河南省郑州市郑州四中高三数学(文)下学期第四次调考试题人教版

河南省郑州市郑州四中2010届高三第四次调考（数学文）
命题人：梁化通 审题人：任有志
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}1,2M =，{}
21N a a M =-∈，则M
N = （ ）
A ．{}1
B ．{}1,2
C ．{}1,2,3
D ．∅ 2.不等式04
1
2
>--x x 的解集是
（ ）
A ．),2(+∞
B ．),2()1,2(+∞⋃-
C ．)1,2(-
D ．),1()2,(+∞⋃--∞
3.若,,R b a ∈则下列命题正确的是 （ ）
A ．若2
2
,b a b a >>则 B ．若2
2
,||b a b a >>则 C ．若2
2
|,|b a b a >>则 D ．若ac bc a b ==，则
4. 某工厂有A 、B 、C 三种不同型号的产品，这三种产品数量之比为2：3：5， 现用分层抽样方法从中抽出一个容量为n 的样本进行检验，该样本中A 种型号产 品有8件，那么此样本的容量n 是 （ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．40
5.若函数()f x 的反函数()()1210f
x x x -=+<，则()2f = （ ）
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．5
6. 已知向量cos ,sin (sin ,3cos ),(0,),//,a b a b θθθθθπθ=
=∈=（）,若则（ ） A ．
3
π
B ．23π
C ．
π
π2或
3
3 D ．ππ
5或66
7. 直线经过点A （2，1），B （1，m 2）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角取值范围是（ ） A ．),0[π B ．),2
(]4,0[ππ
π
⋃
C ．]4
,
0[π
D ．),2
()2,4[ππ
π
π⋃ 8. 函数x x x f 2
sin )2cos 1()(+=是
（ ）
A ．周期为
2π
的偶函数 B ．周期为π的偶函数
C ．周期为2
π
的奇函数 D ．周期为π的奇函数
9.已知直线02 :=+-m y x l 按向量)3 2(-=，
a 平移后得到的直线1l 与圆 5)1()2(22=++-y x 相切，那么m 的值为 ( )
A.9或－1
B.5或－5
C.－7或7
D.3或13 10. 函数)(lg x f 的定义域是[0.1，100]，则函数)2
(x f 的定义域是 （ ）
A ．[0.2，200]
B ．[-1，2]
C ．[0.1，100]
D ．[-2，4]
11. 双曲线的实轴为21A A ，B 为虚轴的一个端点，若∠0
21120=BA A ，则双曲线 的离心率为 （ ）
A ．
3
6 B ．
26
C ．
23
D ．
2
3 12.从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的 取值范围是[3b 2，4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是 （ ）
A ．]2
3,35[
B ．]2
2,33[
C ．]2
2,35[
D ．]2
3,33[
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分；请把答案写在相应的位置上. 13.已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<）的图象上一
个最低点为2(
,2)3M π-，与其相邻的最高点为,26N π⎛⎫
⎪⎝⎭
.则()f x 的解析式为 ； 14.已知变量x 、y 满足约束条件 x y ••••y x x y x 则⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥≤+-,
07,
1,
02的取值范围是 ； 15.抛物线2
(0,)y ax a a R =≠∈的准线方程是 ；
16.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++， 则点△BC P 与△ABP 的面积分别为s 1,s 2,则s 1:s 2=_________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3=a ，3222=-+bc c b ．
（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）设5
4
cos =
B ，求边c 的大小．
18.（本小题满分12分） 已知函数21
()3sin
cos cos 4442
x x x f x =++．
（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足,cos cos )2(C b B c a =- 求函数)(A f 的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知数列}{n a 中，已知11=a ，),3,2,1(2
21⋅⋅⋅=+=+n a n
n a n n ．
（Ⅰ）证明：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a n 是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
20.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15225S =. （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）设22n a
n b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
21.（本小题满分12分） 已知函数p px x x p x f -+-=
23
3
)(（0p ≥）. （Ⅰ）若)(x f 在（+∞,0）内为单调函数，求p 的取值范围；
（Ⅱ）当0≠p 时，过点（1，0）作曲线)(x f y =的切线能作三条，求p 的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知方向向量为()
3 1，
=的直线l 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦点以及点(0，32-)，椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.
⑴求椭圆C 的方程。

⑵过点E(-2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，且满足0cot 63
4
≠∠=⋅MON ON OM ，
(O 为坐标原点)，求直线m 的方程.
文科数学试题参考答案
一、选择题：CBCDB CBAAD CA 二、填空题：
13、()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
14、⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡6,59•• 15、y ＝－14a
16、2:1 三、解答题：
17.（本小题满分10分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3=a ，3222=-+bc c b ．
（Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）设5
4
cos =
B ，求边c 的大小． 解：
（Ⅰ）3=
a ，则3222=-+bc c a 得：bc a c
b 2222+=+，
∴bc
a c
b A 2cos 222-+==222323=-+b
c bc ，
∴4
π
=
A ．………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由054cos >=
B ，知B 为锐角，所以5
3
sin =B ．…………5分
∴5422sin cos cos sin )sin(sin ⨯=
+=+=B A B A B A C +10
2
75322=⨯．…8分 由正弦定理得：5
3
7sin sin ==
A C a c ．………………………………10分
18.（本小题满分12分）
已知函数21
()cos cos 4442
x x x f x =++．
（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足,cos cos )2(C b B c a =- 求函数)(A f 的取值范围. 解：（Ⅰ）由31()sin cos 1sin()1222226
x x x f x π
=
++=++………3分 22()
2262x k k k Z π
ππ
ππ-
≤
+≤+∈由 4244()33
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈得………5分
)(x f ∴的单调递增区间为42[4,4]()33k k k Z ππ
ππ-+∈…………6分
（Ⅱ）由,cos cos )2(C b B c a =-
得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-，……7分
,cos sin sin cos cos sin 2C B C B B A =-∴ )sin(cos sin 2C B B A +=∴ ……………8分
π=++C B A ，
,0sin ,sin )sin(≠=+∴A A C B 且
1cos ,,2362
742612262sin 2264B B A A A πππ
ππππ∴==<<
∴<+<+⎛⎫∴<+< ⎪⎝⎭
…………11分 ()sin(
)126
A f A π
=++， ∴函数)(A f 的取值范围是22624,2⎛⎫
+++ ⎪ ⎪⎝⎭
．………12分
19.（本小题满分12分）
已知数列}{n a 中，已知11=a ，),3,2,1(2
21⋅⋅⋅=+=+n a n
n a n n ．
（Ⅰ）证明：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a n 是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
解：
（Ⅰ）由n n a n
n a 2
21+=
+，得n a n a n n
⋅=++211，又∵≠1a 0∴0≠n a n
∴数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a n 是公比为2的等比数列．…………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得
12n n
a n
-=，∴12-⋅=n n n a ．…………………………7分 +⨯+⨯+⨯=2232211n S …12-⋅+n n ．
① +⨯+⨯+⨯=322322212n S …n n n n 22)1(1⋅+⋅-+-
②
①–②，得：
++++=-322221n S …n n n n n n 212221⋅---⋅-+-，
∴12)1(+⋅-=n
n n S ．
20.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15225S =. （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）设22n a
n b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
解：（Ⅰ）
设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ，由题意，得
1125
1514
152252
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩ （4分） ∴21n a n =- （6分） （Ⅱ）122422n a
n
n b n n =+=
•+， （8分） 21222
433
n n n T b b b n n ∴=++
+=⨯++- （12分）
21.（本小题满分12分） 已知函数p px x x p x f -+-=
23
3
)(（0p ≥）. （Ⅰ）若)(x f 在（+∞,0）内为单调函数，求p 的取值范围；
（Ⅱ）当0≠p 时，过点（1，0）作曲线)(x f y =的切线能作三条，求p 的取值范围. （Ⅰ）2
()2f x px x p '=-+.(0,)x ∈+∞
①0p =时()20f x x '=-<此时)(x f 在（+∞,0）内为单调递减 ∴0p =
②0p >时()f x '的对称轴为1
(0,)x p
=∈+∞∴
224(2)01,14p p p p -->⇒≤-≥ ∴1p ≥
综上所述：0p =或1p ≥即为所求.………………………………………………6分 （Ⅱ）2
()2f x px x p '=-+，
显然0p ≠，点（1，0）不在曲线)(x f y =上1p ⇒≠ 设过（1，0）作直线与曲线)(x f y =相切的切点为32
(,
)3
p t t t pt p -+-， 则32
2321
p t t pt p
pt t p t -+--+=-
322(1)203pt p t t ⇒-++=22
[(1)2]03
t pt p t ⇒-++= ∴0t =或2
2(1)23
pt p t -++=0
∵切线能作三条∴2
16(1)03
p p ∆=+-> ∴1
03
p <<或3p >…………………………………………………………12分.
22.（本小题满分12分）
已知方向向量为()
3 1，
=v 的直线l 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦点以及点(0，32-)，椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上。

⑴求椭圆C 的方程。

⑵过点E(-2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，且满足0cot 63
4
≠∠=⋅MON ON OM ，
(O 为坐标原点)，求直线m 的方程。

解：⑴直线: 323l y x =-①，过原点垂直于l 的直线方程为3
3
y x =-② 解①②得3
2
x =
，∵椭圆中心O(0，0)关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上， ∴23
232
a c =⨯=， …………………（2分） ∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴22
2, 6, 2c a b ===，
故椭圆C 的方程为22
162
x y += ③…………………（4分） ⑵当直线m 的斜率存在时，设: (2)m y k x =+ ，代入③并整理得 2222(31)121260k x k x k +++-=，设1122(,) (,)M x y N x y ，
， 则22121222
12126
, 3131
k k x x x x k k -+=⋅=++……………（5分） ∴2222
121212226(1)11()431
k MN k x x k x x x x k +=+-=+⋅+-=+，……（7分）
点O 到直线m 的距离2
21k
d k
=+.
∵463OM ON MON ⋅=∠，即4cos cos 63sin MON
OM ON MON MON
∠⋅∠=∠， 又由≠⋅ON 得 cos 0MON ∠≠，
∴42
sin 6633
OMN OM ON MON S ⋅∠=⇒=9分）
而12OMN S MN d =⋅，∴463MN d ⋅=22226(1)4
631k k k +=+，
解得3k =，此时3
: 2)m y x =+ …………………………………（11分） 当直线m 的斜率不存在时，: 2m x =-，也有2
63
OMN S =
经检验，上述直线m 均满足0OM ON ⋅≠，
故直线m 的方程为 320 2x x +==-或。