数字图像二值化波形分析法探究
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摘 要 :基于几种不同图像直方图波形 ,提供了其二值化阈值的确定方法 ,并根据实应用对其局限性和较适宜的场合作出了阐述. 关键词 :二值化 ;直方图 ;阈值 ;波形分析 中图分类号 :TN911173 文献标识码 :A 文章编号 :1001 - 7542 (2007) 01 - 0008 - 05
[ 3 ] ZHANG Y. J . A survey on evaluation methods for image segmentation[J ] . PR ,1996 (29) :1335 - 1346. [ 4 ] PAL N. R ,PAL S. K. A review on image segmentation techniques[J ] . PR ,1993 (26) :1277 - 1294. [5 ] 陆宗骐. Visual C + + . NET 图像处理编程[M] . 北京 :清华大学出版社 ,2006 :215 - 222. [6 ] 章毓晋. 图像处理和分析[M] . 北京 :清华大学出版社 ,2004 :195 - 205. [7 ] Rafael C. Gonzalez. 数字图像处理 (第二版) [M] . 北京 :电子工业出版社 ,2005 :460 - 483. [8 ] 何东健. 数字图像处理[M] . 西安 :西安电子科技大学出版社 ,2003 :90 - 105.
9h ( z) 9z
=
0
和
92 h ( z) 9z2
>0
(4)
和这些极小值点对应的灰度值就可以用作分割阈值.
②最优阈值法
设一副图像仅包含两类主要的灰度值区域 (目标和背景) , 它的直方图可看成灰度值概率密度函数
p ( z) 的一个近似. 这个密度函数实际上是目标和背景的两个单峰密度函数之和. 如果已知密度函数的
图 5 光纤图像及其二值化
1 0 青海师范大学学报 (自然科学版) 2007 年
(2) 双峰直方图
一副含有一个灰度与背景有明显差异的对象的图像具有包含两个峰的灰度直方图. 这两个峰分别
对应对象内部与外部较多数目的点 ,两峰之间的波谷对应于对象边缘附近相对较少数目的点. 对于双峰
1 引言
图像二值化是图像分割的基础性方法 ,在图像分割应用中处于中心地位 ,其本质是选取合适的阈值
把图像分割成对象和背景两部分. 二值化阈值可被看做是一种下列形式函数 T 的一种操作 :
T = T[ x , y , p ( x , y) , f ( x , y) ]
(1)
这里 f ( x , y) 是点 ( x , y) 的灰度级 , p ( x , y) 表示这个点的局部性质 ———例如 ,以 ( x , y) 为中心的
邻域的平均灰度. 经阈值处理后的图像 g ( x , y) 定义为 :
g ( x , y) =
1 f ( x , y) > T 0 f ( x , y) Φ T
(2)
标记为 1 (或其他任何合适的灰度级) 的象素对
应于对象 ,而标记为 0 (或其他任何没有被标记为对
象的灰度) 的象素对应于背景.
参考文献 :
[ 1 ] ROSENFELD A ,TORRE P. Histogram concavity analysis as an aid in threshold selection[J ] . IEEE Transactions on Systems ,Man ,and Cybernetics , 1983 (13) :231 - 235.
别是背景和目标区域平均灰度的先验概率. 据概率定义有 P1 + P2 = 1 ,所以混合概率密度中有 5 个未知
参数. 如果能求得这些参数就可以确定混合概率密度.
假设μ1 < μ2 ,我们定义一个阈值 T 使得灰度值小于 T 的象素分割为背景而使得灰度值大于 T 的象
素分割为目标. 这时错误地的将一个目标象素划分为背景的概率和将一个背景象素错误地划分为目标
A T2 + B T + C = 0
(10)
在这里 :
A = σ21 - σ22
B = 2 (μ1σ22 - μ2σ21)
(11)
C = σ21μ22 - σ22μ21 + 2σ21σ22 ln (σ2 P1/ σ1 P2)
该式在一般情况下有两个解. 如果两个区域的方差相等 ,即σ1 = σ2 = σ,则只有一个最优阈值 :
2007 年
青海师范大学学报 (自然科学版)
2007
第1期
Journal of Qinghai Normal University(Natural Science)
No. 1
数字图像二值化波形分析法探究
王 斌1 ,吕 科2
(1. 宁夏大学 数学计算机学院 ,宁夏 银川 750021 ;2. 中科院研究生院 ,北京 100049)
形式 ,那么就有可能选取一个最优阈值把图像分成两类区域而使误差最小.
设有一幅带有加性高斯噪声的图像 ,它的混合概率密度是 :
p ( z) = P1 P1 ( z) + P2 P2 ( z) =
P1
2πσ1
e
源自文库
[
-
(
z
-
μ)
1
2σ21
2
]
+
P2
2πσ2
e[ -
(
z
-
μ)
2
2σ22
2
]
(5)
其中 μ1 和μ2 分别是背景和目标区域的平均灰度值 ,σ1 和σ2 分别是关于均值的均方差 , P1 和 P2 分
(1) 单峰直方图 单峰直方图图像的实质是大幅背景下对象区域只占很小的比例 , 由于背景像素灰度出现的频率呈 正态分布 ,对象像素的分割阈值或者处于峰某一侧的底部曲线斜率突变的位置 “( 肩部”) ,或者由于像素 点数太少 ,在波形过零点处. 微分处理后得到的梯度 (边缘) 图像的直方图多是单峰的. 单峰直方图图像 一般可分为以下两种情况 : ①双峰直方图图像的两个峰的位置太接近 ,以至于波形中部失去下凹的波谷 ; ②背景与对象区域面积相差悬殊 ,对象区域无法在直方图中构成波峰. 对于情况 ①,有两种可能 ,一是由于两峰位置过于接近使直方图呈单峰状 ,如图 3 所示 :
Research on Wave - shaped Analysis of Digital Image Binarization
WANG Bin1 , LU Ke2 (1. School of Mathematics & Computer ,Ning Xia University , Yinchuan 750021 ,China ; 2. Graduate University of the Chinese Academy of Sciences , Beijing 100049 ,China)
1 2 青海师范大学学报 (自然科学版) 2007 年
图 8 多峰直方图图像及其二值化
3 结论
利用图像直方图的波形 ,可从其包含的图像的丰富的信息中提取有用的部分以达到图像分割和二 值化的目的 ,它为图像的处理研究提供了一个有力的辅助工具 , 是一种有效的二值化方法. 图像处理中 没有万能的最佳算法 ,波形分析法对于具有单峰直方图和明显对象的图像二值化效果较好 ,但对对象不 太明显的图像可尝试用局部阈值或其他方法确定最佳阈值.
象素地概率分别是 :
∫T
E1 ( T) = - ∞ P2 ( z) dz
(6)
∫∞
E2 ( T) P1 ( z) dz
(7)
T
总的误差概率是 :
E ( T) = P2 × E1 ( T) + P1 × E2 ( T)
(8)
图 6 阈值选取示意图
为求得使该误差最小的阈值可将 E ( T) 对 T 求导并令导数为零 ,所以我们有 :
2 波形分析法
图像的直方图一般不够光滑 ,波形分析时需对它作平滑处理 , 以消除直方图曲线上的毛刺. 通过对
基金项目 :国家自然科学基金 ( No. 60602062) . 收稿日期 :2006 - 10 - 12 作者简介 :王 斌 (1971 - ) ,男 (汉族) ,硕士研究生 ,主要研究方向 :图形图像处理及多媒体技术.
p ( z) 和实测得到的直方图 h ( z) 之间的均方差为 ( n 为直方图的灰度级数) :
6 em =
1 n
n i =1
[ p ( zi)
-
h ( zi) ]2
(13)
通过最小化这个误差就可以确定函数 p ( z) 的各个参数.
图 7 双峰直方图图像及其二值化
图 7 是一幅 camera 图像以及利用直方图波形确定阈值后二值化的结果. (3) 多峰直方图 多峰直方图一般比较复杂 ,在波形分析时需放弃一些次要的小峰. 多峰直方图图像通常含有多种对 象 ,每个峰对应一个对象 ,这时如果只使用一个二值化阈值 , 则由于不能兼顾图像各处的情况而使分割 效果受到影响 ,因此可采取动态阈值分割算法. 动态阈值分割算法的基本思想是首先将图像分成一系列子图像 , 这些子图像可以相互重叠也可以 相邻. 如果子图像比较小 ,则由阴影或对比度的空间变化带来的问题就较小. 然后对每个图像计算一个 阈值. 通过对这些子图像所得阈值的插值就可得到图像中每个象素进行分割时的阈值 ,这样可得到较良 好的二值化效果 ,以后再在子图像内作进一步的分解 , 一直到不能在进行分解为止. 这种算法充分考虑 了图像的局部特性 ,可以获得比较精细的分割. 多峰直方图图像二值化时 , 阈值一般可取在分割后两类 像素点数接近的波谷处 ,如图 8 所示.
图 3 Cell 图像及其二值化
二是由于图像中对象区域占的比率小而呈单峰状 ,如下图 4 所示 :
图 4 Elaine 图像及其二值化
二值化时阈值均取在“肩部”(直方图曲线波形底部斜率由平向陡的转折处) . 对于情况 ②, 可先在 波形的“肩部”确定一个位置 , 将对应于背景区域的最大峰消除 , 然后再用动态阈值法进行分割 (见图 5) .
直方图的情况 ,可根据峰的形状确定阈值. 可将分割阈值选在直方图的谷底位置 , 一般取在波谷的正中
位置 ,这种方法称为双峰谷底法. 我们可以用如下的方法选取谷底位置 :
①极值法
如果将直方图波形看作一条曲线 ,则选取直方图的谷可借助求曲线极小值的方法. 如果用 h ( z) 代
表直方图 ,那么极小值点应该满足 :
P1 × P1 ( t) = P2 × P2 ( T)
(9)
第 1 期 王斌 ,吕科 :数字图像二值化波形分析法探究 11
这个等式解出 T ,即为最佳阈值. 如果 P1 = P2 ,则最佳阈值位于曲线 P1 ( z) 和 P2 ( z) 的交点处. 将 这个结果用于高斯密度 (带入 (4) 式) 可得下列阈值 T 的解 :
灰度直方图是灰度级的函数 , 它包含了丰富的
图像信息 , 反映了图像的灰度分布情况 , 是图像最基
本的统计特征. 图 1 为一幅大小为 6 ×6 的图像及其
直方图统计 :
根据直方图波形峰的数目 , 可将直方图分为单 峰 、双峰和多峰直方图三种 (如图 2) :
图 1 数字图像及其直方图统计
图 2 直方图的形状
T0
= μ1
+ μ2 2
σ2 + μ1 - μ2ln
P2 P1
(12)
如果两种灰度值的先验概率相等 (或方差为零) ,则最优阈值就是两个区域中平均灰度的中值. 对于
其他形式的密度 ,如瑞利和 log - normal 密度 ,决定最佳阈值的方法相似.
一幅图像的混合概率密度函数 p ( z) 的参数可根据最小均方误差的方法借助直方图得到. 例如
吕 科 (1971 - ) ,男 (汉族) ,博士后 ,主要研究方向 :计算机辅助设计 ,计算机图形学及图像处理与科学计算可视化.
第 1 期 王斌 ,吕科 :数字图像二值化波形分析法探究 9 图像直方图波形的分析 ,分别给出了单峰 、双峰和多峰直方图图像二值化阈值的确定方法 ,现分述如下 :
[ 2 ] WESZKA J . S , ROSENFELD A. Histogram modification for threshold selection[J ] . IEEE Transactions on Systems ,Man ,andCybernetics ,1979 (9) : 38 - 72.
[ 3 ] ZHANG Y. J . A survey on evaluation methods for image segmentation[J ] . PR ,1996 (29) :1335 - 1346. [ 4 ] PAL N. R ,PAL S. K. A review on image segmentation techniques[J ] . PR ,1993 (26) :1277 - 1294. [5 ] 陆宗骐. Visual C + + . NET 图像处理编程[M] . 北京 :清华大学出版社 ,2006 :215 - 222. [6 ] 章毓晋. 图像处理和分析[M] . 北京 :清华大学出版社 ,2004 :195 - 205. [7 ] Rafael C. Gonzalez. 数字图像处理 (第二版) [M] . 北京 :电子工业出版社 ,2005 :460 - 483. [8 ] 何东健. 数字图像处理[M] . 西安 :西安电子科技大学出版社 ,2003 :90 - 105.
9h ( z) 9z
=
0
和
92 h ( z) 9z2
>0
(4)
和这些极小值点对应的灰度值就可以用作分割阈值.
②最优阈值法
设一副图像仅包含两类主要的灰度值区域 (目标和背景) , 它的直方图可看成灰度值概率密度函数
p ( z) 的一个近似. 这个密度函数实际上是目标和背景的两个单峰密度函数之和. 如果已知密度函数的
图 5 光纤图像及其二值化
1 0 青海师范大学学报 (自然科学版) 2007 年
(2) 双峰直方图
一副含有一个灰度与背景有明显差异的对象的图像具有包含两个峰的灰度直方图. 这两个峰分别
对应对象内部与外部较多数目的点 ,两峰之间的波谷对应于对象边缘附近相对较少数目的点. 对于双峰
1 引言
图像二值化是图像分割的基础性方法 ,在图像分割应用中处于中心地位 ,其本质是选取合适的阈值
把图像分割成对象和背景两部分. 二值化阈值可被看做是一种下列形式函数 T 的一种操作 :
T = T[ x , y , p ( x , y) , f ( x , y) ]
(1)
这里 f ( x , y) 是点 ( x , y) 的灰度级 , p ( x , y) 表示这个点的局部性质 ———例如 ,以 ( x , y) 为中心的
邻域的平均灰度. 经阈值处理后的图像 g ( x , y) 定义为 :
g ( x , y) =
1 f ( x , y) > T 0 f ( x , y) Φ T
(2)
标记为 1 (或其他任何合适的灰度级) 的象素对
应于对象 ,而标记为 0 (或其他任何没有被标记为对
象的灰度) 的象素对应于背景.
参考文献 :
[ 1 ] ROSENFELD A ,TORRE P. Histogram concavity analysis as an aid in threshold selection[J ] . IEEE Transactions on Systems ,Man ,and Cybernetics , 1983 (13) :231 - 235.
别是背景和目标区域平均灰度的先验概率. 据概率定义有 P1 + P2 = 1 ,所以混合概率密度中有 5 个未知
参数. 如果能求得这些参数就可以确定混合概率密度.
假设μ1 < μ2 ,我们定义一个阈值 T 使得灰度值小于 T 的象素分割为背景而使得灰度值大于 T 的象
素分割为目标. 这时错误地的将一个目标象素划分为背景的概率和将一个背景象素错误地划分为目标
A T2 + B T + C = 0
(10)
在这里 :
A = σ21 - σ22
B = 2 (μ1σ22 - μ2σ21)
(11)
C = σ21μ22 - σ22μ21 + 2σ21σ22 ln (σ2 P1/ σ1 P2)
该式在一般情况下有两个解. 如果两个区域的方差相等 ,即σ1 = σ2 = σ,则只有一个最优阈值 :
2007 年
青海师范大学学报 (自然科学版)
2007
第1期
Journal of Qinghai Normal University(Natural Science)
No. 1
数字图像二值化波形分析法探究
王 斌1 ,吕 科2
(1. 宁夏大学 数学计算机学院 ,宁夏 银川 750021 ;2. 中科院研究生院 ,北京 100049)
形式 ,那么就有可能选取一个最优阈值把图像分成两类区域而使误差最小.
设有一幅带有加性高斯噪声的图像 ,它的混合概率密度是 :
p ( z) = P1 P1 ( z) + P2 P2 ( z) =
P1
2πσ1
e
源自文库
[
-
(
z
-
μ)
1
2σ21
2
]
+
P2
2πσ2
e[ -
(
z
-
μ)
2
2σ22
2
]
(5)
其中 μ1 和μ2 分别是背景和目标区域的平均灰度值 ,σ1 和σ2 分别是关于均值的均方差 , P1 和 P2 分
(1) 单峰直方图 单峰直方图图像的实质是大幅背景下对象区域只占很小的比例 , 由于背景像素灰度出现的频率呈 正态分布 ,对象像素的分割阈值或者处于峰某一侧的底部曲线斜率突变的位置 “( 肩部”) ,或者由于像素 点数太少 ,在波形过零点处. 微分处理后得到的梯度 (边缘) 图像的直方图多是单峰的. 单峰直方图图像 一般可分为以下两种情况 : ①双峰直方图图像的两个峰的位置太接近 ,以至于波形中部失去下凹的波谷 ; ②背景与对象区域面积相差悬殊 ,对象区域无法在直方图中构成波峰. 对于情况 ①,有两种可能 ,一是由于两峰位置过于接近使直方图呈单峰状 ,如图 3 所示 :
Research on Wave - shaped Analysis of Digital Image Binarization
WANG Bin1 , LU Ke2 (1. School of Mathematics & Computer ,Ning Xia University , Yinchuan 750021 ,China ; 2. Graduate University of the Chinese Academy of Sciences , Beijing 100049 ,China)
1 2 青海师范大学学报 (自然科学版) 2007 年
图 8 多峰直方图图像及其二值化
3 结论
利用图像直方图的波形 ,可从其包含的图像的丰富的信息中提取有用的部分以达到图像分割和二 值化的目的 ,它为图像的处理研究提供了一个有力的辅助工具 , 是一种有效的二值化方法. 图像处理中 没有万能的最佳算法 ,波形分析法对于具有单峰直方图和明显对象的图像二值化效果较好 ,但对对象不 太明显的图像可尝试用局部阈值或其他方法确定最佳阈值.
象素地概率分别是 :
∫T
E1 ( T) = - ∞ P2 ( z) dz
(6)
∫∞
E2 ( T) P1 ( z) dz
(7)
T
总的误差概率是 :
E ( T) = P2 × E1 ( T) + P1 × E2 ( T)
(8)
图 6 阈值选取示意图
为求得使该误差最小的阈值可将 E ( T) 对 T 求导并令导数为零 ,所以我们有 :
2 波形分析法
图像的直方图一般不够光滑 ,波形分析时需对它作平滑处理 , 以消除直方图曲线上的毛刺. 通过对
基金项目 :国家自然科学基金 ( No. 60602062) . 收稿日期 :2006 - 10 - 12 作者简介 :王 斌 (1971 - ) ,男 (汉族) ,硕士研究生 ,主要研究方向 :图形图像处理及多媒体技术.
p ( z) 和实测得到的直方图 h ( z) 之间的均方差为 ( n 为直方图的灰度级数) :
6 em =
1 n
n i =1
[ p ( zi)
-
h ( zi) ]2
(13)
通过最小化这个误差就可以确定函数 p ( z) 的各个参数.
图 7 双峰直方图图像及其二值化
图 7 是一幅 camera 图像以及利用直方图波形确定阈值后二值化的结果. (3) 多峰直方图 多峰直方图一般比较复杂 ,在波形分析时需放弃一些次要的小峰. 多峰直方图图像通常含有多种对 象 ,每个峰对应一个对象 ,这时如果只使用一个二值化阈值 , 则由于不能兼顾图像各处的情况而使分割 效果受到影响 ,因此可采取动态阈值分割算法. 动态阈值分割算法的基本思想是首先将图像分成一系列子图像 , 这些子图像可以相互重叠也可以 相邻. 如果子图像比较小 ,则由阴影或对比度的空间变化带来的问题就较小. 然后对每个图像计算一个 阈值. 通过对这些子图像所得阈值的插值就可得到图像中每个象素进行分割时的阈值 ,这样可得到较良 好的二值化效果 ,以后再在子图像内作进一步的分解 , 一直到不能在进行分解为止. 这种算法充分考虑 了图像的局部特性 ,可以获得比较精细的分割. 多峰直方图图像二值化时 , 阈值一般可取在分割后两类 像素点数接近的波谷处 ,如图 8 所示.
图 3 Cell 图像及其二值化
二是由于图像中对象区域占的比率小而呈单峰状 ,如下图 4 所示 :
图 4 Elaine 图像及其二值化
二值化时阈值均取在“肩部”(直方图曲线波形底部斜率由平向陡的转折处) . 对于情况 ②, 可先在 波形的“肩部”确定一个位置 , 将对应于背景区域的最大峰消除 , 然后再用动态阈值法进行分割 (见图 5) .
直方图的情况 ,可根据峰的形状确定阈值. 可将分割阈值选在直方图的谷底位置 , 一般取在波谷的正中
位置 ,这种方法称为双峰谷底法. 我们可以用如下的方法选取谷底位置 :
①极值法
如果将直方图波形看作一条曲线 ,则选取直方图的谷可借助求曲线极小值的方法. 如果用 h ( z) 代
表直方图 ,那么极小值点应该满足 :
P1 × P1 ( t) = P2 × P2 ( T)
(9)
第 1 期 王斌 ,吕科 :数字图像二值化波形分析法探究 11
这个等式解出 T ,即为最佳阈值. 如果 P1 = P2 ,则最佳阈值位于曲线 P1 ( z) 和 P2 ( z) 的交点处. 将 这个结果用于高斯密度 (带入 (4) 式) 可得下列阈值 T 的解 :
灰度直方图是灰度级的函数 , 它包含了丰富的
图像信息 , 反映了图像的灰度分布情况 , 是图像最基
本的统计特征. 图 1 为一幅大小为 6 ×6 的图像及其
直方图统计 :
根据直方图波形峰的数目 , 可将直方图分为单 峰 、双峰和多峰直方图三种 (如图 2) :
图 1 数字图像及其直方图统计
图 2 直方图的形状
T0
= μ1
+ μ2 2
σ2 + μ1 - μ2ln
P2 P1
(12)
如果两种灰度值的先验概率相等 (或方差为零) ,则最优阈值就是两个区域中平均灰度的中值. 对于
其他形式的密度 ,如瑞利和 log - normal 密度 ,决定最佳阈值的方法相似.
一幅图像的混合概率密度函数 p ( z) 的参数可根据最小均方误差的方法借助直方图得到. 例如
吕 科 (1971 - ) ,男 (汉族) ,博士后 ,主要研究方向 :计算机辅助设计 ,计算机图形学及图像处理与科学计算可视化.
第 1 期 王斌 ,吕科 :数字图像二值化波形分析法探究 9 图像直方图波形的分析 ,分别给出了单峰 、双峰和多峰直方图图像二值化阈值的确定方法 ,现分述如下 :
[ 2 ] WESZKA J . S , ROSENFELD A. Histogram modification for threshold selection[J ] . IEEE Transactions on Systems ,Man ,andCybernetics ,1979 (9) : 38 - 72.