前言-组合数学概述共62页文档
组合数学的基本概念和计算
组合数学的基本概念和计算组合数学是数学中的一个重要分支，研究的是离散的、可数的对象的组合方式和性质。
其主要研究对象有排列、组合、二项式系数等。
在各个领域中都有广泛的应用，尤其在图论、密码学、统计学等方面起着重要作用。
本文将介绍组合数学的基本概念和计算方法。
一、排列排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列组合的方式。
排列的顺序是有意义的，即不同的顺序对应不同的排列方式。
排列数的计算可以使用阶乘的方式，即P(n,m)=n!/(n-m)!二、组合组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的方式。
组合的顺序是无意义的，即不同的顺序对应同一种组合方式。
组合数的计算可以使用阶乘的方式，即C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]三、二项式系数二项式系数是组合数学中的一个重要概念，表示的是二项式展开后每一项的系数。
在代数学中，二项式系数是根据二项式定理得到的，其公式为C(n,m)。
二项式系数在代数、组合、概率等领域中都有广泛的应用。
四、计算方法在组合数学中，计算组合数或者排列数有多种方法，包括直接计算法、递推法和使用公式法等。
1. 直接计算法直接计算法是最简单的方法，即根据组合数和排列数的定义，进行相应的计算。
例如，要计算C(5,2)，即从5个元素中取出2个元素进行组合的方式，可以按照公式C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]进行计算。
2. 递推法递推法是一种常用的计算方法，尤其适用于大规模计算。
递推法的基本思想是通过计算已知的组合数或排列数，推导出未知的组合数或排列数。
例如，要计算C(5,2)，可以利用递推公式C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)进行计算。
3. 公式法公式法是一种通过使用组合数学中的公式进行计算的方法。
例如，要计算C(5,2)，可以使用二项式系数的公式C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]进行计算。
五、应用领域组合数学在各个领域都有广泛的应用，下面介绍其中几个主要应用领域：1. 图论在图论中，组合数学的方法被广泛应用于图的着色、匹配、路径等问题的求解。
《组合数学第一讲》课件
概率的乘法公式
如果事件A和B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
贝叶斯公式
用于计算在已知其他相关概率的情况下，某一事件发生的概率。
概率的应用实例
赌博游戏
概率可以用于计算赌博游戏中各种结果的可能性 。
保险业
保险公司使用概率来计算各种风险的赔付概率和 保费。
天气预报
气象学家使用概率来预测天气的发生可能性，例 如降雨的概率。
在排列中，各个元素的位置是独立的，互不影响。
排列的传递性
如果a>b且b>c，则a>c。
排列的公式与定理
排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记 为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
排列数的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=m!/[(n-m)!*m!]。
03
CATALOGUE
组合数学中的计数问题
计数原理
01 02
计数原理
在数学中，计数原理是一种基本原理，用于计算在特定条件下可能发生 的事件的数量。它通常用于组合数学中的计数问题，以确定不同排列和 组合的数量。
分类计数原理
分类计数原理是计数原理的一种，它涉及到将问题分解为几个独立的部 分，然后分别计算每个部分的可能性，最后将各部分的计数相加。
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《组合数学第一 讲》ppt课件
目录
• 组合数学简介 • 组合数学的基本概念 • 组合数学中的计数问题 • 组合数学中的排列问题 • 组合数学中的组合问题 • 组合数学中的概率问题
01
CATALOGUE
前言-组合数学概述ppt课件
ppt精选版
27
Ramsey数
推广为一般问题：给定任意正整数a和b， 总存在一个最小整数 r(a,b)，使得r(a,b) 个人中或者有 a 个人互相认识，或者 有 b 个人互相不认识。称 r(a,b) 为 Ramsey数。
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28
Erdös -Szekeres 定理
Ramsey定理是由Erdös和Szekeres于1935年提 出的。它是下述定理的一个推广：
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13
Euler 定理
如果一个图包含一条经过每条边恰好一次的闭途 径，则称这个图为欧拉图。
对任意的非空连通图，若它是欧拉的, 当且仅当它 没有奇度点。
Königsberg桥对应的图
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14
36 军官问题 (欧拉 1779)
The Great Frederic的阅兵难题-------欧拉的困惑
1 1，1 1，2，1 1，3，3，1 1，4，6，4，1 1，5，10，10，5，1 1，6，15，20，15，6，1
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12
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问 题—穿过Königsberg城的七座桥，要求每座桥 通过一次且仅通过一次。
Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。
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21
中国邮递员问题
1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著 名的“中国邮递员问题”。
一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖 的每一条街道，然后返回邮局。那么如何 选择一条尽可能短的路线。
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22
中国邮递员问题
这个问题可以转化为：给定一个具有非负 权的赋权图G，
（1）用添加重复边的方法求G的一个Euler赋
组合数学的基本概念与方法
汇报人：XX
目录
01
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02
组合数学简介
03
组合数学的基本概念
04
组合数学的主要方法
05
组合数学中的问题与求解方法
06
组合数学与其他数学领域的联系
添加章节标题
PART 01
组合数学简介
PART 02
组合数学的定义
组合数学是研究离散对象组合性质和结构的数学分支
THANK YOU
汇报人：XX
特点：具有自相似性、层次性和规律性
定义：一个数学对象或系统通过自身子对象或子系统的递归方式进行描述或构造
组合数学的主要方法
PART 04
归纳法
定义：归纳法是从个别到一般的推理方法，通过对一些具体实例的分析，总结出一般规律。
应用：在组合数学中，归纳法常用于研究排列、组合、概率等问题，通过对具体问题的分析，归纳出一般性的结论。
注意事项：在应用反证法时，需要注意推理和演绎的严密性和准确性，避免出现逻辑错误。
构造法
定义：构造法是一种通过构造具体的实例或模型来解决问题的数学方法。
应用场景：在组合数学中，构造法常用于证明组合恒等式、求解组合问题等。
举例说明：例如，通过构造一个具体的组合模型来证明组合恒等式。
注意事项：使用构造法时需要注意构造的合理性和正确性，以及构造实例或模型的代表性和一般性。
数学归纳法
定义：数学归纳法是一种证明无限数学命题的推理方法，通过有限次验证和归纳推理来证明无限命题的正确性。
步骤：数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤是验证命题在某个初始值成立，而归纳步骤则是假设在某个值成立，然后证明该假设对于下一个值也成立。
组合数学前言
组合数学前言一、组合数学是什么呢？组合数学啊，就像是数学世界里的一个超级有趣的游乐场。
你想啊，它研究的是把东西按照不同的方式组合起来，就像玩拼图一样。
比如说，从一堆不同颜色的小方块里，能拼出多少种不一样的图案呢？这就是组合数学要思考的问题。
它可不是那种枯燥的数学哦，它充满了各种奇妙的可能性。
就像我们在生活中，要从好多不同的衣服里搭配出不同的造型，这里面就有组合数学的影子呢。
二、组合数学的有趣例子1. 有个班级要选班干部，有班长、学习委员、生活委员等好几个职位，有一群同学来参选。
那有多少种不同的选举结果呢？这就是组合数学的排列组合问题啦。
2. 我们去吃自助餐，有好多不同种类的食物，我们的盘子就那么大，那有多少种不同的食物搭配可以放在盘子里呢？这也是组合数学哦。
3. 学校要安排课程表，不同的课程在不同的时间段，要满足各种条件，像不能让体育课紧接着化学课（因为同学们可能要换衣服啥的），那有多少种合理的课程表安排呢？这也是组合数学要解决的。
4. 我们玩扑克牌，从一副牌里抽出特定的几张牌，有多少种不同的抽牌组合呢？这是组合数学里的组合数概念。
5. 把一群小朋友分成不同的小组去做游戏，有多少种分组的方式呢？这也是组合数学在生活中的体现。
6. 去旅行的时候，要从好多条旅游线路里选择几条来组成自己的旅行计划，这也涉及组合数学的思想。
7. 有不同颜色的珠子，要串成手链，有多少种不同的串法呢？这是组合数学中的排列问题。
8. 安排座位的时候，要让互相熟悉的人坐在一起，同时又要满足场地的限制，有多少种座位安排方案呢？这是组合数学在实际场景中的应用。
9. 学校有不同的社团，学生可以选择参加几个社团，那有多少种不同的选择组合呢？这也是组合数学的范畴。
10. 要给一本书的章节编号，有一定的规则，那有多少种不同的编号方式呢？这是组合数学的一个特殊应用。
11. 有不同的花，要插成不同的花束，有多少种插花的组合呢？这和组合数学密切相关。
组合数学简介
映射的个数
n元集上的幂等映射的个数 n元集上的部分映射的个数
n
C
k n
k
n
k
k 1
n
Cnk nk (1 n)n
k 0
例题
• 问题一：对三角形的三个顶点u,v,w染以红、蓝两 种颜色，求不同的染色方案数。
• 问题二：求集合{u,v,w}到集合{r,b}的映射的数目。
例题
• 问题1：求n元集合上有多少个不同的自反关系？
组合数学 Combinatorics
教材
课程安排
• 组合数学简介 • 排列组合公式 • 母函数 • 递推关系 • 容斥原理 • 抽屉原理 • Polya计数
组合数学简介
• 组合数学也称为组合分析或组合学，按研究的对象 归于离散数学家族。
• 早在中国古代的洛书、河图中就有组合数学的思想。 • 组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏中。 • 现代组合数学在纯粹和应用科学上都有重要的价值。 • 组合数学与抽象代数、拓扑学、数学基础、图论、
• 主要内容：把有限集合的元素按一定的规则进行安排。 • 这种安排被考究地称为组态（Configuration）。
解决的问题
• 组态的存在性 • 组态的枚举、分类和计数 • 组态的构造 • 组态的优化
幻方
• 幻方是最古老最流行的一个数学游戏之一。 • 在中世纪时期曾存在与幻方相关的玄想，人们将
幻方佩戴身上辟邪。 • 本杰明·富兰克林就是一个幻方迷，他的论文中包
有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在ห้องสมุดไป่ตู้n类 办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不 同方法。
第一章 什么是组合数学
n1=2
n2=4
n3=9
1）当k=2的情形，这个游戏怎么玩？ 2）当k3的情形，这个游戏就复杂多了
定义： n1, n2,…, nk是正整数，若它们的二 进制数码的异或值为0，则称它们处于平衡 状态，否则称为非平衡状态。 例如：2： 10 4: 100 9: 1001 异或值：1111，因此，2，4，9处于非平衡 状态，但2，4，6就是平衡状态了。
一、组合数学产生与发展
组合数学最初来源于数学娱乐和游戏。
现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对
象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散 对象的组合数学。 例如：棋盘覆盖、幻方和取子游戏等。 1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问世， 这是组合数学的第一部专著。书中首次使用了 组合论（Combinatorics）一词。 组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍 应用之后。
例题：64个囚室组成监狱，排成8x8棋盘， 相邻囚室间都有门，某角落囚犯被告知， 如果能够经过每个囚室，且仅进入一次， 若能到达对角线囚室，则可获得自由。
例4: Nim取子游戏
有k(1)堆石子，分别含有n1, n2,…, nk个子。 游戏规则：
1）游戏人A和B交替从这些堆里取一定数量石子 2）取子时，只能选择其中一堆，并且取至少一 个石子 3）最后取完子的人为胜者
n阶幻方是由整数1,
成nn的方阵。 幻和：每列上的整数和以及两条对角线中对角 线上的整数和都为一个数s
ሺଶାଵሻ ଶ
2, 3, …, n2按照一定方式形
幻方构造(n为奇数)
De la Loubere方法
将1放在最上一行的中间，其后整
数沿着自左下到右上的对角线进 行放置 i) 到达顶行，则放到底行 Ii）到达最右列，则放在左侧 Ii）当要放位置已有整数，或已经 到右上角，则放在位置之下。
组合数学基本概念
组合数学基本概念组合数学是数学的一个分支，主要研究离散对象的组合方法与规律。
在数学和计算机科学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍组合数学的基本概念，包括排列、组合、二项定理和组合恒等式等内容。
一、排列排列是指从一组对象中选取若干个进行排列，所得到的有序数列。
在组合数学中，我们通常用P(n, k)表示从n个不同对象中选取k个对象进行排列的方法数。
其中，n表示对象的个数，k表示选取的对象个数。
二、组合组合是指从一组对象中选取若干个进行组合，所得到的无序子集。
在组合数学中，我们通常用C(n, k)表示从n个不同对象中选取k个对象进行组合的方法数。
其中，n表示对象的个数，k表示选取的对象个数。
排列和组合之间的关系可以通过以下公式来表示：C(n, k) = P(n, k) / k!其中，k!表示k的阶乘。
三、二项式定理二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它给出了两个数之和的幂展开的表达式。
二项式定理可以表示如下：(x + y)^n = C(n, 0) * x^n * y^0 + C(n, 1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n, k) * x^(n-k) * y^k + ... + C(n, n) * x^0 * y^n其中，n为非负整数，x和y为实数。
四、组合恒等式在组合数学中，存在许多有趣的恒等式，它们是各种排列和组合方法之间的等式关系。
以下列举几个常见的组合恒等式：1. Pascal恒等式C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)2. 对称性C(n, k) = C(n, n-k)3. 合并C(n, k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1)4. 二项式定理的特例C(n, 0)^2 + C(n, 1)^2 + ... + C(n, n)^2 = C(2n, n)这些组合恒等式在组合计数、概率论、图论等领域中具有广泛的应用，深刻显示了组合数学的美妙之处。
第五讲 组合数学简介
概述
建立组合数学模型
组合数学是计算机出现以后 迅速发展起来的一门数学分支
应用相关的组合数学知识， 应用相关的组合数学知识，得出计 算公式（经常是递推公式） 算公式（经常是递推公式）。
介绍一下组合数学在比赛中 的一些应用
问题解决 了？
N
Y
结 束
解组合数学题目的一般步骤
考虑能否解出递推公式中的递归关 降低时间复杂度； 系，降低时间复杂度；考虑能否得 出新的公式，使得计算过程简便， 出新的公式，使得计算过程简便， 计算精度提高； 计算精度提高；或做出其他的一些 思考和改进。 思考和改进。
Q = ∑ E[i ] * ( n − 1 − E[i ])
i =1 n
答案R=S－T=n*(n-1)*(n-2)/6-Q/2
解题方法 ——组合数学中的递推关系
建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面几 项的关系式，以及初始项的值 下面介绍几种典型的递推关系
Fibonacci数列
有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小 兔子。问过n个月后共有多少对兔子？ 解：设满x个月共有兔子Fx对，其中当月新生的兔子数目为 Nx对。第x-1个月留下的兔子数目设为Ox对。则： Fx=Nx+Ox 而 Ox=Fx-1， Nx=Ox-1=Fx-2 (即第x-2个月的兔子到第x个月成熟了) ∴ Fx=Fx-1+Fx-2 边界条件： F0=0，F1=1
1 2 n
Pólya原理及其应用
本例中有4个置换
转0° 转90° a1= a2=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 6 3 4 5 10 7 8 9 12 11 16 13 14 15
组合数学
6． n 个不同元中允许重复地取 r 个元的
组合，称为 n 元可重 r-组合，其组合数
记为 F(n, r)。
或用集合描述为：重集
{ ∞ ·1，∞ ·2，…，∞ · n} a a a
的 r-组合数为F(n, r)。
定理1 F(n, r) = C(n+r-1, r)，其中 n, r 均为正整数。
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问 世，这是组合数学的第一部专著。书中首次使 用了组合论（Combinatorics）一词。
组 合 数 学
4.1 排列与组合 4.2 鸽笼原理与容斥原理
4.3 有限制的排列
4.4 母函数 4.5 递推关系 4.6 常系数线性递推关系
§4.1
一．两个基本法则
4． 从 n 个不同元中取 r 个元围成一圈, 称为从 n 个不同 元中取 r 个元的圆排列, 其排列数记为 K(n,r)，有
K(n,r) =
( n, r )
r
理由：因 r 个不同的线 排列（即一般的排列）， 如 (1, 2,…, r)，(2, 3,…, r-1, r, 1) ,…, (r, 1, 2,…, r-1) 一一对应一个如右图的 圆排列
排列与组合
加法法则：设 A, B 为两类不同的事件。若事件A 有
m 种不同的产生方式，事件B 有n 种不同的产生方式，
则 “事件A 或事件B” 有 m+n 种产生方式。 例如，小于10的正偶数有4个，小于10的正奇数 有5个，则小于10的正整数有4+5 = 9个。
乘法法则：设 A, B 为两类不同的事件。若事件A有m
是一一的。所以 n 元可重r-组合数等于 n+r-1元的普通
r-组合数，即 F(n, r) = C(n+r-1, r)
组合数学第一章
组合数学第一章清华课件组合数学清华课件前言组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。
据传说，大禹在4000多年前就观察到神龟背上的幻方…...清华课件前言幻方可以看作是一个3阶方阵，其元素是1 到9的正整数，每行、每列以及两条对角线的和都是15。
492385176清华课件前言1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问世，这是组合数学的第一部专著。
书中首次使用了组合论(Combinatorics) 一词。
清华课件前言组合数学是一个迷人的数学分支, 它起源于古代的游戏和美学鉴赏. 在现代科学技术的发展中, 人们会面临各种各样的组合数学问题. 组合数学在计算机科学中发挥着出极为重要的作用.清华课件前言组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍应用之后。
由于组合数学涉及面广，内容庞杂，并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统一而有效的理论体系。
这与数学分析形成了对照。
清华课件前言组合数学的基本内容组合数学关心的事情是要按照一定方式“配置”一组事物，主要考虑以下几方面的问题.(1) 存在性：(2) 计数与分类：主要内容(3) 构造算法：部分内容(4) 算法优化：清华课件前言组合数学经常使用的方法并不高深复杂。
最主要的方法是计数时的合理分类和组合模型的转换。
但是，要学好组合数学并非易事，既需要一定的数学修养，也要进行相当的训练。
清华课件前言数学内容:高等数学(微积分,高等代数) 计算机数学(离散数学,组合数学) 意义:方法(用于编程), 素质(全面,细致) 难点:方法的应用, 例题的题型和思路教材:4版为主讲课:听课为主, 课件较完整, 板书和说明多种思路的分析，实例的直观理解作业:平时30%, 不交没分, 迟交扣分, 错误有分清华课件第一章排列组合1.1 加法法则与乘法法则清华课件1.1 加法法则与乘法法则假设：A和B是性质无关的两类事件。
[ 加法法则] 设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则事件A或B之一有m+n种产生方式。
第一章 什么是组合数学
第一章什么是组合数学组合学问题在生活中随处可见。
例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个球队参赛，每队只和其他队比赛一次。
创建幻方。
在纸上画一个网络。
用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画出网络因。
在玩扑克牌游戏中，计算满堂红牌的手数，以确定出现一手满堂红牌的几率。
所有这些都是组合学问题。
正如人们想到的．组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。
过去研究过的许多问题，不论出于消遣还是出于对其美学的考虑，如今在纯科学和应用科学中都具有高度的重要性。
今天，组合数学是数学的一门重要分支，而且它的影响还在继续扩大。
组合数学自60年代以来急速发展的部分原因就在于计算机在我们的社会中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥。
由于运算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的。
然而计算机不能独立运行，它需要编程来控制。
这些程序的基础往往是求解问题的组合学算法，对于这些算法，运行时间效率和存储需求分析需要更多的组合学思想。
组合数学近期发展的另一个原因是它对于那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。
由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正在用于数学应用的传统自然科学领城，而且也用于社会科学、生物科学、信息论等领域。
此外，组合数学和组合学思想在许多数学分支中已经变得越来越重要。
组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。
如下两类一般性问题反复出现：排列的存在性如果有人想要排列—个集合的成员使得某些条件得以满足，那么这样一种排列是否可行根本就不是显而易见的。
这是最根本的问题。
如果这种排列不总是可能的，那么我们要问，这种排列在什么样的(必要和充分)条件下能够实现？排列的计数和分类如果一个指定的排列是可能的，那么就会存在多种方法去实现它。
此时，人们就可以计数并将它们分类。
虽然对任何组合问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实践中常常发生的却是：如果存在性问题需要广泛地研究，那么计数问题则是非常困难的。
组合数学_精品文档
组合数学组合数学是数学领域中一门重要的学科，它研究的是离散的数学结构和数学对象之间的关系。
组合数学最初起源于数论和概率论，但随着时间的推移，它逐渐发展成了一个独立而且广泛的学科。
组合数学的研究内容包括集合论、图论、树状结构、排列组合、离散数学、编码理论等，这些内容都在实际应用中有重要的作用。
在组合数学中，最基本的概念之一是组合。
组合是指从一个集合中选择一些元素的方式。
简单来说，组合就是从若干个不同元素中选出部分元素的集合。
组合数学研究的问题经常与排列组合有关，例如：从n个元素中选取k个元素的组合数表示为C(n,k)。
组合数在概率、统计学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
在概率论中，组合数学可以用来解决排列组合的计数问题。
例如，如果有一个有限的集合，我们可以通过组合数来计算选择该集合中的元素的不同方式。
这在计算概率、统计和随机化的问题中是非常有用的。
在计算机科学领域，组合数学被广泛应用于算法分析和设计中。
例如，在图论中，组合数学可以用来计算图的路径、循环和连通性等问题。
在编码理论中，组合数学可以用来设计有效的纠错编码和检错码。
另一个重要的应用领域是密码学。
在密码学中，组合数学可以用来设计和分析密码算法和密钥系统。
通过组合数学的方法，可以确保密码算法和密钥系统的安全性和可靠性。
组合数学的研究方法包括排列组合、图论、生成函数和组合证明等。
排列组合是组合数学的基础，它研究的是元素之间的排列和组合方式，比如阶乘、组合公式等。
图论是组合数学中的重要分支，它研究的是由节点和边构成的图结构，通过图的理论，可以解决诸如最短路径、网络流、最小生成树等问题。
生成函数是一个非常有用的工具，它用来把一个数列或序列转化为一个函数，从而简化对数列的处理。
组合证明则是通过利用归纳法、反证法、构造法等方法，来证明组合数学中的命题和定理。
组合数学在实际生活中也有许多应用，如排列组合用于随机选择商品、确定比赛场次的方式等。
在信息技术领域，组合数学被广泛应用于数据的编码、网络的优化、算法的设计等方面。
张宁组合数学综述——中学数学资料文档
组合数学综述摘要：组合数学是一门既古老又年轻的数学分支。
我国古人在《洛书》中便已经对组合数学有了初步的认识，而后在解决经典数学游戏问题的过程中，数学家又对组合数学进行了理论性的整理和归纳。
近代，由于计算机的出现，组合数学这门学科迅速发展，成为了一个重要的数学分支，并应用于计算机网络、软件工程、生物学等诸多领域。
在当前这个全球化时代，组合数学必将随着计算机科学的发展与其他数学学科结合起来发挥其独特的魅力。
关键字：组合数学；数学分支；计算机科学；一、组合数学的起源六十年代以来兴起的组合数学，是伴随着计算机科学而迅速发展起来的现代数学分支，若是要考查这门学科思想萌芽的历史，就要追溯到人类文明发育的早期。
早在中国古代《洛书》中，记载着三阶幻方是最早的组合数学。
幻方为在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等的图表。
幻方最早产生于中国，它是组合数学中满足特定条件（幻和一定）的一种构作，是组合数学中区设计的特例。
幻方问题在东、西方的数学发展中产生了一定的影响，也是组合数学发展中的一个重要问题，随着人们对它研究的不断深入，在其基础上逐渐出现幻体、双重幻方、双随机矩阵等诸多新组合问题。
然而另一方面，幻方这种构作思想在17世纪后被一些数学家采用并加以推广，其中拉丁方、欧拉方阵猜想随之提出。
图1为一个拉丁方，其中每行每列中每个字母仅出现以此。
图1另一方面，组合数学与概率相似，它们产生的历史与一些奇特的事情相关，组合数学源于数学游戏。
其中欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题中提出了方法是组合数学中后来的关系映像反演方法的最早体现，在此问题中提出的四个命题（1）在任一单行图中，奇结点有偶数个；（2）没有奇结点的图，能结束于起点的重新进入的路线单行地画出；（3）正好有两个奇结点的图，能从一奇点开始，结束于另一个奇点单行地画出；（4）多于两个奇点的图是多行的；欧拉的上述命题以及进一步的研究为日后图论的发展开辟了道路，后来的学者又提出了“邮递员问题”或“周游世界问题”，这些问题的提出和解决直接促进了图论的创立和发展。