线性方程组的解法

b( k 1) i
a(k) ij
b(k ) i
mik
a(k kj
)
mik
b(k ) k
(i, j k 1, ..., n)
共进行 n？ 步1
mik
a(k) ik
/ ak(kk )
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
... ...
...
(i k 1, ..., n)
a(1) 1n
a(2) 2n ...
运算量约为O n3 2 。故通常只用于求逆矩阵，而不用于解方 程组。求逆矩阵即 A | I I | 。 A1
b2 2 m21 1 109
109 1
1
0
109
109
小主元 /* Small pivot element */ 可能导致计
算失败。
x2 1, x1 0
§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies
全主元消去法 /* Complete Pivoting */
定理
principal
TWhheantwifewmeucsatnf’itnd the
s若ubAm的at所ric有eWWtsshas顺mhesh*ko( ii/oaaa)lN序fku均iltltN-nolutteiiio主hdfft0o不suioanautrs,n子onni为n(uia(iiennniqwnic)e)xtq式u0hdexiuwesg，ikiest0i0ne/stt*?hrt则s.??ed.ktreh高ctehei斯ariwm-ntih消gitnhea元nt无of需le换adi行ng即可
Gaussian Elimination:
((nn kk))2 次次
Step
k：设
a(k) kk
，0计算因子
mik
a(k) ik
/ ak(kk )
(i k 1, ..., n)
且计算
Gaussian Elimination 的总乘除次数为
a ( k 1) ij
bi(
k
1)
3
a(k) ij
进行到底，得到唯r一ow解. 。
注：消事元实及上行，交只换要d，eAt(将A非i 方)奇程异a.1.组1.，化即.. .. ..为Aa.三.1.i1 角存形在方，程则组可，通求过出逐唯次
一解。
ai1 ... aii
§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies
1
1 1
1 2
1 109
1 1
2 1
1 0
1 1
2 1
x2 1 , x1 1 ✓
注：列主元法没有全主元法稳定。
例：11
109 1
109
2
1 0
109 109
109
109
x2 1 ,
x1
0
标度化列主元消去法 /* Scaled Partial Pivoting */
对算每一一次行。计以算后每s注i一意数步m1：学考ja这上x虑n |两严子a个格ij列|方等。a程价为...kk 组。省中在时as间iik 最，s大i 只的在ai初k 为始主时元计。
ank
注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。
§1 Gaussian Elimination – Gauss-Jordan Method
➢ 高斯-若当消去法 /* Gauss-Jordan Method */
与 Gaussian Elimination 的主要区别：
每步不计算 mik ，而是先将当前主元 akk(k) 变为 1;
比 Gaussian 证稳定。
Elimination只多出O
n2 3
比较，略省时，但不保
Scaled Partial Pivoting:
比
Gaussian
Elimination多出O
(n2
)
除法和
O
n2 3
比较，比列主
元法稳定。但若逐次计算 si(k)，则比全主元法还慢。
Gauss-Jordan Method:
=
§1 Gaussian Elimination – The Method
消元
记
A(1) A (ai(j1) )nn ,
b (1)
b
b1(1) ...
bn(1)
Step
1：设
a(1) 11
， 0计算因子
mi1
a(1) i1
/
a(1) 11
(i 2, ..., n)
将增广矩阵/* augmented matrix */ 第 i 行 mi1 第1行，
每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 | mik |。 1
Step k:
① 选取 | aik jk
|
max
ki, jn
|
aij
|
0;
② If ik k then 交换第 k 行与第 ik 行; If jk k then 交换第 k 列与第 jk 列;
③ 消元
注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后再 换回来。
第六章 线性方程组的解法
/* Method for Solving Linear Systems */
求解
A
x
b
§1 高斯消元法 /* Gaussian Elimination */
➢ 高斯消元法：
思 首先将A化为上三角阵 /* upper-triangular matrix */， 路 再回代求解 /* backward substitution */。
(i n 1, ...,1)
1
n1
(n i
1)
n2
n
i 1
22
§1 Gaussian Elimination – Amount of Computation
Complete Pivoting:
比
Gaussian
Elimination多出O
n3 3
比较，保证稳定，但费时。
Partial Pivoting:
§1 Gaussian Elimination – Amount of Computation
➢ 运算量 /* Amount of Computation */
由于计算机中乘除 /* multiplications / divisions */ 运算的时 间远远超过加减 /* additions / subtractions */ 运算的时间，故 估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通 常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。
➢ 选主元消去法 /* Pivoting Strategies */
例：单精度解方程组
109
x1
x2
1
x1 x2 2
/*
精确解为
x1
1 1 109
8个
1.00...0100...和
x2 2
x1
8个
0.99 ...9899...*/
用Gaussian Elimination计算：
m21 a21 / a11 1098个 a22 1 m21 1 0.0 ...01109 109 109
列主元消去法 /* Partial Pivoting, or maximal column pivoting */
省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
| aik ,k
|
max
kin
|
aik
|
0
§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies
பைடு நூலகம்
例：
109
a(n) nn
x1
x2 ... xn
bb12((12))
...
bn(n)
§1 Gaussian Elimination – The Method
回代
xn
b(n) n
/
a(n) nn
n
b( i ) i
a(i ij
)
x
j
xi
j i 1
a(i) ii
(i n 1, ...,1)
b(k ) i
mik
a(k kj
)
mik bk(k )
，运算量为 级。 n n 1 n (i, j k 1,2...,n)
3
3
共进行n 1步
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
... ... ...
a(1) 1n
a(2) 2n ...
a(n) nn
n
3
3
x1
x2 ... xn
得到
其中
a (1) 11
a (1) 12
...
a (1) 1n
A( 2 )
b1(1) b (2)
a(2) ij
b(2) i
a (1) ij
b(1) i
m
a (1)
i1 1 j
mi
b(1)
11
(i, j 2, ...,n)
Step
k：设
a
(k kk
)
， 0计算因子
且计算
a ( k 1) ij
b(1) 1
b(2) 2
...
bn(n)
(n k) (n k + 2) 次
消元乘除次数：
n1
(n k)(n k 2)
xn
b(n) n
/
a(n) nn
n
b( i ) i
a(i ij
)
x
j
xi
j i 1
a(i) ii
(1n次 i回+1代) 次乘除次数：
k 1
n3 n2 5 n 3 26
把 akk(k) 所在列的上、下元素全消为0;
A
x
b
I
x
A1b
YtohuOrHo’bdGenuWvyaegbit!uoheheossuadtIsutsdtstsihetbanralmhreayns’yetwwatnwEiiskbttaelyoueeiaibxmot?tscnteiutiokotsinyrltnwelaoel!twcouraiotnrteindhog?ganeonr conclusion…