5方差分析

F分布
方差分析的最终统计推断和假设检验均依靠F分 布，所以适当了解一下F分布的特点十分有益。
F分布是英国统计学 家Fisher和Snedecor(斯内德 克 )提出的。
为了表示对Fisher的尊重， Snedecor将其命名为F分布。
方差分析也主要是由 Fisher推导出来的，也叫F 检验。
F 分布
医学统计学
方差分析
Analysis of Variance
Department of Epidemiology and Biostatistics, NJMU 流行病与生物统计系 南京医科大学
主要内容
问题的提出 方差分析的原理 完全随机设计的方差分析
completely random design 配伍组设计的方差分析
F
MS组间 MS组内
方差分析表
变异来源
SS
v MS
总
67.6685 59
组间
8.2930 2 4.1465
组内(误差) 59.3755 57 1.0417
F 3.98
方差分析的原理
方差比的分布！
FMS组间SS组间k1 MS组内 SS组内nk
F MSBetween MSWithin
~F(1,2)
因素和水平
因素(factors)：将试验对象随机分为若干 个组，加以不同的干预，称为处理因素。
在相同的因素下的不同干预，称为不同的水 平(level)。
问题的提出
t检验实例
南京医科大学的学工部门想知道2008年南京市 进入南医大就读的学生中，市区的学生和郊区 的学生成绩是否有差异。
因素：学生所来自的区域
sd
0.913
B(i=2)
5.0 2.0 0.2 0.0 0.5 1.6 0.3 3.0 1.9 1.6 1.0 0.0 2.4 3.0 -0.4 0.7 2.0 1.2 1.6 0.7
20 1.415 1.297
C(i=3)
2.1 -0.7
1.9 1.7 0.2 2.0 1.5 0.9 1.1 -0.2 1.3
？
江苏 X =592.79
浙江 X =569.83
单因素 三水平
问题的提出
一种新的降血脂药，120人分为安慰剂组，用药组1(2.4g)，用 药组2(4.8g)，用药组3(7.2g)。实验结束后观察血脂水平。
安慰剂组 X =3.43mmol/l
用药组1
X X =2.72mmol/l
？
用药组2 X =2.70mmol/l
1－(1－)k
组数为3, k=3, 1－(1－0.05)k=0.1426 组数为4, k=6, 1－(1－0.05)k=0.2649 组数为5, k=10, 1－(1－0.05)k=0.4013 组数为6, k=15, 1－(1－0.05)k=0.5400
方差分析
方差分析，又称变异数分析。 Analysis of Variance，简写为ANOVA。 由英国统计学家R.A.Fisher提出。 方差分析的起源。 F检验。
j 1
j 1
Baidu Nhomakorabea
j 1
5 9 .3 7 5 5
组间变异 SS组间
Sum of squares between groups
X1
X2
X3
X
n1(X1 X)2 n2(X2 X)2 n3( X3 X )2
S S B e tw e e nn i(X i X )2
S S B e t w e e n 2 0 ( 1 . 8 4 0 1 . 3 9 5 ) 2 2 0 ( 1 . 4 1 5 1 . 3 9 5 ) 2 2 0 ( 0 . 9 3 0 1 . 3 9 5 ) 2 8 . 2 9 3 0
用药组3 X =1.97mmol/l
单因素 四水平
问题的提出
假如每次t检验犯第一类错误的概率是0.05， 那么要完全地进行比较，犯第一类错误的概
率是1－(1－)k。
10.9560.2649
问题的提出
多组间的两两比较为什么不能用 t 检验？
进行一次假设检验，犯第一类错误的概率：
进行多次(k)假设检验，犯第一类错误的概率：
random block design 两两比较 方差分析的正确应用
复习假设检验
提出一个假设 如果假设成立，得到现有样本的可能性
可能性很小（小概率事件），在一次试验中本 不该得到，居然得到了，说明我们的假设有问 题，拒绝之。
有可能得到手头的结果，故根据现有的样本无 法拒绝事先的假设（没理由）
方差分析的基本思想
组内变异(SS组内)：抽样误差 组间变异(SS组间) ：组间本质差别＋抽样误差
如果组间无本质差别，则组间变异＝组内变异
或： M MSS组 组间 内SSSS组 组内 间nkk11
方差分析的基本思想
X
X X2 3 X 1
方差分析的原理
包括处理因素不同水平的 效应所导致的变异，也包
2.0 1.4 1.0 0.0 1.5 0.9
1.5 1.7 2.4 3.0 0.9 0.8
2.7 3.0 -0.4 0.7 1.1 -0.3
1.1 3.2 2.0 1.2 -0.2 0.7
0.9 2.5 1.6 0.7 1.3 1.4
方差分析的原理
所有个体的血红蛋白上升值几乎都不同总 变异
不同组间的血红蛋白上升值不同，原因：处 理因素的效应（如果存在的话）；随机误差 组间变异
同组内的血红蛋白上升值不一致,原因是不 同个体的个体差异、随机误差组内变异
总变异=组间变异+组内变异
总变异示意图 X
X1
X2
Xij X
X3
X 所有个体的血红蛋白上升值几乎都不同
组间变异示意图 X
X1
X2
Xi X
X3
X 不同组间的血红蛋白上升值不同
组内变异示意图 X
X1
X2
X ij X i
水平：市区，郊区
单因素 两水平
问题的提出
t检验实例
阿卡波糖的降血糖效果。分别给对照组和试验 组服用拜唐平胶囊和阿卡波糖胶囊，观察8周后 血糖下降值的差异。
因素：不同的药物
水平：阿卡波糖，拜唐平
单因素 两水平
问题的提出
t检验的局限性
单因素两水平
问题的提出
江苏、安徽、浙江三省的平均入学成绩
安徽 X =571.23
括总随变机误异差
无法总用的处离理均因差素平所方解和释的 部分变异（随机误差）
尺度
方差分析的原理
包括处理因素不同水平的
效应所导括总致随变的机变误异异差，也包
总的离均差平方和
无法用处理因素所解释的部分变异 （随机误差）
尺度
方差分析表
变异来源 组间 组内 总
SS SS组间 SS组内 SS总
v
MS
k-1 SS组间/v组间 N-k SS组内/v组内 N-1
方差分析的原理
例1 某地用A、B和C三种方案治疗血红蛋白含量不满10g的婴 幼儿贫血患者，
A方案为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚铁1ml， B方案为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚铁0.5ml， C方案为每公斤体重每天口服3g鸡肝粉，
治疗一月后，记录下每名受试者血红蛋白的上升克数，资料 见表1，问三种治疗方案对婴幼儿贫血的疗效是否相同？
差别有统计学意义。认为三种治疗方案治疗 婴儿贫血的效果不等或不全相等。
完全随机设计资料的方差分析
例题2 已知动物烧伤后内脏ATP含量迅速下降， 严重影响生 物体各器官能量的正常代谢，为了解烫伤后不同时期切痂对 肝脏ATP含量影响，将30只雄性大鼠随机分3组, 每组10只： A组为烫伤对照组， B组为烫伤后24小时(休克期)切痂组， C组为烫伤后96小时（非休克期）切痂组， 并在烫伤后168小时活杀，测量其肝脏的ATP含量， 探讨烫 伤后不同时间ATP含量是否有变化？
因素：烫伤后不同时期 水平：A，B ，C
完全随机设计资料的方差分析
烫伤对照组
7.76 7.71 8.43 8.47 10.30 6.67 11.73 5.78 6.61 6.97
1.3
1.1
0.2
0.7
(X3j 0.930)2
0.9 (X2ij011.395)2
0.8 601
-0.3
0.7
1.4
20 0.930
60 1.395
0.780
1.071
总变异 SS总
Sum of squares about the mean of all N values.
2
SST Xij X
X3
同组内的血红蛋白上升值不一致
X
例1 三组血红蛋白增加量(g)
A(i=1)
1.8 1.4
Xij
0.5 1.2 2.3 2.3
3.7 0.7
(X21j011.84(0X)222j01221.4..0415)2
0.5 1.4
1.5 1.7
2.7 3.0
1.1 3.2
0.9 2.5
ni Mean
20 1.840
总变异的分解
SS总＝SS组间＋SS组内
67.6685＝8.2930+59.3755
k n i
k
k n i
(X ij X )2 n i(X i X )2 (X ij X i)2
i 1j 1
i 1
i 1j 1
( X X ) 2 n i ( X i X ) 2 ( X i j X i ) 2
1
.8
.6
.4
.2
0.05
0
0
1
2
3
4
5
3.1588
完全随机设计资料的方差分析
1. H0: 1=2=3 ,即三总体均数相等； H1: 1, 2, 3 不等或不全相等。
＝0.05。 2. 计算检验统计量: F=3.98 >3.1588(界值) 3. 对应的概率: P=0.0241(p<0.05) 4. 结论: 在＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，
1.0
1=1, 2=10
0.8
0.6
1=5, 2=10
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
F 分布
1.0
0.8 0.6
0.4 0.2
0.0
0
1
1=10, 2=
1=10, 2=1
2
3
4
5
构造检验的统计量(F 分布)
如果均值相等, F=MSt/MSe1
不能拒绝H0
拒绝H0
0
F
F(k-1,n-k)
F 分布
方差分析表
60
2
SST Xij 1.395 67.6685
j1
组内变异 SS组内
Sum of squares within groups
k ni
2
SSwithin Xij Xi
i1 j1
2 0
2 2 0
2 2 0
2
S S w ith in X 1j 1 .8 4 0 X 2j 1 .4 1 5 X 3j 0 .9 3 0
Sir Ronald Aylmer Fisher
Fisher于Rothamsted研究作物产 量时，完善了方差分析的思想
1890~1962
Rothamsted Experimental Station
Sir Ronald Aylmer Fisher
1890: Born in East Finchley, London. 1909: Student at Gonville and Caius College, Cambridge. 1917: Married Ruth E. Guiness. 1919: Started work as a statistician at Rothamsted
变异来源 组间 组内 总
SS SS组间 SS组内 SS总
v
MS
k-1 SS组间/v组间 N-k SS组内/v组内 N-1
F
MS组间 MS组内
方差分析表
变异来源
SS
v MS
总
67.6685 59
组间
8.2930 2 4.1465
组内(误差) 59.3755 57 1.0417
F 3.98
F(2,57)的F分布及界值
方差分析的原理
单因素方差分析：研究的是一个处理因素的 不同水平间效应的差别；
处
理
水平1
因
素
水平2
方差分析的原理
单因素方差分析：研究的是一个处理因素的 不同水平间效应的差别；
水平1
处
理
水平2
因
素
水平k
方差分析的原理
t检验的检验统计量
差别
t X1 X2 s X1 X 2
以抽样误差 作为尺度
Experimental Station. 1933: Chair of Eugenics at University College, London. 1943: Balfour Professor of Genetics, Cambridge University. 1957: President of Gonville and Caius College. 1962: Died Adelaide, South Australia.
因素：治疗方案 水平：A，B，C
例1 三组血红蛋白增加量(g)
A(i=1)
B(i=2)
C(i=3)
1.8 1.4 5.0 2.0 2.1 -0.7
Xij
0.5 1.2 0.2 0.0 1.9 1.3 2.3 2.3 0.5 1.6 1.7 1.1
3.7 0.7 0.3 3.0 0.2 0.2
2.4 0.5 1.9 1.6 2.0 0.7