数字信号处理(1)

1 1 O
1 2 3 4n
a 取实数。
a nun
0a1
1
1 O 1 2 3 4 n
a nun
1 a 0
1 1 O 1
23
4n
正弦序列
x(n) Asin(nT ) Asin(n )
T 采样间隔 ； 模拟信号的角频率
数字域的数字频率
T

y(n) T[ x(m) (n m)] T[x(m) (n m)]
其它n
与其他序列的关系
RN (n) u(n) u(n N)
N 1
RN (n) (n m) (n) (n 1) ... [n (N 1)] m0
实指数序列
x(n) anu(n)
a nun
a 1
1 1 O 1 2 3 4 n
a nun a 1
x[n] { ,0.000,0.101,0.111,0.101,0.000,1.101,1.111,1.101, }
数字信号(2)
编码位数的选择
将x[n]转换为十进制
x(n) { ,0.0,0.6364,0.900,0.6364,0.0000,0.6364, 0.9000, 0.6364, }
(n)在n 0取有限值不是面积。
单位脉冲序列(2)
任意序列的表示
xn

x(n) x(m) (n m) m
1.5
2
1 o 1
34 n
3
f n 1,1.5,0, 3,0,0, n 1 1.5 n 3 n 2
或同时满足：
可加性：
T[x1(n) x2(n)] y1(n) y2(n)
比例性/齐次性： T[ax1(n)] ay1(n)
其中：
a, a1, a2为常数
则此系统为线性系统。
例：判断系统y(n) x(n)sin( 2 n )是否线性
97
解：设y1(n)

T [ x1 (n)]
n表示第n个采样点，n 取整数
数字信号(1)
数字信号与离散信号的区别？
时间(自变量)离散、幅度离散
例:
x(n) { ,0.0,0.6364,0.900,0.6364,0.0000,0.6364, 0.9000, 0.6364, }
用四位二进制数表示离散序列x(n)的幅度 第一位表示符号位 用x[n]表示
x(n) { ,0.0,0.6364,0.900,0.6364,0.0000,0.6364, 0.9000, 0.6364, }
时域离散信号的表示(3)
用图形表示
直观
1
0.5
xaT(n)
0
-0.5
-1
-4
-2
0
2
4
6
n
为了醒目，在每一条竖线的顶端加一个小黑点。
1.2.3 常用时域离散信号
x(n) xa (t) |tnT 0.9sin 50 nT
n
时域离散信号的表示(2)
用集合符号表示序列
时域信号是一组有序的数的集合，可表示成集 合。
例，将n代入
x(n) xa (t) |tnT 0.9sin 50 nT n
得：
x(n)不是周期序列
例
周期性？ x(n) sin( n) x(n) sin(1 n)
4
4
数字频率 4
2 / 8
1
0百度文库
1/ 4
2 / 8
1 0
x(n) x(n)
-1
0
5
10
n
-1
0
10
20
30
n
任意序列 x(n)可以表示成单位脉冲序列的移位加权和，也 可表示成与单位脉冲序列的卷积和。
该序列不是周期序列
例：判断
j ( n )
x(n) e 6
是否是周期序列
解：x(n

N)

j ( nN )
e6

j ( n N )
e6 6
若x(n)为周期序列，则必须满足x(n) x(n N )，
即满足 N 2 k，且N，k为整数
6 而不论k取什么整数，N 12 k都是一个无理数
例 y(n) ax(n) b 是否是线性时不变系统
解：时不变性
令
x1(n) x(n n0 )
则
y1(n) T[x1(n)] ax(n n0 ) b y(n n0 )
线性性质
令
x(n) x2 (n) x3(n)
则 y2(n) T[x2(n)] ax2 (n) b, y3(n) T[x3(n)] ax3(n) b,
x(n N ) Asin[0(n N ) ] Asin(0n 0N )
要使x(n N ) x(n)，即x(n)为周期为N的周期序列
则要求0 N

2 k，即N

2 0
k，N，k为整数，
且k的取值保证N是最小的正整数
分情况讨论
1）当 2 0
2）当 2 0
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 t
时域离散信号
xa (t) 0.9sin 50 t
采样
采样频率的选择？
采样频率
Fs 200Hz
采样间隔
时域离散信号
T 1/ Fs 0.005s
x(n) xa (t) |tnT 0.9sin 50 nT n

x1
(n)
sin(
2
9
n


7
)
y2 (n)

T[x2 (n)]

2
x2(n)sin( 9
n


7
)
T [ x1 (n)

x2 (n)]

[ x1 (n)

x2 (n)]sin(
2
9
n


7
)

x1
(n
)
sin(
2
9
n

)
7

x2
(
n)
sin(
2
9
n


7
)
y1(n) y2 (n) 满足可加性
T[ax1(n)]

2
ax1(n)sin( 9
n


7
)
ay1(n)，a为常数 满足比例性
该系统是线性系统
例：证明由线性方程表示的系统
y(n) ax(n) b a,b为常数
是非线性系统
证：设y1(n) T[x1(n)] ax1(n) b
线性系统满足 叠加原理的直 接结果：零输 入产生零输出。
系统响应与激励加于系统的时间无关
特点:移位不变性 如：
y(n) T[x(n)]
y1(n) T[x(n n0 )] y(n n0 )
例：试判断
y(n) x(n)sin( 2 n )
97
是否是移不变系统
解：T[x(n m)] x(n m)sin( 2 n )
y2 (n) T[x2(n)] ax2(n) b
T[x1(n) x2(n)] a[x1(n) x2(n)] b ax1(n) ax2 (n) b
y1(n) y2 (n) 不满足可加性
该系统是非线性系统
时不变特性(移不变系统)
系统对输入信号的运算关系 T[] 在整个 运算过程中不随时间变化
x[n] { ,0.0,0.625,0.875,0.625,0.0, 0.625, 0.875, 0.625, }
幅度值上有误差，有损变换
时域离散信号的表示(1)
公式表示
x(n) xa (t) |tnT xa (nT )
注意，写明n的取值范围 闭合表达式存在 例
sin[( 2M )n] sin n
对数字频率而言，正弦序列和复指数序列都是 以 2 为周期的
周期序列
若对所有n存在一个最小的正整数N，满足
x(n) x(n N) n
则称序列x(n)是周期性序列，周期为N
讨论一般正弦序列的周期性 x(n) Asin(0n )
取k Q，则N P，x(n)即是周期为P的周期序列
如sin( 4
5
n)，
0
4 ，
5
2 5， 0 2
该序列是周期为5的周期序列
3）当 2 为无理数时， 0
取任何整数k都不能使N为正整数， x(n)不是周期序列
如sin( 1 n)， 4
0
1， 4
2 8 0
处理时域离散信号的系统, 记为：T[] 一个时域离散系统是将输入序列变换成输出序列
的一种运算。
x(n) 离散时间系统 y(n) T[ ·]
y(n) T[x(n)]
1、线性系统
设系统为 T[], y1(n) T[x1(n)] y2 (n) T[x2(n)]
满足叠加原理：
T[a1x1(n) a2x2 (n)] a1y1(n) a2 y2 (n)

n0

单位阶跃序列
1 n 0 u(n) 0 n 0
用单位脉冲序列表示

knm n
u(n) (n m) (k)
m0
k
n与u n是差和关系，不再是微分关系。
矩形序列
1 0 n N 1
RN (n) 0
y(n) T[x(n)] T[x2 (n) x3(n)] ax2 (n) ax3(n) b
T[x2 (n)] T[x3(n)]
线性时不变系统的输出和输入之间的关系
单位脉冲响应(单位取样响应)
输入为单位脉冲序列 x(n) (n),系统输出y(n)在
零初始状态下的输入,用h(n) 表示.
信号可以通过采集，从自然界获取； 信号处理的输出结果； 可以人工合成。
模拟信号
模拟信号
幅度0.9
xa (t) 0.9sin 50 t
正弦信号的角频率 50π
正弦信号的频率是 25Hz
周期是0.04s 1
0.5
xat(t)
0
-0.5
-1 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005
第一章时域离散信号和系统
Discrete-Time Signals and Systems in the Time-Domain
主要内容
时域离散信号（序列）的表示方法 典型的时域离散信号 时域离散系统：系统的因果稳定性、线性、
移不变性 时域离散系统的输入与输出的描述
信号的获取方式
单位脉冲序列(1)

(n)

0, n 1, n

0 0
时移性

(n

j)

0, n 1, n

j j
比例性 c (n), c (n j)
(n)
1
O 1n
(n 1)
1
抽样性 f (n) (n) f (0) (n)
O 1n
注意： (t)用面积 强度表示，t 0，幅度为 ;
97
y(n m) x(n m)sin[ 2 (n m) ]
9
7
T[x(n m)]
该系统不是移不变系统
例 y(n) nx(n) 是否是时不变系统
解
线性时不变系统
同时具有线性和移(时)不变性的离散时间 系统称为线性移不变系统 LSI：Linear Shift Invariant
3）当 2 0
为整数时 为有理数时 为无理数时
1）当 2 为整数时， 0
取k 1，x(n)即是周期为 2 的周期序列
0
如sin( n)，
4
0
，
4
2 8 N 0
该序列是周期为8的周期序列
2）当 2 为有理数时， 0
表示成 2 P ，P，Q为互为素数的整数 0 Q
h(n) T[ (n)]
(n)
h(n)
T[ ·]
线性时不变系统的输出和输入之间的关系
系统的单位脉冲响应（对 (n) 的零状态响应）
h(n) T[x(n)] T[ (n)]
任意输入信号

x(n) x(m) (n m)
m
系统的输出为
线性叠加原理


x(n) x(m) (n m) x(n) (n)
m
例：x(n) 2 (n 1) (n) 1.5 (n 1) (n 2) 0.5 (n 3)
1.3 时域离散系统
线性系统 时不变系统 因果系统 稳定系统
时域离散系统
/ fs
1
x(n)
f s 采样频率
0
2 /10
-1
-10 -5
0
5
10
n
复指数序列
x(n) e jn
数字频率，用欧拉公式展开
x(n) cos(n) j sin(n)
特点
e j(2M )n e jn
cos[( 2M )n] cosn