘起的最大高度就越大，转动全程所花的时间越少，并且通过实验验证了理论模型的正确性．参考文献：［１］ 庆秉承，刘萍，袁识博，等．置于冷瓶口硬币的弹起现象研究［Ｊ］．大学物理，２０１９，３８（１１）：５２ ５６．［２］ 陶封邑，庄洋，黄敏，等．一个有趣的热力学问题：硬币何时“翩翩起舞”［Ｊ］．大学物理，２０１９，３８（１２）：５８ ６１．［３］ 漆安慎，杜婵英．普通物理学教程力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９７：２０１ ２０７．ＤｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｄａｎｃｉｎｇｃｏｉｎＨＵＬｉ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍｔｈｅｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｏｆｄｙｎａｍｉｃｓ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｃｏｎｄｕｃｔｓａｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｎｔｈｅｔｈｉｒｄｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅ２０１８ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＹｏｕｎｇＰｈｙｓｉｃｉｓｔｓ’Ｔｏｕｒｎａｍｅｎｔ（ＩＹＰＴ２０１８），“ＤａｎｃｉｎｇＣｏｉｎ”，ａｎｄｏｂｔａｉｎｓｔｈｅｃｈａｎｇｅｉｎｔｈｅｈｅｉｇｈｔｏｆｔｈｅｃｏｉｎｏｖｅｒｔｉｍｅｄｕｒｉｎｇａｓｉｎｇｌｅｂｅａｔｉｎｇ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆ“ｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ”ｉｓｐｒｏ ｐｏｓｅｄ，ａｎｄｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｃｏｉｎｐｌａｃｅｅｒｒｏｒｏｎｔｈｅｃｏｉｎ’ｓｔｉｌｔｉｎｇｈｅｉｇｈｔｉｓｆｕｒｔｈｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｉｔｉｓｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｇｒｅａｔｅｒｔｈｅｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ，ｔｈｅｆａｓｔｅｒｔｈｅｃｏｉｎｗｉｌｌｒｏｔａｔｅａｎｄｔｈｅｇｒｅａｔｅｒｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｈｅｉｇｈｔｏｆｔｈｅｃｏｉｎｗｉｌｌｂｅｒｅａｃｈｅｄ．Ｉｎｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｃｏｉｎｄａｎｃｉｎｇｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｌａｃｅｅｒｒｏｒｓｗａｓｒｅｃｏｒｄｅｄｗｉｔｈａｈｉｇｈ－ｓｐｅｅｄｃａｍｅｒａ，ａｎｄｓｏｆｔｗａｒｅｔｒａｃｋｅｒｗａｓｕｓｅｄｔｏｔｒａｃｋ．Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｖｅｒｉｆｉｅｓｔｈｅｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｙｎａｍｉｃｓ；ＩＹＰＴ；ｄａｎｃｉｎｇｃｏｉｎ；ｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ（上接２９页）ｓｈａｐｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄＳｉｎｃ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｉｔｉｓｃｈｅｃｋｅｄｔｈａｔｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄａｓａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｏｆｔｈｅＨｅａｖｉｓｉｄｅｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄｉｔｓｈｉｇｈｅｒｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｉｓａｌｓｏｓｈｏｗｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｓｃａｌｅｓ，ｃｏｍｐｏｕｎｄｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ，ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｉｔｙａｎｄＣｏｍｂＤｉｒａｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅｒｅｃａｌｌｅｄ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｆｉ ｎａｌｌｙ，ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ａｎｄｗｅｐｒｅｓｅｎｔａｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅＤｉｒｉｃｈｌｅｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅＰｏｉｓｓｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｄｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｗｅａｋｌｙｌｉｍｉｔｓ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ；Ｇｒｅｅｎｆｕｎｃ ｔｉｏｎ。
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数狄拉克（Dirac）δ函数是由英国理论物理学家保罗·狄拉克提出的一种特殊的数学函数，一种奇异函数。
狄拉克δ函数在物理、工程和数学等领域起着重要的作用。
它在量子力学、信号处理、微积分和控制工程等领域具有广泛的应用。
狄拉克δ函数由以下性质定义：∫δ(x)dx = 1∫f(x)δ(x−a)dx = f(a)这意味着狄拉克δ函数是一个以0为中心，并在x=0处取无穷大值的奇异函数。
它在其他地方为0。
通过与其他函数的乘积进行积分运算，可以得到在特定点处取有限值的结果。
狄拉克δ函数在量子力学中的应用非常重要。
在量子力学中，波函数描述了粒子的位置和性质。
波函数的平方表示了在给定位置上找到粒子的概率。
狄拉克δ函数可以用来描述点状粒子，例如电子或光子。
在空间中的给定位置上，粒子可以被认为是局部集中的，因此可以使用狄拉克δ函数来描述其位置。
例如，假设有一个处于位置a的电子，其波函数可以表示为Ψ(x)。
那么，当我们在位置a处测量电子的位置时，根据量子力学原理，有一个非常高的概率它将处于a附近的一个微小区域内。
通过使用狄拉克δ函数，我们可以将测量电子位置的结果表示为Ψ(a)。
狄拉克δ函数还可以用来解决微积分中的问题，尤其是当涉及到奇异函数、积分和广义函数时。
例如，在积分运算中，狄拉克δ函数可以用来表示极限。
狄拉克δ函数可以与其他函数进行卷积运算。
卷积运算用于描述两个函数之间的关系。
通过与一个函数进行卷积，我们可以将狄拉克δ函数应用于另一个函数，并得到一个新的函数作为结果。
在信号处理中，狄拉克δ函数被广泛用于描述连续信号和离散信号之间的关系。
通过狄拉克δ函数，我们可以将一个连续信号转换为离散信号，并将离散信号转换为连续信号。
狄拉克δ函数还与控制工程密切相关。
在控制系统中，经常需要对信号进行滤波和处理。
通过将狄拉克δ函数应用于输入信号，我们可以估计系统对这个信号的响应。
这对于设计和分析控制系统非常重要。
狄拉克和他的δ函数
狄拉克和他的δ函数弘扬数学文化，推动数学教育•本文选自《数学文化》第6卷第1期如果让我选一个“最优美的函数”的话，我会选“狄拉克δ 函数”。
1狄拉克δ 函数为数学家、物理学家及工程技术人员所熟悉；它由英国科学家保罗·狄拉克引进，因而得名。
保罗· 狄拉克保罗· 狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）1902年8月8日出生于英国的布里斯托尔（Bristol），就读于主教路（Bishop Road）小学，在和布里斯托尔大学合办的Merchant Venturers 男子技术学校（现已不存在）读完中学，之后在布里斯托尔大学工学院电子工程及应用数学专业以优异成绩毕业，最后于1926 年在剑桥大学圣约翰学院取得物理博士学位。
有两件事足以表明狄拉克在学术界的地位：英国剑桥大学有一个灿耀得无与伦比的卢卡斯数学荣誉讲座教授职位，于1663 年根据当时著名的大学议会议员亨利· 卢卡斯（Henry Lucas）的捐款和遗愿而设立。
曾荣登此宝座的有大名鼎鼎的牛顿和霍金。
1932 年，30 岁的狄拉克便荣膺这个桂冠。
翌年，狄拉克和薛定谔（Erwin Schrödinger）一起分享了当年的诺贝尔物理奖。
我通常认为狄拉克是一个“工程物理数学家”。
在向大家作更详尽的解释之前，先让我们一起来简要地回顾他的δ 函数的背景和简史。
对于工程技术人员、物理学和应用科学家们来说，下面这两个式子算是定义了δ函数：这两个式子一目了然且功能巨大：对实轴 R 上的任何连续函数 f(x) 和任何实数 r 都有这实在太好用了，不是吗？数学家对此不以为然，因为它不是一个常义下的标准实值函数。
它只是一种广义函数，因而需要把它的定义严格化。
现在知道，可以把δ 函数严格地定义为一种测度：对定义在实轴上任意连续函数f(·)，可以令δ 为满足Lebesgue–Stieltjes 积分的一种测度，其中 H(x) 是 Heaviside 阶梯函数。
狄拉克δ函数
狄拉克δ函数狄拉克δ函数是一种常见的数学函数，它在某些类似曲面的平面上表示为抛物线。
伴随着计算机科学的发展，它也被广泛应用于计算机程序中。
因此，本文将深入介绍狄拉克δ函数的定义、表达式、特性及应用，以加深对其的理解。
一、定义狄拉克δ函数，简称δ函数，是由德国数学家狄拉克（G.Dirac）提出的一种函数，即常熟δ函数。
它是一种特殊的数学函数，以正无穷大或负无穷大作为参数。
它的定义表达式如下：δ(x)=0 (当x≠0时)1 (当x=0时)它表明，当x=0时δ(x)=1，当x≠0时δ(x)=0。
二、特性1.δ函数具有零穷尽性，即在非零处均为零；2.它具有离散性：存在非零处和零处，而两者之间没有连续变化；3.它具有累积性：它是累积函数的离散版本，其累加计算结果始终为1；4.它具有线性性：它是线性函数的离散版本，对于任意n，δ(nx)=nδ(x)；5.它具有统计性：当它出现在概率分布函数中时，则在该点处其值为1，表示发生概率为1；6.它具有傅里叶变换性：δ函数具有傅里叶变换的性质，即可以由其傅里叶变换结果推出其本身的表达式。
三、应用1.在计算机网络中，δ函数是用来指导用户行为的基本程序，常用于线路提前通知，路由转发及报文传输等；2.在放射学中，δ函数用于计算吸收率；3.在流体力学中，δ函数用于模拟流体流动；4.在统计学中，δ函数可以用来表示均值函数：δ(x)=1/N∑i=1Nxi，其中N表示样本数目，xi表示第i个样本。
5.在量子力学中，δ函数用于描述交换势能，可以用来计算原子多位置的结构；6.在信号处理中，δ函数用于表示信号的定时信号；7.在几何学中，δ函数用于表示曲线的局部曲率。
四、结论以上就是狄拉克δ函数的定义、表达式、特性及应用情况的介绍，它被广泛应用于各个学科的研究中，这是因为它的特殊性：它是一种特殊的数学函数，具有零穷尽性、离散性、累积性、线性性及统计性，因此它是一种非常重要的数学工具，广泛应用于计算机程序、放射学、流体力学、统计学、量子力学、信号处理和几何学等领域，发挥着不可替代的作用。
冲激函数的象函数
冲激函数（impulse function）或狄拉克δ函数（Dirac delta function）是数学中的一个特殊函数，其定义如下：
* 在区间外为0，即当t≠0时，δ(t)=0。
* 在区间内为无穷大，即当t=0时，∫(-∞ to ∞)δ(t) dt = ∞。
由于冲激函数具有无穷大但面积为1的特性，它在信号处理和控制系统等领域有广泛应用。
对于冲激函数的傅里叶变换（或称傅里叶逆变换），可以得到其象函数。
傅里叶变换是将时域函数转换为频域函数的过程。
在频域中，冲激函数在频率为0处有一个无穷大的峰值，其他频率处为0。
因此，冲激函数的傅里叶变换（或逆变换）在频域中表现为一个无穷大的峰值，而在其他频率处为0。
这个特性使得冲激函数在频域中起到“标识”特定频率的作用。
在实践中，由于冲激函数的定义和性质较为特殊，常常会用一些近似的方法来模拟或逼近冲激函数的行为，例如用矩形脉冲、三角形脉冲等函数来近似表示冲激函数。
这些近似方法在一定条件下可以提供较好的近似效果，并且在计算和实现上更为方便。
δ函数的性质以及相关计算公式
δ函数就是描述物理上一些“点分布”的现象，比如点电荷的体电荷密度，或是面电荷的体电荷分布，还有线电流的体电流密度，反正就是那种在某一点发散而总体有限的物理量用δ函数描述很方便的。
delta(x)在数学上是一个无限狭窄的峰，对全空间积分（即求其曲线所包含的面积）为1。
在物理上，通常用于代表脉冲函数，或者呈点分布的物理量，例如质点、点电荷等；另外，delta函数常用于表示对物理量在某点的抽样，这一点不仅在数学物理方法这样的理论学科中常用，在实际的工程通信中也很常用，这时delta函数被用作采样函数。
定义
狄拉克δ函数的定义为：
性质
狄拉克δ函数有以下性质：
∙δ( -x) = δ(x)
∙
∙δ(ax) = | a | - 1δ(x)
∙
∙f(x) δ(x) = f(0), f(x)δ(x -a) = f(a)δ(x - a)
∙
∙δ(x2 -a2) = (2 | a | ) -1[δ(x + a) + δ(x - a)]
∙
∙
∙
表达式
狄拉克δ函数的表达式：
∙
∙
∙。
狄拉克函数(冲激函数)20160703
+∞
δ
(τ
)
f
⎛ ⎜
τ
⎟⎞d τ
=
1
f (0)
−∞
−∞
⎝−a⎠ −a −a
∫+∞ 1 δ (t) f
−∞ − a
(t )dt
=
1 −a
f
(0)
δ (at) = 1 δ (t) (a < 0)
−a
δ (at) = 1 δ (t)
a
4、卷积性质
f
(t)∗δ (t) =
+∞
∫f −∞
(t −τ )δ (τ )dτ
−∞
−∞
= δ (t)
δ ′(− t) = −δ ′(t)
4、标度变换
δ ′(at) = 1 ⋅ 1 δ ′(t)
aa
δ (k )(at ) =
1 a
1 ⋅ ak
δ (k )(t )
=
∫0+ 0−
f
(t
−τ )δ (τ )dτ
=
f
(t )
任意有界函数与狄拉克函数的卷积就是该函数自身。这一规律在系统分析上体现为：线性时不
变系统的冲激响应（在单位冲激信号下的响应）完全由系统本身的特性所决定，与系统的激
励源无关。
三、单位对偶冲激（冲激偶）
单位冲激函数的一阶导数称为单位对偶冲激函数。
f
(0)dt
=
f (0)
对于有时移的情况
∫+∞
δ
−∞
(t
−
t0
)
⋅
f (t)dt
=
f (t0 )
冲激序列对连续信号抽样结果为
+∞
x(nT ) = x(t)⋅ ∑δ (t − nT )
狄拉克函数理解 -回复
狄拉克函数理解 -回复
狄拉克函数，又称为狄拉克δ函数，是一种在数学和物理中经常出现的函数。
它是英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）在20世纪初提出的。
狄拉克函数在量子力学、信号处理以及分布理论等领域有着重要的应用。
狄拉克函数的定义相对较为复杂，但其主要思想是将无限细的脉冲函数表示为一个面积为1的矩形函数。
狄拉克函数在x=0的时刻为无穷大，而其他位置都为零。
数学上表示为δ(x)。
狄拉克函数有许多重要性质。
其中最重要的是它的积分性质。
狄拉克函数在任意一点的积分等于1，即∫δ(x) dx = 1。
这是因为狄拉克函数在任意一点的值都是无穷大，但它的面积仍然为1。
另一个重要的性质是狄拉克函数的乘积性质。
两个函数的乘积与它们各自的狄拉克函数的卷积相等，即f(x) δ(x) = f(0) δ(x)。
这个性质在信号处理中有广泛的应用，可以用来表示信号的特定时刻值。
狄拉克函数还可以用来表示各种物理量，比如电流、电荷、能量等，它们在点状集中的分布上也有重要的应用。
在量子力学中，狄拉克函数可以用来表示粒子的位置、动量等。
狄拉克函数是一种理想化的函数，它在数学和物理中都有重要的作用。
它的定义和性质使得它可以在各种领域中被广泛应用。
在理解和应用狄拉克函数时，我们需要充分理解其定义和性质，以便正确地使用它来描述各种抽象和具体的物理现象。
Diracδ函数及其性质省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
(x xi )
| h'(xi ) |
若h' (xi)在n个实根处皆不为零，则有：
[h(x)] n (x xi )
i1 | h'(xi ) |
h' (xi)≠0
上式表白，δ[h(x)]是由n个脉冲构成旳脉冲系列，各 个脉冲位置由方程h(x)=0旳n个实根拟定，各脉冲旳 强度则由系数| h' (xi)|-1来拟定。
只有这么，坐标变换才是等价旳。
几种二维δ函数在两种坐标系中旳位置关系
直角坐标系(x，y) 极坐标系(r，θ)
δ(x，y)
δ(r)
δ(x-x0，y) δ(x，y-y0) δ(x+x0，y) δ(x，y+y0) δ(x-x0，y-y0)
δ(r-x0，θ)
(r
y0
,
2
)
δ(r-x0，θ-π)
(r
y0
,
3
(x x0 , y y0 )dxdy 1
而δ(r-r0，θ-θ0)曲面下旳体积为：
0
1 r
(r
r0
)rdr
2
0 ( 0 )d
0 (r r0 )dr
2
0 ( 0 )d
1
可见强度也相同，所以坐标变换成立。
所以，当α→∞时， sin x 0 x
于是有：
lim[sin x ] lim [sin x ] 0
x
x
当α>0时，查找定积分表可得到：
sinx dx
x 所以有：
sin x
sin x
lim
dx lim
dx 1
x
x
根据上述讨论可知，函数
sinx 旳极限
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电荷。
此时
把定义在区间 上，满足上述这两个要求的函
数称为 函数，并记作 ，即0→l (,)−∞+∞)
4(1)(=∫∞
∞
−dx
x η)
3()
()
(0
)(00⎩⎨
⎧=∞
≠=x x x x x ηδ0x x =)
6(1
)(0=−∫∞
∞
−dx x x δ
)
(0x x −δ)
5()
()(0
)(000⎩⎨
⎧=∞
≠=−x x x x x x δ
根据(5)式，在 时， ，所以(6)式左边的积分
不需要在 的区间进行，而只需要在一个包含 点在内的区间内进行，即
引入 函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度为：
位于坐标原点，质量为m 的质点的质量线密度为：
(,)−∞+∞0x x ≠0)(0=−x x δ0x x =⎩⎨⎧><<<=−∫),(0
)
(1)(0000x b x a b x a dx x x b a δδ0x )
()(0x x q x −=δη)()0()(x m x m x δδη=−=
说明：1.
函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数： 它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出
这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才 有意义。
例：
δ⎩⎨
⎧=∞
≠=)
0()0(0
)(x x x δδ)
0()()(f dx x x f =∫
∞
∞
−δ
二、 函数的性质
性质1：若f (x )是定义在区间 的任一连续函数，则
00())()f x x x dx f x δ+∞
−∞
−=∫
（
——将 乘上f (x )进行积分，其值为将f (x )的宗量换为 或者说： 函数具有挑选性(把f (x )在 的值挑选出来)
证明：设 是任意小的正数，则由于 在 时为零， 所以 0000())())x x f x x x dx f x x x dx ε
ε
δδ+∞+−∞
−−=−∫
∫
（（
由积分中值定理有：
(,)−∞+∞δ)(0x x −δ)(0x x −δ0x δ0x x =ε0x x ≠)
()()()()(000000εξεδξδεε
+<<−−=−∫∫+−∞∞
−x x dx x x f dx x x x f x x
当 时， ，连续函数 ，且
所以
特别地： 时，说明：
也可作为 函数的定义， 即 函数可以通过它在积分号下对任一连续函数f (x )
的运算性质来定义。
0→ε)()(0x f f →ξ0x →ξ∫
+−=−εε
δ001
)(0x x dx x x ∫
∞
∞
−=−)
()()(00x f dx x x x f δ00=x ∫∞
∞
−=)
0()()(f dx x x f δ∫∞
∞−=−)
()()(00x f dx x x x f δδδ
性质2.（对称性）：δδδ—)()(00x x x x −=−函数是偶函数 证明：设f (x )为定义在),(+∞−∞的连续函数，则
与 在积分号下对任一连续函数 f (x )的运算性质相同
性质3. )()()()(000x x x f x x x f −=−δδ
上式的确切含义：在等式左右两边乘上任意连续函数 以后，对x 积分相等
∫∫+∞
∞
−−∞∞−=−−=−))(()()()(000ξξδξδξd x f x x x f x x ∫∫∞∞−∞
∞
−−==−=dx
x x x f x f d x f )()()()()(000δξξδξ)()(00x x x x −=−⇒δδ)(0x x −⇒δ)(0x x −δ)(x ϕ∫
∫∞
∞
−∞
∞
−−=−dx
x x x f x dx x x x f x )()()()()()(000δϕδϕ
证明：当 时，等式两边均为零
当 时，等式两边均为
性质4.
证明：对任意的连续函数f (x )，均有：
0()()()(0)[()]0x x x f x dx xf x x dx xf x δδ∞∞
=−∞−∞
=−==∫∫ 连续函数f (x )的任意性得
另一种证法：由性质3中令f (x )=x ，则 令 ，则
0x x ≠)
()(00x x x f −δ0x x =0)(=x x δ0
)(=x x δ)()(000x x x x x x −=−δδ00=x 0
)(=x x δ
证明：由 构成正交归一的完备性，故可对任意单值连续
有限的函数
展开为： 其中:
又
比较得：
)}({r n K ϕ()f r G 1
()()n n n f r c r ϕ∞
==∑G G *3()()n n c r f r d r ϕ∞−∞
′′′=∫
G G G *3*311
()[()()]()[()()]()n n n n n n f r r f r d r r r r f r d r ϕϕϕϕ∞∞∞∞−∞−∞==′′′′′′
⇒==∑∑∫∫G G G G G G
G G G 33()()()f r r r f r d r δ∞−∞
′′′=−∫
G G G G G *31
()()()
n n n r r r r ϕϕδ∞
=′′=−∑G G G G。