力学中的模型简化

力学中的模型简化

作者：梁章坦黄亦斌

来源：《中学物理·高中》2015年第09期

1 错图分析

在《高中物理人教版教材（必修1）》（以下简称为《必修1》）第四章第五节“牛顿第三定律”中，谈到“物体的受力分析”时，教材讨论了一个静止于斜面上的滑块，并给出了两幅受力分析图（见图1）.

例如，一个物体静止在粗糙斜面上，我们按重力、弹力、摩擦力的顺序来分析它的受力情况（图1（a））.木块受到重力G，方向竖直向下；木块和斜面接触并相互挤压，木块受到垂直斜面向上的弹力FN；假设木块和斜面之间没有摩擦，木块就会向下滑动，由此可以判断，静止的木块相对斜面有向下滑动的趋势，所受的静摩擦力Ff是沿斜面向上的.通常在不考虑物体的转动效果时，为了便于观察，我们把物体所受的各个力集中画在同一个作用点上（图1（b））.

需要强调的是，必须十分明确我们是在分析哪个物体所受的力.在上面的例子中，涉及木块的作用力和反作用力共有三对：重力G和木块对地球的引力、弹力FN和木块对斜面的压力、静摩擦力Ff和木块对斜面的静摩擦力.由于我们是在对木块的受力情况进行分析，所以只把这六个力中木块所受的三个力画出来了.

遗憾的是，这里的第一幅图是错的，因为支持力的作用点弄错了，使得物体所受的合力矩不为零，故物体不能平衡.正确的做法可以采用“三力共点”法（即物体若受三个不平行的力而平衡，则三力的作用线必共面且过同一个点）来判断，故而支持力的作用点必须下移至重力作用线与摩擦力作用线（斜面）的交点，如图2（a）所示.图2中还给出一些相近情形的物体受力示意图，如在光滑斜面上下滑的物体和在不光滑平面上受摩擦力而减速运动的物体.

文献已正确指出了错误.该文谈到“集中作用点”的概念，详细讨论了多种情况.实际上，不仅支持力和摩擦力，连重力也是要用到集中作用点的概念的：重心就是物体各部分重力的等效集中作用点.

2 力学中的模型简化与力的三要素之间的关系

由此可以引申出力学中的模型简化问题.初中课本阐明了力的三要素：大小、方向和作用点.而高中教材《必修1》在第三章第一节中对“力的图示”和“力的示意图”做了明确规定：前者要求三要素都很确切，后者则只要求方向和作用点，对大小只需示意即可.但教材本身真的遵守了它自己的规定吗？

对于真实物体来说，力的三要素都是必须的.大小和方向自不用说，单说作用点.由于真实物体具有弹性，故而两个力即使大小、方向和作用线都相同，但因作用点不同，其形变效果也会不同，见图3.

如果物体足够刚硬，忽略形变，这就是刚体模型.此时，图3所示的区别不复存在，作用点也就不再重要，而力的三要素也就变为大小、方向和作用线.力矢量可以沿着作用线滑移而不改变作用效果，故而在刚体模型中，力是“滑移矢量”.在图2（a）中，摩擦力沿着斜面滑移不会改变任何效果（当然默认滑块是刚体），故而其作用点并非一定就要在图中三力作用线的交点（文认为摩擦力的作用点就是该点）.实际上支持力也可沿其作用线向上滑移而不改变任何效果，只是这样一来其作用点就离开了斜面，我们不习惯这样.

是的，只是不习惯而已.支持力作用点离开斜面本没什么，因为刚体模型中有意义的不是作用点而是作用线，作用点只对于有弹性的真实物体才有意义.通常把支持力作用点画在斜面上的做法，只是照顾（或迁就）“只谈作用点，不谈作用线”的习惯.在不影响本质的情况下兼顾其他，这是允许的.

要注意的是，滑移不是平移，力矢量离开作用线而平移仍会改变作用效果.具体来说，在刚体力学中，外力的矢量和（不宜称为“合外力”）决定刚体的质心加速度，而外力力矩的矢量和决定着刚体角动量的变化.前者对应平动，后者对应转动.力沿着作用线滑移，不会改变力矢量和力矩，故而对平动和转动都没有影响.而力横向平移时，必然改变力矩（力臂变了），从而改变转动情况（虽然不改变平动情况）.

如果刚体的形状、大小可以忽略，或者说我们不关心其转动状态，只关心其平动情况，那么就可以进一步简化，得到质点模型.此时，由于物体变为一个点，故所有的力就只能作用在这个点上.图1的第二幅图本质上就是把物体视为质点时的受力图画法.一般对此的解释是“为了方便，我们把力的作用点移到重心”，而《必修1》的说法是“为了便于观察，我们把物体所受到的各个力集中画在同一个作用点上”，而实际上是我们此时根本就不需要、不关心作用点的信息，故而从图中根本就看不出作用点的信息.

这表明，随着模型的不断简化，力的要素内容也越来越少.通常熟知的“力的三要素”针对的是一般物体.对于刚体，“三要素”的内容已经变了.而对于充分简化后的质点，“三要素”也就退化为“两要素”.

高中物理教材几乎只谈及质点.例如，《必修1》第10页在注脚中指出，“在高中物理必修课中，我们只研究那些能够简化为质点的物体的运动，因此今后不再区分”物体“和”质点“两个词”.根据上面的分析，高中教材对力的要素的要求应该就只是大小和方向这两要素.然而，《必修1》对力的图示要求是确切表明大小、方向和作用点，而对力的示意图的要求是确切表明方向和作用点（大小示意即可）.而我们看到其实只有对最高级别的真实物体才能有这样的要求.所以，教材在这方面存在着巨大的不自洽.如果肯定教材对“力的示意图”的规定，那么《必修1》中几乎所有的受力图（如其中的图3.3-5、4.3-1、4.3-2、4.5-9、4.6-1和4.6-2）都因未画出真实作用点而不符合这种规定，从而都不是“力的示意图”，顶多算是更弱意义下的“力的示意图”（即只要方向，不要作用点）.图2中的三幅图才算是真正的、符合规定的“力的示意图”，当然这必定以刚体模型为前提.

这种内在不自洽是长期而广泛存在的.例如2003年6月第1版全日制普通高级中学教科书（必修）物理第一册中的图3-10、3-11、3-13、3-17、7-3、7-6、7-7、7-12、7-17.

实际上，图1的第一幅图在某种意义上可以认为是没太大问题的，至少力的方向是对的，在质点模型下是允许的.但此时问题就在于：为什么在画支持力时把滑块当成质点，而在画摩擦力时又把它当成刚体？或者说，为什么支持力的作用点（作用线）不确切表示，而摩擦力的作用点（作用线）却要确切表示？要么就都确切表示（此时用刚体模型），要么就都不确切表示（此时用质点模型），这样才逻辑自洽.

3 对教材内容的几点建议

首先，鉴于前面所述的严重不自洽，教材必须给以新的处理.可以这样处理：（1）跟以前一样给出力的图示和力的示意图；（2）指出高中阶段一般只处理质点模型，此时相应地力只有两要素，不需要作用点；（3）修改对“力的图示”和“力的示意图”的规定，指出两种情况下所有力的作用点全部画在重心处.

其次，高中现在的力学内容中，模型几乎只有质点，没有刚体.这使得高中阶段完全没有力矩、转动、倾倒、平衡等内容，但这些内容是日常经验中经常碰到的东西.而且，初中阶段