圆锥曲线的双切线问题初探
圆锥曲线切线问题探究
02 12 解析:(1)由左焦点 F1 1,0 可知 c 1 ,点 P 0,1 在 C1 上,所以 2 2 1 ,即 b 2 1 ,所以 a 2 b 2 c a b x2 于是椭圆 C1 的方程为 y2 1 . 2 (2)显然直线 l 的斜率存在,假设其方程为 y kx b .
(2)过点 S (2,1) 作抛物线 C 的切线 l ' ，求切线 l ' 的方程； (3)直线 AB : y kx 2 与抛物线 C 相交于 A, B 两点， 过 A, B 两点分别作抛物线的切线 l1 , l2 ， 求证：两直线 l1 , l2 的交点在一条定直线上； (4)过直线 y 2 上任一点 P 作抛物线 C
4 即 y M ,使 AB x m M (0, 2 m) 2 , 过定点 PM 定点 恒成立 ? 若存在， x1 x2
求出点 M 的坐标; 若不存在，请说明理由．
(6)过直线 y m(m 0) 非 y 轴上任一点 P 作抛物线 C 两条切线 l1 , l2 ，切点分别为 A, B ,是否存在 定点 M ,使 AB PM 恒成立? 若存在， 求出点 M 的坐标; 若不存在，请说明理由．
的最小值．
y
B
O F
A
M
x
浙江省台州中学
1 3 高 (2008 浙江文)（22）已知曲线 C 是到点 P( , ) 和到直线 2 8 中 5 数 y 距离相等的点的轨迹，l 是过点 Q（-1，0）的直线， 8
学
M 是 C 上（不在 l 上）的动点；A、B 在 l 上， MA l , MB x
轴（如图） 。 （Ⅰ）求曲线 C 的方程；
| QB |2 （Ⅱ）求出直线 l 的方程，使得 为常数。 | QA |
例谈圆锥曲线中的同构思想
例谈圆锥曲线中的同构思想圆锥曲线中，同构结构的出现一定等价于图形中两要素的地位等价，比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，即“同构”特征，这样的同构特征，往往是我们简化运算，同时也是解决一些问题的抓手. 一．双切线同构.显然，从已知曲线外一点),(001y x A ,向二次曲线C 引两条切线3121,A A A A ，记切点为),(),,(223112y x A y x A ，那么这两条切线的地位是相同的,这样，我们就可按照下列方式来构造同构方程：第1步：分别写出切线3121,A A A A 的方程（注意斜率）；第2步：联立3121,A A A A 与曲线C 的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以1A 的0x 或0y 坐标为参数，进一步构造32,A A 点横或纵坐标满足的同构方程方程③；第3步：利用方程③根与系数的关系判断32A A 与曲线的位置关系，或完成其他问题. 其中，圆的双切线可以用几何方法解决，而圆锥曲线的双切线则只能使用韦达定理判别式来解决.例1．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标； （2）若两条切线PA ，PB 与y 轴分别交于S ､T 两点，求||ST 的最小值. 解析：（1）所以直线AB 过定点5(,0)3.（2）设切线方程为(1)y t k x -=+，即0kx y k t -++=，故(2,0)M 到直线0kx y k t -++=的距离1d =，即228610k kt t ++-=（*），设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则它们为（*）式的解，即1234t k k +=-，21218t k k -=，把0x =代入0kx y k t -++=，得y k t =+，1212|()||∣∴=+-+=-=ST k t k t k k∴当0=t时，ST取得最小值2.例2．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个焦点为)（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点),(yxP为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．注：椭圆22221x ya b+=的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆：2222x y a b+=+．解析：若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时，可得点P的坐标是(,)a b±，或(,)a b±-满足要求．当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，设点P的坐标为()00,x y（x a≠±，且y b≠±），因此设过点P的切线方程为()00y y k x x-=-（0k≠），由()2222001x ya by y k x x⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b+--+--=．因为直线与椭圆相切，所以其判别式的值为0，得()()222222200000200x a k x y k y b x a--+-=-≠．因为,PA PBk k是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以2222pA pBy bk kx a-⋅=-，因此2222001A Bp pk k x y a b⋅=-⇔+=+．进而可得2222x y a b+=+．二．割线同构比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，这样的同构方程可能是关于直线的某个关键参数的同解方程.例3. 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．设AB中点M，证明：PM垂直于y轴.解析：显然，PB PA ,均是等价的，那么它们的中点也是等价的，将其中点坐标代入抛物线的方程后，就可以得到关于参数的同构方程，进而求解.设()00,P x y ，2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，即满足：22014422y x y y ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭所以1y ，2y 为方程22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．例4.（2022新高考1卷）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ ∆的面积．解析：设过点A 的直线方程为1)2(+-=x k y ，直线l 的方程为m x k y +=0，联立解得00002,12k k mk k kk y k k k m x P P -+-=--+=，代入双曲线C 的方程1222=-y x 中，整理得0]4)1[(])2()1[(4]2)2(24[202000220=--++++-+-+-k m k k m k k m k m k ，这是关于k 的一元二次方程，方程的两根21k k 、分别为直线AQ AP 、的斜率.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，即021=+k k ，所以0)2()1(000=+++-k m k k m ，整理后分解得0)12)(1(00=-++m k k .因为直线l 不经过点A ，所以120≠+m k ，从而10-=k ，即l 的斜率为1-.点评：AQ AP ,的等价地位就意味着Q P ,等价，则Q P ,的坐标一定是曲线方程的同构解，此时若我们用PQ 的参数来表示Q P ,的坐标，再利用同构解来求得PQ 的斜率，这就是整个问题的基本思路. 三．同构方程过定点例5.（2019年全国三卷）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =．又因为212y x =，所以y'x =.故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=， 当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.习题演练．（2021全国甲卷）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．解析：（1）M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =， 若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)y x =-，又131********A A y y k y x x y y -==∴=-+，330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切；若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在， 则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++，所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+， 整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=，12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--， M 到直线23A A2123|2|y -+=22121111y y +===+， 所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切。
高考数学二轮专题-圆锥曲线中的双切线问题+课件
y2
(x x1)
y
4 y1 y2
x
y1 y2 y1 y2
x2 4y
联立
y
4 y1
y2
x
y1 y2 ，整理可得( y1 y1 y2
y2 )x2
16x 4 y1 y2
0
又因为A1A2与x2 4 y相切，故 162 16( y1 y2 ) y1 y2 0即：y1 y22 y12 y2 16 0,
2 y1 y3 1 1 ( y1 y3)2
(2 y1 y2 )2 1 ( y1 y2 )2 整理可得：(y12 1) y22 2 y1 y2 3 y12 0
同理可得：(y12 1) y32 2 y1 y3 3 y12 0
即y2 , y3为方程( y12 1) y2 2 y1 y
课后作业
1、已知C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的一个焦点为(
5,0)，离心率
为 5.
3
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点P(x0, y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两 条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
课后作业
2、已知圆G : (x 2)2 y2 r2是椭圆 x2 y2 1的内接三角形
同理可得：y1 y32 y12 y3 16 0，所以y2，y3为方程y1 y2 y12 y 16 0的两根
y2 y2
y3
y3
16 y1
y1
,
而lA2
A3
:
y
y2
4
y3
x
y2 y3 y2 y3
4 y1
x
16 y12
x2 4y
联立
y
圆锥曲线中的双切线题型(教师版)
两点.已知直线 OP ， OQ 的斜率存在，并分别记为 k1 ， k2 .
（ⅰ）求证： k1k2 为定值； （ⅱ）试问 OP 2 OQ 2 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.
【详解】（1）设椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的焦距为 2c ( c 0 )，则 2c
（2）设点
P
坐标为
t,
1
，切线斜率为
k
，过点
P
的切线方程为
y
k
x
t
1，联立方程
y
x2
kx
4
y
t
1
，消
去 y ，得 x2 4kx 4kt 1 0 ，由 16k 2 16kt 1 0 ，得 k 2 tk 1 0 ，记关于 k 的一元二次方程
k 2 tk 1 0 的两根为 k1, k2 ，则 k1, k2 分别为切线 PA, PB 的斜率，由根与系数的关系知 k1k2 1， 所以切线 PA 和 PB 互相垂直.
由于 MP⊥AB，∴kAB•KMP=﹣1⇒
故P
∴
．
2
例 4．已知 F1 ，F2 分别是椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 (a
b 0) 的左､右焦点，其焦距为 6 ，过 F1 的直线与 C 交于 A ，B 两
点，且 ABF2 的周长是12 2 .
（1）求 C 的方程；
（2）若 M (x0 , y0 ) 是 C 上的动点，从点 O ( O 是坐标系原点)向圆 xx02 yy02 6作两条切线，分别交 C 于 P ，Q
|
k1x0 y0 1 k12
|
6
化简得 (x02 6)k12 2x0 y0k1 y02 6 0 ；同理可得 (x02 6)k22 2x0 y0k2 y02 6 0 .
圆锥曲线的双切线问题初探
圆锥曲线的双切线问题初探蓝 婷深圳市第二高级中学； 广东深圳 518055【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。
【关键词】：圆锥曲线 ； 双切线 ； 切点弦方程一、研究背景圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。
我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。
笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题过程的目的。
二、定理证明为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：220Ax By Cx Dy Exy F +++++=，下面给出定理的证明。
引理：设()00,P x y 是圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上一点，则与该圆锥曲线切于点P 的直线方程为：000000()()()0222x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=。
证明：在圆锥曲线方程220Ax By Cx Dy Exy F +++++=两边求导，可得：220Ax Byy C Dy Ey Exy '''+++++=，所以：22Ax Ey Cy Ex By D++'=-++则切线方程为：0000002()2Ax Ey Cy y x x Ex By D++-=--++得：000000()(2)(2)()y y Ex By D Ax Ey C x x -++=-++-化简：220000000000002222222Ax By Cx Dy Ex y Ax x By y Cx Dy Cx Dy Ex y Exy ++++=+++++++ 因为()00,P x y 在圆锥曲线上，所以：220000002222220Ax By Cx Dy Ex y F +++++=整理得：000000()()()0222x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++= 定理：设()00,P x y 不在圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上，过点P 引该圆锥曲线的两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 的方程为：000000()()()0222x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 证明：设切点坐标()(),,,a a b b A x y B x y ，由引理可得：直线AP 方程：()()()0222a a a a a a x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++= 直线BP 方程：()()()0222b b b b b b x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=因为()00,P x y 在直线AP 且在直线BP 上，所以：000000()()()0222a a a a a a x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++= 000000()()()0222b b b b b b x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=以上两式说明：点()(),,,a a b b A x y B x y 均满足方程：000000()()()0222x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 所以切点弦AB 方程为：000000()()()0222x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=。
专题14圆锥曲线的切线问题
专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R --+--=.2.过椭圆22221x y a b +=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点,抛物线:和直线: (1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.当点在抛物线外时,直线与抛物线相交,其中两交点与点的连线分别是抛物线的切线,即直线为切点弦所在的直线.当点在抛物线内时,直线与抛物线相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ） A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设，由题意得，过点B 的切线l 的方程为： 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥当且仅当11112x yy x =，即111,x y ==时等号成立，所以OCD. 故选：C【反思】过椭圆上一点作切线，切线方程为：该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-= D ．3100x y --=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A -的切线l 的方程为()31124y x -+=，即40x y --=，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=--，即20x y +-=.故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为注意不要带错，通过对比本题信息，将这些数字代入公式，可求出切线，再利用直线垂直的性质求解. 3．（2022·江苏南通·一模）过点作圆的切线交坐标轴于点、则_________. 【答案】2- 【详解】 圆的圆心为，因为，则点在圆上，所以，所以，直线AB 的斜率为1AB k =-，故直线AB 的方程为()11y x -=--，即20x y +-=， 直线20x y +-=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，因此，故答案为：另解：过圆:上一点的切线方程为.可知，代入计算得到过点作圆的切线为：整理得：直线交轴于点，交轴于点， 所以，因此， 故答案为：【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
圆锥曲线中的双切问题
圆锥曲线中的双切问题### English Answer:Problem: Double Tangent Problem for Conic Sections.Detailed Answer:In mathematics, particularly in geometry, the double tangent problem for conic sections involves finding the number of tangents that can be drawn from an external point to a given conic section. It is a classical problem that has intrigued geometers for centuries.For a given conic section and an external point, the number of tangents that can be drawn to the conic depends on the relative positions of the point and the conic. In general, an external point can have up to four tangents to a conic section. Moreover, these tangents can be eitherreal or complex.The double tangent problem is to find the conditions under which an external point has exactly two real tangents to a conic section. This problem has been extensively studied, and various methods and formulas have been developed to solve it.One of the most common and useful methods to solve the double tangent problem is to use the concept of pole and polar with respect to a conic section. The pole of a line with respect to a conic is the point where the line intersects the conic. The polar of a point with respect to a conic is the line that joins the points of contact of the tangents drawn from the point to the conic.Using pole and polar, the double tangent problem can be reduced to finding the conditions under which the polar of an external point passes through the point itself. This leads to a system of equations that can be solved to determine the coordinates of the external point that has exactly two real tangents to the conic section.Another method to solve the double tangent problem isto use the concept of cross-ratio. The cross-ratio of four points on a line is a measure of how the points are distributed along the line. Using cross-ratio, the double tangent problem can be reduced to finding the conditions under which the cross-ratio of the four points of contact of the tangents drawn from an external point to a conic section is equal to -1.The double tangent problem has numerous applications in geometry and other branches of mathematics. It is used in the study of projective geometry, algebraic geometry, and differential geometry. It also has applications in optics, computer graphics, and robotics.In Summary:The double tangent problem for conic sections is a classical problem in geometry that involves finding the conditions under which an external point has exactly two real tangents to a conic section. Various methods and formulas have been developed to solve this problem, including the use of pole and polar and the concept ofcross-ratio. The double tangent problem has numerous applications in geometry and other branches of mathematics, as well as in optics, computer graphics, and robotics.### 中文回答：问题，圆锥曲线中的双切问题。
圆锥曲线的切线问题研究
例1：已知点P（x0，y0）是椭圆上的任意一点，求椭圆的切线方程。
解：当切线的斜率存在时，设过点P（x0，y0）的切线方程为y=kx+m，
代入椭圆方程得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2（m2-b2）=0，
∴，即k=-，
，，
，即。
当切线的斜率不存在时，过点P（x0，y0）的切线方程同样满足上式。
综上所述，椭圆的切线方程为。
2.过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点弦直线方程
例2：已知点P（x0，y0）是椭圆外一点，过P作椭圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求过两切点A，B的直线方程。
解：设两切点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则点A，B都在直线上，
∴此直线为切点弦AB所在的直线方程。
代入双曲线方程并化简整理得a2k2-m2-b2=0，
，
∴，即k=-，则m=-，
，即。
当切线的斜率不存在时，过点P（x0，y0）的切线方程同样满足上式。
综上所述，切线方程为。
2.过双曲线外一点作双曲线的两条切线，切点弦直线方程
例4：已知点P（x0，y0）是双曲线外一点，过P作双曲线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求过两切点A，B的直线方程。
圆锥曲线的切线问题研究
作者：肖翔
来源：《数学大世界·中旬刊》2020年第01期
【摘要】圆锥曲线的切线问题是高中阶段学生学习理解圆锥曲线的一个难点，以圆锥曲线的切线性质为背景的题目频频出现，引起广大教师和考生的广泛关注。如何正确作出切线，计算出切线方程已經成为高三学生应考的一个必备知识。
【关键词】圆锥曲线;切线
∴此直线为切点弦AB所在的直线方程。
“同构思想”秒杀圆锥曲线双切线问题及蒙日圆
公众：数学其实没那么难
例题剖析:
例 1.已知圆 O： x2 + y2 = 1， 若直线 y=kx+2 上总存在点 P，使得过点 P 作圆 O 的两条切线相互垂
直，则实数 k 的取值范围是______________．
【解析】由前述蒙日圆概念可知,P 点轨迹为圆: x2 + y2 = 2 , 由于点 P 又在直线 y=kx+2 上，即点 P
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“同构思想”秒杀圆锥曲线双切线问题
北京大学 钟老师 我们把过一点作圆锥曲线的两条切线的问题叫做圆锥曲线的双切线问题,该点可能
是定点也可能是动点,题目也可能给出两条切线的斜率的关系,此类双切线问题常常采用
同构的思想来解题.
数学中的同构式是指除了变量不同，而结构相同的两个表达式.
1. 若实数 a、b 分别满足 f (a) = 0 和 f (b) = 0 ，则它们呈现同构特征，由此 a、b 可视为方
既在圆上又在直线上，也就是说直线与圆恒有公共点，即直线与圆相切或相交，依据点到直线间的 距离 d≤r 可得 k≥1 或 k≤－1.
例 2.(2014 东北师大附中四模.20)给定椭圆 C:
x2
+
y
2
=
a2 b2
1 (a > b > 0) ,称圆心在原点 O,半径为
a2 + b2 的圆时椭圆 C 的”准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2, 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离
②
过双曲线
x2 a2
−
y
2
=
b2
1 (a > b > 0) 上任意不同两点 A、B 作椭圆的切线，若切线垂直且相
圆锥曲线的切线方程的探究
运用联想探究圆锥曲线的切线方程甘肃省陇西县第二中学张 红 霞我们把“由某人或某事想起其他的人或事，由某概念引起其他相关的概念”称之为联想。
联想是一种心理活动，也是一种思维过程。
联想是认知事物、探求知识的一种不可缺少的方法和途径。
联想用之于数学研究，效果亦佳。
现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆222r y x =+上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为200r y y x x =+，那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上一点),(00y x M 切线方程为12020=+by y ax x ；（2）当),(00y x M 在椭圆12222=+by ax 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+by y ax x证明：（1）22221x y ab+=的两边对x 求导，得22220x yy ab'+=，得0202x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20002()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y abab+=+= 。
（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a by ax 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别为),(11y x A 、),(22y x B 。
由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y y a x x 、12222=+b yy a x x 。
又因),(00y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、122202=+b y y a x x 。
观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+byy a x x 。
同构法巧解圆锥曲线的双切线问题
同构法巧解圆锥曲线的双切线问题圆锥曲线的双切线问题一直以来都是广泛研究的一个重要课题，也是几何学中一个极具挑战性的问题。
历来，圆锥曲线的双切线问题都是通过已知条件来求解，但其复杂性及耗费的时间也是一个值得重视的问题。
为了解决这一问题，一些学者提出了利用同构法巧解圆锥曲线的双切线问题的方法，其主要研究的是如何以最少的操作和最快的速度来求解这一问题，并极大地提高了求解效率，为此，本文以《同构法巧解圆锥曲线的双切线问题》为标题，讨论同构法巧解圆锥曲线的双切线问题的方法与相关理论。
一、同构法原理及研究基础同构是指将一个几何图形通过平移、旋转、放缩或其组合变换，再次同构到另一个几何图形，这样变换成的两个几何图形之间可以称之为同构图形。
两个同构图形之间具有相同的角度和距离关系，因此在同构变换下，两个图形会共享相同的几何空间，即使在另一个空间中，也可以在有限的步骤中实现相同的目标。
同构法巧解圆锥曲线的双切线问题是以几何变换同构法为基础而进行的研究，其具体的工作原理如下：首先，确定几何变换的类型，即一次同构变换或者多次同构变换；然后，求出变换前后所有相关几何元素的变换表（如角度、线长等）；最后，根据初始几何元素和变换表求出变换后所有几何元素的关系表。
这样，根据同构法巧解圆锥曲线的双切线问题的原理，可以避免大量的求解步骤，快速准确地求出双切线的坐标。
二、同构法巧解圆锥曲线双切线的求解方法1、确定几何变换类型首先，根据要求，需要确定几何变换的类型，即求解圆锥曲线的双切线需要使用什么几何变换，多次几何变换或者一次同构变换？一般情况下，如果需要求解的图形是复杂且有多个要素的，则建议采用多次几何变换的方法；如果图形的形状或规模不复杂，只包含几个要素的，则可以采用一次几何变换的方法。
2、变换表的求解接下来，根据几何变换的类型，求出变换前后相关几何元素的变换表，一般而言，多次几何变换时，需要根据每次变换的几何元素类型求出其变换表，而一次几何变换时，则可以根据变换后相关几何元素的坐标求出变换前元素的坐标，并求出变换表。
探究圆锥曲线切线的教学策略
探究圆锥曲线切线的教学策略圆锥曲线是数学中一个重要的概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆和双曲线有很多相似的性质，通过学习它们的切线可以帮助学生更好地理解和应用圆锥曲线的知识。
本文将提出几种教学策略，以帮助学生深入探究圆锥曲线切线的性质。
策略一：引导学生观察和发现引导学生通过观察和绘制椭圆、双曲线和抛物线的图形，观察曲线上的各种点和相应的切线。
让学生发现切线与曲线的位置关系，以及切线对于曲线的作用。
可以通过导入性问题或实际问题，引导学生思考切线的定义和性质。
策略二：通过实例分析切线性质选取一些典型的曲线方程，如椭圆的标准方程(x/a)² + (y/b)² = 1，让学生通过求导的方法求出相应的切线方程。
引导学生分析切线的斜率和曲线的斜率之间的关系，进一步了解切线与曲线的性质。
可以通过练习题和实际问题，让学生进一步巩固和应用切线的知识。
策略三：进行探究性实验通过进行一些简单的实验，如在椭圆的纸上剪一个小孔，然后用铅笔从小孔的一侧插入，观察铅笔与椭圆的位置关系。
让学生自己进行实验，并记录实验结果。
通过实验可以帮助学生更加直观地理解切线和曲线的关系，并培养学生的实践能力和观察能力。
策略四：引导学生进行证明在引导学生理解切线的基本概念之后，可以引导学生进行一些切线性质的证明。
让学生通过求导的方法证明椭圆上一点的切线与直径的夹角是直角，或证明双曲线上一点的切线与渐近线的夹角相等。
通过证明的过程，可以帮助学生进一步理解和掌握切线的性质。
策略五：提供多样化的教学资源和活动除了传统的教材和练习题外，可以给学生提供一些多样化的资源和活动，如使用动画软件演示切线的变化过程，或进行小组讨论和展示切线性质的项目。
通过多样化的教学资源和活动，可以激发学生的兴趣，提高学生的学习效果。
通过引导学生观察和发现、实例分析、实验探究、证明和提供多样化的教学资源和活动等方式，可以帮助学生深入探究和理解圆锥曲线切线的性质。
圆锥曲线成定角的两条相交切线交点的轨迹问题
ｓ
＋
两条切线相互垂 直 ， 则关 于 ｋ的方程⑤ 两根之 积为
一
等 （ｓ（ Ｉ： ）ｓ ＋Ｏ ｃ ｃ） ｏ ｏ－
１ 即 １ 一 ｏ ９ ＝ ， 以 ０ ＝１ ＋ ＝ ５ ， ６ Ｘ＋ 一 ２ ０ 所 ２ ２ ２ ６９ ２， ＋ 这是 以椭圆 中心为 圆心 、 ５为半径的 圆． 所 以轨迹方程为 ： ＋ ２ ２ ． ｙ＝５
ｅ・ ：Ｉ Ｉ ｏ ， ｈ ｌ ｓ ｅ Ｉ ｃＯ ｈ
得 ｌ ｋｋ ＝． ＋ 。 ｃ 交点为 Ｐ ｘ ，ｏ ， 切线 的方 程可 （ 。Ｙ） 则
以写成 ｙ ｋ ｘ ｘ） Ｙ ＝ ｘ ｙ－ｘ ． ＝ （ － ０ ＋ ｏ ｋ＋ ｏ ｋｏ ④
题进行 推广．
⑧
即 ａｋ＋２ ｍ ＝ ． ２￣ ｂ＿ ２ ０
⑨
又假设两条切线交点为 Ｐ ｘ，ｏ ， （。Ｙ） 则切 线的方程可
以写成
分 析与解析
注意到两条切 线相互垂 直 ， 因此两条
ｙ ｋｘ ｘ） Ｙ ＝ ｘ ｙ 一 ． ＝ （ － ０ ＋ ｏ ｋ＋ ０ ０
⑩
切线 的斜率乘 积 为一 ， １ 我们 以此 为契机 ， 设 椭 圆的切 假
如果 ０ ９ 。ＣＳ ０ ＝ ，ｉ９ 。 １ ａ－ ＝ ０ ，Ｏ ９ 。 ０ ｓ ０ ＝ ，２ ｂ ｎ 所 以 ＋ ａ－ 显然 ＝ ２ ｂ，
６ １
— ０ ＝ ，
这就是椭圆两条切线所成的角为 ０的交 点Ｐ ｘ ，ｏ （。Ｙ）
） ｉ ４ 口６－ 吨 ２ｃｓ ０ ｓ ＋ （２ ６ ｎ ｙ）ｏ ： ．
（２ 口ｋ） ＋ ａｋ ｘ ａｒ 一 ０ ｂ＋ ２ ｍ ＋ ２ ａｂ ＝ ． ｎ 则关于 的方程⑧有相等 的实数 根 ， 得
圆锥曲线的切点弦与应用
圆锥曲线的切点弦探究题引：由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，求即切点弦方程．一探：切点弦在圆中剖析1：由题意和图可得，过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，其切线的斜率都存在，设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为()13-=-x k y ，利用r d =，求出k ，进而求出切点坐标，利用直线的点斜式即可．尽管运算较复杂，但却是解析几何中最基础、最重要的方法．解法1：如图75—1所示，设过P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：()13-=-x k y ⇒03=-+-k y kx ．由题意易得r d =⇒3132=+-k k⇒0=k ，或43-=k ．故设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：1l ：3=y ，2l ：01543=-+y x ． 设两个切点分别为A 、B ，则联立3=y 与922=+y x ⇒)30(，A ．01543=-+y x 与922=+y x ⇒B （51259，）．故由两点式或点斜式易得两切点A 、B 所在的直线方程为093=-+y x ．剖析2：如图75—1所示，设两个切点分别为A 、B ，利用逆向思维及抽象思维，由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，亦可看作分别过A 、B 作圆922=+y x 的两条切线相交于P ．解法2：设切点A(11y x ，)，切点B(22y x ，)，则过A ，B 的圆的切线方程为：3l ：0911=-+y y x x ，4l ：0922=-+y y x x ．又3l 及4l 都过P(1，3)，由此得到09311=-+y x ， 09322=-+y x ．从具体到抽象，则过两个切点的直线方程为093=-+y x ．剖析3：因为过P(1，3)引922=+y x 的两条切线切线分别为PA 、PB ，则有2π=∠PAO ，2π=∠PBO ．联想到初中的四点共圆，得到巧解．解法3：如图75—1所示，由图和题意及上面的剖析得到四点P 、A 、O 、B 共圆，且圆的直径为OP ，以直径的OP 为直径的圆的方程为：0322=--+y x y x ．那么过A ，B 的直线就是圆0322=--+y x y x 与圆922=+y x 的公共弦，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析4：由上述解法3得到启示，切点弦其实就是以P 点为圆心，以PA 为半径的圆与圆922=+y x 的公共弦．解法4：由题意易得PO =10，在POA Rt ∆中，PA =1，则以P 点为圆心，以PA 为半径的圆的方程为1)3()1(22=-+-y x ，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析5：利用初中的切割线性质及其三角形相似性质．解法5：设两个切点分别为A 、B ，连接AB 与PO 相交于Q ，则有=OQ k OP k 30103=--=31-=⇒AB k ． 由于直线OQ 的方程为x y 3=，于是令)3(x x Q ，，利用 OBP ∆∽OQB ∆⇒OBOQOP OB =⇒3)30()0()30()10(32222x x -+-=-+-⇒109=x ⇒)1027109(，Q ⇒⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 这正是所要求的切点弦AB 的直线方程．剖析6：利用定比分点公式得到一种很少人使用的好方法．解法6：如图75—1所示，连接AB ，PO ，设AB 与PO 相交于点C ，则由平面几何中的射影定理等知识得到=COPC =POCO PO PC 22OAPA =91⇒λ=91． 由定比分点公式得到C x =9111+=109，C y =9113+=1027．上述解法5已得31-=AB k ，由直线的点斜式得到 ⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 二探我们知道：切点弦所在直线就是二个切点的连线，而切点是直线与圆锥曲线相切得到的交点，因此我们先从圆锥曲线的切线入手来展开探究．结论1：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+上，过点M 作圆的切线方程为200R y y x x =+．结论2：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200R y y x x =+．结论2：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．证明：由上述结论2可得过)(p p y x P ，的圆的切点弦AB 的直线方程为2R y y x x P P =+．又弦AB 过点M （0x ，0y ），即200R y y x x P P =+，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．上述结论能推广到圆心不在原点的情况吗？回答是肯定的！结论3：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-上，过点M 作圆的切线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：200))(())((R b y b y a x a x =--+--．那么对于圆的一般方程呢？也会得到同样的结论吗？结论5：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 上，过点M 作圆的切线方程为0220000=++++++F yy E x x Dy y x x ． 结论6：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ． 结论6：（补充）点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ． 运用类比推理，那么椭圆会有相似的结论吗？回答是肯定的！ 我们知道：椭圆方程可以通过变换得到圆的方程，于是得到结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+byy a x x ． 证明：由上述结论8可得过)(p p y x P ，的椭圆的切点弦AB 的直线方程为122=+byy a x x P P ，又弦AB 过点M （0x ，0y ），即12020=+by y a x x P P ，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线12020=+byy a x x ． 我们知道圆与椭圆均属于封闭曲线，那对于非封闭曲线，如双曲线是否也有同样的性质呢？回答也是肯定的！结论9：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）上，过点M 作双曲线的切线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=-byy a x x ． 我们知道圆、椭圆及双曲线均属于有心二次曲线，那对于无心二次曲线，如抛物线来说，上述性质能继续得到延伸吗？回答还是肯定的！结论11：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）上，过点M 作抛物线的切线方程为)(00x x p y y +=．结论12：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为)(00x x p y y +=．结论12：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：)(00x x p y y +=．上述研究的都是圆锥曲线的标准形式，那么对于圆锥曲线的非标准形式是否也有类似的结论呢？结论13：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 上，过点M 作椭圆的切线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论14：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论15：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-b n y a m x 外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论17：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 内，过点M 作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ．结论17：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()m x x p n y n y 200-+=--．由上述结论8、10、12及结论16、17、18可得：结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．以下证明结论19:证明如下：设椭圆方程为12222=+by a x ，M⎪⎪⎭⎫⎝⎛t c a ，2，由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12=+btyc x ，显然过焦点)0(，c F ．当然容易验证：1-=⋅MF AB k k ． 同理可证结论20、21．事实上，结论19、20、21的逆命题也是成立的．由此得到：结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上．结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．以下证明结论22:证明如下：设M （0x ，0y ），由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ，因过焦点)0(，c F ，则有120=acx ，即c a x 20=，故点M 必在相应的准线c a x 2=上． 同理可证结论23、24．结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论27：M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．以下证明结论27：证明如下：由结论21可得AB 必为切点弦，因点M 在对称轴上，由对称性可得A ，B 也关于对称轴对称，故AB 就是通径．同理可证结论25、26．结论28：过抛物线px y 22=（0>p ）的对称轴上任意一点)0,(m M -（0>m ）作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(m N ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论11得到切线AM 的方程为)(11x x p y y +=．又切线AM 过)0,(m M -（0>m ），代入推出m x =1，同理m x =2，即切点弦AB 所在的直线方程为m x =，故必过点)0,(m N ．结论29：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的对称轴上任意一点),(n m M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）当0=n ，a m >时，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2m a P ； （2）当0=m ，b n >时，则切点弦AB 所在的直线必过点),0(2nb Q ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论7得到切线AM 的方程为12121=+byy a xx ． 又由于切线AM 过点),(n m M ，则得到12121=+bny a m x ． （1）当0=n ，a m >时，即点M 在x 轴时，代入得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ． （2））当0=m ，b n >时，即点M 在y 轴时，代入得到n b y 21=，同理n b y 22=，即切点弦AB所在的直线方程为n b y 2=，故必过点),0(2nb Q ．结论30：过双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的实轴上任意一点)0,(m M （a m <）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2ma P ． 证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论9得到切线AM 的方程为12121=-byy a xx ．又由于切线AM 过点)0,(m M ，则得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ． 结论31：过抛物线px y 22=（0>p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．证明如下：如图所示，令),2(121y p y A ，),2(222y pyB ，则221y y y N +=，又由结论11得到切线AM ，BM 的方程分别为：)2(211p y x p y y +=，)2(222p yx p y y +=⇒)(21y y y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-p y y y y p 2))((2121 ⇒M y 221y y +=⇒N M y y =．故直线MN 必与其对称轴平行．结论32：若椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）与双曲线12222=-ny m x （0>m ，0>n ）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．证明如下：由题意易得2222n m b a +=-⇒2222n b m a +=-．令其交点M （0x ，0y ），则代入上述椭圆及双曲线方程得到1220220=+b y a x ，122220=-ny m x ⇒220y x =)()(22222222m a n b n b m a -+．依据结论7及结论9得到过点M 的椭圆与双曲线的切线方程分别为：12020=+b y y a x x ，12020=-nyy m x x ⇒21k k =20202222y x m a n b ⋅-=2222ma nb -+-=1-． 结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设椭圆方程为：12222=+b y a x （0>>b a ）由已知条件易得BQAQ BPAP =，令P 分有向线段AB 所成的比为λ，结合图便知Q 分有向线段AB 所成的比为λ-，设),(00y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x Q ，由定比分点公式推出⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x ⇒⎩⎨⎧+=++=+210210)1()1(y y y x x x λλλλ． ⎪⎩⎪⎨⎧--=--=λλλλ112121y y y x x x ⇒⎩⎨⎧-=--=-2121)1()1(y y y x x x λλλλ． 由上述两式结合并相乘得到⎩⎨⎧-=--=-22221202222120)1()1(y y yy x x xx λλλλ ⇒⎩⎨⎧-=--=-)()1()()1(222212220222212220y y a a yy x x b b xx λλλλ． ① 事实上，两个交点A ，B 都在椭圆上，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22222222221221)(1λλb y a x b y a x ． 由上述两式结合并相减整理得到+-)(222212x x b λ)(222212y y a λ-=)1(222λ-b a ． ②由①及②推出12020=+byy a x x ． 由结论33及圆锥曲线的共性同理可得：结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论33及其结论34的证明完全雷同于结论33的证明过程．结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设双曲线方程为：12222=-b y a x （00>>b a ，），我们令),(00y x P ，),(''y x Q ，由前面结论10可得切点弦AB 所在的直线方程为12'2'=-byy a xx ，又点P 在直线AB上，则12'02'0=-by y a x x ，即),(''y x Q 在直线12020=-b y y a x x ，故动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．由结论36及圆锥曲线的共性同理可得：结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论37及其结论38的证明完全雷同于结论36的证明过程．结论39：从椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论40：从12222=-by a x （00>>b a ，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．三、一题多用的教学价值应用1．（补充）（2011年江西省高考试题）椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点⎪⎭⎫⎝⎛211，作圆122=+y x 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程．分析如下：由上述结论2可得切点弦AB 的直线方程为121=+y x ，因此可得右焦点为 )01(，，上顶点为)20(，，即1=c ，1=b ，故椭圆的方程为14522=+y x ． 应用2：（补充）（2012年福建省厦门一中模拟试题）设P 是抛物线x y 22=上的一个动点，过点P 作抛物线的切线与圆：122=+y x 相交于M 、N ，分别过M 、N 作圆的切线相交于Q ，求动点Q 的轨迹方程．分析如下：设)(00y x P ，，)(11y x Q ，，显然0202x y =，由上述结论11可得过点)(00y x P ，的抛物线的切线MN 方程为00x x y y +=，再由上述结论2可得过点)(11y x Q ，的圆的切点弦MN 直线方程为111=+y y x x ，依据两条直线重合，则对应项系数成比例得到101x x -=，110x y y -=，并代入0202x y =得到1212x y -=． 联立方程组：122=+y x 与00x x y y +=得到012)1(2000220=-+-+x y y x y y ，利用判别式可得0>∆，即2100+<<x ，即211-<x ，故动点Q 的轨迹方程1212x y -=，且211-<x ，即动点Q 的轨迹方程x y 22-=（21-<x ）．应用1．（2010年浙江省高中会考试题）设点)(n m P ，在圆222=+y x 上，l 是过点P 的圆的切线，且切线l 与抛物线k x x y ++=2相交于A ，B ． （1）若2-=k ，点P 恰好是线段A B 的中点，求点P 坐标；（2）是否存在实数k ，使得以A B 为底边的等腰三角形AOB 恰有3个？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．分析如下：（1）由结论1可得切线l 的方程为2=+ny mx （0≠n ），设)(11y x A ，，)(22y x B ，，将切线l 的方程与抛物线方程联立可得0)1(2)(2=+-++n x n m nx⇒m nm x x =+-=+221⇒mn n m -=+． 将之与222=+n m 联立解得⎩⎨⎧-=-=11n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=231231n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=231231n m ． 代入0>∆验证可得)11(--，P ，)231231(+-，P ． （2）由（1）可得以A B 为底边的等腰三角形AOB 当且仅当点P 恰好是线段A B 的中点，等腰三角形AOB 恰有3个可相应地转化为点P 有三解，故只要（1）中的三个解都满足0>∆，可得2331--<k ． 应用2．（课本习题）求证：椭圆192522=+y x 与双曲线111522=-y x 在其交点处的切线相互垂直． 证明如下：易得椭圆与双曲线的焦点相同，由结论32即可得证．应用3．（2008年安徽省高考试题压轴题第22题）设椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）过点)1,2(M ，且左焦点)0,2(1-F ．（1）求该椭圆的方程；（2）当过点)1,4(P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，在线段AB 上任取一点Q ，=，证明点Q 总在某条定直线上．分析如下：（1）由已知易得所求椭圆的方程为12422=+y x ． （2）直接利用结论33即可得证．应用4．（2008年江西省高考试题第21题）设点()00,P x y 在直线(),01x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，定点M (m1，0)． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程； （2）求证：A M B 、、三点共线．分析如下：（1）（略）．（2）由结论10显然可得切点弦AB 所在的直线方程为100=-y y x x ，由于点P 的坐标为（m ，0y ），即m x =0，于是切点弦AB 所在的直线方程为10=-y y mx ，显然定点M (m1，0)满足该方程，于是三点A M B 、、共线．值得注意的是：其实，纵观近几年的高考试题，不难发现一个共同之处，那就是如果压轴题是解析几何，几乎其结论都是带有规律的普遍性结论，如2008年江西省高考试题第21题就是结论36的特例，2008年安徽省高考试题压轴题第22题就是结论33的一个特例．应用5．（2008年南通市第一次调研试题）已知点)10(，F ，点P 在x 轴上运动，点M 在y 轴上，N 为动点，且满足：0=⋅，+=．（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）由直线1-=y 上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AQ ⊥BQ ．分析如下：（1）设)(y x N ，代入已知条件易得动点N 的轨迹C 的方程为y x 42=． （2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论21可得AQ ⊥BQ ．应用6．（2006全国高考试题）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（1）证明FM →·AB →为定值；（2）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．证明如下：（1） F 点的坐标为(0,1)设点A 、点B 的坐标分别为211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由(0).AF FB λλ=>可得221212,1,144x x x x λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒1222121(1)44x x x x λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩． 由上述结论11可得过A 点、B 点的切线方程分别为2111()42x x y x x -=-，2222()42x xy x x -=-．联立可得点M 的坐标，代入得到FM →·AB →=0． （2）由（1）可得FM AB ⊥，我们易得2FM AB ==⇒2)(ABFM f S ⋅==λ=41213≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλ（当且仅当1λ=时取等号）．应用7．（2008年广东省（理科）高考试题）椭圆方程122222=+by b x （0>b ），抛物线方程为)(82b y x -=．如图所示，过点)20(+b F ，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 处的切线经过椭圆的右焦点1F ． （1）求满足条件的椭圆与抛物线方程；（2）设A ，B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP ∆为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．分析如下：（1）事实上，点)20(+b F ，就是抛物线的焦点，易得)24(+b G ，，由上述结论15易得抛物线在点G 处的切线方程为2-+=b x y ，显然椭圆的右焦点1F )0(，b ，代入得到1=b ，故椭圆方程11222=+y x ，抛物线方程为)1(82-=y x ．（2）因为过点A 作x 轴的的垂线与抛物线只有一个交点P ，所以以PAB ∠为直角三角形只有一个；同理以PBA ∠为直角三角形也只有一个．若以APB ∠为直角，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+1812x x P ，，因为)02(，-A ，)02(，B ，则有⋅=14564124-+x x =0． 易得上述方程只有两解，即以APB ∠为直角的三角形存在两个． 综上所述，抛物线上存在四个这样的点P ，使得ABP ∆为直角三角形． 应用8．证明结论39．证明如下：设椭圆上切点M )sin cos (ααb a ，，由结论7可得过点M 的切线方程为1sin cos 22=+by b a x a αα⇒ab y a x b =+ααsin cos ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααsin cos sin ac y b x a =-． 上述两式平方相加即可得证．四、一组巩固训练题练习1．从191622=-y x 的右焦点向双曲线的动切线引垂线，求垂足的轨迹图形的面积． 练习2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，点)10(，B ，点)0(，a A （0≠a ）是x 轴上的动点，过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ，在直线AD 上取点P ，使得AD AP =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）点Q 是直线1-=y 上的一个动点，过点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求证：MQ ⊥NQ ．练习3．（2005年江西省高考试题）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程； （2）证明∠PFA=∠PFB ．练习4．（2010年江西省九江一中模拟试题）开口向上的抛物线2:ax y C =与经过点)0,3(A 且斜率为)0(<k k 的直线l 相交于点M 、N ，已知抛物线C 在点M 、N 处的切线所成的角为55arccos，并且18||||=AN AM ，求直线l 与抛物线C 的方程． 练习5．证明结论40．练习6．（2004年济南市高考模拟试题）过椭圆C ：14822=+y x 上一点)(00y x P ，向圆O ：422=+y x 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 与x 轴、y 轴相交于M 、N ． （1）试用0x ，0y 来表示直线AB 的方程； （2）求MON ∆面积的最小值．练习7．（2005年福建省模拟试题）从直线x y =上任一点P 引抛物线12+=x y 两条切线，切点分别为A ，B ，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程．五、巩固训练题参考答案1．分析如下：由结论40可得垂足的轨迹方程为1622=+y x ，则图形面积为π16．2．分析如下：（1）易得动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=（0≠y ）．（2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论可得MQ ⊥NQ ．3．分析如下：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，由上述结论11可得切线AP ，BP 的方程分别为为：02200=--x y x x ，02211=--x y x x ，解得10102x x y x x x P P =+=， ⇒P PG x x x x x =++=310，3310212010x x x x y y y y P G ++=++=343)(210210pP y x x x x x -=-+= ⇒243GG p x y y +-=． 由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：02)43(2=-+--x y x ⇒)24(312+-=x x y ．（2）).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x x x x x x x由于P 点在抛物线外，则0||≠FP ，由此可得||||cos FA FP AFP =∠41)1)(1(102010010x x x x x x x x +=--+⋅+=． 同理可得41cos 10x x BFP +=∠，故∠AFP=∠PFB ．4．分析如下：设),(211ax x M 、),(222ax x N ，不妨设M 在第一象限，N 在第二象限，由结论11可得抛物线在点M 处的切线斜率为12ax ，点N 处的切线斜率为22ax ，设两条切线所成的角为α，则2tan =α，即241)(221212=+-x x a x x a ⇔)(4112212x x a x x a -=+． ① 由于M 、N 、A 共线，所以33222121-=-x ax x ax ⇒)(32121x x x x += ． ②由已知18||||=⋅AN AM ，则有18),3(),3(222211=-⋅-ax x ax x ⇒933222122121=+--x x a x x x x ．将②代入得到922212=x x a ，又0>a ，01>x ，02>x ，则有321-=x ax ，ax x 321-=． ③ 将③代入②得到ax x 121-=+． ④ 将③代入①得到12112-=-ax x ． ⑤ 将③、④、⑤代入21221212)(4)(x x x x x x +=+-得到22)1()3(4)121(a a a -=-+-⇒41=a ，0=a （舍去）． 将41=a 代入④、⑤得6,221-==x x ． 故直线l 的方程为：3+-=x y ，抛物线C 的方程：241x y =． 5．证明如下：设双曲线上切点M )tan sec (ααb a ，，由结论9可得过点M 的切线方程为1tan sec 22=-by b a x a αα⇒ab y a x b =-ααtan sec ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααtan sec tan ac y b x a =+．上述两式平方相加即可得证．6．分析如下：（1）由结论2可得直线AB （切点弦）的方程为400=+y y x x ．（2）由（1）易得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040，x M ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040y N ，，则三角形面积公式及均值不等式可得 =S 008y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛22222200y x 2248222020=+≥y x ． 7．分析如下：设)(00y x P ，，)(y x Q ，，)(11y x A ，，)(22y x B ，，由结论12可得切点弦AB 的方程为1200+=+x x y x ，即02200=-+-x y x x ，与12+=x y 联立得到 012002=-+-x x x x ⇒0212x x x =+．)22()22(02001021x x x x x x y y -++-+=+=424020+-x x⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+==+=222202021021x x y y y x x x x ⇒222+-=x x y ．。
有关圆锥曲线弦切线问题
关于圆锥曲线的弦切线问题武汉市青山区第四十九中学 李清华联系电话；67119386在华中师范大学继续教育学院参加了为期5天的新教材的培训，听了张景中院士的超级画板与高中数学课程的整合的报告，学习了郭熙汉、徐学文教授对高中新教材的解读及几个特级教师精彩的报告。
同时听了彭树德老师的一节公开课。
受益非浅。
在讲解中田化谰老师、刘运新老师、朱运才老师都讲到一个解析几何问题，即设点00(,)P x y 在直线2px -=上，过点P 作抛物线)0(22>=p px y 的两条切线PA PB 、，切点为A 、B ，求证直线AB 过定点)0,2(PM 。
此结论可以推广为设点00(,)P x y 在直线(,01)x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A 、B ，求证直线AB 过定点1(,0)M m.这类题是关于圆锥曲线的弦切线问题，它把代数和解析几何有效的结合起来，它是近几年高考的热点。
如何处理这样的问题？而且还可以推广到其他圆锥曲线，并且还可以推广到更一般的情形。
下面介绍关于圆锥曲线的弦切线有两个结论。
结论一；直线与圆锥曲线无交点过直线上任意一点作他的切线切点弦所在的直线恒过一定点 结论二；圆锥曲线过一定点的弦与圆锥曲线有两个交点过两交点的切线的交点的轨迹是一条直线证明结论一，以椭圆为例直线Ax+By+C=0(A ∙B ≠0)与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相离，点M （x 0，y 0）是直线上的任意一点，过M 点作椭圆的切线，切点分别为点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）过P 、Q 的切线为1,122222121=+=+byy a xx b yy a xx 且000=++C By Ax 又两切线过M 点所以1,122022*******=+=+by y a x x b y y a x x 所以直线12020=+byy a xx （1） 是切点弦所在的直线方程又x 0，y 0满足000=++C By Ax （2）若A ≠0时，则将（2）代人（1）得直线PQ 恒过点（CBb C Aa 22,--）（C ≠0）其它的圆锥曲线同样证明。
关于圆锥曲线中两垂直切线交点的轨迹
关于圆锥曲线中两垂直切线交点的轨迹在教学圆锥曲线过程中，有一些非常有价值的结论，对处理问题有事半功倍的效果。
标签：圆锥曲线；互相垂直切线；交点；结论笔者通过对圆锥曲线的两条垂直切线交点轨迹问题的研究发现了下面几个结论：结论1：椭圆+=1两条互相垂直切线的交点的轨迹是x2+y2=a2+b2.证明：设M（x0，y0）为椭圆+=1①两条互相垂直的切线的交点，k为过M 点所作这椭圆的切线的斜率，则这条切线的方程为y-y0=k（x-x0）②由①②可得b2x2+a2[y0+k（x-x0）]2-a2b2=0，即（b2+a2k2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0③由题意可得：Δ=4k2（y0-kx0）2a4-4（b2+a2k2）[a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化简得（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0.当a2≠x20时，设此方程的二根为k1，k2，则k1·k2=-1，即=-1，故得x20+y20=a2+b2.当a2=x20时，此时切线MT⊥x轴，切线MT′⊥y轴，即x0=a，y0=b故点M的轨迹方程是x2+y2=a2+b2，即点M的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆.根据双曲线与椭圆的相似性，可以类比得到：结论2：双曲线-=1两条互相垂直切线的交点的轨迹是x2+y2=a2-b2.当a>b时，轨迹是以原点为圆心，为半径的圆；当a=b时，轨迹是（0，0）；当a<b时，轨迹不存在.结论3：抛物线y2=2px两条互相垂直切线的交点的轨迹是x=-.证明：切线PA的方程为y1y=p（x+x1），切线PB的方程为y2y=p（x+x2）.∵P（x0，y0）为这两切线的交点，∴y1y=p（x0+x1）①y2y=p（x0+x1）（②①÷②，得：=-，由此得x0===.①-②，得：（y1-y2）y0=p（x1-x2）y0===，又kPA·kPB=-1，即·=-1，故y1y2=-p2，則x0=-，故抛物线的两垂直切线的交点在准线上，故抛物线y2=2px两条互相垂直切线的交点的轨迹是x=-.。
第1讲：圆锥曲线的双切线处理技巧
第1讲：圆锥曲线的双切线处理技巧1.知识要点.这道试题主要的点在算理，即计算中如何合理的处理双切线，我总结如下：已知曲线外一点),(001y x A ,向二次曲线C 引两条切线3121,A A A A ，设),(),,(223112y x A y x A . 第1步：分别写出切线3121,A A A A 的方程（注意斜率）；第2步：联立3121,A A A A 与曲线C 的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以1A 的0x 或0y 坐标为参数，进一步构造32,A A 点横或纵坐标满足的同构方程方程③；第3步：利用方程③根与系数的关系判断32A A 与曲线的位置关系，或完成其他问题.1．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴=，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=； （2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =， 若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ， 则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)y x =-，又131********A A y y k y x x y y -====∴=-+， 330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切； 若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在， 则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++， 所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+， 整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=， 12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A 的距离为：2123|2|y -+=22121111y y +===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切.3.练习. （2020成都三诊）．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F ，点1,2Q ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点. （i ）求证：0OM ON +=； （ii ）求OAB 的面积的取值范围.（Ⅰ）∵椭圆C的左焦点()1F，∴c =将1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y a b +=，得221314a b +=.又223a b -=，∴24a =，21b =. ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y .①当直线PA ，PB 的斜率都存在时，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为()00y k x x y =-+.由()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ， 得()()()2220000148440kxk y kx x y kx ++-+--=.()()()222200006441444k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()22200004210x k x y k y -++-=.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .∴2122014y k k x -=-.又22005x y +=，∴()220012220154144x x k k x x ---===---. ∴PM PN ⊥，即MN 为圆O 的直径，∴0OM ON +=.②当直线PA 或PB 的斜率不存在时，不妨设()2,1P ，则直线PA 的方程为2x =. ∴()2,1M -，()2,1N -，也满足0OM ON +=.综上，有0OM ON +=. （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y .当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为()111y k x x y =-+.由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--=. ()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=.则11111122111444x y x y x k x y y --=-==- ∴直线PA 的方程为()11114x y x x y y -=-+. 化简可得22111144x x y y y x +=+，即1114x xy y +=.经验证，当直线PA 的斜率不存在时， 直线PA 的方程为2x =或2x =-，也满足1114x xy y +=. 同理，可得直线PB 的方程为2214x xy y +=. ∵()00,P x y 在直线PA ，PB 上，∴101014x x y y +=，202014x xy y +=. ∴直线AB 的方程为0014x xy y +=. 由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得()22200035816160y x x x y +-+-=.∴01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+.∴12x AB =-=)223135yy+==+.又点O到直线AB的距离d==∴)22311235OABySy+=⋅+△=t=，[]1,4t∈.则24444OABtSt tt==++△.又[]44,5tt+∈，∴OAB的面积的取值范围为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
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圆锥曲线的双切线问题初探
蓝 婷
深圳市第二高级中学； 广东深圳 518055
【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。
【关键词】：圆锥曲线 ； 双切线 ； 切点弦方程
一、研究背景
圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。
我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。
笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题过程的目的。
二、定理证明
为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：
220Ax By Cx Dy Exy F +++++=，下面给出定理的证明。
引理：设()00,P x y 是圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上一点，则与该圆锥曲线切于点P 的直线方程为：000000(
)()()0222
x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=。
证明：在圆锥曲线方程2
2
0Ax By Cx Dy Exy F +++++=两边求导，可得：
220Ax Byy C Dy Ey Exy '''+++++=，所以：22Ax Ey C
y Ex By D
++'=-
++
则切线方程为：0000002()2Ax Ey C
y y x x Ex By D
++-=-
-++
得：000000()(2)(2)()y y Ex By D Ax Ey C x x -++=-++-
化简：220000000000002222222Ax By Cx Dy Ex y Ax x By y Cx Dy Cx Dy Ex y Exy ++++=+++++++ 因为()00,P x y 在圆锥曲线上，所以：220000002222220Ax By Cx Dy Ex y F +++++=
整理得：000000(
)()()0222
x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++= 定理：设()00,P x y 不在圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上，过点P 引该圆锥曲线的两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 的方程为：
000000(
)()()0222
x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 证明：设切点坐标()(),,,a a b b A x y B x y ，由引理可得：
直线AP 方程：(
)()()0222a a a a a a x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++= 直线BP 方程：()()()0222
b b b b b b x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=
因为()00,P x y 在直线AP 且在直线BP 上，所以：
000000(
)()()0222a a a a a a x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++= 000000()()()0222b b b b b b x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=
以上两式说明：点()(),,,a a b b A x y B x y 均满足方程：
000000(
)()()0222
x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 所以切点弦AB 方程为：000000()()()0222x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=。
三、定理应用
例1、（2007年浙江省高中数学竞赛）若P 、Q 为圆2
2
1x y +=的两动点，且满足圆内一点
10,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得2PAQ π∠=，求过点P 、Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程。
解：设()00,M x y 、()11,P x y 、()22,Q x y ，根据定理，则切点弦PQ 的方程为：001x x y y += 联立方程：0022
1
1
x x y y x y +=⎧⎨
+=⎩，得：2222
0000()210x y x x x y +-+-=
则：01222002x x x x y +=+，201222001y x x x y -=+，01222002y y y x y +=+，2
1222
00
1x y y x y -=+ 因为：2
PAQ π
∠=
，所以PA PB ⊥，即：1PA PB k k =-
则：121211()()022
x x y y +--=，即：22
00033480x y y ++-=
所以M 的轨迹方程为：22
33480x y y ++-=
例2、（2008年江西高考14题）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点(1，1
2)作圆
221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆方程。
解：根据定理，则切点弦AB 的方程为：1
1102
x y ⋅+⋅-=，即：22y x =- 由题可知：直线22y x =-过点(,0)c 和(0,)b
所以1c =，2b =
，则a =22
154
x y +=。
例3、（2008年江西高考21题）设点00(,)P x y 在直线(,01)x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线2
2
1x y -=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点1
(,0)M m。
（1）求证：三点A 、M 、B 共线；
（2）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在曲线方程。
解：（1）因为P 在直线x m =上，则0(,)P m y ，根据定理，则切点弦AB 的方程为：
010,xm yy --=即：00
1m y x y y =
- 将点1
(
,0)M m
代入直线AB 的方程，有00110m y m y =⋅-成立，
所以点M 在直线AB 上，所以A 、M 、B 三点共线。
（2）略。
例4、（2013年广东高考22题）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)(0)F c c >到直线
:20l x y --=
，设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其
中A ，B 为切点；
（1）求抛物线C 的方程；
（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB ； （3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值。
解：（1）易得抛物线C 方程：2
4x y =。
（2）根据定理，则切点弦直线AB 的方程为：
004(
)0,2y y xx +-=即：002
x
y x y =-，又因为P 在直线l 上，则002y x =-
所以直线AB 的方程为：0
022
x y x x =-+。
（3）略。
本文的定理在解决圆锥曲线的双切线问题时会使得过程得到极大的简化，且切点弦方程000000(
)()()0222
x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=与圆锥曲线的方程在形式上是非常相似的，显得非常的漂亮，很容易记忆。
通过以上几个例子的应用，我们可以充分体会定理在解决高考题上的妙处。
参考文献：
[1] 周顺钿．常见圆锥曲线的切点弦方程[J]．中等数学，2009（3）．
[2] 王知涛，浅谈圆锥曲线的切点弦方程[J]．学习方法报●语数教研周刊，2011（4）．。