第6章第2节基本不等式

第二节 基本不等式

[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．基本不等式ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .

其中a ＋b

2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )； (4)⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2

2(a ，b ∈R )． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．

(2)如果和x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2

4(简记：和定积最大)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y ＝x ＋1

x 的最小值是2.( )

(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈

⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( ) (3)x >0，y >0是x y ＋y

x ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1

a 2的最小值为2a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab

D.b a ＋a b ≥2

D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．

对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a

b ≥2

b a ·a b ＝2.]

3．(2016·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为

( )

导学号：664877

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2

b a ·4a

b ＝9，当且

仅当b ＝2a >0时取等号．]

4．若函数f (x )＝x ＋

1

x －2

(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) 导学号：664878

A ．1＋ 2

B ．1＋ 3

C ．3

D ．4

C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋

1

x －2

＋2≥2(x －2)×

1

x －2

＋2＝4，当且仅当x －2＝1

x －2

(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]

5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.

25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为1

2×(20－2x )＝(10－x )m ， 则y ＝x (10－x )≤⎣⎢

⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22

＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.]

利用基本不等式求最值

(1)(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2

b ＝ab ，则ab 的最小值为

( )

A.2 B ．2 C ．2 2

D ．4

(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．

(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥2

2

ab ，即

ab ≥22，

当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧

1a ＝2b ，

1a ＋2

b ＝ab ，

即a ＝42，b ＝24

2时取“＝”，所以ab 的最

小值为2 2.

(2)由x 2

＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x ≥2

3x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．

2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．

[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1

b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )

导学号：664879

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1

m ＋1

n 的最大值为__________．

(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2

⎝ ⎛⎭⎪⎫

b a ＋a b ≥5＋2×2

b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1

b ≥m ，∴m ≤9，即

m 的最大值等于9，故选B.

(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，