信号与系统课件第五章(电子)

应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法，同样是 建立在LTI系统具有线性和时不变性的基础上的，只 是信号分解的基本信号不同。因此这两种变换，无论 在性质上或是在进行系统分析的方法上都有着很多类 似的地方。事实上，傅里叶变换可看成是拉普拉斯变 换的一种特殊情况。
在频域分析中，我们以 e j t 为基本信号； 在复频域分析中，我们以 e s t 为基本信号；
e 对任意信号 f t 乘以一个衰减因子 t ,适当
选取 的值使 f t e t 当 t 时,
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
f t e t dt
例如 f t e2t t
e2t t dt e2t dt 不满足绝对可积的条件。
0
f t et e 2t t 只要 2
f t e j tdt 收敛
上述积分结果是 j的函数，令其为 Fb j 即：
Fb j
由傅立叶逆变换得：
f
t
e j t dt
f t e t 1
2
Fb
j
e j td
f t 1
2
Fb
j
e j td
Fb j
f
t
e j t dt
e2t et dt 满足绝对可积的条件。 0
又如 f t t t 也不满足绝对可积的条件。
f t et tet t 只要 0
t et dt 满足绝对可积的条件。
0
假设 f t et 满足绝对可积条件，则
ℱ f t e t f t e te j tdt
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
二、收敛域
符号表示
三、单边拉普拉斯变换
收敛域
常用信号的拉氏变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
如：一个指数增长的信号 et t 0显然不满
足绝对可积条件，且它的傅里叶变换是不存在的。
那么，能不能将这些信号乘上一个衰减因子，这 样它就可能满足绝对可积条件？正是这种想法， 引出了拉普拉斯变换。
f t 称为Fb s的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、收敛域
如前所述，选择适当的 值才可能使 1式的
积分收敛，信号 f t 的双边拉普拉斯变换存在。
通常把 f t e t满足绝对可积的 值的范围称为
收敛域。 我们先来研究两种信号：
（1）因果信号 ( f t 0 , t 0)
（2）反因果信号 ( f t 0 , t 0)
第五章 连续系统的S域分析
傅里叶变换法对系统分析无疑是有用的. ●它使响应的求解得到简化。 ●在有关信号的分析处理方面诸如有关谐波成分、 频率响应、系统带宽、波形失真等问题上, 它所给 出的结果都具有清楚的物理意义。
但它也有不足之处：
1、傅里叶变换存在的充分条件是
f t dt =有限值，
因而有些工程中常用的信号如 t 、 t t 等并
Res 是一个区域，称为拉普拉斯变换的收敛域或
象函数的收敛域。如下图 所示。
因果函数 的收敛域
收敛边界
(收敛轴)
S平面
可见对于因果信号，仅当 Res 时，
其拉氏变换才存在。其收敛域为 Re s 。
例5.1-2
设反因果信号
f2
t
e
t
t
e 0
t
,t ,t
0 0
为实数，求其双边拉氏变换。
1 s2
s
1
3
Res 2
f t e2t t e 3t t
Res 3
f t e2t t e3t t
3 Res 2 f t e2t t e 3t t
当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏
变换同时存在，将 s j 代入即可得其傅氏
例5.1-1 设因果信号 f1t et t
求其拉氏变换。 为实数
0 et
, ,
t t
0 0
解：
Fb1 s
et t estdt
es tdt
0
e s t
e t e jt
s s
0
0
1
s
Res
收敛域
s 在以 为横轴，j 为纵轴的 平面（复平面），
不满足该条件，不能从定义来求。还有一些信号如
et t 0根本不存在傅里叶变换,无法在频域进行分析.
2、傅里叶逆变换的确定有时是很困难的，因此使傅里 叶变换的应用受到限制。
3、它只能求出系统的零状态响应，零输入响应还得用 其它方法确定。
在这一章中将通过把频域中的傅里叶变换推广到 复频域来解决这些问题----即拉普拉斯变换。
解：Fb2 s
e t
t estdt
0 es tdt
es t
s
0
e t ees
收敛域
反因果函数 的收敛域
收敛边界 (收敛轴)
S平面
可见对于反因果信号，仅当 Res 时， 其拉氏变换才存在。其收敛域为 Re s 。
如图所示。
如果一个双边函数
f t
f1t
f2
t
e
e
t t
t 0 t0
其双边拉氏变换为 Fb s Fb1s Fb2s Res
Res
双边函数 的收敛域
如果 ，当然存在共同的收敛域 ，收敛域是带
状区域 Res ;
如果 则没有共同的收敛域，Fb s 不存在。
因果函数 的收敛域
反因果函数
e st 其中 s j 复数
由于当 0, s j e st e jt
因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。 拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
本章主要内容： 5．1 拉普拉斯变换 5．2 拉普拉斯变换的性质 5．3 拉普拉斯逆变换 5．4 复频域分析（重点）
5．1 拉普拉斯变换
主要内容:
的收敛域
f1t et t
f2t e t t
双边函数 的收敛域
f t
f1t
f2
t
e
e
t t
t 0 t0
通过上面的分析，我们得到如下结论：
因果信号的收敛域为收敛轴以右的区域；
反因果信号的收敛域为收敛轴以左的区域；
双边信号的收敛域为带状区域；
只有标出收敛域的象函数，其原函数才是唯一的。
Fb s
f t
1
2
Fb
j
e j t
d
令s j ，
为实数，则
d
ds j
于是上面
两个式子变为：
Fb
f t
s
f t est dt
1 j
2j j Fb
s
e st
ds
...... 1
...... 2
12式称为双边拉普拉斯变换对；
Fb s 称为 f t 的双边拉氏变换（或象函数）；