2.5指数与指数函数
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第五节 指数与指数函数
考纲解读
1. 了解指数函数模型的实际背景.
2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质.
3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.
4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究
指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲
一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n
=a
m +n
(m ,n ∈R )；
(2)m
m n n a a a
-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )；
(4)(ab )m =a m b m (m ∈R )；
(5)p
p a a
-=1
(p ∈Q ) (6)m
m n n a a =(m ,n ∈N +)
二、指数函数
(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y x y =a x a >1
0 图象 (1)定义域：R (1)定义域：R 值域 (2)值域：(0,+∞) (2)值域：(0,+∞) (3)过定点(0,1) (3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0 y =1⇔x =0 y >1⇔x <0 (5)0 y =1⇔x =0 y >1⇔x >0 题型归纳及思路提示 题型23 指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示 利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算 例2.48化简并求值. (1)若a =2，b =4 1 的值； (2)若x x -+=1 12 2 3， x x x x - -+-+-332 2 223 2 的值； (3)设n n a --= 1120142014 2 (n ∈N +) ，求)n a 的值. 分析：利用指数运算性质解题. - = == . 当a =2，b =4 ，原式===12 . (2)先对所给条件作等价变形： ()x x x x - -+=+-=-=111 2 22 22327， ()()x x x x x x -- -+=++-=⨯=331112 2 2 2 13618， x 2+x -2=(x +x -1)2-2=72-2=47. 故 x x x x - -+--==+--332 2 2231831 24723 . (3)因为n n a - -= 1120142014 2 ，所以( )n n a - ++=1122 2014201412 ， n n n n n a --- +-= - =1111120142014 2014201420142 2 . 所以)n a -=12014. 变式1 设2a =5b =m ，且a b +=11 2，则m =( ). A. B. 10 C. 20 D. 100 二、指数方程 例2.49 解下列方程 (1)9x -4⋅3x +3=0；(2)()()x x ⋅= 29643827 ； 分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x =(3x )2；对于()()x x ⋅293 8 ，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x -4⋅3x +3=0⇒(3x )2-4⋅3x +3=0，令t=3x (t>0)，则原方程变形为t 2-4t+3=0， 得t 1=1，t 2=3，即x =131或x =233，故x 1=0，x 2=1.故原方程的解为x 1=0，x 2=1. (2)由()()x x ⋅=2964 3827，可得()x ⨯=33294383 即()()x =33443，所以()()x -=33344，得x =-3. 故原方程的解为x =-3. 变式1 方程9x -6⋅3x -7=0的解是________. 变式2 关于x 的方程()x a a +=-3 2325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式 例2.50若对x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式. 解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对∀x ∈[1,2]，不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0. 所以实数m 的取值范围是{m |m >0}. 变式1 已知对任意x ∈R ，不等式()x mx m x x -+++>2 2241122恒成立，求m 的取值范围. 变式2 函数()x f x x -= -21 的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 题型24 指数函数的图像及性质 思路提示 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例2.51 函数()x b f x a -=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是 ( ). A. a >1，b <0 B. a >1，b >0 C. 0 解析：由图2-14可知0 a -∈(0,1)，故- b >0，得b <0，故选D. 评注：若本题中的函数变为()x f x a b =-，则答案又应是什么？由图2-14