差分方程的解法

第三节 差分方程常用解法与性质分析

1、常系数线性差分方程的解

方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如n

n x λ=的解，带入方程中可得：

...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10）

称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。

显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下：

（1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解： n

k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，

（2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项：

n

m m n c n c c λ

)...(121--

-

-

+++

（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：ϕ

ρλi e ±=，

αβ

ϕβαρarctan

,22=+=，则（9）的通解中有构成项：

n c n c n

n

ϕρϕρsin cos 21

-

-

+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φ

ρλi e ±=，则（9）的通项中有成

项：

n

n c n c c n n

c n c c n m m m m n

m m ϕρϕρsin )...(cos )...(12211

21--

-

++--

-

+++++++

综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-

n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*

n x ，则（8）必有通解：

=n x -

n

x +*

n x （11）

（1） 的特解可通过待定系数法来确定。

例如：如果

)

(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征

根时，可设成形如

)

(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如

果b 是r 重根时，可设特解：r

n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系

数即可。

2、差分方程的z 变换解法

对差分方程两边关于n x 取Z 变换，利用n x 的Z 变换F （z ）来表示出k n x +的Z 变换，然后通过解代数方程求出F （z ），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的n x

例1 设差分方程1,0,0231012===++++x x x x x n n n ，求n x

解：解法1：特征方程为0232

=++λλ，有根：2,121-=-=λλ

故：

n

n n c c x )2()1(21-+-=为方程的解。

由条件

1

,010==x x 得：

n

n n x )2()1(---=

解法2：设F （z ）=Z(n x ),方程两边取变换可得：

)(2))((3)1

.)((0102=+-+--z F x z F z z x x z F z

由条件1,010==x x 得

23)(2++=

z z z

z F

由F （z ） 在2>z 中解析，有

∑∑∑∞

=∞=-∞

=--=---=+

-+=

+-+=000)21()1(2)1(1)1(211

111)2

1

11()(k k k k k k k k

k k

z z z z

z z z z z F 所以，

n

n n x )2()1(---=

3、二阶线性差分方程组

设=)(n z )(n y x n ，)(d c b

a A =，形成向量方程组

)()1(n Az n z =+ （12）

则

)1()1(z A n z n =+ （13）

（13）即为（12）的解。

为了具体求出解（13），需要求出n

A ，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：

（1）如果A 为正规矩阵，则A 必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A 的特征值，相似变换矩阵由A 的特征向量构成：

)1()()1(,,111z p p n z p p A p p A n n n Λ=+∴Λ=Λ=---。

（2）将A 分解成

ηξξη,,/,

=A 为列向量，则有

A A n n n .)(.......).(1//.//-===ηξηξηξηξηξ

从而，)1(.)()1()1(1

/Az z A n z n n -==+ηξ

（3） 或者将A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论A 的特征值的性态，

找出n

A 的内在构造规律，进而分析解)(n z 的变化规律，获得

它的基本性质。

4、关于差分方程稳定性的几个结果

（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的 特征根k i i ...2,1,=λ满足1

（2）一阶非线性差分方程

)(1n n x f x =+ （14） （14）的平衡点-

x 由方程)(-

-

=x f x 决定， 将

)

(n x f 在点-

x 处展开为泰勒形式：

)())(()(/-

-

-

+-=x f x x x f x f n n （15）

故有：

1

)(/<-

x f 时，（14）的解-

x 是稳定的，