空间直角坐标系及坐标运算

基础知识梳理
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则 |a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积， 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
基础知识梳理
(2)空间一点M的坐标为有序实 数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)， 其中x叫做点M的横坐标 ，y叫做点 M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标 ．
基础知识梳理
2．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两 个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b不共线，那么向量c与向量a，b共 面的充要条件是存在唯一的有序实数 对(x，y)，使c＝xa＋yb.
课堂互动讲练
(2)∵N 是 BC 的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N ＝－a＋b＋12B→C ＝－a＋b＋12A→D ＝－a＋b＋12c.
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(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c， 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1 ＝12A→D＋A→A1＝12c＋a，
B．－23a＋12b＋12c
C.12a－23b＋12c
D.23a＋23b－12c
答案：B
三基能力强化
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝ (－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相 垂直，则k的值是__________．
答案：75
三基能力强化
5．已知 O 是空间任意一点，A、B、 C、D 四点满足任意三点均不共线，但四 点共面，且O→A＝2xB→O＋3yC→O＋4zD→O， 则 2x＋3y＋4z＝________.
＝ (a1－b1)2＋(a2－b2)2＋(a3－b3)2 .
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三基能力强化
1．在空间直角坐标系中，点 P(1， 2， 3)，
过 P 作平面 xOy 的垂线 PQ，则垂足 Q 的坐
标为( )
A．(0， 2，0)
B．(0， 2， 3)
C．(1,0， 3)
D．(1， 2，0)
答案：D
三基能力强化
2．(教材习题改编)若a＝(2x,1,3)， b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向 量，则( )
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(3)模、夹角和距离公式 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则|a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32 ， a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a12＋a22＋a32 b12＋b22＋b32. →
若 A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则 dAB＝|AB|
A．x＝1，y＝1 B．x＝12，y＝－12 C．x＝16，y＝－32
D．x＝－16，y＝32 答案：C
三基能力强化
3．已知空间四边形 OABC 中，点 M 在 线段 OA 上，且 OM＝2MA，点 N 为 BC 的中
点，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则M→N等于
() A.12a＋12b－23c
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3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，在空间任取
一点
→
→
O，作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB
叫
做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉，其范
围是 0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则
称 a 与 b 互相垂直，记为 a⊥b.
＋
M→A1＋
A→1B1＋
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∴
M→P＋
→ NC1
＝
(12
a＋
1 2
b＋
c)
＋
(a＋12c)＝32a＋12b＋32c.
【名师点评】
(2)中误
把
→ A1A
＝
－a 写作 a，(3)表示不出M→P和N→C1.
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互动探究
题目条件不变，试用 a、b、c 表示
M→C＋M→C1.
解：M→C＋M→C1＝M→A＋A→B＋B→C
答案：－1
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考点一 空间向量的线性运算
用已知向量表示未知向量，以及进行 向量表达式的化简时，一定要注意结合实 际图形，以图形为指导是解题的关键，同 时注意首尾相接的向量的和向量的化简方 法，以及从同一个点出发的两个向量的差 向量的运算法则，避免出现方向错误．
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例1 如 图 所 示 ， 在 平 行 六 面 体
→ ABCD－A1B1C1D1 中，设AA1＝a，
→
→
AB＝b，AD＝c，M，N，P 分别
是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：
(1)A→P；(2)A→1N；(3)M→P＋N→C1.
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【思路点拨】 利用空间向量的 加法法则及基本定理．
【解】 (1)∵P 是 C1D1 的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P ＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋12A→B ＝a＋c＋12b.
第6课时 空间直角坐标系、 空间向量及其运算
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1．空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐 标系Oxyz，其中点O叫做原点 ．x轴，y 轴，z轴统称 坐标轴 ．由坐标轴确定的 平面叫做坐标平面 ．
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4．空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 则a·b若＝aa＝1b(1a＋1，a2ab22，＋aa33)b，3 .b＝(b1，b2，b3)， (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝ λb3，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝ 0(a，b均为非零向量)．
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若a与b确定平面为α，则表示c 的有向线段与α的关系是怎样的？
【思考·提示】 可能与α平 行，也可能在α内．
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(3)空间向量基本定理：如果三个 向量a，b，c不共面，那么对空间任一 向量p，存在有序实数组{x，y，z}， 使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c} 叫做空间的一个 基底 ．