数学物理方法分离变量法

(2)
???uu(t 0?,
4uxx, t) ? u
0? (1, t )
x ? 1,t ? N0,
?
0
.
??u(x,0) ? 0
33
于是（1）变为
? X??(x) ? ? X(x) ? 0 (5)
? ?T
?(t
)
?
D? T (t )
?
0
(6)
而（2）式变为
X(0)T(t) ? 0, X(? )T(t) ? 0 注意到T(t)的一般性，
可得
X(0) ? 0, X(? ) ? 0 （7）
30
以下解本征值问题：?? ?
X??(x) ? ?
所以，原问题的解为
u(x, t) ? e? Dt sin x ? 2e?9Dt sin 3x 32
作业： 习题4.1
求下列定解问题：
(1)
??utt ? a ?u(0, t )
2u xx ,
? u(?
0? x ,t) ? 0,
?
?
,t
?
0
;
??u(x,0) ? 3sin x, ut (x,0) ? 0
c1,c2为任意常 数，由边界条件， c1 ? c2 ? 0, X(x)? 0. 非所求
（2）当? ? 0， X(x)? c1e ? x ? c2e? ? x
由边界条件，得：
??c1 ? c2 ? 0
? ??c1e
?l ? c2e?
?l
?0
解之得：c1 ? c2 ? 0,
X(x)? 0. 非所求
8
（3）当? ? 0，不妨设：μ ? ? k2 (k为实数）,
n?1
l
x ? bn sin
n?
l
x)
? an
?1 l
l ?l
f (x)cos
n?
l
xdx,
n ? 0,1,...
? bn
?1 l
l ?l
f (x)sin
n?
l
xdx,
n ? 1,2,...
13
若f (x)为奇函数，则：
? f (x) ?
?
n?
bn sin
n?1
l
x
? bn
?
2 l
l
n?
f (x)sin
（1）? ? 0，X(x) ? Bx? A, 由X?(0) ? X?(a) ? 0，
B ? 0, X(x) ? A.
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(2) ? ? 0, 令μ ? ? k2 , X(x)? Bsin kx? Acos kx,
Q X?(0) ? kBcos 0 ? 0,? B ? 0
Q X?(a) ? ? kAsin ka ? 0,? sin ka ? 0,即
0
l
xdx,
n ? 1,2,...
若f (x)为偶函数，则：
? f (x) ?
a0 2
?
?
n?
an cos
n?1
l
x
? an ?
2 l
l
n?
f (x)cos
0
l
xdx,
n ? 0,1,...
14
sin n?? d?
l
n??
sin
d?
l
s
x
15
16
1
17
18
19
20
21
22
当且仅当? ? 0时存在非零解：
? t)
x ?
? 0
?
,t
?
0
(1) (2)
??u(x,0) ? sin x ? 2sin 3x
(3)
解：分离变量，即令 u(x,t) ? X(x)T (t) (4)
则（1）式变为 X(x)T?(t) ? DX??(x)T (t)
29
即
T?(t) ? X??(x) ??令? ?
DT (t) X(x)
X(0) ? 0,
X ( x)
X(? )
? ?
0 0
(5) (7)
则得
? 本征值 ?＝ -
??本征函数 Xn
n2 , n (x) ?
? 1,2,... Cn sin nx
(8)
将?＝－ n 2 代入（ 6）式得
Tn?(t) ? Dn2Tn (t) ? 0 解之得
Tn (t)
?
b e? n2Dt b
(9)
ka ? n? (n ? 1,2,...),
? ? ? ?( n? )2,
a
Xn (x) ?
An
cos n? x
a
两种情况联合表示为： 23
shx ? ex ? e? x , chx ? ex ? e? x
2
2
24
25
26
27
28
例：求解定解问题
???uut(0?,
Duxx, 0
t) ? u(? ,
k ? n? , n ? 1,2,3,....
l
从而，本征值为：
μ
?
?k2
?
?
n 2?
l2
2
本征函数，即解为：Xn(x) ?
Cn
sin
n?
l
x.
9
10
11
12
根据函数的傅立叶级数展开定理，当 f (x) 在 (?l,l) 绝对可积时
则： 其中：
? f (x) ?
a0 2
?
?
n?
(an cos
(8),(9)两式代入（4）得
un ( x, t)
?
a e? n2Dt n
sin
nx,
an ? bncn
31
? 做叠加，得
?
? u(x,t) ?
a e? n2Dt n
sin
nx
n?1
再由（3）式确定系数得
?
? an sin nx＝sin x ? 2sin 3x
n?1
比较两边 sin nx的系数得
a1 ? 1,a3 ? 2, an ? 0 ( n ? 1,3)
第四章 分离变量法
1
§4.1
2
3
4
t?0
? ? (x),? (x)为任意函数，分别除以常数T(0),T?(0) 5
不可能同时满足X??? ?X ? 0
因此，
6
的求解
方程<4>在〈5〉条件下的解实际上是 一个标准的斯特姆-刘维本征值问题， 我们通过三点讨论来确定本征值和本征 函数。
7
（1）当? ? 0，X(x)? c1x ? c2
则，X(x)? c1 sin kx? c2 cos kx 由边界条件得：
? ? ?
c2 c1
?0 sin kl
?
0
解之得：c1 ? 0, 只能 sin kl ? 0
? kl ? ? n? , n ? 0,1,2,....
但n ? 0,否则k ? 0,又得到零解。? n给出的两个解
只差符号，线性相关，故