第4章 晶体光学_A

其中：σ11,σ12 ,σ13 ,... 都是常数。J 的每个分量 都和E 的三个分量成线性关系。J 和E 的方向
不再平行 －物理意义
4.0 张量的基础知识 （补充）
为了确定各异同性导体的电导率σ，需要给出上 面方程组右边的九个系数，它们可以写成：
⎜⎛σ11 σ12 σ13 ⎟⎞ ⎜σ 21 σ 22 σ 23 ⎟ ⎜⎝σ 31 σ 32 σ 33 ⎟⎠
E E
y z
⎟ ⎟ ⎠
简记为： Di = ε 0ε ij E j
⎜⎛ε xx ε xy ε xz ⎟⎞
⎜ ⎜⎜⎝
ε ε
yx zx
ε yy ε zy
ε ε
wk.baidu.com
yz zz
⎟ ⎟⎟⎠
9个分量，两个下标 i 和 j，二阶张量, 联系矢量D 和E ，在一般情况下，这 两个矢量有不同方向 。
4.1.2 介电张量的对称性
－椭球面或双曲面
利用： xi = aki xk′ ,
x j = alj xl′
进行坐标变换： sij akiali xk′ xl′ = 1
s′kl xk′ xl′ = 1
其中 sk′l = akialj sij 是新旧坐标系中系数的变换关系，与二阶
张量的变换规律一致。
由二阶曲面的变换可知相应的二阶对称张量的分量变换。
应用电磁场能量守恒定律，可以证明各向异性晶体的 介电张量是二阶对称张量。
第4章 晶体光学
4.7 偏振光和偏振器件的矩阵表示 4.8 偏振光的干涉 4.9 电光效应 4.10 声光效应 4.11 旋光现象 4.12 磁致旋光效应
4.0 张量的基础知识（补充）
1. 什么是张量？
* 物理学中有几类不同的量：标量，矢量和张量
* 标量(零阶张量): 例如：物体的密度，温度等。 与测量方向无关的量，由给定的某个数值完全 确定。
J
分量形式为：
E
Ji = σEi , i = 1, 2, 3
4.0 张量的基础知识 （补充）
* 若导体是各向异性的：
电导率σ与方向有关，J 和E 的关系如下：
J E
J1 = σ11E1 + σ12E2 + σ13E3 J2 = σ 21E1 + σ 22E2 + σ 23E3 J3 = σ 31E1 + σ 32E2 + σ 33E3
* 矢量（一阶张量 ): 例如：速度，电场强度等。 当坐标轴选定后，它由这些轴上的三个分量完全 确定。具有确定的数值和方向。
4.0 张量的基础知识 （补充）
张量的引入：以导体的电导率为例
* 若导体是各向同性的：
电场E与导体作用时，导体内产生的电流密度为J：
GG
J = σE
GG
其中：电导率σ是标量，且 J // E
其中： T11,T12 ,T13 ,... 都是常数。 T11,T12 ,T13 ,... 就形成二阶张量
⎜⎛ T11 T12 T13 ⎟⎞ ⎜T21 T22 T23 ⎟ ⎜⎝T31 T32 T33 ⎟⎠
4.0 张量的基础知识 （补充）
张量T与两个矢量p 和q 的关系可以写成:
⎜⎛ p1 ⎟⎞ ⎜⎛T11 T12 T13 ⎟⎞⎜⎛ q1 ⎟⎞ ⎜ p2 ⎟ = ⎜T21 T22 T23 ⎟⎜ q2 ⎟ ⎜⎝ p3 ⎟⎠ ⎜⎝T31 T32 T33 ⎟⎠⎜⎝ q3 ⎟⎠
4. 二阶对称张量的示性曲面
* 二阶对称张量可用二阶曲面表示。一般的二阶曲面方程为
sij xi x j = 1, i, j = 1, 2, 3
结合Sij = Sji 可得：
s11x12 + s22 x22 + s33 x32 + 2s12 x1x2 + 2s23 x2 x3 + 2s31x3 x1 = 1
∑ 也可以写成： pi = Tijq j , i, j = 1, 2, 3 j
习惯上可去掉求和符号而变成简化形式： pi = Tij q j , i, j = 1, 2, 3 类似地可形成高阶张量
4.0 张量的基础知识（补充） 2. 张量的变换
* 张量是一种物理量，在坐标变换时，其分量按下表的 变换规律进行。
4.1 介电张量
4.1.1 各向异性介质的介电张量
与各向同性介质的光学一样，分析晶体中光波的传输 问题，将以麦克斯韦方程组和物质方程为基础。
各向异性晶体：
G
G
⎜⎛ε xx ε xy
D
=
ε 0ε r
E
=
ε
0
⎜ ⎜⎜⎝
ε ε
yx zx
ε yy ε zy
ε xz ⎟⎞⎜⎛ E x ⎟⎞
ε ε
yz zz
⎟⎜ ⎟⎟⎠⎜⎝
= －Tji，则该张量为反对称张量，其独立分量数只
有3个。
∗ 任何一个二阶非对称张量都可以分解为一个二阶对 称张量和一个二级反对称张量之和。 Tij = (Tij+Tji)/2+ (Tij-Tji)/2
∗ 一个张量的性质是对称的或反对称的，取决于物理 性质本身，与坐标轴的选取无关。
4.0 张量的基础知识（补充）
这个系数表就称为二阶张量，而 σ11,σ12 ,σ13 ,... 就是该张量的分量。
－下标的物理意义 一般地，下标的数目等于张量的阶数
4.0 张量的基础知识 （补充）
一般情况下，如果量T 以如下方式联系两个矢量 p(p1, p2, p3) 和 q(q1, q2, q3):
p1 = T11q1 + T12q2 + T13q3 p2 = T21q1 + T22q2 + T23q3 p3 = T31q1 + T32q2 + T33q3
其中aij是由旧坐标系变换到新坐标系的变换矩阵，由新旧 坐标轴之间夹角的余弦给出。 * 在坐标变换时，改变的只是张量的表示方式（分量的数
值变），而物理量本身并没有改变。
4.0 张量的基础知识（补充）
3. 对称张量和反对称张量
∗ 一个二阶张量[Tij], 如果Tij = Tji, 则该张量为对称 张量， 其对任何坐标系只有6个独立分量；如果Tij
第4章 晶体光学
前言
* 光学各向异性介质的典型代表是某些固态晶 体。本章将讨论光波在光学各向异性晶体中 的传播规律。
* 所谓各向同性，是指介质的光学性质与方向 无关。
* 所谓各向异性，是指介质的光学性质在不同 的方向上有不同的值。以晶体的介电常数为 例说明。
第4章 晶体光学
4.1 介电张量 4.2 单色平面波在晶体中的传播 4.3 单轴晶体和双轴晶体的光学性质 4.4 晶体光学性质的图形表示 4.5 平面波在晶体表面的反射和折射 4.6 晶体光学器件