弹塑性力学02解析

（2） 当 位移分量u、v 、 w已知，则6个应变分量可完全确定； 反之，已知6个应变分量，不能确定位移分量。 （积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
（3） 几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运动的原因 和材料的物理性能，对一切连续介质力学问题都适用。
2-2 应变张量
➢ 应变张量 其中
ij
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
I3 x y z 2 xy yz zx
(
x
2 yz
2
y zx
z
2 xy
)
1, 2, 3
3 I1 2 I2 I3 0
I1 x y z
I2 x y y z z x
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
I3 x y z 2 xy yz zx
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x x (x, y, z),; xy xy (x, y, z), x
➢位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移分量；
位移分量： v —— y方向的位移分量；
z
C
z y
x P B
A
O
y
z
w
P
S
u Pv
O
y
w—— z方向的位移分量。
➢ 具体作法就是，只要将应力分析中所得结 果中的应力张量分量用相应的应变张量分 量代替，即得到相应的应变张量分析结果。
➢ 下面举例说明
2－3 主应变
应力分析
应变分析
将各应力张量分量用相应的应变张量分量替换
v3 I1 v2 I2 v I3 0
I1 x y z
I2 x y y z z x
第2章 应变分析
1. 一点的应变状态，应变与位移的关系 2. 应变张量与应变偏量 3. 主应变 4. 应变协调方程
➢ 在外力作用下，物体内各点的位置要发生 变化，即发生位移。如果物体各点发生位 移后仍保持各点间初始状态的相对位置， 则物体实际上只产生了刚体移动和转动， 称这种位移为刚体位移。如果物体各点发 生位移后改变了各点间初始状态的相对位 置，则物体就同时也产生了形状变化，统 称为该物体产生了变形。
v v dx x
B
A
变形前 P
A
变形后
P
u v
u u dx
x
A v v dx
x
v v dy y
B
u u dy y
u u dy
B
B
y v v dy
y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
O
u
P
dx
x
u
u dx
x
v P A
dy
v v dx x
是唯一确定的。
➢ 反之,已知应变分量求位移分量,需通过积分运算。 -------从数学上看，6个方程求3个未知量，如有解，则
6个方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才 有可能得到唯一的位移解。
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
1, 2, 3
应变偏量
应变 张量
ij
x yx
zx
xy y zy
xz yz
z
应 变 分 量
x
0
(
x
0)
y 0 ( y 0 )
z 0 ( z 0 )
应变偏 量张量
eij
eij
xyxee0yxx
exyxy ey y
e 0e
➢ 请写出下列参量的表达式：
最大剪应变 任意斜截面上的正应变和剪应变 应变等倾面上的正应变和剪应变 应变偏量不变量J1、J2、J3 应变形式指数，应变状态特征角 应变罗德角，应变罗德参数 应变强度（等效应变）
➢ 绘出：
应变星圆 应变摩尔圆
2－4 应变协调方程
➢ 应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示； ➢ 已知位移分量,可通过求偏导数得到6个应变分量；这
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
P点两直角线段夹角的变化 xy
B
A
B
u u dy y
tan
v
v x
dx
v
dx
v x
tan
u
u y
dy
u
dy
u y
xy
v x
u y
整理得：
x
u x
y
v y
——几何方程
xy
v x
u y
O
u
P
dx
x u u dx x
v P A
2－1 一点的应变状态，应变与位移
➢一点形变的度量
的关系
形变 —— 物体的形状改变
（1）线段长度的改变 ——用线（正）应变ε度量
（2）两线段间夹角的改变 ——用剪应变 度量
（剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）
三个方向的线应变： x , y , z
三个平面内的剪应变： xy , yz , zx
dy
v v dx x
y
B
A
v v dy y
B
u u dy y
➢ 同样方法研究另外两平面yoz和zox上投影线元的 变形可得到类似的方程。综合起来，得弹性力 学几何方程。也称柯西(Cauchy)方程
几何方程
说明：
（1） 几何方程反映任一点的位移(3个分量)与该点应变(6个分量) 间的关系，是弹性力学的基本方程之一。
z
C
z y
应变的正负： 线应变： 伸长时为正，缩短时为负；
x P
A
O
B y
剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
➢一点应变状态
—— 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变
x yx
xy y
xz yz
zx zy z
其中
xy yx yz zy
zx xz
注：
x
➢应变与位移的关系——几何方程
z
C
C'
P
B
O
P'
B' y
A
A'
x
PA = dx PB = dy PC = dz 研究在oxy平面内投影的变形
一点的变形 线段的伸长或缩短；O 线段间的相对转动；
考察P点邻域内线段的变形：
PA dx PB dy
y
P u dx
x u u dx x
v P A
dy
xz yz
xz yz
应变球
zxezx ezyzy ez z 0
张量
0 0
ij
0 ij
eij
0
0
0 0
x yx
0
xy y 0
xz yz
0 0 0 zx
zy z 0
ij
1 0
当i j 当i j
克罗内克尔（Kronecker）符号
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
xx
u x
xy
1 2
xy
1 2
v x
u y
yy
v y
正应
yz
1
2
yz
1 2
w y
v z
变
zz
w z
ห้องสมุดไป่ตู้
剪应 变
zx
1 2
zx
1 2
u z
w x
由应力分析结果类推得到应变分 析结果
➢ 有了应变张量，就可以完全利用应力分析 中采用的方法，得到相应的应变分析结果。