材料力学课件：扭转应力
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） 3.静力学条件
§ 4 . 3 扭转
4.3.1薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力
(壁厚
t
£
1 10
r 0
,
r0：为平均半径）
1、实验：
2、变形规律：
§ 4 . 3 扭转
圆周线——形状、大小、间距不变， 各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
G
d
dx
A
2dA
A
G
d
dx
2dA
令 I p A 2dA
Ip—截面的极惯性矩 单位： m4 , mm4
T
GI
p
d
dx
d T T
dx GI p
dA
代入物理关系式
G
d
dx
得：t r
=T ⋅r I
p
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算公式
§ 4 . 3 扭转
Leabharlann Baidu
FNAB 75kN （压）
FNAB
F
FNBC
[ A]钢
d2
4
FNAB
[ ]钢
d 4FNAB ＝ 4 75103 ＝26.12mm
[ ]钢 140 106
取d＝27mm
§ 4 . 1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
例3 已知：l, h, F（0 < x < l）, AC为刚性梁, 斜撑杆
BD 的许用应力为 [ ].
Fl
[ ]hcos
h
sin
[
2Fl
]sin2
sin2 1
opt 45
应力计算及强度条件
§4.3 扭转
§ 4 . 3 扭转
应力计算公式的推导思路：
实验 由实验现象→变形规律 做一些合理的假设→应变规律 利用胡克定律→应力分布规律 →应力计算公式
1.变形几何条件 2.物理条件，应力应变关系（本构关系
结论： 横截面上 e= 0
s =0
g¹
t ¹0
t
根据对称性切应力沿0 圆周均匀分布
r0
t r0, 可认为切应力沿壁厚均匀分布
方向垂直于其半径方向 ???
§ 4 . 3 扭转
3. 横截面上切应力的计算公式
dA
r0
d
r0 dA T
A
2
dA t r0d
r0 t r0d T
0
r0 2 r0t T
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 且形状 、大小以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力:
（1） 0 0
（2） 0 0
§ 4 . 3 扭转
剪应变的变化规律：
取楔形体 O1O2ABCD 为
研究对象
同一圆周上剪应变相同
不同圆周剪应变不同，
与半径成正比
D’
微段扭转
变形d
tg DD ' Rd
dx dx
tg dd d
dx dx
§ 4 . 3 扭转
d
dx
d dx－扭转角变化率
2）物理条件：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内
G
max P → G
G
d
dx
方向垂直于半径
§ 4 . 3 扭转
3）静力学条件：由横截面上扭矩与应力的关系→应力公式
T A dA
r
l
§ 4 . 3 扭转
剪切虎克定律 在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
p,
G
p
, (tan G)
§ 4 . 3 扭转
2. 切应力互等定理
m
T
dy
t
dx
y
dz
dy
x
dy
t
dz
dx
z
dx
dydzdx dxdzdy
§ 4 . 3 扭转
dy
y
切应力互等定理
'
在相互垂直的两个面上，
薄壁圆轴扭转的横截面切应力公式 • 根据精确的理论分析,
T T 2 r02 t 2 A0t
• 当t≤r0/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。
§ 4 . 3 扭转
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验
为扭转角 r l
r 即
l
T
T——
2 r2 t
152.8MPa
[ ]钢
§ 4 . 1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
A
3m
B
例2 已知钢杆AB为圆杆,直径d=25mm,
[σ]钢=140MPa,木杆BC为正方形,边长为
2m
a=100mm,[σ]木=10MPa,F=50kN.
F 试校核支架强度.
C
解: 1.内力分析 2.强度条件
3.重新选择钢杆截面
试求：为使杆 BD 重量最轻, 的最佳值.
§ 4 . 1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
解：1. 刚性梁受力分析
M A 0,
FN
Fx
hcos
Fl
FN,max hcos
2. 角最佳值的确定
由强度条件 A FN,max
[ ]
Amin
FN,max
[ ]
Fl
[ ]hcos
VBD AminlBD
上堂课主要内容回顾
轴向拉压杆横截面、斜截面上的应力
分布规律——内力沿横截面、斜截面均匀分布
1.横截面应力的计算公式： F
FN
FN
A
2.斜截面应力的计算公式：
F
p FN
p
FN A
F A
cos
F cos cos
A
上堂课主要内容回顾 1.横截面应力的计算公式： F
FN
FN
A 2.斜截面应力的计算公式：
p sin
2
sin
2
F
p
F
p
§ 4 . 3 扭转 4.3.2 圆轴扭转 一、圆轴扭转时横截面上的应力 1）变形几何条件：由实验找出变形规律→应变的变化规律
实验：
§ 4 . 3 扭转
观察变形规律： 圆周线——形状、大小、间距不变，
各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
a
d
b O '
x
切应力总是成对出现， 并且大小相等，方向同时指向或 同时背离两个面的交线。
z
dx c
'
a
d
单元体在其两对互相垂 直的平面上只有切应力
而无正应力的状态称为
纯剪切应力状态。
b '
c
§ 4 . 3 扭转 扭转切应力方向垂直半径的证明
证明切应力互等定理的另一种方式
p cos cos2
F
p FN
p
FN A
F A
cos
F cos cos
A
p cos cos2 F
p
p
sin
sin2
2
§ 4 . 1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
A
3m B
2m
F
C
FNAB
F
FNBC
木杆满足强度要求 钢杆不满足强度要求
例2 已知钢杆AB为圆杆,直径d=25mm,
[σ]钢=140MPa,木杆BC为正方形,边长为 a=100mm,[σ]木=10MPa,F=50kN.
试校核支架强度.
解: 1.内力分析
FN
F
sin
32 22 2
50 90.1kN（压）
BC
FN AB FNBC cos
3
90.1 75kN
32 22
（拉）
2.强度条件
木
FN BC a2
90.1103
0.12
9.01MPa [ ]木
钢
FN AB
d2 /4
75103 4
0.0252
§ 4 . 3 扭转
4.3.1薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力
(壁厚
t
£
1 10
r 0
,
r0：为平均半径）
1、实验：
2、变形规律：
§ 4 . 3 扭转
圆周线——形状、大小、间距不变， 各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
G
d
dx
A
2dA
A
G
d
dx
2dA
令 I p A 2dA
Ip—截面的极惯性矩 单位： m4 , mm4
T
GI
p
d
dx
d T T
dx GI p
dA
代入物理关系式
G
d
dx
得：t r
=T ⋅r I
p
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算公式
§ 4 . 3 扭转
Leabharlann Baidu
FNAB 75kN （压）
FNAB
F
FNBC
[ A]钢
d2
4
FNAB
[ ]钢
d 4FNAB ＝ 4 75103 ＝26.12mm
[ ]钢 140 106
取d＝27mm
§ 4 . 1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
例3 已知：l, h, F（0 < x < l）, AC为刚性梁, 斜撑杆
BD 的许用应力为 [ ].
Fl
[ ]hcos
h
sin
[
2Fl
]sin2
sin2 1
opt 45
应力计算及强度条件
§4.3 扭转
§ 4 . 3 扭转
应力计算公式的推导思路：
实验 由实验现象→变形规律 做一些合理的假设→应变规律 利用胡克定律→应力分布规律 →应力计算公式
1.变形几何条件 2.物理条件，应力应变关系（本构关系
结论： 横截面上 e= 0
s =0
g¹
t ¹0
t
根据对称性切应力沿0 圆周均匀分布
r0
t r0, 可认为切应力沿壁厚均匀分布
方向垂直于其半径方向 ???
§ 4 . 3 扭转
3. 横截面上切应力的计算公式
dA
r0
d
r0 dA T
A
2
dA t r0d
r0 t r0d T
0
r0 2 r0t T
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 且形状 、大小以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力:
（1） 0 0
（2） 0 0
§ 4 . 3 扭转
剪应变的变化规律：
取楔形体 O1O2ABCD 为
研究对象
同一圆周上剪应变相同
不同圆周剪应变不同，
与半径成正比
D’
微段扭转
变形d
tg DD ' Rd
dx dx
tg dd d
dx dx
§ 4 . 3 扭转
d
dx
d dx－扭转角变化率
2）物理条件：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内
G
max P → G
G
d
dx
方向垂直于半径
§ 4 . 3 扭转
3）静力学条件：由横截面上扭矩与应力的关系→应力公式
T A dA
r
l
§ 4 . 3 扭转
剪切虎克定律 在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
p,
G
p
, (tan G)
§ 4 . 3 扭转
2. 切应力互等定理
m
T
dy
t
dx
y
dz
dy
x
dy
t
dz
dx
z
dx
dydzdx dxdzdy
§ 4 . 3 扭转
dy
y
切应力互等定理
'
在相互垂直的两个面上，
薄壁圆轴扭转的横截面切应力公式 • 根据精确的理论分析,
T T 2 r02 t 2 A0t
• 当t≤r0/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。
§ 4 . 3 扭转
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验
为扭转角 r l
r 即
l
T
T——
2 r2 t
152.8MPa
[ ]钢
§ 4 . 1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
A
3m
B
例2 已知钢杆AB为圆杆,直径d=25mm,
[σ]钢=140MPa,木杆BC为正方形,边长为
2m
a=100mm,[σ]木=10MPa,F=50kN.
F 试校核支架强度.
C
解: 1.内力分析 2.强度条件
3.重新选择钢杆截面
试求：为使杆 BD 重量最轻, 的最佳值.
§ 4 . 1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
解：1. 刚性梁受力分析
M A 0,
FN
Fx
hcos
Fl
FN,max hcos
2. 角最佳值的确定
由强度条件 A FN,max
[ ]
Amin
FN,max
[ ]
Fl
[ ]hcos
VBD AminlBD
上堂课主要内容回顾
轴向拉压杆横截面、斜截面上的应力
分布规律——内力沿横截面、斜截面均匀分布
1.横截面应力的计算公式： F
FN
FN
A
2.斜截面应力的计算公式：
F
p FN
p
FN A
F A
cos
F cos cos
A
上堂课主要内容回顾 1.横截面应力的计算公式： F
FN
FN
A 2.斜截面应力的计算公式：
p sin
2
sin
2
F
p
F
p
§ 4 . 3 扭转 4.3.2 圆轴扭转 一、圆轴扭转时横截面上的应力 1）变形几何条件：由实验找出变形规律→应变的变化规律
实验：
§ 4 . 3 扭转
观察变形规律： 圆周线——形状、大小、间距不变，
各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
a
d
b O '
x
切应力总是成对出现， 并且大小相等，方向同时指向或 同时背离两个面的交线。
z
dx c
'
a
d
单元体在其两对互相垂 直的平面上只有切应力
而无正应力的状态称为
纯剪切应力状态。
b '
c
§ 4 . 3 扭转 扭转切应力方向垂直半径的证明
证明切应力互等定理的另一种方式
p cos cos2
F
p FN
p
FN A
F A
cos
F cos cos
A
p cos cos2 F
p
p
sin
sin2
2
§ 4 . 1 轴向拉压杆横截面及斜截面应力
A
3m B
2m
F
C
FNAB
F
FNBC
木杆满足强度要求 钢杆不满足强度要求
例2 已知钢杆AB为圆杆,直径d=25mm,
[σ]钢=140MPa,木杆BC为正方形,边长为 a=100mm,[σ]木=10MPa,F=50kN.
试校核支架强度.
解: 1.内力分析
FN
F
sin
32 22 2
50 90.1kN（压）
BC
FN AB FNBC cos
3
90.1 75kN
32 22
（拉）
2.强度条件
木
FN BC a2
90.1103
0.12
9.01MPa [ ]木
钢
FN AB
d2 /4
75103 4
0.0252