高等数学极限求法总结

求极限的方法总结

[摘要] 极限是数学分析中的一个重点内容，对极限的求法可谓是多种多样，本文归纳了数学分析中求极限

的十三种方法，并通过一些实例加以分析，说明如何应用.

[关键词] 极限；方法；实例

1引言

极限是数学分析（高等数学）中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态，是数学分析中许多重要概念的基础，但在数学分析课本中只简单的介绍了极限的定义和一些基本解法,而没有详细的研究其内容.文献[14]

-中对极限的性质及求极限的算法进行了研究，比如介绍了用夹逼法则求极限；单调有界准则求极限；导数定义求极限等.而本课题主要是对散见于文献中的极限求解的各种研究结果进行系统地归纳总结，并考虑这些方法的具体应用.

2极限的求法

2.1 利用两个准则求极限 定理1

[4]

函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数 N ,当n N >时，有n n n x y z ≤≤且

lim lim n n x x x z a →∞

→∞

==，则lim n x y a →∞

=.

利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和{}n z 、，使得n n n y x z ≤≤.

例

1 2

1n x n =

+

+

+n x

的极限.

解 因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项

2

1n

x n

≥++=+

,

2

1n

x n ≤

+

+

=

+,

则

n x ≤≤

又因为

1x x ==,

所以lim 1n x x

→∞

=.

定理 2[4]

单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一.

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限.。 例2 证明下列数列的极限存在，并求极限

123,n y y y y a a a a ==

==+++

+.

证明 从这个数列构造来看 n y 显然是单调增加的，用归纳法可证

2

y =3y =，n y ，

所以得2

1n n y a y -=+. 因为前面证明n y 是单调增加的.

两端除以 n y 得1n n

a

y y <

+，因为

1n y y ≥=

，则

n a y ≤

从而11n

a

y +≤

1n y ≤+， 即 n y 是有界的。根据定理{}n y 有极限，且极限唯一.

令lim n n y l →∞

=，则21lim lim()n n n n y y a -→∞

→∞

=+，即2

l l a =+. 因为 0n y >，解方程得

l =

，所以lim n n y l →∞==2.2 利用极限的四则运算性质求极限

性质 1

[5]

设A x f x x =→)(lim 0

，B x g x x =→)(lim 0

，则

(1)[]=±→)()(lim 0

x g x f x x )(lim 0

x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0

； (2)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0

；

(3) 若 0B ≠ 则：

B

A

x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )

(lim )()(lim

00； （4）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0

（c 为常数）

上述性质对于-∞→+∞→∞→x x x ,,时同样成立.

总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 例3 求极限

(1) 2211

lim 21

x x x x →---;

(2) 3x →;

(3) 3113

lim()11

x x x →--++;

(4) 已知 111

1223

(1)n x n n

=

+++

⨯⨯-⨯，求lim n n x →∞.

解

(1) 22

1111(1)(1)12

lim lim lim 21(1)(21)213

x x x x x x x x x x x x →

→→-+-+=

==---

++ .

(2) 33321

lim

34x x x x →→→===-.

(3) 3113

lim()11

x x x →--++23221112(1)(2)2lim()lim lim 11(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x →-→-→---+--====-++-+-+ . (4) 因为 1111223(1)n x n n

=+++⨯⨯-⨯ 1111111111

1122334411n n n n =-+-+-+--

+-=---, 所以 1

lim lim(1)1n x x x n

→∞→∞=-=.

2.3 利用导数的定义求极限