张量和应力张量
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P kr P ij lkilrj
i, j 1,2,3
P 11 Pij P21 P31 P 12
k, r 1',2',3'
– 则这个物理量则为张量。 – 用矩阵表示：
P22 P32
P 13 P23 P33
• 张量所带的下角标的数目称为张量的阶数。
1.3 张量的基本概念
• 只需一个实数就可以表示出来简单的物理量称为 标量。例如距离、时间、温度等。 • 需用空间坐标系中的三个分量来表示的物理量称 为矢量。 例如位移、速度、力等。 • 对于复杂的物理量，例如应力状态、应变状态等， 需要用空间坐标系中的三个矢量(也即九个分量) 才能完整地表示出来，这就是张量。 • 张量是矢量的推广，与矢量相类似，可以定义为： 由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所 组成的集合称为张量。
• 1.2 求和约定
• 1.3 张量的基本概念
• 1.4 张量的某些基本性质
1.1 角标符号
• 带有下角标的符号称为角标符号，可用来表 示成组的符号或数组。 • 例：
– 直角坐标系的三根轴
• x、y、z→x1、x2、x3 → xi(i=1，2，3)；
– 空间直线的方向余弦
• l、m、n → lx、ly、lz → li(i=x，y，z)；
• 张量可以叠加和分解
– 几个同阶张量各对应分量之和或差定义为另一 同阶张量。 – 两个相同的张量之差定义为零张量。
• 张量可分对称张量、非对称张量、反对称张 量
– 若Pij=Pji，则为对称张量； – 若Pij≠Pji，则为非对称张量； – 若Pij=-Pji，则为反对称张量。
• 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值
– 表示一点应力状态的九个应力分量
• σxx、σxy… → σij(i，j=x，y，z)；
– 等等。
• 如果一个角标符号带有m个角标，每个角标 取n个值，则该角标符号代表nm个元素。 • 例
– σij(i，j=x，y，z)有32=9个元素(即九个应力分量)。
1.2 求和约定
• 求和约定：如果在算式的某一项中有某个角 标重复出现，就表示要对该角标自1～n的所 有元素求和。 • 例
– 例3 yi a j xij i, j 1,2,3
– 例4
11 21 31 0 0 i, j 1, 2,3 x1 x2 x3 xi 12 22 32 0 – 例5 x1 x2 x3 y11 a11 x11 a12 x21 a13 x31 13 23 33 0 y12 a11 x12 a12 x22 a13 x32 x1 x2 x3 y13 a11 x13 a12 x23 a13 x33 y21 a21 x11 a22 x21 a23 x31 y22 a21 x12 a22 x22 a23 x32 yij aik xkj i, j, k 1,2,3 y23 a21 x13 a22 x23 a23 x33 y31 a31 x11 a32 x21 a33 x31 y32 a31 x12 a32 x22 a33 x32 y33 a31 x13 a32 x23 a33 x33
– 例2
y aij xij i, j 1, 2,3
y a11 x11 a12 x12 a13 x13 a21 x21 a22 x22 a23 x23 a31 x31 a32 x32 a33 x33
y1 a1 x11 a2 x12 a3 x13 y2 a1 x21 a2 x22 a3 x23 y3 a1 x31 a2 x32 a3 x33
• 求和约定-合并例
– 例1
x l 2 y m 2 z n 2 2 xy lm yz mn zx nl
ijlil j
i, j x, y, z
– 例2
Tx xl yx m zx n Ty xy l y m zy n Tz xz l yz m z n
kr ij lkilrj
ห้องสมุดไป่ตู้
i, j x, y, z
k , r x ', y ', z '
• 因此，表示点应力状态的九个应力分量构成一个二 阶张量，称为应力张量。可用张量符号σij表示； • 由于切应力互等，所以应力张量是二阶对称张量；
x xy xz ij yx y yz zx zy z
附录 张量和应力张量
由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较
繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，近
几十年弹性力学的论述及方程列式采用指标符号表示。
为了这一原因，这里也简单介绍一些基本概念。这些
符号或公式都是在笛卡尔坐标系中采用。
• 1 张量的基本概念
• 2 应力张量
1 张量的基本概念
• 1.1 角标符号
x xy xz ij y yz z
• 每一分量称为应力张量分量。
• 根据张量的基本性质，应力张量可以叠加和分解、 存在三个主轴(主方向)和三个主值(主应力)以及三 个独立的应力张量不变量。
– Pij是二阶张量，矢量是一阶张量，而标量则是零 阶张量。
• 二阶张量的判别式的矩阵形式
P kr P ij lkilrj
i, j 1,2,3
k, r 1',2',3'
P P P 1'1' 1'2' 1'3' Pkr P P P 2'2' 2'3' 2'1' P3'1' P3'2' P3'3' l1'1 l2'1 l3'1 P 11 P l l l 1'2 2'2 3'2 21 l1'3 l2'3 l3'3 P31
P 12 P22 P32
P l1'2 13 l1'1 l P23 2'1 l2'2 P33 l3'1 l3'2
l1'3 l2'3 l3'3
1.4 张量的某些基本性质
• 存在张量不变量
– 张量的分量一定可以组成某些函数f=f(Pij)，其 值与坐标轴的选取无关，即不随坐标而变，这 样的函数就叫做张量的不变量。 – 对于二阶张量，存在三个独立的不变量。
Ax By Cz p – 空间中的平面方程为： – 采用角标符号
• A、B、C→a1、a2、a3 → ai(i=1，2，3) • x，y，z → xi(i=1，2，3)
– 上式可写成：
a1 x1 a2 x2 a3 x3 ai xi p
i 1
3
– 采用求和约定则可简记为：ai xi p i 1,2,3
• 九个方向余弦可记为lki或lrj(i，j=1，2，3；k， r=1’，2’，3’)。 • 由于cos(xk,xi)=cos(xi,xk)，所以lki=lik， lrj=ljr。
• 张量概念及其判别式
– 若物理量P在坐标系xi中的九个分量Pij与在坐标 系xk中的九个分量Pkr之间存在下列线性变换关系：
ij
– 例6
yij aik blj xkl
i, j, k, l 1,2,3
y11 a11b11 x11 a12b11 x21 a13b11 x31 a11b21 x12 a12b21 x22 a13b21 x32 a11b31 x13 a12b31 x23 a13b31 x33 y12 a11b12 x11 a12b12 x21 a13b12 x31 a11b22 x12 a12b22 x22 a13b22 x32 a11b32 x13 a12b32 x23 a13b32 x33 y13 y33
Tj ijli
i, j x, y, z
• 重复出现的角标称为哑标，不重复出现的角标称为 自由标。 • 自由标不包含求和的意思，但它可表示该表达式的 个数。
• 求和约定-展开例
– 例1
ui p xi i 1, 2,3 u1 u2 u3 p x1 x2 x3
• 物理量P
– 在空间坐标系xi (i=1，2，3)中存在九个分量Pij (i， j=1，2，3)； – 在新空间坐标系 xk(k=1’，2’，3’)中存在九个新 分量Pkr(k，r=1’，2’，3’)。 • 坐标系间关系 x1’ x2’ x3’ x1 l1’1 l2’1 l3’1 x2 l1’2 l2’2 l3’2 x3 l1’3 l2’3 l3’3
– 如取主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量都 将为零，只留下两个下角标相同的三个分量，称 为主值。
1.5 应力张量
• 外力确定后，受力物体内任意点的应力状态即已 确定。但表示该点应力状态的各个分量在不同坐 标系中将有不同的数值，因此在不同坐标系中该 点的应力分量之间应该存在一定的关系。 • 设受力物体内一点的应力状态为： – 在xi(i=x，y，z)坐标系中为σij(i，j=x，y，z)； – 在xk (k=x’，y’，z’)坐标系中为σkr(k，r=x’，y’， z’)； • σij与σkr之间的关系符合数学上张量的定义，即存 在线性变换关系：
i, j 1,2,3
P 11 Pij P21 P31 P 12
k, r 1',2',3'
– 则这个物理量则为张量。 – 用矩阵表示：
P22 P32
P 13 P23 P33
• 张量所带的下角标的数目称为张量的阶数。
1.3 张量的基本概念
• 只需一个实数就可以表示出来简单的物理量称为 标量。例如距离、时间、温度等。 • 需用空间坐标系中的三个分量来表示的物理量称 为矢量。 例如位移、速度、力等。 • 对于复杂的物理量，例如应力状态、应变状态等， 需要用空间坐标系中的三个矢量(也即九个分量) 才能完整地表示出来，这就是张量。 • 张量是矢量的推广，与矢量相类似，可以定义为： 由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所 组成的集合称为张量。
• 1.2 求和约定
• 1.3 张量的基本概念
• 1.4 张量的某些基本性质
1.1 角标符号
• 带有下角标的符号称为角标符号，可用来表 示成组的符号或数组。 • 例：
– 直角坐标系的三根轴
• x、y、z→x1、x2、x3 → xi(i=1，2，3)；
– 空间直线的方向余弦
• l、m、n → lx、ly、lz → li(i=x，y，z)；
• 张量可以叠加和分解
– 几个同阶张量各对应分量之和或差定义为另一 同阶张量。 – 两个相同的张量之差定义为零张量。
• 张量可分对称张量、非对称张量、反对称张 量
– 若Pij=Pji，则为对称张量； – 若Pij≠Pji，则为非对称张量； – 若Pij=-Pji，则为反对称张量。
• 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值
– 表示一点应力状态的九个应力分量
• σxx、σxy… → σij(i，j=x，y，z)；
– 等等。
• 如果一个角标符号带有m个角标，每个角标 取n个值，则该角标符号代表nm个元素。 • 例
– σij(i，j=x，y，z)有32=9个元素(即九个应力分量)。
1.2 求和约定
• 求和约定：如果在算式的某一项中有某个角 标重复出现，就表示要对该角标自1～n的所 有元素求和。 • 例
– 例3 yi a j xij i, j 1,2,3
– 例4
11 21 31 0 0 i, j 1, 2,3 x1 x2 x3 xi 12 22 32 0 – 例5 x1 x2 x3 y11 a11 x11 a12 x21 a13 x31 13 23 33 0 y12 a11 x12 a12 x22 a13 x32 x1 x2 x3 y13 a11 x13 a12 x23 a13 x33 y21 a21 x11 a22 x21 a23 x31 y22 a21 x12 a22 x22 a23 x32 yij aik xkj i, j, k 1,2,3 y23 a21 x13 a22 x23 a23 x33 y31 a31 x11 a32 x21 a33 x31 y32 a31 x12 a32 x22 a33 x32 y33 a31 x13 a32 x23 a33 x33
– 例2
y aij xij i, j 1, 2,3
y a11 x11 a12 x12 a13 x13 a21 x21 a22 x22 a23 x23 a31 x31 a32 x32 a33 x33
y1 a1 x11 a2 x12 a3 x13 y2 a1 x21 a2 x22 a3 x23 y3 a1 x31 a2 x32 a3 x33
• 求和约定-合并例
– 例1
x l 2 y m 2 z n 2 2 xy lm yz mn zx nl
ijlil j
i, j x, y, z
– 例2
Tx xl yx m zx n Ty xy l y m zy n Tz xz l yz m z n
kr ij lkilrj
ห้องสมุดไป่ตู้
i, j x, y, z
k , r x ', y ', z '
• 因此，表示点应力状态的九个应力分量构成一个二 阶张量，称为应力张量。可用张量符号σij表示； • 由于切应力互等，所以应力张量是二阶对称张量；
x xy xz ij yx y yz zx zy z
附录 张量和应力张量
由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较
繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，近
几十年弹性力学的论述及方程列式采用指标符号表示。
为了这一原因，这里也简单介绍一些基本概念。这些
符号或公式都是在笛卡尔坐标系中采用。
• 1 张量的基本概念
• 2 应力张量
1 张量的基本概念
• 1.1 角标符号
x xy xz ij y yz z
• 每一分量称为应力张量分量。
• 根据张量的基本性质，应力张量可以叠加和分解、 存在三个主轴(主方向)和三个主值(主应力)以及三 个独立的应力张量不变量。
– Pij是二阶张量，矢量是一阶张量，而标量则是零 阶张量。
• 二阶张量的判别式的矩阵形式
P kr P ij lkilrj
i, j 1,2,3
k, r 1',2',3'
P P P 1'1' 1'2' 1'3' Pkr P P P 2'2' 2'3' 2'1' P3'1' P3'2' P3'3' l1'1 l2'1 l3'1 P 11 P l l l 1'2 2'2 3'2 21 l1'3 l2'3 l3'3 P31
P 12 P22 P32
P l1'2 13 l1'1 l P23 2'1 l2'2 P33 l3'1 l3'2
l1'3 l2'3 l3'3
1.4 张量的某些基本性质
• 存在张量不变量
– 张量的分量一定可以组成某些函数f=f(Pij)，其 值与坐标轴的选取无关，即不随坐标而变，这 样的函数就叫做张量的不变量。 – 对于二阶张量，存在三个独立的不变量。
Ax By Cz p – 空间中的平面方程为： – 采用角标符号
• A、B、C→a1、a2、a3 → ai(i=1，2，3) • x，y，z → xi(i=1，2，3)
– 上式可写成：
a1 x1 a2 x2 a3 x3 ai xi p
i 1
3
– 采用求和约定则可简记为：ai xi p i 1,2,3
• 九个方向余弦可记为lki或lrj(i，j=1，2，3；k， r=1’，2’，3’)。 • 由于cos(xk,xi)=cos(xi,xk)，所以lki=lik， lrj=ljr。
• 张量概念及其判别式
– 若物理量P在坐标系xi中的九个分量Pij与在坐标 系xk中的九个分量Pkr之间存在下列线性变换关系：
ij
– 例6
yij aik blj xkl
i, j, k, l 1,2,3
y11 a11b11 x11 a12b11 x21 a13b11 x31 a11b21 x12 a12b21 x22 a13b21 x32 a11b31 x13 a12b31 x23 a13b31 x33 y12 a11b12 x11 a12b12 x21 a13b12 x31 a11b22 x12 a12b22 x22 a13b22 x32 a11b32 x13 a12b32 x23 a13b32 x33 y13 y33
Tj ijli
i, j x, y, z
• 重复出现的角标称为哑标，不重复出现的角标称为 自由标。 • 自由标不包含求和的意思，但它可表示该表达式的 个数。
• 求和约定-展开例
– 例1
ui p xi i 1, 2,3 u1 u2 u3 p x1 x2 x3
• 物理量P
– 在空间坐标系xi (i=1，2，3)中存在九个分量Pij (i， j=1，2，3)； – 在新空间坐标系 xk(k=1’，2’，3’)中存在九个新 分量Pkr(k，r=1’，2’，3’)。 • 坐标系间关系 x1’ x2’ x3’ x1 l1’1 l2’1 l3’1 x2 l1’2 l2’2 l3’2 x3 l1’3 l2’3 l3’3
– 如取主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量都 将为零，只留下两个下角标相同的三个分量，称 为主值。
1.5 应力张量
• 外力确定后，受力物体内任意点的应力状态即已 确定。但表示该点应力状态的各个分量在不同坐 标系中将有不同的数值，因此在不同坐标系中该 点的应力分量之间应该存在一定的关系。 • 设受力物体内一点的应力状态为： – 在xi(i=x，y，z)坐标系中为σij(i，j=x，y，z)； – 在xk (k=x’，y’，z’)坐标系中为σkr(k，r=x’，y’， z’)； • σij与σkr之间的关系符合数学上张量的定义，即存 在线性变换关系：