力矩与平面力偶系
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4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
5.力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应。
力偶的三要素： 力偶对物体的转动效应，取决于下列三个因素： 1.力偶矩的大小 2.力偶的转向 3.力偶的作用面
1 8
§3-3平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶。
已知：M1, M2 ,Mn;
FAl M1 M 2 M3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
2 2
综合例题
已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30 ; 1
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
M 0 M1 FA r sin 0
解得 FO FA 8kN
cos
AB
r2
r1
cos
d
AB
cos
r2
cos
r1
mA (F ) Fd F (r1 r2 cos )
1 0
§3-2 平面力偶理论
一.力偶和力偶矩
1.力偶
由两个等值、反向、作用线平行的力组成的力系称为力偶，
记作
F
,
F
1
1
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
:逆时针转动为正,反之为负.
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂
的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为证，反之为
负.常用单位Nm或kNm
4
例:F=50N,d=0.3m. 求F力对O点之矩. 解:Mo(F)= Fd = … = 15Nm (1)当F=0,或d=0（力作用线通过矩心）时，力矩为零。 (2)当力沿其作用线 滑移时，力矩不变。 (3)力矩与矩心有关。 在平面问题中，力对点之矩实际上指力使物体绕通过矩心的 某一轴转动效果的度量，该轴垂直于由力的作用线和矩心所 决定的平面。
两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：逆时针转动为+ ， 顺时针转动为-
力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
2
1 2
二. 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.
1 3
M Fd
M O1 F
F ,
=
=
1 5
ABC ABD
ABC？ABD
M FR，F i R FRd1 2ABD
M
F
,
F
i
Fd
2ABC
16
=
=
=
=
1 7
推论1:力偶可以在其作用面内任意移动而不改变它对刚体的转动 效果。 推论2：在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改 变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。
8
例1 支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,
dA
A
dC
F
F=100N, 30 求 F 对A、B、C三点之矩。
CD
解：由定义
B
mA (F) FdA F ADsin 30 225N m
mC (F ) FdC F CD sin 30 75N m
由合力 矩定理 mB (F ) Fx AB Fy AD F cos30 AB F sin 30 AD 48.48N m
力矩与平面力偶系
1
第
三
§3–1 力矩的概念及其计算
章
力
矩
§3–2 力偶的概念
与
平
面
力
§3–3平面力偶系的合成与平衡
偶
系
2
§3–1 力矩的概念及其计算
一、力对点之矩：
F
B
o.
A
d
3
§3–1 力矩的概念及其计算
力矩作用面，O称为矩心，O
到力的作用线的垂直距离h称
为力臂
大小：Fd Mo(F)=+2 OAB面积
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零.
2 1
例1
已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm; 求： 光滑螺柱AB所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
取杆BC，画受力图.
M 0
FA'
r
sin
M2
0
解得 M 2 8kN m
FB FA 8kN
2 3
5
空间问题中，力对轴之矩定义为：力F对Z轴之矩等于力F通 过其作用点并与Z轴垂直的平面上的投影Fxy对Z轴与此平面的 交点O点之矩。
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
6
二、力矩与合力矩的解析表达式
MO F
MO Fy
MO Fx
x
F
sin
y
F
cos
x
Fy
y
Fx
MO FR MO Fi
9
y
例2 如图所示，求F对A点的矩。
r2
O r1
F
解一：应用 合力矩定理
mA (F ) mA (Fx ) mA (Fy )
x
B
d
F cos(r2 r1 cos) F sinr1 sin
A
Fr2 cos Fr1(sin2 cos2 )
F(r1 r2 cos)
解二：由定义 OB r1
MO FR
xi Fiy yi Fix
7
三、平面汇交力系的合力矩定理
FR
Fi
F1
F2
Fn
FR F1 F2 Fn
r
FR
r
F1
r
F2
r
Fn
即
MO
FR
M
O
Fi
平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
平面汇交力系的合力矩定理：平面汇交力系的合力对作用面 内任一点的矩等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。
d
F
x1
MO1 F F x1
M
Fd
O1
F
MO2
F
,
F
F
d
x2
F
x2
F 'd Fd
力矩的符号 M F 力偶矩的符号 M
O
1
4
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对 刚体的作用效果不变.（同一平面内力偶的等效定理）
=
任选一段距离d
M1 d
F1
M1 F1d
M2 d
Fn Fnd
==
=
1 9
FR F1 F2 Fn FR F1 F2 Fn
=
=
=
2 0
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶矩等于力偶系中 各力偶矩的代数和。
5.力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应。
力偶的三要素： 力偶对物体的转动效应，取决于下列三个因素： 1.力偶矩的大小 2.力偶的转向 3.力偶的作用面
1 8
§3-3平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶。
已知：M1, M2 ,Mn;
FAl M1 M 2 M3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
2 2
综合例题
已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30 ; 1
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
M 0 M1 FA r sin 0
解得 FO FA 8kN
cos
AB
r2
r1
cos
d
AB
cos
r2
cos
r1
mA (F ) Fd F (r1 r2 cos )
1 0
§3-2 平面力偶理论
一.力偶和力偶矩
1.力偶
由两个等值、反向、作用线平行的力组成的力系称为力偶，
记作
F
,
F
1
1
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
:逆时针转动为正,反之为负.
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂
的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为证，反之为
负.常用单位Nm或kNm
4
例:F=50N,d=0.3m. 求F力对O点之矩. 解:Mo(F)= Fd = … = 15Nm (1)当F=0,或d=0（力作用线通过矩心）时，力矩为零。 (2)当力沿其作用线 滑移时，力矩不变。 (3)力矩与矩心有关。 在平面问题中，力对点之矩实际上指力使物体绕通过矩心的 某一轴转动效果的度量，该轴垂直于由力的作用线和矩心所 决定的平面。
两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：逆时针转动为+ ， 顺时针转动为-
力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
2
1 2
二. 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.
1 3
M Fd
M O1 F
F ,
=
=
1 5
ABC ABD
ABC？ABD
M FR，F i R FRd1 2ABD
M
F
,
F
i
Fd
2ABC
16
=
=
=
=
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推论1:力偶可以在其作用面内任意移动而不改变它对刚体的转动 效果。 推论2：在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改 变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。
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例1 支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,
dA
A
dC
F
F=100N, 30 求 F 对A、B、C三点之矩。
CD
解：由定义
B
mA (F) FdA F ADsin 30 225N m
mC (F ) FdC F CD sin 30 75N m
由合力 矩定理 mB (F ) Fx AB Fy AD F cos30 AB F sin 30 AD 48.48N m
力矩与平面力偶系
1
第
三
§3–1 力矩的概念及其计算
章
力
矩
§3–2 力偶的概念
与
平
面
力
§3–3平面力偶系的合成与平衡
偶
系
2
§3–1 力矩的概念及其计算
一、力对点之矩：
F
B
o.
A
d
3
§3–1 力矩的概念及其计算
力矩作用面，O称为矩心，O
到力的作用线的垂直距离h称
为力臂
大小：Fd Mo(F)=+2 OAB面积
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零.
2 1
例1
已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm; 求： 光滑螺柱AB所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
取杆BC，画受力图.
M 0
FA'
r
sin
M2
0
解得 M 2 8kN m
FB FA 8kN
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空间问题中，力对轴之矩定义为：力F对Z轴之矩等于力F通 过其作用点并与Z轴垂直的平面上的投影Fxy对Z轴与此平面的 交点O点之矩。
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
6
二、力矩与合力矩的解析表达式
MO F
MO Fy
MO Fx
x
F
sin
y
F
cos
x
Fy
y
Fx
MO FR MO Fi
9
y
例2 如图所示，求F对A点的矩。
r2
O r1
F
解一：应用 合力矩定理
mA (F ) mA (Fx ) mA (Fy )
x
B
d
F cos(r2 r1 cos) F sinr1 sin
A
Fr2 cos Fr1(sin2 cos2 )
F(r1 r2 cos)
解二：由定义 OB r1
MO FR
xi Fiy yi Fix
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三、平面汇交力系的合力矩定理
FR
Fi
F1
F2
Fn
FR F1 F2 Fn
r
FR
r
F1
r
F2
r
Fn
即
MO
FR
M
O
Fi
平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
平面汇交力系的合力矩定理：平面汇交力系的合力对作用面 内任一点的矩等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。
d
F
x1
MO1 F F x1
M
Fd
O1
F
MO2
F
,
F
F
d
x2
F
x2
F 'd Fd
力矩的符号 M F 力偶矩的符号 M
O
1
4
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对 刚体的作用效果不变.（同一平面内力偶的等效定理）
=
任选一段距离d
M1 d
F1
M1 F1d
M2 d
Fn Fnd
==
=
1 9
FR F1 F2 Fn FR F1 F2 Fn
=
=
=
2 0
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶矩等于力偶系中 各力偶矩的代数和。