第九章 概率模型

第九章 概率模型
课程内容和目的：
了解概率知识在数学建模中的应用，熟悉 典型的概率模型，如传送系统的效率，报童的 诀窍， 随机现象的模拟等。掌握数据统计描述 和分析的基本方法。
教学难点和重点：
重点掌握数据统计描述和分析的基本方法。 难点是如何正确的建立随机问题的概率模型。
课程学时： 10学时
教学内容
《数学建模》精品课程
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需掌握几种重要的概率理论分布
1．均匀分布
1 f ( x) b a 0
a x b, 其他.
d c 有 P {c X d } ba
均匀分布随 机变量X的 取值具有 “均匀性”.
其中 (c, d ) (a, b)
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稳定阶段的寿命分布情况. 指数分布具有无后效性(马氏性):对任意的 实数s>0，t>0，均有 永远年
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轻性
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P T s t T s P T t
人类在50岁或60岁以前的寿命分布接近指 数分布. 4．泊松分布和泊松流 离散型随机变量X的分布律为 x exp( ) P{ X x } P ( x ) , x Z x!
一. 随机变量的模拟 掌握成功模拟具有特定分布的随机变量的 方法,是模拟随机现象的重要方面. 例 老鼠在哪个房间？ 在任一时刻观察老鼠在有3 个房间的迷宫
内的情况,老鼠所在房号X 是一个随机变量,
模拟X的分布律.
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例 两种模拟方法 观察老鼠在有3个房间的迷宫内的情况,老鼠
模型假设
1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立， 生产周期是常数； 2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的； 3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的； 4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。 9 《数学建模》精品课程

G(n) 0 [( a b)r (b c)( n r )] p(r )dr n (a b)np(r )dr
dG (a b)np(n) n (b c) p(r )dr 0 dn (a b)np(n) (a b) p(r )dr
m n n( n 1) n 1 D [1 (1 )] 1 2 n m 2m 2m
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）
当n远大于1时, E n/2m ~ E与n成正比，与m成反比 若n=10, m=40, D87.5% (89.4%)
提高效率 《数学建模》精品课程 的途径：
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称X 服从参数为λ的泊松分布.
事件流：随时间的推移，逐个出现的随机事 件列 A1，A2，…An，…
0
A1 A2 A3 An
t
例 在渡口模型中, 从渡船靠岸开始计时, 将第i 辆汽车的到达看成随机事件Ai 发生,随汽 车连续不断地开到码头，就形成了一个事件流
A1，A2，… ，Ai，…； 《数学建模》精品课程
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N ( n , n 2 )
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例
*考试成绩服从正态分布； * 测试误差服从正态分布；
* 人的身高服从正态分布；…
3．指数分布
指数分布随机变量X 的概率密度为
e x , f ( x) 0,
x0 x0
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f(x)
０
x
指数分布常用来描述“寿命”问题. 设电子元件的寿命为T，假定元件在t 时刻 尚正常工作的条件下, 其瞬时失效率总保持 为常数λ, 即有
设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u
一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方
《数学建模》精品课程 p=1-(1-1/m )n D=m[1-(1-1/m)n]/n 10
u=1/m
模型解释
传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比）
m 1 n D [1 (1 ) ] n m
若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则
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1 h0 h
lim
P t T t t T t
寿命T则服从参数为λ的指数分布. 上述假设从技术上讲就是电子元件未出现 “老化”现象. 对一些寿命长的元件,在稳定运 行的初期阶段老化很轻微,这种假设是合理的.
＊指数分布比较确切地描述了电子元件在
均匀性特点 均匀分布随机变量X 落在(a, b) 内任意子区间的概率只与子区间的长度有关, 而与子区间的位置无关. 可假设有这种特性的随机变量服从均匀分布 例 穿越公路模型 穿越公路者在60 秒的期间内的每一时刻 都可能到达公路旁,用[0, 60](单位:秒)上的 均匀分布随机变量模拟穿越公路者到达路旁 的时刻是合理的.
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*方法2 优点：完全与观察数据相符,并且随实际问 题的复杂程度增大不会产生更大的困难,仅 增大工作量而已.
缺点：不便于进行数学分析,不得不依赖于 模拟得到的统计结果. 应用中常将两种模拟方法结合使用 一.利用理论分布 重点阐述怎样根据变量特点合理选择理论
分布来模拟随机变量.
• 增加m • 习题1
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报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题
购进太多卖不完退回赔钱
每天购进多少份可使收入最大？
分 购进太少不够销售赚钱少 析
应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的
存在一个合 适的购进量
n
(b c) p(r )dr (a b) p(r )dr
0 n
n

dG 0 dn
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
0 n
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n
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结果解释
n
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
r n 售出n 赚(a b)n
G(n) [( a b)r (b c)( n r )] f (r )
r 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
r n 1
(a b)nf (r )
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求 n 使 《数学建模》精品课程 G(n) 最大
求解
n
将r视为连续变量
f (r ) p(r ) (概率密度）
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f(x)
σ小
f(x)
σ大
0
0
μ μ
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x 位置 x 参数
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分布特点：
*单峰、对称； *数学期望μ确定概率曲线的中心位置； *标准差σ确定概率曲线的“宽窄”程度.
实用判别方法: 较多独立的、微小变量叠加而成的随机 变量,可以用正态分布来模拟.
判别方法原理分析
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统计模型
• 如果由于客观事物内部规律的复杂 性及人们认识程度的限制，无法分析实 际对象内在的因果关系，建立合乎机理 规律的模型，那么通常要搜集大量的数 据，基于对数据的统计分析建立模型， 这就是本章还要讨论的用途非常广泛的 一类随机模型—统计回归模型。
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随机模型
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望 《数学建模》精品课程
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准 备 建 模
调查需求量的随机规律——每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
• 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
• 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
r n 售出r 赚(a b)r 退回n r 赔(b c)( n r )
确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型 统计回归模型 确定性模型
随机性模型 马氏链模型
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2 传送系统的效率
背 景
传送带 挂钩 产品 工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走， 若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品 越多。 在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标， 研究提高传送带效率的途径 7 《数学建模》精品课程
问题分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假 定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品 后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产 品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。 • 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 8 《数学建模》精品课程 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
1 2 3 4 理论 传送系统的效率 报童的诀窍
随机现象的模拟
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随机性模型
• 现实世界的变化受着众多因素的影响，包 括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的 和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以 忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均 值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。 如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就 应建立随机模型。本章讨论如何用随机变量和 概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型 --概率模型。
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n 为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？ • 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp
如 何 求 概 率
设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q
设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn
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根据中心极限定律：设 X 1 , X 2 , , X n , 是相互独立同分布的随机变量序列,具有数学 期望和方差 E(X)=μ，D(X)=σ2， n 有
n n i 1 P { lin
X i n
n
x } ( x )
推知
i 1
X i 近似服从正态分布
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.
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1．利用理论分布,基于对问题的实际、合理
的假设, 选择适当的理论分布模拟随机变量.
2.基于实际数据的频率做近似模拟.
方法评价 * 方法1 优点：可以计算各种可能结果的概率,便 于进行数学分析和处理. 缺点：限于十分简单的情况.问题越复杂,数 学处理变得越困难,并且丢失了试验数据的信息.
0 n
n
p(r )dr P , p(r )dr P
0 1 n

2
P a b 1 取 n使 P2 bc
a-b ~售出一份赚的钱
b-c ~退回一份赔的钱
p
P1 0
P2 n
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r
(a b) n , 《数学建模》精品课程 (b c) n
4. 随机现象的模拟
2 1 3 3 2 3 1 2 1 3
由测得数据可算出X 取各个数值的频率
X
频数
1
3
2
3
3
4
20
频率
0.3 0.3 0.4 《数学建模》精品课程
根据概率论中的贝努里大数定律,当试验次
数n充分大时，随机事件A发生的频率稳定
于概率P(A),可将
X 0 1 2 0.4
P(x) 0.3 0.3
作为X 的分布律的模拟. 注意 若试验次数太小,可能造成较大误差
所在房号X是一个随机变量,模拟X 的分布律. 可用两种方法 1.假设老鼠处于三个房间是等可能的,从而X 的分布律可设为
X P(x)
1
1 3
2
1 3 《数学建模》精品课程
3
1 3
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2.通过实验的方法确定X 的分布.进行10次观 察,记录X 的数值如下
试验序号
变量X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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*工作台上工件的逐件到达；
*机场跑道中飞机的逐架到达； *港口船舶的逐艘到达； *电话交换台电话的到达； *餐厅顾客的到达; N(t)是随 机变量
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渡口模型中假设车身长度服从均匀分布, 处理起来虽然较简单但却显然不合理.
2．正态分布
正态分布随机变量X的概率密度函数是 1 x 2 1 f ( x) exp[ ( ) ], x R. 2 2
正态分布由两个参数μ和σ唯一确定：
有3σ—原则： P{ X 3 } 0.9974